数论之余数三大定理

第十四章数论之余数三大定理
概念
一般地，如果a是整数，b是整数(b旳)若有a H b=q……r,也就是a 二b旳+ r, 0孕v b ;我们称上面的除法算式为一个带余除法算式。

这里：
⑴当r 0时：我们称a可以被b整除，q称为a除以b的商或完全商
(2)当r 0时：我们称a不可以被b整除，q称为a除以b的商或不完全商
三大余数定理
1. 余数的加法定理
a与b的和除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以
c的余数。

2. 余数的乘法定理
a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c 所得的余数。

3. 同余定理
若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：a M b ( mod m )，左边的式子叫做同余式。

同余式读作：a同余于b，模m。

由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：
若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m 整除
用式子表示为：如果有aM) ( mod m )，那么一定有a-b = mk,k是整数，即m|(a
—b)
例题
1. 用某自然数a去除1992，得到商是46,余数是r，求a和r。

2. 甲、乙两数的和是1088，甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数。

3. 一个两位数除310，余数是37,求这样的两位数。

4. 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？
5. 用一个自然数去除另一个自然数，商为40，余数是1
6.被除数、除数、
商、余数的和是933，求这2个自然数各是多少？
6. （真题）三个不同的自然数的和为2001,它们分别除以19,23,31所得的
商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______ ，______ ， _____ 。

_
7. 一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等的，除以9时所得到的
商是余数的3倍，这个自然数是________ 。

8. 有48本书分给两组小朋友，已知第二组比第一组多5人。

如果把书全部
分给第一组，那么每人4本，有剩余；每人5本，书不够。

如果把书全分给第二组，那么每人3本，有剩余；每人4本，书不够。

问：第二组有多少人？
9. 一个两位数除以13的商是6,除以11所得的余数是6，求这个两位数
10. 有一个大于1的整数，除45,59,101所得的余数相同，求这个数.
11. 有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.
12. 在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个？（余数可以为0）
13. 一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和。

那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？
14. 两位自然数ab与ba除以7都余1,并且a b，求ab ba。

15. 学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同。

请问学校共有多少个班？
16. 在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是
_
17. 22003与20032的和除以7的余数是_______ 。

18. （真题）在1995，1998，2000，2001，2003中，若其中几个数的和被
9除余7,则将这几个数归为一组。

这样的数组共有_______ 组。

19. 有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50,那
么这个整数是______
20. 用自然数n去除63, 91, 129得到的三个余数之和为25,那么
n= _______
21. 分别为101,126,173,193的4个运动员进行乒乓球比赛，规定每两人比赛的盘数是他们的和被3除所得的余数.那么打球盘数最多的运动员打了多少盘？
22. 六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一
起到新华书店购买《成语大词典》。

一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本。

这种《成语大词典》的定价是__________________ 元。

23. 商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客
买走了其中的五箱。

已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是_______ 千克。

24. 求2461 135 6047 11 的余数。

25. 求478 296 351除以17的余数。

26. 求31997的最后两位数。

27. 222 2除以13所得余数是_______ .
2000个"2"
28. 求14389除以7的余数
29. 12 22 32 L 20012 2002除以7的余数是多少?
30. 31303031被13除所得的余数是多少？
31. 已知a 1O082028L 24）8，问：a除以13所得的余数是多少?
2008 个2008
32. 1772 477除以41的余数是多少？
1996 个7
33. 11 22 33 44 L L 20052005除以10所得的余数为多少？
34. 求所有的质数P,使得4p2 1与6p2 1也是质数。

35. 在图表的第二行中，恰好填上89〜98这十个数，使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3。

36. 3个三位数乘积的算式abc bca cab 234235286 （其中a b c）,在校对
时，发现右边的积的数字顺序出现错误，但是知道最后一位6是正确的，问
原式中的abc是多少？
37. （真题）一个大于1的数去除290，235, 200时，得余数分别为a， a 2，a 5，则这个自然数是多少？
38. 一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？
39. 甲、乙、丙三数分别为603, 939, 393。

某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍，A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍。

求A 等于多少？
40. （真题）一个自然数除429、791、500所得的余数分别是a 5、2a、
a，求这个自然数和a的值.
41. 著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8 13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？
42. 有一串数：1 , 1, 2, 3, 5, 8,……，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个是5的倍数？
43. 托玛想了一个正整数，并且求出了它分别除以3、6和9的余数。

现知
这三余数的和是15。

试求该数除以18的余数。

44. 一个家庭，有父、母、兄、妹四人，他们任意三人的岁数之和都是3的
整数倍，每人的岁数都是一个质数，四人岁数之和是100，父亲岁数最大，问：母亲是多少岁？
45. 如图，在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），小明像玩跳
棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈
以后能跳回到A孔。

他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B
孔。

他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B 孔。

最后他每隔6孔
B A 跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？
46. 将12345678910111213……依次写到第1997个数字，组成一个1997位数,
那么此数除以9的余数是_________ 。

47. 设2n 1是质数，证明：12，22，…，n2被2n 1除所得的余数各不相同。

48. 试求不大于100,且使3n 7n 4能被11整除的所有自然数n的和。

49. 若a为自然数，证明10(a2005a1949)。

50. 设n为正整数，k 2004n，k被7除余数为2，k被11除余数为3，求n 的最小值。

51. (真题)有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17 整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数。

52. 从1, 2，3，……，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为多少？
53. 从1, 2，3, 4，…，2007中取N个不同的数，取出的数中任意三个的和能被15整除。

N最大为多少？
54. 将自然数1, 2, 3, 4……依次写下去，若最终写到2000，成为
123L 19992000，那么这个自然数除以99余几？
55. 将1至2008这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数：
12345678910111213 L 20072008，试求这个多位数除以9的余数。

56. 已知n是正整数，规定n! 1 2 L n ,
令m 1! 1 2! 2 3! 3 L 2007! 2007，则整数m除以2008的余数为多少？
57. 1 3 5 L 1991的末三位数是多少？
58. 有2个三位数相乘的积是一个五位数，积的后四位是1031，第一个数各个位的数字之和是10，第二个数的各个位数字之和是8，求两个三位数的和。

59. 设20092009的各位数字之和为A，A的各位数字之和为B，B的各位数字之和为C，C的各位数字之和为D，那么D ？
60. （真题）两数相除，商4余8，被除数、除数、商数、余数四数之和等
于415，则被除数是_______ 。

答案及解析
1. 答：因为1992是a的46倍还多r ,得到1992 46 43……14，得
1992 46 43 14，所以 a 43，r 14。

2. 答：（法1）因为甲乙11 32，所以甲乙乙11 32乙乙
12 32 1088 ；
则乙（1088 32） 12 88，甲1088 乙1000。

（法2）将余数先去掉变成整除性问题，禾I」用倍数关系来做：从1088中减掉32以后，1056就应当是乙数的（11 1）倍，所以得到乙数
1056 12 88，甲数1088 88 1000。

3. 答：本题为余数问题的基础题型，需要学生明白一个重要知识点，就是把
余数问题---即 不整除问题”转化为整除问题。

方法为用被除数减去余数， 即得到一个除数的倍数；或者是用被除数加上一个 除数与余数的差”也可 以得到一个除数的倍数。

本题中 310-37=273，说明273是所求余数的倍 数，而273=3 X 7X 13，所求的两位数约数还要满足比37大，符合条件的有 39，91.
4. 答：被除数 除数 商 余数 被除数 除数+17+13=2113，所以被除数 除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由 和倍问题”可得：
除数=(2083-13 ) -(17+1 ) =115，所以被除数=2083-115=1968 。

5. 答：本题为带余除法定义式的基本题型。

根据题意设两个自然数分别为 x,y ，可以得到
Y O
y 21，即这两个自然数分别是856，21. 73a 3b 2001，由 b 19，可求得 a 27， 19a b 523， 23a b 631， 31a b 847。

7.答：设这个自然数除以11余a (0 a 11)，除以9余b (0 b 9)，贝U 有
11a a 9 3b b ，即3a 7b ，只有a 7， b 3，所以这个自然数为
12 7 84。

48 3 16，48 4 12知，二组是13、14或15人，因为二组比一组多 5
人，所以二组只能是15人，一组10人
9. 答：因为一个两位数除以13的商是6，所以这个两位数一定大于
13 6 78，并且小于13 (6 1) 91 ；又因为这个两位数除以11余6,而78
40y 16
y 40 16 933 ，解方程组得 6.答：设所得的商为a ，除数为b 。

(19a
b) (23 a b) (31a b) 2001， b 10。

所以，这三个数分别是 8.答：由 48 4 12，48 5 9.6知，一组是10或11人。

同理可知
除以11余1，这个两位数为78 5 83。

10. 答：这个题没有告诉我们，这三个数除以这个数的余数分别是多少，但
是由于所得的余数相同，根据同余定理，我们可以得到：这个数一定能整除
这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。

101 45 56，59 45 14，(56,14) 14，14 的约数有1,2,7,14，所以这个数可
能为2,7,14。

11. 答：(法1) 39 3 36，147 3 144，(36,144) 12，12 的约数是
1,2,3,4,6,12，因为余数为3要小于除数，这个数是4,6,12 ；
(法2)由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意
两数的差，也就是说它是任意两数差的公约数。

51 39 12，147 39 108，
(12,108) 12，所以这个数是4,6,12。

12. 答：我们知道18，33的最小公倍数为[18，33]=198，所以每198个数一次。

1〜198之间只有1，2，3，…，17, 198(余O)这18个数除以18及33所
得的余数相同，而999^198=5……9，所以共有5X18+9=99个这样的数。

13. 答：设这个三位数为s，它除以17和19的商分别为a和b，余数分别为
m和n，则s 17a m 19b n。

根据题意可知a m b n，所以
s a m s bn，即16a 18b，得8a 9b。

所以a是9的倍数，b是8的
倍数。

此时，由a m b n知n m a b a - a -a。

由于s为三位数，最
9 9
小为100，最大为999，所以100 17a m 999，而1 m 16，所以17a 1 17a m 999 , 100 17a m 17a 16，得到 5 a 58，而 a 是9 的倍数，所以a最小为9，最大为54。

当a 54时，n m la 6，而n 18，所以m 12，故此时s最大为
9
17 54 12 930 ;
当a 9时，n m -a 1，由于m 1，所以此时s最小为17 9 1 154。

9
所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154。

14. 答：ab ba能被7整除，即(10a b) (10b a) 9 ( a b)能被7整除。

所
以只能有a b 7，那么ab可能为92和81，验算可得当ab 92时，ba 29
满足题目要求，ab ba 92 29 2668
15. 答：所求班级数是除以118,67,33余数相同的数。

那么可知该数应该为
118 67 51和67 33 34的公约数，所求答案为17。

16. 答：因为13903 13511 392, 14589 13903 686，
由于13511，13903，14589要被同一个数除时，余数相同，那么，它们两
两之差必能被同一个数整除。

(392,686) 98，所以所求的最大整数是98。

17. 答：找规律。

用7除2，22，23，24，25，26，…的余数分别是2，4，1，2, 4，1，2，4，1，…,2的个数是3的倍数时，用7除的余数为1; 2 的个数是3的倍数多1时，用7除的余数为2; 2的个数是3的倍数多2 时，用7除的余数为4•因为2200323 667 2，所以22003除以7余4。

又两个数的积除以7的余数，与两个数分别除以7所得余数的积相同。

而2003除以7 余1 ,所以20032除以7余1。

故22003与20032的和除以7的余数是4 15。

18. 答：1995, 1998, 2000, 2001 , 2003 除以9 的余数依次是6, 0, 2,
3, 5。

因为252507 , 25360253679 ,
所以这样的数组共有下面4个：2000,2003 , 1998,2000,2003 ,
2000,2003,2001,1995 , 1998,2000,2003,2001,1995。

19. 答：(70 110 160) 50 290 , 50 3 16……2 ,除数应当是290的大于17 小于70的约数，只可能是29和58, 110 58 1……52 , 52 50 ,所以除数不是58。

70 29 2……12 , 110 29 3……23 , 160 29 5……15 , 12 23 15 50,所以
除数是29。

20. 答：n 能整除63 91 129 25 258。

因为25 3 8...1 ,所以n 是258
大于8的约数。

显然，n不能大于63。

符合条件的只有43。

21. 答：本题可以体现出加法余数定理的巧用。

计算101, 126, 173, 193
除以3的余数分别为2, 0, 2, 1。

那么任意两名运动员的比赛盘数只需要用2 , 0 , 2 , 1两两相加除以3即可。

显然126运动员打5盘是最多的。

22. 答：六名小学生共带钱133元。

133除以3余1,因为甲、乙、丙、
丁、戊的钱恰好能买3本，所以他们五人带的钱数是3的倍数，另一人带的钱除以3余1。

易知，这个钱数只能是37元，所以每本《成语大词典》的定价是(14 17 18 21 26) 3 32 (元)。

(15 16 18 19 20 31) (1 2) 119 3 39...2，剩下的一箱货物重量除以3应23. 答：两个顾客买的货物重量是3的倍数
当余2,只能是20千克。

24.答：因为2461 11 223...8，135 11 12...3，6047 11 549...8，根据同余定
理(三)，2461 135 6047 11的余数等于8 3 8 11的余数，而8 3 8 192，192 11 17...5，所以2461 135 6047 11 的余数为5。

25.答：先求出乘积再求余数，计算量较大。

可先分别计算出各因数除以
17的余数，再求余数之积除以17的余数。

478,296,351除以17的余数分别为2，7 和11，(2 7 11) 17 9……1。

26. 答：即考虑31997除以100的余数。

由于100 4 25，由于33 27除以25 余2,所以39除以25余8，310除以25余24，那么320除以25余1 ;又因为32除以4余1，则320除以4余1;即320 1能被4和25整除，而4与25互质，所以320 1能被100整除，即320除以100余1，由于1997 20 99 17，所以31997除以100的余数即等于317除以100的余数，而36 729除以100余29，35 2 43除以100余43，317 (36)2 35，所以3仃除以100的余数等于
29 29 43除以100的余数，而29 29 43 36163除以100余63，所以31997除以100余63,即31997的最后两位数为63。

27. 答：我们发现222222整除13，2000W余2，所以答案为22^13余9。

28. 答：法一：
由于143 3 mod7 (143 被7 除余3)，
所以14389 389 mod7 (14389被7除所得余数与389被7除所得余数相等)
而36729，729 1 mod7 (729 除以7 的余数为1)，
89 6 6 6 5 5 _ .—
所以 3 1 4 2 ^4 43 3 3 5 mod 7。

14个
故14389除以7的余数为5.
法二：
计算389被7除所得的余数可以用找规律的方法，规律如下表:
于是余数以6为周期变化。

所以38935 5 mod7
29. 答：由于
12 22 32 L 20012 20022 2002 2003 4005 1001 2003 1335，而1001 是7 6
的倍数，所以这个乘积也是7的倍数，故12 22 32 L 20012 20022除以7 的余数是0；30. 答：31被13除所得的余数为5,当n取1，2, 3，L时5n被13除所得余数分别是5, 12，8, 1, 5，12, 8，1L以4为周期循环出现，所以530被13除的余数
与52被13除的余数相同，余12，则3130除以13的余数为12 ；30被13除所得
的余数是4，当n取1 , 2, 3, L时，4n被13除所得的余数分别是4, 3, 12, 9, 10, 1, 4, 3, 12, 9, 10, L L以6为周期循环出现，所以431被13除所得的余数等于41被13除所得的余数，即4,故3031 除以13的余数为4;所以31303031被13除所得的余数是12 4 13 3。

根据这样的递推规律求出余数的变化规律：
20082008 除以13 余6 3 6 13 11, 200820082008 除以13 余
11 3 6 39 0，即200820082008 是13 的倍数。

31 答：2008除以13余6, 10000除以13余3，注意到
20082008 2008 10000 2008 ；
200820082008 20082008 10000 2008；2008200820082008 200820082008 10000 2008 ；
而2008除以3余1，所以a 20484008L 2008除以13的余数与2008除以13的
2008 个2008
余数相同，为6.
32. 答：找规律：7 41 □ 7，77 41 □36，777 41 □ 39，
7777 41 □28 ，
77777 41 □0，……，所以77777 是41 的倍数，而1996 5 399L 1，所
以彳472 437以分成399段77777和1个7组成，那么它除以41的余数为1996 个7
7。

33. 答：求结果除以10的余数即求其个位数字。

从1到2005这2005个数的个位
数字是10个一循环的，而对一个数的幕方的个位数，我们知道它总
是4个一循环的，因此把所有加数的个位数按每20个（20是4和10的最小
公倍数）一组，则不同组中对应的个位数字应该是一样的。

首先计算11 22 33 44 L L 2020的个位数字，
为14765636901636567490 94 的个位数字，
为4，
由于2005个加数共可分成100组另5个数，100组的个位数字和是
4 100 400 的个位数即0,另外
5 个数为20012001、20022002、20032。

3、
20042004、20052005，它们和的个位数字是1 4 7 6 5 23的个位数3，所以原式的个位数字是3,即除以10的余数是3。

34.答：如果p 5，则4p2 1 101 , 6p2 1 151都是质数，所以5符合题
意。

如果P不等于5,那么P除以5的余数为1、2、3或者4, p2除以5的余数即等于12、22、32或者42除以5的余数，即1、4、9或者16除以5的余数，只有1和4两种情况。

如果p2除以5的余数为1,那么4p2 1除以5 的余数等于4 1 1 5除以5的余数，为0，即此时4p2 1被5整除，而4p2 1大于5，所以此时4p2 1不是质数；如果p2除以5的余数为4，同理可知6p2 1不是质数，所以P不等于5，4p2 1与6p2 1至少有一个不是质数，所以只有p 5满足条件。

35.答：因为两个数的乘积除以11的余数，等于两个数分别除以11的余数之积。

因此原题中的89〜98可以改换为1〜10，这样上下两数的乘积除以11 余3就容易计算了。

我们得到下面的结果：
进而得到本题的答案是:
36.答：由于234235286 234235286 8(mod9)，
abc bca cab (a b c)3(mod9)，于是(a b c)3 8(mod9)，
从而(用a b c 0,1,2,...,8(mod9)代入上式检验)abc 2,5,8(mod9)…⑴，对a进行讨论: 如果a 9，那么b c 2,5,8(mod9)…(2),又c a b的个位数字是6,所以
b c的个位数字为4, b c可能为4 1、7 2、8 3、6 4，其中只有
(b,c) (4,1),(8,3)符合(2)，经检验只有983 839 398 328245326 符合题意。

如果a 8，那么b c 3,6,0(mod9)…⑶，又b c的个位数字为2或7,贝U
b c 可能为 2 1、4 3、6 2、7 6、7 1，其中只有(b,c) (2,1)符合(3)，经检验，abc 821不合题意。

如果a 7，那么b c 4,7,1(mod9)…⑷，则b c可能为4 2、6 3，其中没
有符合⑷的(b,c)。

如果a 6，那么b 5， c 4，
abc bca cab 700 600 500 210000000 222334586，因此这时abc不可能符合题意。

综上所述，abc 983是本题唯一的解。

37. 答：根据题意可知，这个自然数去除290, 233，195时，得到相同的余
数(都为a )。

既然余数相同，我们可以利用余数定理，可知其中任意两数
的差除以这个数肯定余0。

那么这个自然数是290 233 57的约数，又是
233 195 38的约数，因此就是57和38的公约数，因为57和38的公约数只有19和1，而这个数大于1,所以这个自然数是19。

38. 答：这个自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除90 164 254后所得的余数，所以254和220除以这个自然数后所得的余数相同，因此这个自然数是254 220 34的约数，又大于10,这个自然数只能是17或者是34•如果这个数是34,那么它去除90、164、220后所得的余数分别是22、28、16,不符合题目条件；如果这个数是17,那么他去除90、164、220后所得的余数分别是5、11、16,符合题目条件，所以这个自然数是17。

39. 答：根据题意，这三个数除以A都有余数，则可以用带余除法的形式将
它们表示出来：
603 A K1L L r1939 A K2L L r2393 A K3 L L r3
由于r i 2D，D 2D，要消去余数A, s E ,我们只能先把余数处理成相同的，再两数相减。

这样我们先把第二个式子乘以2,使得被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4。

于是我们可以得到下面的式子：603 A K i LLr i 939 2 A 2&L L 2D
393 4 A 2K3L L 4D这样余数就处理成相同的。

最后两两相减消去余数，意味着能被A整除。

939 2 603 1275，393 4 603 969，1275,969 51 3 17。

51的约数有1、3、17、51，其中1、3显然不满足，检验17和51可知17 满足，所以A等于17。

40. 答：将这些数转化成被该自然数除后余数为2a的数：429 5 2 848，
791、500 2 1000，这样这些数被这个自然数除所得的余数都是2a，故同余.
将这三个数相减，得到848 791 57、1000 848 152，所求的自然数一定是
57和152的公约数，而57,152 19，所以这个自然数是19的约数，显然1是不符合条件的，那么只能是19.经过验证，当这个自然数是19时，除429、791、500所得的余数分别为11、12、6，a 6时成立，所以这个自然数是
19，a 6.
41. 答：斐波那契数列的构成规则是从第三个数起每一个数都等于它前面两
个数的和，由此可以根据余数定理将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列:
1、1、
2、0、2、2、1、0、1、1、2、0
第九项和第十项连续两个是1,与第一项和第二项的值相同且位置连续，所以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期循环出现，由于2008除以8 的余数为0,所以第2008项被3除所得的余数为第8项被3除所得的余数，为0.
42. 答：由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数。

所以这串数除以5的余数分别为：1，1, 2，3, 0，3, 3，1, 4，0, 4,
4, 3, 2, 0, 2, 2, 4, 1, 0, 1, 1 , 2, 3, 0,……可以发现这串余数
中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数。

由于2009 5 401L 4，所以前2009个数中，有401个是5的倍数。

43. 答：除以3、6和9的余数分别不超过2, 5, 8，所以这三个余数的和永远不超过2 5 8 15,
既然它们的和等于15，所以这三个余数分别就是2, 5, &所以该数加1 后能被3, 6, 9整除，而[3,6,9] 18，设该数为a，则a 18m 1，即 a 18(m 1) 17 ( m为非零自然数)，所以它除以18的余数只能为17。

44. 答：从任意三人岁数之和是3的倍数，100除以3余1,就知四个岁数都是3k 1型的数，又是质数。

只有7, 13, 19, 31, 37, 43，就容易看出：父43岁，母37岁，兄13岁，妹7岁。

45. 答：设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1,然后沿逆时
针方向顺次编号为2, 3, 4,…，B孔的编号就是圆圈上的孔数。

我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上？很容易看出应在1 , 4,
7, 10，…上，也就是说，小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1。

按题
意，小明最后跳到B孔，因此总孔数是3的倍数加1。

同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加
1 ;而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味着总孔数是7的倍数。

如果将孔数减1,那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数。

这个15的倍数加上1就等于孔数，设孔数为a，则a 15m 1 （m为非零自然数）而且a能被7整除。

注意15被7除余1，所以15 6被7除余6，15的6倍加1正好被7整除。

我们还可以看出，15的其他（小于的7）倍数加1都不能被7整除，而15 7 105已经大于100。

7以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是15 6 1
91。

46. 答：本题第一步是要求出第1997个数字是什么，再对数字求和。

1〜9共有9个数字，10〜99共有90个两位数，共有数字：90 2 180 （个）,
100〜999共900个三位数，共有数字：900 3 2700 （个），所以数连续写，不会写到999,从100开始是3位数，每三个数字表示一个数，
（1997 9 180）3 602……2，即有602个三位数，第603个三位数只写了它的百位和十位。

从100开始的第602个三位数是701，第603个三位数是9，其中2未写出来。

因为连续9个自然数之和能被9整除，所以排列起来的9个自然数也能被9整除，702个数能分成
的组数是：702 9 78 （组），依次排列后，它仍然能被9整除，但702中2 未写出来，所以余数为9-2 7。

47. 答：假设有两个数a、b，（1 b a n ），它们的平方a2，b2被2n 1除余数相同。

那么，由
同余定理得a2 b2 0(mod(2n 1))，即(a b)(a b) 0(mod(2n 1))，由于2n 1 是
质数，所以 a b 0(mod(2 n 1))或 a b 0(mod(2 n 1))，由于 a b , a b 均小于
2n 1且大于0,可知，a b与2n 1互质，a b也与2n 1互质，即a b ,
a b都不能被2n 1整除，产生矛盾，所以假设不成立，原题得证。

48.答：通过逐次计算，可以求出3n被11除的余数，
依次为：31为3，32为9，33为5，34为4，35为1，…，
因而3n被11除的余数5个构成一个周期：3，9，5，4，1，3，9，5，4, 1，……；类似地，
可以求出7n被11除的余数10个构成一个周期：7，5, 2，3，10，4，6,
9, 8, 1 , ......... ；
于是3n 7n 4被11除的余数也是10个构成一个周期：3, 7, 0, 0, 4,
0, 8, 7, 5, 6, .......... ；
这就表明，每一个周期中，只有第3、4、6个这三个数满足题意，
即n 3,4,6,13,14,16,……,93,94,96时3n 7n 4 能被11 整除，所以，
所有满足条件的自然数n的和为：
3 4 6 13 14 16 ... 93 94 96 13 43 ... 283 1480。

49.答：10 2 5，由于a2005与a1949的奇偶性相同，所以2 (a2005a1949)。

a2005 a1949 a1949 (a56 1)，如果 a 能被5 整除，那么5a1949 (a56 1);如果 a 不能被5整除，那么a被5除的余数为1、2、3或者4, a4被5除的余数为14、
24、34、44被5除的余数，即为1、16、81、256被5除的余数，而这四个数除以5均余1,所以不管a为多少，a4被5除的余数为1，而a56 (a4)14, 即14个a4相乘，所以a56除以5均余1,则a56 1能被5整除，有
- 1949 / 56 八仃匕］厂/ 2005 1949、
5 a (a 1)。

所以 5 (a a ) 由于2与5互质，所以10(a2005a1949)。

50. 答：2004被7除余数为2,被11除余数也为2,所以2n被7除余数为2，被11除余数为3。

由于212被7除余2,而23 8被7除余1，所以n除以3的余数为1;
由于28 256被11除余3, 210 1024被11除余1 ,所以n除以10的余数为
8。

可见n 2是3和10的公倍数，最小为3,10 30 ,所以n的最小值为28。

51. 答：设三个连续自然数中最小的一个为n,则其余两个自然数分别为
n 1 , n 2。

依题意可知：15|n , 171 n 1 , 19| n 2，根据整除的性质对这三个算式进行变换：
15|n 15|2n 15| 2n 15
17| n 1 17 | 2n 2 17| 2n 15 [15,17,19]| 2n 15
19| n 2 19| 2n 4 19| 2n 15
从上面可以发现2n 15应为15、17、19的公倍数。

由于[15,17,19] 4845，所以2n 15 4845 2k 1 (因为2n 15是奇数)，可得
n 4845 k 2415。

当k 1时n 2430 , n 1 2431 , n 2 2432，所以其中的一组自然数为2430、2431、2432。

52. 答：被13除的同余序列当中，如余1的同余序列，1、14、27、40、
53. 66……，其中只要取到两个相邻的，这两个数的差为13;如果没有两
个相邻的数，则没有两个数的差为13，不同的同余序列当中不可能有两个
数的差为13,对于任意一条长度为x的序列，都最多能取x -个数，使
2
得取出的数中没有两个数的差为13,即从第1个数起隔1个取1个。

基于以上，n个数分成13个序列，每条序列的长度为—或—1，两个
13 13
长度差为1的序列，要使取出的数中没有两个数的差为13，能够被取得的
数的个数之差也不会超过1,所以为使57个数中任意两个数的差都不等于13，则这57个数被分配在13条序列中，在每条序列被分配的数的个数差不会超过1,那么13个序列有8个序列分配了4个数，5个序列分配了 5 个数，则这13个序列中8个长度为8，5个长度为9,那么当n最小为8 8 9 5 109时，可以取出57个数，其中任两个数的差不为13,所以要使任取57个数必有两个数的差为13,那么n的最大值为108。

53. 答：取出的N个不同的数中，任意三个的和能被15整除，则其中任意两个数除以15的余数相同，且这个余数的3倍能被15整除，所以这个余数只能是0, 5或者10。

在1: 2007中，除以15的余数为0的有15 1 ,
15 2 ,…，15 133，共有133个；除以15的余数为5的有15 0 5 ,
15 1 5，…，15 133 5，共有134个；除以15的余数为10的有
15 0 10 , 15 1 10 ,…，15 133 10,共有134 个。

所以N 最大为134。

54. 答：由于99 9 11，可以分别求这个数除以9和11的余数，进而求出它除以99的余数。

实际上求得这个数除以9和11的余数均为3，所以这个数减去3后是9和11的倍数，那么也是99的倍数，所以这个数除以99的余数为3。

下面介绍另一种解法。

由于100a 99a a，所以100a除以99的余数等于a除以99的余数。

同样，
10000a , 1000000a…… 等数除以99的余数等于a除以99的余数。

可知，一
个自然数a，如果在它后面加上偶数个0,那么这个数除以99的余数等于a 除以99的余数。

根据这一点，可以把123L 19992000分成若干个后面带有偶数个0的数之和。

由于123L 19992000的位数是奇数，那么对于组成123L 19992000的一位数1,
2 , 3,……,9，可以分成100L 00 , 2300L 00 , 4500L 00 , 6700L 00 , 8900L 00 ;
对于其中的两位数10, 11, 12, ……,98, 99,可以分成1000L 00 ,
1100L 00 , 1200L 00 , ……,9800L 00 , 9900L 00 ;
对于其中的三位数100, 101 , 102 , 103 ,……,998 , 999 ,两两一组，可以分成10010100L 00 , 10210300L 00 , 10410500L 00 , ....... , 99899900L 00 ；对于其中的四位数1000 , 1001 ,……,1999 , 2000 ,可以分成100000L 00 , 100100L 00 , 100200L 00 , ……,19990000 , 2000。

那么上面分成的所有数中，虽然每个数后面的0的个数互不相同，但都是偶数个，且它们的和恰好为123L 19992000 ,那么123L 19992000除以99的余数就等于分成的这些数除以99的余数的和。

由于这些数除以99的余数分别为1 , 23 , 45 , 67 , 89; 10 , 11 ,
12 ,……,98 , 99; 100101 , 102103 , 104105 ,……,998999; 1000 , 1001 ,……,1999 , 2000 ,而其中100101 , 102103 , 104105 ,……, 998999是公差为2002的等差数列,共450项,可知所有这些余数的和为：
1 23 45 67 89 10 11 1
2 L 99 100101 10210
3 L 998999
1000 1001 L 2000
225 10 99 90 2 100101 998999 450 2 1000 2000 1001 2
225 4905 247297500 1501500 248804130 , 而248804130除以99的
余数等于2 48 80 41 30 201除以99的余数，为
3。

所以123L 19992000除以99的余数为3。

55. 答：以19992000这个八位数为例，它被9除的余数等于
1 9 9 9
2 0 0 0被9除的余数，但是由于1999与1 9 9 9被9除
的余数相同，2000与2 0 0 0被9除的余数相同，所以19992000就与1999 2000。