误差理论2
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4） 余切函数形式为: 函数随机误差公式为：
cot ϕ = f (x1, x2,L, xn )
∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 σ xn σ x2 +L+ σϕ = sin ϕ σ x1 + ∂x ∂x ∂x 1 2 n
处的误差传播系数 和 ∆y 的量纲或单位相同，则 ∂f ∂xi起到误差放大 或缩小的作用
∆xi
和 ∆y 的量纲或单位不相同，则 ∂f ∂xi起到误差单位 换算的作用
∆xi
第一节
几种简单函数的系统误差 1、线性函数
函数误差
y = a1x1 + a2 x2 +... + an xn
系统误差公式 ∆y = a1∆x1 + a2∆x2 +... + an∆xn
∆y = ∆x1 +∆x2 +... +∆xn 当 ai =1 当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各 个测量值系统误差之和
2、三角函数形式
sinϕ = f ( x1, x2 ,..., xn )
cosϕ = f ( x1, x2,..., xn )
1 n ∂f ∆ϕ = ∑∂x ∆xi cosϕ i=1 i
xi 与 xj 虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不
第一节
函数误差
可判断 ρij = +1 或 ρij = −1 的情形 断定 xi 与 xj 两分量间近似呈现正的线性关系或负的 线性关系 当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或 减小，反之亦然
xi 与 xj 属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺， 则各米分量间完全正相关
解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成 的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间 的相关性影响 随机误差的合成形式包括： 标准差合成 极限误差合成
第二节
一、标准差合成
随机误差的合成
(aiσi )2 + 2 ∑ ρij ai ajσiσ j ∑
i=1 1≤i< j q q
合 ∂f ∂f 2 2 σ y = σ x1 + σ x2 +L+ σ xn2 ∂x1 ∂x2 ∂xn
2
或
∂f ∂f ∂f 2 2 σ y = σx1 + σx2 +L+ σxn2 ∂x1 ∂x2 ∂xn
∂f l 500 = = =5 ∂l 2h 2×50
直径的系统误差: ∆D = 故修正后的测量结果:
∂f ∂f ∆l + ∆h = 7.4mm ∂l ∂h
D = D0 −∆D =1300 − 7.4 =1292.6mm
第一节
二、函数随机误差计算
数学模型
函数误差
函数的一般形式 y = f (x1, x2 ,..., xn ) 变量中只有随机误差 即： y +δ y = f (x1 +δ x1, x2 +δ x2 ,L, xn +δ xn ) 泰勒展开，并取其一阶项作为近似值。 可得：
第一节 函数误差 三角形式的函数随机误差公式 三角函数标准差计算
1） 正弦函数形式为: 函数随机误差公式为：
1 σϕ = cosϕ ∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 ∂x σ x1 + ∂x σ x2 +L+ ∂x σ xn 1 2 n
q个单项随机误差，标准差 误差传播系数 a1, a2 , L, aq
σ1, σ2 , L,σq
若各个误差互不相关，即相关系数 ρij = 0 则合成标准差 σ =
(aiσi )2 ∑
i=1
q
第二节
随机误差的合成
用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论 各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差， 均可计算出总的标准差 当误差传播系数 ai =1 、且各相关系数均可视为0的情 形
σ=
σi2 ∑
i=1
q
视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或者 说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分 量
2
2
2
令
∂f = ai ∂xi
则
σ y = a12σx12 + a22σx22 +L+ an2σxn2
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用 极限误差代替，可得函数的极限误差公式
δy = a δ + a δ +L+ a δ
2 2 1 x1 2 2 2 x2
2 2 n xn
δxi第i个直接测得量 xi的极限误差
σxi 第i个直接测得量 xi的标准差 ρij 第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
Dij = ρijσxiσxj 第i个测量值和第j个测量值之间的协方差
∂f ∂xi
第i个直接测得量 xi对间接量y在该测量 (x1, x2 ,K, xn )
点处的误差传播系数
第一节
2 2
函数误差
2
相互独立的函数标准差计算 若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项Dij = ρij = 0
∂f ∂f ∂f y +δ y = f (x1, x2 ,..., xn ) + δ x1 + δ x2 +L+ δ xn ∂x1 ∂x2 ∂xn
得到 δ y = ∂f δ x + ∂f δ x +L+ ∂f δ x 1 2 n ∂x1 ∂x2 ∂xn
第一节
函数标准差计算
2 2
函数误差
2
n ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f 2 2 2 2 σ y = σx1 + σx2 +L+ σxn + 2 ∑ Dij 1≤i< j ∂x ∂xj i ∂x1 ∂x2 ∂xn 2 2 2 n 或 σ 2 = ∂f σ 2 + ∂f σ 2 +L+ ∂f σ 2 + 2 ∂f ∂f ρ σ σ xn x1 x2 ∑j ∂x ∂x ij xi xj y 1≤i< ∂x1 ∂x2 i j ∂xn
σD = 0.13mm
第一节
2、 相关系数估计
函数误差
相关系数对函数误差的影响 函数随机误差公式
n ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f 2 2 2 σ y = σx1 + σx2 +L+ σxn + 2 ∑ ρσ σ ∂x ∂x ij xi xj 1≤i< j ∂x1 ∂x2 i j ∂xn 2 2 2 2
ρij反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总
误差的影响 ρij = 0 时 σ y = a12σx12 + a22σx22 +L+ an2σxn2 当相关系数 当相关系数 ρij = +1 时 σ y = a1σx1 + a2σx2 +L+ anσxn 函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的 传播关系
σl = 0.01mm 已知：σh = 0.005mm 【解】 σ 2 = (∂f )2σ 2 + (∂f )2σ 2 D l h ∂l ∂h = 52 ×0.012 + 242 ×0.0052 =169×10−4 mm
有
σD = 0.13mm
修正后的测量结果
D = D0 −∆D =1292.6mm
(
) ，按如下
ξ
k
k
xi 、 xj 分别为 xik 、xjk 的算术平均值
第一节
（4） 理论计算法
函数误差
任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过 程中各个环节一系列误差因素作用的结果。误差合成就是 在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确地表述 这些误差的综合影响。
第二节
随机误差的合成
2
第一节
函数随机误差公式为：
函数误差
3） 正切函数形式为: tanϕ = f (x1, x2,L, xn )
∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 σϕ = cos ϕ σ x1 + ∂x ∂x σ x2 +L+ ∂x σ xn 1 2 n
n 1 ∂f ∆ϕ = ∑∂x ∆xi −sinϕ i=1 i
第一节
函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大 工件直径。如图所示，车间工人用 h 一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦 l 长l = 500mm。已知，弓高的系统误 D 2 差 ∆h = -0.1mm , 玄长的系统误 差 ∆ l = -1mm 。试问车间工人测 量该工件直径的系统误差，并求修 正后的测量结果。 l2 【解】 建立间接测量大工件直径的函数模型 D = + h 4h 不考虑测量值的系统误差，可求出在 h = 50mm l = 500mm
处的直径测量值
l2 D0 = + h =1300mm 4h
第一节
函数误差
计算结果： 计算结果： 车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
∆h = 50 −50.1= −0.1mm ∆l = 500 − 499 =1mm
2 2 误差传递系数为: ∂f = − l −1 = − 500 −1 = −24 2 ∂h 4h 4×502
2
2
2
2
第一节
函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示， 车间工人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长l = 500mm 已知，弓高的系统误差 ∆h = -0.1mm , 玄长的系统误差 ∆ l = -1mm 。试问车间工人测量该工件直径的系统误差， 并求修正后的测量结果。
y 间接测量值
求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
∂f ∂f ∂f dy = dx1 + dx2 +L+ dxn ∂x1 ∂x2 ∂xn
第一节
函数误差
由 y 的全微分，函数系统误差 ∆y 的计算公式
∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x2 +... + ∆xn ∂x1 ∂x2 ∂xn
∂f ∂xi (i =1,2,L, n) 为各个输入量在该测量点 (x1, x2 ,K, xn )
第一节
相关系数的确定 1、直接判断法 可判断 ρij = 0 的情形
函数误差
断定 xi 与 xj 两分量之间没有相互依赖关系的影响 当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变 化，反之亦然 引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量 计的弱相关
xi 与 xj 属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作
第3章 误差的合成与分配
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基 本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量 方案的确定等问题 。通过本章的学习，读者 应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以 及误差的合成和分配。
教学重点和难点
函数系统误差 函数随机误差 函数误差分布的模拟计算 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合 成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
2 2 2
sin ϕ = f (x1, x2,L, xn )
2） 余弦函数形式为: 函数随机误差公式为：
1 σϕ = sin ϕ
cosϕ = f (x1, x2,L, xn )
2 2
∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 ∂x σ x1 + ∂x σ x2 +L+ ∂x σ xn 1 2 n
第一节
函数误差
第一节
间接测量
函数误差
通过直接测得的量与被测量之间的函数关 系计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量 及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为 函数误差
第一节
一、函数系统误差计算
间接测量的数学模型
函数误差
y = f (x1, x2 ,..., xn )
x1, x2 ,K, xn 为与被测量有函数关系的各个直接测量值
2、试样观察法和简略计算法 （1） 观察法
第一节
函数误差
n2 n3 0 n1 n4
（2） 简单计算法 η n1 + n3 ρ ≈ −cos π ∑n 其中， n = n + n2 + n3 + n4 1
∑
（3） 直接计算法 根据 (xi , xj )的多组测量的对应值 xik , xjk 统计公式计算相关系数 ∑(xik − xi )(xjk − xj ) k ρ(xi , xj ) = (xik − xi )2 ∑(xjk − xj )2 ∑
2
2
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4） 余切函数形式为: 函数随机误差公式为：
cot ϕ = f (x1, x2,L, xn )
∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 σ xn σ x2 +L+ σϕ = sin ϕ σ x1 + ∂x ∂x ∂x 1 2 n
处的误差传播系数 和 ∆y 的量纲或单位相同，则 ∂f ∂xi起到误差放大 或缩小的作用
∆xi
和 ∆y 的量纲或单位不相同，则 ∂f ∂xi起到误差单位 换算的作用
∆xi
第一节
几种简单函数的系统误差 1、线性函数
函数误差
y = a1x1 + a2 x2 +... + an xn
系统误差公式 ∆y = a1∆x1 + a2∆x2 +... + an∆xn
∆y = ∆x1 +∆x2 +... +∆xn 当 ai =1 当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各 个测量值系统误差之和
2、三角函数形式
sinϕ = f ( x1, x2 ,..., xn )
cosϕ = f ( x1, x2,..., xn )
1 n ∂f ∆ϕ = ∑∂x ∆xi cosϕ i=1 i
xi 与 xj 虽相互有影响，但其影响甚微，视为可忽略不
第一节
函数误差
可判断 ρij = +1 或 ρij = −1 的情形 断定 xi 与 xj 两分量间近似呈现正的线性关系或负的 线性关系 当一个分量依次增大时，引起另一个分量依次增大或 减小，反之亦然
xi 与 xj 属于同一体系的分量，如用1m基准尺测2m尺， 则各米分量间完全正相关
解决随机误差的合成问题一般基于标准差方和根合成 的方法，其中还要考虑到误差传播系数以及各个误差之间 的相关性影响 随机误差的合成形式包括： 标准差合成 极限误差合成
第二节
一、标准差合成
随机误差的合成
(aiσi )2 + 2 ∑ ρij ai ajσiσ j ∑
i=1 1≤i< j q q
合 ∂f ∂f 2 2 σ y = σ x1 + σ x2 +L+ σ xn2 ∂x1 ∂x2 ∂xn
2
或
∂f ∂f ∂f 2 2 σ y = σx1 + σx2 +L+ σxn2 ∂x1 ∂x2 ∂xn
∂f l 500 = = =5 ∂l 2h 2×50
直径的系统误差: ∆D = 故修正后的测量结果:
∂f ∂f ∆l + ∆h = 7.4mm ∂l ∂h
D = D0 −∆D =1300 − 7.4 =1292.6mm
第一节
二、函数随机误差计算
数学模型
函数误差
函数的一般形式 y = f (x1, x2 ,..., xn ) 变量中只有随机误差 即： y +δ y = f (x1 +δ x1, x2 +δ x2 ,L, xn +δ xn ) 泰勒展开，并取其一阶项作为近似值。 可得：
第一节 函数误差 三角形式的函数随机误差公式 三角函数标准差计算
1） 正弦函数形式为: 函数随机误差公式为：
1 σϕ = cosϕ ∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 ∂x σ x1 + ∂x σ x2 +L+ ∂x σ xn 1 2 n
q个单项随机误差，标准差 误差传播系数 a1, a2 , L, aq
σ1, σ2 , L,σq
若各个误差互不相关，即相关系数 ρij = 0 则合成标准差 σ =
(aiσi )2 ∑
i=1
q
第二节
随机误差的合成
用标准差合成有明显的优点，不仅简单方便，而且无论 各单项随机误差的概率分布如何，只要给出各个标准差， 均可计算出总的标准差 当误差传播系数 ai =1 、且各相关系数均可视为0的情 形
σ=
σi2 ∑
i=1
q
视各个误差分量的量纲与总误差量的量纲都一致，或者 说各个误差分量已经折算为影响函数误差相同量纲的分 量
2
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令
∂f = ai ∂xi
则
σ y = a12σx12 + a22σx22 +L+ an2σxn2
当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用 极限误差代替，可得函数的极限误差公式
δy = a δ + a δ +L+ a δ
2 2 1 x1 2 2 2 x2
2 2 n xn
δxi第i个直接测得量 xi的极限误差
σxi 第i个直接测得量 xi的标准差 ρij 第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数
Dij = ρijσxiσxj 第i个测量值和第j个测量值之间的协方差
∂f ∂xi
第i个直接测得量 xi对间接量y在该测量 (x1, x2 ,K, xn )
点处的误差传播系数
第一节
2 2
函数误差
2
相互独立的函数标准差计算 若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项Dij = ρij = 0
∂f ∂f ∂f y +δ y = f (x1, x2 ,..., xn ) + δ x1 + δ x2 +L+ δ xn ∂x1 ∂x2 ∂xn
得到 δ y = ∂f δ x + ∂f δ x +L+ ∂f δ x 1 2 n ∂x1 ∂x2 ∂xn
第一节
函数标准差计算
2 2
函数误差
2
n ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f 2 2 2 2 σ y = σx1 + σx2 +L+ σxn + 2 ∑ Dij 1≤i< j ∂x ∂xj i ∂x1 ∂x2 ∂xn 2 2 2 n 或 σ 2 = ∂f σ 2 + ∂f σ 2 +L+ ∂f σ 2 + 2 ∂f ∂f ρ σ σ xn x1 x2 ∑j ∂x ∂x ij xi xj y 1≤i< ∂x1 ∂x2 i j ∂xn
σD = 0.13mm
第一节
2、 相关系数估计
函数误差
相关系数对函数误差的影响 函数随机误差公式
n ∂f ∂f ∂f ∂f ∂f 2 2 2 σ y = σx1 + σx2 +L+ σxn + 2 ∑ ρσ σ ∂x ∂x ij xi xj 1≤i< j ∂x1 ∂x2 i j ∂xn 2 2 2 2
ρij反映了各随机误差分量相互间的线性关联对函数总
误差的影响 ρij = 0 时 σ y = a12σx12 + a22σx22 +L+ an2σxn2 当相关系数 当相关系数 ρij = +1 时 σ y = a1σx1 + a2σx2 +L+ anσxn 函数标准差与各随机误差分量标准差之间具有线性的 传播关系
σl = 0.01mm 已知：σh = 0.005mm 【解】 σ 2 = (∂f )2σ 2 + (∂f )2σ 2 D l h ∂l ∂h = 52 ×0.012 + 242 ×0.0052 =169×10−4 mm
有
σD = 0.13mm
修正后的测量结果
D = D0 −∆D =1292.6mm
(
) ，按如下
ξ
k
k
xi 、 xj 分别为 xik 、xjk 的算术平均值
第一节
（4） 理论计算法
函数误差
任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过 程中各个环节一系列误差因素作用的结果。误差合成就是 在正确地分析和综合这些误差因素的基础上，正确地表述 这些误差的综合影响。
第二节
随机误差的合成
2
第一节
函数随机误差公式为：
函数误差
3） 正切函数形式为: tanϕ = f (x1, x2,L, xn )
∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 σϕ = cos ϕ σ x1 + ∂x ∂x σ x2 +L+ ∂x σ xn 1 2 n
n 1 ∂f ∆ϕ = ∑∂x ∆xi −sinϕ i=1 i
第一节
函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大 工件直径。如图所示，车间工人用 h 一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦 l 长l = 500mm。已知，弓高的系统误 D 2 差 ∆h = -0.1mm , 玄长的系统误 差 ∆ l = -1mm 。试问车间工人测 量该工件直径的系统误差，并求修 正后的测量结果。 l2 【解】 建立间接测量大工件直径的函数模型 D = + h 4h 不考虑测量值的系统误差，可求出在 h = 50mm l = 500mm
处的直径测量值
l2 D0 = + h =1300mm 4h
第一节
函数误差
计算结果： 计算结果： 车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
∆h = 50 −50.1= −0.1mm ∆l = 500 − 499 =1mm
2 2 误差传递系数为: ∂f = − l −1 = − 500 −1 = −24 2 ∂h 4h 4×502
2
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第一节
函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大工件直径。如图所示， 车间工人用一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦长l = 500mm 已知，弓高的系统误差 ∆h = -0.1mm , 玄长的系统误差 ∆ l = -1mm 。试问车间工人测量该工件直径的系统误差， 并求修正后的测量结果。
y 间接测量值
求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
∂f ∂f ∂f dy = dx1 + dx2 +L+ dxn ∂x1 ∂x2 ∂xn
第一节
函数误差
由 y 的全微分，函数系统误差 ∆y 的计算公式
∂f ∂f ∂f ∆y = ∆x1 + ∆x2 +... + ∆xn ∂x1 ∂x2 ∂xn
∂f ∂xi (i =1,2,L, n) 为各个输入量在该测量点 (x1, x2 ,K, xn )
第一节
相关系数的确定 1、直接判断法 可判断 ρij = 0 的情形
函数误差
断定 xi 与 xj 两分量之间没有相互依赖关系的影响 当一个分量依次增大时，引起另一个分量呈正负交替变 化，反之亦然 引起的误差分量与环境湿度引起的误差分量 计的弱相关
xi 与 xj 属于完全不相干的两类体系分量，如人员操作
第3章 误差的合成与分配
教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分配的基 本方法，并讨论了微小误差的取舍、最佳测量 方案的确定等问题 。通过本章的学习，读者 应掌握函数系统误差和函数随机误差的计算以 及误差的合成和分配。
教学重点和难点
函数系统误差 函数随机误差 函数误差分布的模拟计算 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合 成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
2 2 2
sin ϕ = f (x1, x2,L, xn )
2） 余弦函数形式为: 函数随机误差公式为：
1 σϕ = sin ϕ
cosϕ = f (x1, x2,L, xn )
2 2
∂f 2 ∂f 2 ∂f 2 ∂x σ x1 + ∂x σ x2 +L+ ∂x σ xn 1 2 n
第一节
函数误差
第一节
间接测量
函数误差
通过直接测得的量与被测量之间的函数关 系计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量 及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为 函数误差
第一节
一、函数系统误差计算
间接测量的数学模型
函数误差
y = f (x1, x2 ,..., xn )
x1, x2 ,K, xn 为与被测量有函数关系的各个直接测量值
2、试样观察法和简略计算法 （1） 观察法
第一节
函数误差
n2 n3 0 n1 n4
（2） 简单计算法 η n1 + n3 ρ ≈ −cos π ∑n 其中， n = n + n2 + n3 + n4 1
∑
（3） 直接计算法 根据 (xi , xj )的多组测量的对应值 xik , xjk 统计公式计算相关系数 ∑(xik − xi )(xjk − xj ) k ρ(xi , xj ) = (xik − xi )2 ∑(xjk − xj )2 ∑