2020届云南省民族中学高三适应性考试数学(理)试题Word版含答案

2020届云南省民族中学高三适应性考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合{|
0}2
x
M x x =≤-，2{|3,}N y y x x R ==-+∈，则M N =I （ ） A ．(0,2) B ．(2,3) C ．[0,2) D ．(0,3] 2.在复平面内，设1z i =+（i 是虚数单位），则2
||z z
-=（ ） A ． 0 B ． 2 C ．2 D ．4
3.已知23,0
()(),0
x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩为奇函数，则((1))f g -=（ ）
A ． -28
B ． -8
C ． -4
D ． 4
4.若ABC ∆的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足2
2
()4a b c +-=，且060C =，则ab 的值为（ ） A ．
43 B ．843- C. 1 D ．23
5.如图1的程序框图中，123,,x x x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当16x =，29x =，8.5p =时，3x 等于（ ） A ． 7 B ． 8 C. 10 D ．11
6.如图2，网格纸上正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A．13
3
B
．
14
3
C.
15
3
D．
16
3
7.已知不等式组
1
1
x y
x y
y
+≤
⎧
⎪
-≥-
⎨
⎪≥
⎩
，表示的平面区域为M，若直线3
y kx k
=-与平面区域M有公共点，则k的取值范围是（）
A．
1
[0,]
3
B．
1
[,0]
3
- C.
1
(,]
3
-∞ D．
1
(,)
3
-∞
8.已知非零向量,a b
r r
满足||4||
b a
=
r r
，且(2)
a a b
⊥+
r r r
，则a
r
与b
r
的夹角为（）
A．
3
π
B．
2
π
C.
5
6
π
D．
2
3
π
9.在数列{}
n
a中，
1
1
a=，
1
21
n n
a a
+
=+，则
10
a=（）
A．1023 B． 1024 C. 1025 D．511
10.函数2
cos(2)
3
y x
π
=-的图象向左平移
6
π
个单位，所得图象对应的函数是（）
A．值域为[0,2]的奇函数 B．值域为[0,1]的奇函数
C. 值域为[0,2]的偶函数 D．值域为[0,1]的偶函数
11.已知椭圆
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF x
⊥轴，若:5:3
AB BF=，则椭圆的离心率是（）
A．
1
4
B．
1
3
C.
1
2
D．
2
3
12.设函数()
f x为偶函数，且(1)(1)
f x f x
+=-，当[0,1]
x∈时，2
()
f x x
=，
2
3
1
()
2
g x x-
=-，则函数()()()
F x f x g x
=-的零点的个数为（）
A．3 B． 4 C. 6 D．8
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.计算定积分
1
21
||x x dx --=⎰
．
14.已知{}n a 是等比数列，22a =，516a =，则12231n n a a a a a a ++++=L ．
15.已知抛物线2
2y x =，点P 为抛物线上任意一点，P 在y 轴上的射影为Q ，点(2,3)M ，则PQ 与PM 的长度之和的最小值为 ．
16.设()|lg |||f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则22a b +的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. （本小题满分12分）
已知ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且2
2
,b c 是关于x 的一元二次方程2
2
()0x a bc x m -++=的两根．
（1）求角A 的大小；
（2）若3a =，设B θ=，ABC ∆的周长为y ，求()y f θ=的最大值． 18. （本小题满分12分）
某校,,,A B C D 四门课外选修课的学生人数如下表，现用分层抽样的方法从中选取15人参加学校的座谈会．
（1）应分别从,,,A B C D 四门课中各抽取多少名学生；
（2）从抽取的15名学生中再随机抽取2人，求这2人的选修课恰好不同的概率；
（3）若从,C D 两门课中抽取的学生中再随机抽取3人，用X 表示其中选修C 的人数，求X 的分布列和数学期望．
19. （本小题满分12分）
如图3，三棱柱111ABC A B C -中，BC ⊥平面11AAC C ，12BC CA AA ===，160CAA ∠=o ．
（1）求证：11AC A B ⊥；
（2）求直线1A B 与平面1BAC 所成角的正弦值．
20. （本小题满分12分）
已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，点(0,3)B 为短轴的一个端点，
260OF B ∠=o ．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）如图4，过右焦点2F 且斜率为(0)k k ≠的直线l 与椭圆C 相交于E ，F 两点，A 为椭圆的右焦点，直线,AE AF 分别交直线3x =于点,M N ，线段MN 的中点为P ，记直线2PF 的斜率为'k ，求证：'k k •为定值．
21. （本小题满分12分）
已知函数()(2)x
f x ax e =-在1x =处取得极值． （1）求a 值；
（2）求函数()f x 在[,1]m m +上的最小值；
（3）求证：对任意12,[0,2]x x ∈，都有12|()()|f x f x e -≤．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，直线l 过点P ，倾斜角为
34
π
，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长
度单位，且以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρθ=． （1）求l 的参数方程和圆C 的直角坐标方程； （2）设直线l 与圆C 交于点,A B ，求||||PA PB +． 23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|2|||,f x x x a x R =-+-∈．
（1）求证：当8a =-时，不等式lg ()1f x ≥成立；
（2）若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．
2020届云南省民族中学高三适应性考试
数学（理）试题参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
【解析】
1．{|02}M x x =<≤，{|3}N y y =≤，[0,2)M N =I ∴，故选C ． 2．由题知，
22
(1i)1i 1i 2i 1i
z z -=-+=---=-+，所以22z z -=，故选C ．
3．(1)(1)f g -=-∵，而(1)(1)4f f -=-=-，(1)4g -=-∴，即(4)(4)28f f -=-=-，故选A ． 4．依题意得：22()4a b c +-=①，2222cos60a b c ab ab +-=︒=②，①−②得4
3
ab =，故选A
． 5．本题代入数据验证较为合理，显然满足8.5p =的可能为
6118.52+=或98
8.52
+=．若311x =，不满足3132||||x x x x -<-，则111x =，计算119
102
p +=
=，不满足题意；而若38x =，不满足3132||||x x x x -<-，则18x =，计算89
8.52
p +=
=，满足题意，故选B ． 6．由三视图可知该几何体为底部是长方体、顶部为正四棱锥的组合体，故选B ．
7．如图1所示，画出可行域，直线3y kx k =-过定点(3，0)，由数形结合，知该直线的斜率的最大值为0k =，最小值为011
303
k -=
=--，故选B ．
8．||4||b a =r r ∵，且(2)a a b +r r r ⊥，(2)0a a b +=r r r
g ∴，220a a b +=r r r g ∴， 222||4||cos 0a a a b +=r r r r ∴<,>，1cos ,2a b =-r r ∴<>，2π
,3
a b =
r r <>，故选D ． 9．112(1)n n a a ++=+，12n n a +=∴，即21n n a =-，1010211023a =-=∴，故选A ．
10．22π1cos 4π3cos 232x y x ⎛
⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭=-= ⎪⎝⎭
，左移π6个单位为11cos 422y x =+为偶函数，值域为[0,1]，故选D ． 11．不妨设5AB =，3BF =，则4AF =，2
2224,
3,,
a c b
a
b c a +=⎧⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎩∴可得14e =，故选A ．
12．()f x ∵为偶函数，且(1)(1)f x f x +=-，(1)(1)f x f x --=-∴，()f x ∴为周期函数，周期为2，()g x 为
偶函数，可得()f x ，()g x 的图象如图2：
()()f x g x =∴有6个根，()()()F x f x g x =-∴有6个零点．故选C ．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15
16 答案
1
2(41)3
n
- 3512-
(2,)+∞
【解析】
13．1
1
2
2
2
110||d ()d ()d x x x x x x x x x ---=-+-=⎰⎰⎰01
322310111
113
223x x x x -⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．
14．因为{}n a 是等比数列，22a =，516a =，112a q ==∴，，
12231n n a a a a a a ++++=∴ (2)
1
2(14)22242424(41)143
n n n
--++++=
=--g g g …． 15．设抛物线的焦点为F ，则1,02F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，根据题意得12PM PQ PM PF +=+-，所以PM PQ +的最小值为
1351
22
MF --
=
． 16．如图3，0a b <<∵，()()f a f b =，lg()lg()a b -=--∴，lg()lg()0a b -+-=∴，1ab =∴，
2222a b ab +>=∴．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在△ABC 中，依题意有：222b c a bc +=+， ………………………（2分）
222
1cos 22
b c a A bc +-==∴．
又(0π)A ∈，，π
3
A =∴．
…………………………………………………………（6分）
即π2336y θ⎛
⎫=++ ⎪⎝⎭
． ……………………………………………………（10分）
由2π03θ<<得：ππ5π
666
θ<+<，
∴当ππ62θ+
=，即π
3
θ=时，max 33y = ……………………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）应分别从A ，B ，C ，D 四门课中各抽取的学生人数为2，3，4，6人．
………………………………………………………………………………（2分）
（Ⅱ）这2人的选修课恰好不同的概率为：
22
223624
222215151515
C C C C 1C C C C P =----
……………………………………………………（4分）
16
21
=
． ………………………………………………………………………………（6分）
（Ⅲ）根据题意知：0,1,2,3X =．
…………………………………………（8分）
36310C 20(0)C 120P X ===
，12
46
310C C 60(1)C 120
P X ===， 2146
310C C 36(2)C 120P X ===
，34310C 4(3)C 120
P X ===． ……………………………（10分）
Ｘ的分布列为：
X 0 1 2 3 P
20
120
60120
36120
4120
2060364
6()01231201201201205
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=∴． …………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：如图4，连接1CA ． ………………（1分） 1CA AA =∵，∴四边形11AA C C 为菱形，
11AC CA ∴⊥． ……………………………………（2分） 11BC AA C C ⊥∵平面，1AC BC ∴⊥， ……………（3分）
又1BC CA C =I ∵， ………………………………………………………………（4分） 11AC BCA ∴⊥平面， ………………………………………………………………（5分） 11AC A B ∴⊥．
………………………………………………………………………（6分）
（Ⅱ）解：如图，建立空间直角坐标系C −xyz ，
……………………………………（7分）
则(0,0,2)B ，1(3,1,0)A ，(3,1,0)A -，1(0,2,0)C ， 1(3,1,2)BA =-u u u r ∴，(3,1,2)BA =--u u u r ，1(0,2,2)BC =-u u u u r
． ………………（8分）
设(,,)n x y z =r
是平面1BAC 的一个法向量，则 10,0
n BA n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩r u u u r g r u u u u
r g ⇒320,220.y z y z ⎧
--=⎪⎨-=⎪⎩ 令1y =，则1z =，3x = (3,1,1)n =r
∴，
………………………………………………………………（10分）
11110
cos ,||||58n BA n BA n BA ===r u u u r
r u u u r g r g g ∴<>．
∴直线1A B 与平面1BAC 10
． ……………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：由条件知2a =
，b =，
……………………………………………（2分）
故所求椭圆C 的标准方程为22
143
x y +
=． ……………………………………（4分）
（Ⅱ）证明：设过点2(1,0)F 的直线l 的方程为：(1)y k x =-．
………………（5分）
由22(1),
143y k x x y =-⎧⎪
⎨+
=⎪⎩
可得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，
……………………（6分）
因为点2(10)F ，在椭圆内，所以直线l 和椭圆相交，即0∆>恒成立． 设点11()E x y ，，22()F x y ，，
则2122843k x x k +=+，212241243
k x x k -=+．
…………………………………………（7分）
因为直线AE 的方程为：11(2)2y
y x x =--，
直线AF 的方程为：2
2(2)2
y y x x =
--， ………………………………………（8分）
令3x =，可得113,2y M x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，223,2y N x ⎛⎫
⎪-⎝⎭
，
所以点P 的坐标为121213,222y y x x ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝
⎭．
………………………………………（9分）
直线2PF 的斜率为1
21210
22231
y y x x k ⎛⎫+- ⎪--⎝⎭
'=-
12121422y
y x x ⎛⎫=+ ⎪--⎝⎭
12211212122()142()4x y x y y y x x x x +-+=-++g 1212121223()4142()4
kx x k x x k x x x x -++=
-++g …………………………………………………（10分）
22
222222412823413434341284424
4343k k k k k k k k k k
k k --+++==---+++g g g g ，
所以k k 'g 为定值3
4
-．
…………………………………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
（Ⅰ） 解：()e (2)e (2)e x x x f x a ax ax a '=+-=+-， 由已知得(1)0f '=，即1(22)e 0a -=，解得1a =． 当1a =时，在1x =处函数()(2)e x f x x =-取得极小值， 所以1a =． ………………………………………………………………………（4分） （Ⅱ）解：()(2)e x f x x =-，()e +(2)e (1)e x x x f x x x '=-=-．
所以函数()f x 在(1)-∞，上递减，在(1)+∞，上递增． 当1m ≥时，()f x 在[1]m m +，上单调递增，min ()()f x f m =(2)e m m =-； 当01m <<时，11m m <<+，
()f x 在[1]m ，上单调递减，在[11]m +，上单调递增，min ()(1)e f x f ==-； 当0m ≤时，+11m ≤，()f x 在[1]m m +，上单调递减，1min ()(1)(1)e m f x f m m +=+=-．
综上，()f x 在[,1]m m +上的最小值min 1(2)e ,1,()e,01,
(1)e ,0.m m m m f x m m m +⎧-⎪=-<<⎨⎪-⎩≥≤ ……………（8分）
（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知()(2)e x f x x =-，
()e +(2)e (1)e x x x f x x x '=-=-，
令()0f x '=，得1x =，
因为(0)2f =-，(1)e f =-，(2)0f =．
所以max ()0f x =，min ()e f x =-，
所以，对任意12[02]x x ∈，，，
都有12max min |()()|()()e f x f x f x f x --=≤． ……………………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标与参数方程】解：（Ⅰ）根据题意得l的参数方程为：
2,
()
,
x
t
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
为参数，………………………………………………………（3分）圆C
的直角坐标方程为：220
x y
+-=．………………………………（5分）（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程得：
22
20
⎛⎫⎫⎫
++-=
⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
⎝⎭⎭⎭
，
即：210
t-+=．…………………………………………………………（7分）
设
12
t t
，为此方程的两根，
则
12
t t+=，
12
1
t t=，
12
,0
t t>
∴，
12
||||
PA PB t t
+=+=
∴……………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
（Ⅰ）证明：当8
a=-时，()|2||8|,
f x x x x
=-++∈R，
()|2||8|10
f x x x
=-++
∴≥，
lg()lg101
f x=
∴≥，
lg()1
f x
∴≥．………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）解：(),
f x a x∈R
∵≥时恒成立，
2|||,
x x a a x
-+-∈R
∴|≥时恒成立．
2||||2|,
x x a a x
-+--∈R
∵|≥，
2|a a
-
∴|≥．
1
a
∴≤．…………………………………………………………………………（10分）。