最新中考数学复习 第十讲 四边形学案(无答案) 新人教版

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第十讲四边形
学习目标
1、掌握四边形和多边形内角和定理，外角和定理。

2、熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法及它们的性质。

3、了解梯形的概念及梯形中的常用辅助线添法。

4、掌握梯形中位线的性质及三角形中位线的性质。

知识框图
直角梯形
梯形
等腰梯形
四边形
矩形
平行四边形正方形
菱形
【典型例题】
例1：如图正方形ABCD中，P是直线BD上的一点，引PE⊥BC，E为垂足，PF⊥CD于F，求
证：AP=EF。

分析（1）要证两条线段相等可设法找出分别含AP、EF的两个
全等三角形
（2）通过计算来证几何线段相等
证法一：延长AD交PE于点G
∵∠BDC=∠PDG=450 ∴四边形DGPF为正方形
∴PF=GP 从而
∴RtΔPAG≌RtΔFEP ∴AP=EF
证法二：设BC=a ,CE=b 则CF=a+b PG=b
∵EF２=AG２+CE２=(a+b)２+b２
AP２=AG２+PG２=(a+b)２+b２∴AP=EF
评注：在证几何线段相等时，当然经常想到用几何的角度去考虑问题，但用代数法来解几何
题也是一种非常重要的方法。

例2：如图，梯形ABCD中，CD∥AB，M、N分别是DC和AB的中点，且∠A+∠B=
900。

求证MN= （AB-CD） D M C
证明：作CE∥AD交AB于点E，则AE=DC
A E N F B
∠A=∠CEB ∴∠CEB+∠B=900
作CF∥MN交AB于F
∵BE=AB-CD BF=BN-NF= （AB-DC）
∴F是RtΔBEC的斜边BE的中点∴CF= BE= （AB-DC）
即：MN= （AB-DC）
评注：作CF∥MN，既平移了MN ，又使BN与NF共线，也就是使BF= （AB-CD），从而使原
题转化为证明CF=BF ，作CE∥AD，可以使∠A+∠B=90 集中到ΔBEC中，这种把梯形分割成
平行四边形和三角形或分割成已知条件相联系的其他图形的方法，我们应把它掌握起来。

例3：求证：若四边形的两条对角线互相垂直，则对边中点线线必相等。

分析：此题为命题求证。

首先要根据题意画出好图形写出已知求证。

如何把多个中点条件结
合起来，此题可把它们放在同一三角形中，运用中位线定理解题。

A
已知：AC⊥BC，E、F、G、K分别是AB、BC、CD、DA的中点 E K
求证：EG=FK B D
证明：连结KE、EF、FG、GK F G
C
∵K、E分别为AD、AB的中点∴KE∥BD
同理EF∥AC ∵AC⊥BD ∴KE⊥AC ∴KE⊥EF
同理EF⊥FG，FG⊥GK ∴四边形EFGK是矩形
∴EG=FK
【选讲例题】
例4：如图，正方形ABCD中，E，F分别为AB、BC的中点，DE、AF交于点G ，求证：GC=DC
ＡM Ｄ
证法一：连EC,∵E、F为AB、BC的中点 N
∴AE=BF= AD ＥＧ
又∵正方形ABDC ＢＦＣ
∴RtΔAED≌RtΔABF ∴∠BAF=ADE
∴∠ADE+∠DAG=900即AG⊥DE ∴AD2=DG×DE=DC2
∴ΔCDG∽ΔECD ∴∠DCE=∠DGC 连EC ∴ED=EC
∴∠ECD=∠EDC
∴∠EDC=∠DGC ∴GC=DC
证法二：取AD的中点M，过CM交DE于N
∴平行四边形AFCM ∴MN∥AG ∴N是DG的中点
由证法一可知AG⊥DE ∴MC⊥DE
∴GC=DC
证法三：过点G作GP⊥BC于P，可用计算法来证明。

评注：在此题的条件中显然可知DE⊥AF，此为几何图形的一个基本结论应加以掌握，在求证GC=DC的思维过程中充分通过不同角度与已知条件紧密相结合，产生了许多证题方法。

如“要证GC=DC，即证∠DGC=∠CDG”“要证GC=DC，即证等腰ΔGDC，还可考虑等腰三角形三线合一的迸定理”“要证GC=DC，可用代数法”等等。

【基础练习】
1、已知平行四边形ABCD中，AD=2AB，E、F在直线CD上，AD交BF于M，AE交BC于N，且EC=CD=DF，求证：BF⊥AE
2、已知正方形ABDC中，M为AB上一点，且DM⊥MN，交∠CBE的平分线于点N，点E在AB 的延长线上，求证：DM=MN
3、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD， AC、BD相交于点O，∠BOC=600，M、N、P分别为AO、BO、CD的中点，求证：ΔMNP为正三角形。

4、在矩形ABCD中，BC=8cm，AC、BD相交于O，M、N分别是OA、OD的中点。

（1）求证：四边形MBCN是等腰梯形（2）求这个等腰梯形的中位线长
F
A M D D C A D A D
M P M N
B N
C N N O
A M
B E B
C B C
（1）（2）（3）（4）
E
【巩固练习】
1、已知平行四边形ABCD中，AB=4，BC=2，BD⊥AD，则∠ADC=______
2、已知平行四边形ABCD中，∠A=450，BD⊥AD，BD=1，则AC=________
3、已知平行四边形ABCD中，AE=CF，AG⊥DE，CH⊥BF，求证：四边形EHFG是平行四边形
4、已知正方形ABCD的对角线交于O点，E是OA上任意一点，CF⊥BE于F，CF交DB于G，求证：（1）CG=BE（2）EG∥AB
5、如图，已知在梯形ABCD中，AC与BD交于E，AC=BC，BD=CD，且BD⊥CD ，求∠AEB的度数。

6、正方形ABCD中，DE=EC，FD= AD，求tg∠FBE的值。

【课后反思】。