高考数学总复习第2章2.1抛物线及其标准方程课时闯关含解析试题

2021年高考数学总复习 第2章2.1 抛物线及其HY 方程课时闯
关〔含解析〕 北师大版
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日
[A 级 根底达标]
1.(2021·检测)过点(1，－2)的抛物线的HY 方程是( )
A ．y 2＝4x 和x 2＝12
y B ．y 2
＝4x
C ．y 2＝4x 和x 2＝－12
y D ．x 2＝－12
y 解析：选 C.因为点(1，－2)在第四象限，所以满足条件的抛物线的HY 方程是y 2＝
2p 1x(p 1>0)或者x 2＝－2p 2y(p 2>0)．将点(1，－2)分别代入上述两个方程，解得p 1＝2，p 2＝14
.因此满足条件的抛物线有两条，它们的方程分别为y 2＝4x 和x 2＝－12
y. 2.设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的间隔 是4，那么点P 到该抛物线焦点的间隔 是
( )
A ．4
B ．6
C ．8
D ．12
解析：选B.由抛物线的方程得p 2＝42
＝2，再根据抛物线的定义，可知所求间隔 为4＋2＝6，应选B.
3.抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，那么有( )
A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|
B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2
C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|
D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|
解析：选C.由抛物线方程y 2＝2px(p>0)得准线方程为x ＝－p 2.由定义得|FP 1|＝x 1＋p 2
，|FP 2|＝x 2＋p 2，|FP 3|＝x 3＋p 2，那么x 1＝|FP 1|－p 2，x 2＝|FP 2|－p 2，x 3＝|FP 3|－p 2
，又2x 2＝x 1＋x 3，所以2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|.
4.(2021·质检)抛物线顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M(m ，－2)到焦点的间隔 为4，那么m ＝________．
解析：由，可设抛物线方程为x 2＝－2py.由抛物线定义有2＋p 2
＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y.将(m ，－2)代入上式，得m 2＝16.∴m ＝±4.
答案：±4
5.F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，那么线段AB 的中点到y 轴的间隔 为________．
解析：∵|AF|＋|BF|＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52
.∴线段AB 的中点到y 轴的间隔 为x A ＋x B 2＝54.
答案：54 6.设抛物线y 2＝mx (m≠0)的准线与直线x ＝1的间隔 为3，求抛物线的方程．
解：当m>0时，由2p ＝m ，得p 2＝m 4
， 这时抛物线的准线方程是x ＝－m 4
. ∵抛物线的准线与直线x ＝1的间隔 为3，
∴1－⎝ ⎛⎭
⎪⎫－m 4＝3，解得m ＝8. 这时抛物线的方程是y 2
＝8x.
同理，当m<0时，抛物线的方程是y 2＝－16x.
[B 级 才能提升]
7.(2021·检测)设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．假如直线AF 的斜率是－3，那么|PF|＝( )
A ．4 3
B ．8
C ．8 3
D ．16
解析：选B.如图，设准线l 与x 轴的交点为H ，由直线AF 的斜率为－3，得∠AFH＝60°，∠FAH ＝30°，∴∠PAF ＝60°.
又由抛物线的定义知|PA|＝|PF|，
∴△PAF 为等边三角形，
由|HF|＝4得|AF|＝8，
∴|PF|＝8.
8.(2021·高考卷)设M(x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C 的准线相交，那么y 0的取值范围是( )
A ．(0，2)
B ．[0，2]
C ．(2，＋∞)
D ．[2，＋∞)
解析：选C.圆心到抛物线准线的间隔 为p ＝4，根据只要|FM|>4即可，根据抛物线定义，|FM|＝y 0＋2，由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．
9.设抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，点A 的坐标为(0，2)，假设线段FA 的中点B 在抛物线上，那么点B 到该抛物线准线的间隔 为________．
解析：抛物线的焦点F 的坐标为(p 2，0)，线段FA 的中点B 的坐标为(p 4
，1)，代入抛物线方程得1＝2p×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为(24
，1)，故点B 到该抛物线准线x ＝－22的间隔 为24＋22＝324
. 答案：324
10.点M 到直线l ：y ＝－1的间隔 比它到点F(0，2)的间隔 小1，求点M 的轨迹方程． 解：∵点M 到直线l ：y ＝－1的间隔 比它到点F(0，2)的间隔 小1，
∴点M 到点F 的间隔 与它到直线l ：y ＝－2的间隔 相等，
即点M 的轨迹是以F(0，2)为焦点，直线l ：y ＝－2为准线的抛物线．
设M 点坐标为(x ，y)，∵p 2
＝2，且开口向上， ∴点M 的轨迹方程为x 2
＝8y.
11.(创新题)A ，B 为抛物线y 2＝2x 上两个动点，|AB|＝3，求AB 的中
点P 到y 轴间隔 的最小值．
解：如下图，分别过点A ，B ，P 作准线l 的垂线，设垂足分别为A 1，B 1，P 1，PP 1交y 轴于Q 点，连接AF ，BF ，由抛物线定义可知|AF|＝|A 1A|，|BF|＝|B 1B|，所以|A 1A|＋|B 1B|＝|AF|＋|BF|.又四边形
ABB 1A 1为梯形，P 1P 是中位线，所以|PP 1|＝12(|A 1A|＋|B 1B|)＝12
(|AF|＋|BF|)，所以|PP 1|≥12|AB|＝32.又|PQ|＝|PP 1|－p 2＝|PP 1|－12，所以|PQ|≥32－12
＝1，当且仅当A ，B ，F 三点一共线时取等号．
故AB 的中点P 到y 轴间隔 的最小值为1.
制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。