高中数学三角函数.板块三.三角恒等变换.学生版
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第5章三角函数、解三角形 第4节三角恒等变换
3- 5
A.
8
解析 sin
-1+ 5
B.
8
2
2
=
sin >0,所以
2
1-cos
2
sin
2
=
=
1+ 5
α=
,则
4
3- 5
C.
4
1
1+ 5 3- 5
5-1 2
(1)=
=(
) .因为
2
4
8
4
-1+ 5
.故选
4
D.
α
sin =(
2
D )
-1+ 5
)
题组二回源教材
5.(湘教版必修第二册2.3节例7改编)用几种不同的乐器同时演奏某一首乐
曲时,我们有时能听到比单一乐器弹奏时更美妙的声音,这实际上是几种声
波合成后改变了单一声波的波形,假设某美妙声波的传播曲线可用函数
y= 2cos 2x +
x=
4
+2sin 2x 来描述,则该声波函数的最小正周期是
为第二象限角,所以
=4k,k≠0,根据 sin
1
k=± ,又
5
π
α+ 为第三象限角,所以
4
sin α+cos
3 2
α=- 5 .
2
π
α+ 为第三象限角.
4
π
+
4
+cos
2
1
π
3
2
k=- ,sin(α+ )=- ,即 (sin
高中数学 第三章 三角恒等变换 第二节 简单的三角恒等变换(第二课时)示范教案数学教案
第三章第二节简单的三角恒等变换第二课时导入新课思路 1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)＝(π4＋α)－(π4－α)，π4＋α＝π2－(π4－α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开． 思路2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，本节主要研究函数y ＝a sin x ＋b cos x 的周期、最值等性质．三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具．高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段．三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能． 推进新课新知探究 提出问题①三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期，最大值和最小值是多少？ ②函数y ＝a sin x ＋b cos x 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质．而且正弦函数，余弦函数的周期都是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π.三角函数的自变量的系数变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y ＝sin x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是2π，函数y ＝sin2x 的周期是k π(k ∈Z 且k ≠0)，且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是－1，所以这两个函数的值域都是[－1,1]．函数y ＝a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(a a 2＋b2sin x ＋b a 2＋b2cos x )，∵(a a 2＋b2)2＋(b a 2＋b2)2＝1，从而可令a a 2＋b2＝cos φ，b a 2＋b 2＝sin φ，则有a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2(sin x cos φ＋cos x sin φ)＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)．因此，我们有如下结论：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝b a.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题．我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系．几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法．讨论结果：①y ＝sin x ，y ＝cos x 的周期是2k π(k ∈Z 且k ≠0)，最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是－1.②～③(略)见活动．应用示例思路1例1如图1，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到：S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α＝sin αcos α－33sin 2α. 求这种y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成A sin(ωx ＋φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，可分两步进行： (1)找出S 与α之间的函数关系； (2)由得出的函数关系，求S 的最大值． 解：在Rt△OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α，图1在Rt△OAD 中，DA OA＝tan60°＝3，所以OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α. 所以AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α ＝sin αcos α－33sin 2α ＝12sin2α＋36cos2α－36 ＝13(32sin2α＋12cos2α)－36＝13sin(2α＋π6)－36.由于0<α<π3，所以当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36.因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36.点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申即可以去掉“记∠COP ＝α”，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD ＝x ，S ＝x (1－x 2－33x )，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.[0，π]上的单调递增区间．活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识．先用二倍角公式把函数化成最简形式，然后再解决与此相关的问题．解：y＝sin4x＋23sin x cos x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＋3sin2x＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x －π6)．故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；在[0，π]上单调增区间是[0，π3]，[5π6，π]．点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.例1已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)是R 上的偶函数，其图象关于点M (3π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，求φ和ω的值． 活动：学生在解此题时，对f (x )是偶函数这一条件的运用不存在问题，而在对“f (x )的图象关于M (3π4，0)对称”这一条件的使用上，多数考生都存在一定问题．一般地，定义在R 上的函数y ＝f (x )对定义域内任意x 满足条件：f (x ＋a )＝2b －f (a －x )，则y ＝f (x )的图象关于点(a ，b )对称，反之亦然．教师在这类问题的教学时要给予充分的提示与总结，多做些这种类型的变式训练．解：由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即sin(－ωx ＋φ)＝sin(ωx ＋φ)，所以－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x 都成立．又ω>0，所以，得cos φ＝0.依题设0≤φ≤π，所以，解得φ＝π2.由f (x )的图象关于点M 对称，得f (3π4－x )＝－f (3π4＋x )．取x ＝0，得f (3π4)＝－f (3π4)，所以f (3π4)＝0.∵f (3π4)＝sin(3ωπ4＋π2)＝cos 3ωπ4，∴cos 3ωπ4＝0.又ω>0，得3ωπ4＝π2＋k π，k ＝0,1,2，….∴ω＝23(2k ＋1)，k ＝0,1,2，….当k ＝0时，ω＝23，f (x )＝sin(23x ＋π2)在[0，π2]上是减函数；当k ＝1时，ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋π2)在[0，π2]上是减函数；当k ≥2时，ω≥103，f (x )＝sin(ωx ＋π2)在[0，π2]上不是单调函数．所以，综合得ω＝23或ω＝2.点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.变式训练已知如图2的Rt△ABC 中，∠A ＝90°，a 为斜边，∠B 、∠C 的内角平分线BD 、CE 的长分别为m 、n ，且a 2＝2mn .问：是否能在区间(π，2π]中找到角θ，恰使等式cos θ－sin θ＝4(cosB ＋C2－cosB －C2)成立？若能，找出这样的角θ；若不能，请说明理由．图2解：在Rt△BAD 中，AB m ＝cos B 2，在Rt△BAC 中，ABa＝sin C ，∴m cos B2＝a sin C .同理，n cos C2＝a sin B .∴mn cos B 2cos C2＝a 2sin B sin C .而a 2＝2mn ，∴cos B 2cos C 2＝2sin B sin C ＝8sin B 2·cos B 2cos C 2sin C 2.∴sin B 2sin C 2＝18.积化和差，得4(cosB ＋C2－cosB －C2)＝－1，若存在θ使等式cos θ－sin θ＝4(cos B ＋C2－cosB －C2)成立，则2cos(θ＋π4)＝－1，∴cos(θ＋π4)＝－22.而π<θ≤2π，∴5π4<θ＋π4≤9π4.∴这样的θ不存在． 点评：对于不确定的开放式问题，通常称之为存在性问题．处理这类问题的一般思路是先假设结论是肯定的，再进行演绎推理，若推证出现矛盾，即可否定假设；若推出合理结果，即假设成立．这个探索结论的过程可概括为假设——推证——定论. 例2已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．解：∵2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝12，∴tan2(α－β)＝2tan α－β1－tan 2α－β＝43.从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2α－β＋tan β1－tan2α－βtan β＝43－171＋43×17＝25212521＝1.又∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝13<1.且0<α<π，∴0<α<π4.∴0<2α<π2.又tan β＝－17<0，且β∈(0，π)，∴π2<β<π，－π<－β<－π2.∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－3π4.点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0，π)，则求cos α；若α∈(－π2，π2)，则求sin α等．知能训练课本本节练习4.解答：4.(1)y ＝12sin4x .最小正周期为π2，递增区间为[－π8＋k π2，π8＋k π2](k ∈Z )，最大值为12；(2)y ＝cos x ＋2.最小正周期为2π，递增区间为[π＋2k π，2π＋2k π](k ∈Z )，最大值为3；(3)y ＝2sin(4x ＋π3)．最小正周期为π2，递增区间为[－5π24＋k π2，π24＋k π2](k ∈Z )，最大值为2.课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形，把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的，充分体现出“活”的数学．作业课本复习参考题A组11、12.设计感想1．本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形，把形如y＝a sin x＋b cos x 的函数转化为形如y＝A sin(ωx＋φ)的函数，从而能顺利考查函数的若干性质，达到解决问题的目的．在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容．如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤．但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价．因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质．2．在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练．其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图．第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握．3．今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主．和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号．另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点．对三角函数综合应用的考查，估计仍然以三角与数列、不等式、平面向量、解析几何、三角与解三角形的实际应用为主，题型主要是选择题、填空题，也可能以解答题形式出现，难度不会太大．应注意新情景立意下的三角综合应用也是考试的热点．备课资料一、三角函数的综合问题三角函数是中学学习的重要的基本初等函数之一，近年来，高考每年都要考查三角函数的图象和性质的基础知识．在综合题中，也常常会涉及三角函数的基础知识的应用．因此，对本单元的学习要落实在基础知识、基本技能和基本方法的前提下，还应注意与其他部分知识的综合运用．三角函数同其他函数一样，具有奇偶性、单调性、最值等问题，我们还要研究三角函数的周期性、图象及图象的变化，有关三角函数的求值、化简、证明等问题．应熟知三角函数的基本性质，并能以此为依据，研究解析式为三角式的函数的性质，掌握判断周期性，确定单调区间的方法，能准确认识三角函数的图象，会做简图、对图象进行变化．二、备用习题 1.sin10°＋sin20°cos10°＋cos20°的值是( )A ．tan10°＋tan20° B.33C ．tan5°D ．2－ 3 答案：D2．若α－β＝π4，则sin αsin β的最大值是( )A.2－24 B.2＋24C.34 D ．1 答案：B3．若cos αsin x ＝12，则函数y ＝sin αcos x 的值域是( )A ．[－32，12]B ．[－12，12]C ．[－12，32] D ．[－1,1]答案：B4．log 2(1＋tan19°)＋log 2(1＋tan26°)＝________. 答案：15．已知函数f (x )＝cos2x cos(π3－2x )，求f (x )的单调递减区间、最小正周期及最大值．答案：解：f (x )＝12[cos π3＋cos(4x －π3)]＝12cos(4x －π3)＋14，由2k π≤4x －π3≤2k π＋π(k ∈Z )，得原函数的单调递减区间是[k π2＋π12，k π2＋π3](k ∈Z )，T ＝π2，最大值是34. 6．已知sin A ＝－35，cos B ＝－941，A ∈(3π2，2π)，B ∈(π，3π2)，求sin(2A －B2)的值，并判定2A －B2所在的象限．答案：解：cos A ＝45，sin2A ＝－2425，cos2A ＝1－2sin 2A ＝725， ∵B ∈(π，3π2)， ∴B 2∈(π2，3π4)． ∴sin B 2＝541，cos B 2＝－441. ∴sin(2A －B 2)＝sin2A cos B 2－cos2A sin B 2＝61411 025. 又cos(2A －B 2)＝cos2A cos B 2＋sin2A sin B 2<0， ∴2A －B 2是第二象限角． 7．已知f (0)＝a ，f (π2)＝b ，解函数方程：f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )·cos y . 答案：解：分别取⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝t ，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2＋t ，y ＝π2，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝π2，y ＝π2＋t ，代入方程，得⎩⎪⎨⎪⎧ f t ＋f －t ＝2f 0·cos t ， ①f π＋t ＋f t ＝0， ②f π＋t ＋f －t ＝－2f π2·sin t ， ③①＋②－③，得2f (t )＝2f (0)cos t ＋2f (π2)sin t . ∵f (0)＝a ，f (π2)＝b ， ∴f (x )＝a cos x ＋b sin x .。
三角函数、三角恒等变换
三角函数、三角恒等变换三角函数、三角恒等变换是数学中最重要的概念之一，它们构成了数学课程中最根本的知识点。
因此，了解三角函数、三角恒等变换的基本性质是掌握数学的关键一环。
一、三角函数1、定义三角函数是指以三角形中某角的正弦、余弦和正切函数为基础而定义的特殊函数。
它们分别称为正弦函数、余弦函数、正切函数。
2、特点三角函数的特点是在一定的范围内取值，而且结果都是一定的，只要输入值是某个角，不论角度有多大，其函数值都可以被求出。
3、应用三角函数在很多领域中都有应用，如物理、电子学、机械工程等。
比如，在研究物体运动的速度、加速度及抛物线旋转时，常常需要用到三角函数来描述；又如在建筑、城市规划时，直角三角形的知识也需要用到三角函数。
二、三角恒等变换1、定义三角恒等变换是指三角函数的上一次变化，即三角函数的特殊的函数式的变换形式，它把三角函数中的单一变量转变成其他几种变量。
2、特点三角恒等变换的特点是，既能满足三角函数的函数特性，又能将其变换成更简单、更容易计算的式子，从而更好地描述和研究问题。
3、应用三角恒等变换在数学中有着广泛的应用，从基础数学到高等数学，凡是涉及三角函数的解答都需要用到。
比如，在几何学中经常会用三角恒等变换来求解一些困难的几何问题，也可以用它来推导空间几何问题的解答。
另外，三角恒等变换在电子部件的计算中也是必不可少的技术，能够极大地提高计算的准确性和速度，进而使各种装置的功能变得更加稳定和可靠。
总结从上面可以看出，三角函数、三角恒等变换是数学中重要的概念，它们不仅具有重要的理论意义，而且广泛应用于各种科学和技术领域中，为数学的发展做出了巨大的贡献。
只要正确地理解它们的基本性质，就能够更好地掌握数学，使得其应用更加广泛、更加深入。
高中数学第三章三角恒等变换3
3.三角恒等变换知识框架图
简单三角恒等变换
31/32
不要对一切人都以不信任眼光对待,但要慎
重而坚定。
——德谟克里特
32/32
所以周期T = 2π，最大值为2，最小值为- 2.
9/32
经过三角恒等变换, 我们把形如 y a sin x函 b数cos x
转化为形如
y 函A数sin,(从x而使)问题得到简化.
10/32
【变式练习】
已知函数 f(x)＝2sin2ωx＋2 3sinωxsin(π2－ωx)(ω>0)的 最小正周期为 π. (1)求 ω 的值； (2)求函数 f(x)在区间[0，23π]上的值域．
1 A.2
2 B. 2
C．2
3 D. 2
解析：
3－sin70° 2－cos210°
＝
3－cos20° 2－cos210°
＝
3－（22－cocso2s1201° 0°－1）＝42－－2ccooss221100°°＝2.
27/32
5、（2014·山东高考）函数 y
3 2
sin
2x
cos2
x
的
最小正周期为 .
32
2
63
66
由0 , 得 2 5 .
36
66
所以当2+ = ，即= 时，
62
6
S最大 =
1 3
3 6
3. 6
因此,当= 时，矩形ABCD的面积最大，最大面积为 3 .
6
6
20/32
【变式练习】
已知半径为1半圆，PQRM是半圆内接矩形，如 图，P点在什么位置时，矩形面积最大，并求最大 面积值.
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1 同角三角函数的基本关系学案(含解析)北师大版必修4-北师大版
第三章三角恒等变形§1同角三角函数的基本关系知识点同角三角函数的基本关系式[填一填]常用的同角三角函数基本关系式的变形：(1)sin2α＋cos2α＝1的变形：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sinα＝±1－cos2α，cosα＝±1－sin2α.(2)tanα＝sinαcosα的变形：sin α＝cos αtan α，cos α＝sin αtan α.[答一答]已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，应注意些什么？提示：(1)已知某角的一个三角函数值，求它的其他三角函数值时，要注意这个角的终边所在的象限．①由sin 2α＋cos 2α＝1变形可知，cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α，因此，在使用这两个变形公式计算时，要根据角α的终边所在的象限，确定根号前面的正负号．②在使用tan α＝sin αcos α时，没有选择正负号的问题，只是在sin α，cos α的计算中会出现上述①中的情形．(2)如果已知的三角函数值中含有字母，且没有指定角的终边在哪个象限，那么就需要结合数学中分类讨论的思想来确定其他三角函数值．对同角三角函数的基本关系式的四点说明(1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里，“同角”有两层含义：一是“角相同”如π3与π3，2α与2α都是同角，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin 234α＋cos 234α＝1.(2)sin 2α是(sin α)2的简写，不能写成sin α2.因为sin α2与sin 2α含义不同． (3)在使用同角三角函数基本关系时要注意使式子有意义，如式子tan90°＝sin90°cos90°不成立． (4)在应用平方关系式求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在的象限决定的，不可凭空想象．类型一 利用同角三角函数的关系求值 【例1】 (1)已知sin α＝513，求cos α和tan α；(2)在△ABC 中，若tan A ＝63，求sin A 和cos A . 【思路探究】 (1)已知角α的正弦值，先用平方关系求cos α，再求tan α，注意角α是第几象限角不确定，故需要分类讨论；(2)已知角A 的正切值，可利用角A 终边上一点的坐标，根据三角函数的定义求解；也可利用同角三角函数的商数关系和平方关系求解，注意角A 是△ABC 的内角这一隐含条件．【解】 (1)∵sin α＝513>0，∴α是第一或第二象限角．当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2α＝1－(513)2＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝5131213＝512.当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－1－(513)2＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝513－1213＝－512.(2)法1：因为tan A ＝63，角A 为三角形的内角，可知角A 终边上一点的坐标为(3，6)，则该点到原点的距离r ＝15，故sin A ＝615＝105，cos A ＝315＝155.法2：因为tan A ＝63，所以sin A cos A ＝63，则sin A ＝63cos A ， 又sin 2A ＋cos 2A ＝1，所以23cos 2A ＋cos 2A ＝1，即cos 2A ＝35.因为角A 是△ABC 的内角，且tan A >0，所以角A 为锐角，所以cos A ＝155，sin A ＝63cos A＝105. 规律方法 已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，要注意角的终边所在的象限，这主要是因为在使用cos α＝±1－sin 2α或sin α＝±1－cos 2α时，要根据角α的终边所在的象限，恰当地选择正、负号．tan α＝sin αcos α的正、负号是由sin α和cos α共同决定的．这类问题通常有下列几种情况：(1)如果已知三角函数值，且角的终边所在的象限已被指定，那么只有一组解． (2)如果已知三角函数值，但没有指定角的终边所在的象限，那么先由已知三角函数值确定角的终边可能在的象限，再求解，这种情况一般有两组解．(3)如果所给的三角函数值是用字母表示的，且没有指定角的终边所在的象限，那么就需要对表示该值的字母的正、负进行讨论．另外，还要注意其角的终边有可能落在坐标轴上．已知cos α＝－1517，求sin α，tan α的值．解：∵cos α<0，且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角．当α是第二象限角时， sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－15172＝817， tan α＝sin αcos α＝817×⎝⎛⎭⎫－1715＝－815.当α是第三象限角时， sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝⎛⎭⎫－15172＝－817， tan α＝sin αcos α＝⎝⎛⎭⎫－817×⎝⎛⎭⎫－1715＝815.类型二 关于sin α，cos α齐次式的求值 【例2】 已知tan α＝13，求值：(1)5sin α＋7cos αsin α－3cos α； (2)1cos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α. 【思路探究】 可以将分子、分母中的“1”化成“sin 2α＋cos 2α”，进而将原来的代数式化成关于sin α，cos α的齐次分式，求解．【解】 ∵sin 2α＋cos 2α＝1，tan α＝sin αcos α＝13，∴cos α≠0.(1)原式＝5tan α＋7tan α－3＝5×13＋713－3＝－134.(2)解法一：∵1＋tan 2α＝cos 2α＋sin 2αcos 2α＝1cos 2α， ∴原式＝1cos 2α(1－2tan α＋5tan 2α)＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α.将tan α＝13代入上式得：原式＝1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法二：∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴原式＝cos 2α＋sin 2αcos 2α－2sin αcos α＋5sin 2α＝1＋tan 2α1－2tan α＋5tan 2α. 将tan α＝13代入上式得，原式＝ 1＋191－23＋5×19＝9＋19－6＋5＝54.解法三：∵tan α＝13，∴sin αcos α＝13，令sin α＝k ，cos α＝3k ，则1＝cos 2α＋sin 2α＝10k 2.∴原式＝10k 29k 2－6k 2＋5k 2＝54.规律方法 关于sin α，cos α的齐次式的求值问题关于sin α，cos α的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin α，cos α的式子，且它们的次数相同，其求解策略为：可用cos n α(n ∈N ＋)去除原式分子、分母的各项，这样可以将原式化为关于tan α的表达式，再整体代入tan α＝m 的值，从而完成求值任务．具体如下：(1)形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α，a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的分式，分子、分母分别同时除以cos α，cos 2α，将正、余弦转化为正切或常数，从而求值．(2)形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的式子，将其看成分母为1的分式，再将分母1变形为sin 2α＋cos 2α，转化为形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αsin 2α＋cos 2α的式子．已知tan α＝2，求下列各式的值： (1)2sin α－3cos α4sin α－9cos α； (2)sin 2α－3sin αcos α＋1.解：(1)解法一：因为tan α＝2，所以cos α≠0，2sin α－3cos α4sin α－9cos α＝2sin αcos α－3cos αcos α4sin αcos α－9cos αcos α＝2tan α－34tan α－9＝2×2－34×2－9＝－1.解法二：因为tan α＝2，所以sin α＝2cos α， 故原式＝2×2cos α－3cos α4×2cos α－9cos α＝－1.(2)sin 2α－3sin αcos α＋1＝sin 2α－3sin αcos α＋(sin 2α＋cos 2α)＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2α＝2sin 2α－3sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan α＋1tan 2α＋1＝2×22－3×2＋122＋1＝35.类型三 含sin α±cos α，sin αcos α的式子的求值【例3】 已知0<α<π，sin α＋cos α＝15，求sin α－cos α的值．【思路探究】 欲求sin α－cos α的值，可先求(sin α－cos α)2，为此需由已知条件求出sin α·cos α的值，解题时需注意sin α－cos α的符号．【解】 将已知等式两边平方，得1＋2sin αcos α＝125，∴2sin αcos α＝－2425.又∵0<α<π，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0， ∴sin α－cos α＝1－2sin αcos α＝1＋2425＝75. 规律方法 1.sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三个式子中，已知其中一个，可以求出其他两个，即“知一求二”．它们的关系是：(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α，(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α.2．求sin α＋cos α或sin α－cos α的值时，要注意判断它们的符号．已知0<α<π，sin αcos α＝－60169，求sin α－cos α的值．解：∵0<α<π，sin αcos α＝－60169<0，∴sin α>0，cos α<0，∴sin α－cos α>0.由(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×(－60169)＝289169，∴sin α－cos α＝1713.类型四 化简三角函数式【例4】 化简：(1)1－cos 4α－sin 4α1－cos 6α－sin 6α；(2)1cos α1＋tan 2α＋1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α.【思路探究】 所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少、次数尽可能的低、函数的种类尽可能的少、分母中尽量不含三角函数符号、能求值的一定要求值．【解】 (1)解法一：原式＝(cos 2α＋sin 2α)2－cos 4α－sin 4α(cos 2α＋sin 2α)3－cos 6α－sin 6α＝2cos 2α·sin 2α3cos 2αsin 2α(cos 2α＋sin 2α)＝23. 解法二：原式＝1－(cos 4α＋sin 4α)1－(cos 6α＋sin 6α)＝1－[(cos 2α＋sin 2α)2－2cos 2α·sin 2α]1－(cos 2α＋sin 2α)(cos 4α－cos 2α·sin 2α＋sin 4α)＝1－1＋2cos 2α·sin 2α1－[(cos 2α＋sin 2α)2－3cos 2α·sin 2α] ＝2cos 2α·sin 2α3cos 2α·sin 2α＝23. 解法三：原式＝(1－cos 2α)(1＋cos 2α)－sin 4α(1－cos 2α)(1＋cos 2α＋cos 4α)－sin 6α＝sin 2α(1＋cos 2α－sin 2α)sin 2α(1＋cos 2α＋cos 4α－sin 4α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋(cos 2α＋sin 2α)(cos 2α－sin 2α)＝2cos 2α1＋cos 2α＋cos 2α－sin 2α＝2cos 2α3cos 2α＝23. (2)原式＝1cos α1＋sin 2αcos 2α＋(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝|cos α|cos α＋1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋2tan α(α是第一、四象限角)，－1－2tan α(α是第二、三象限角).规律方法 化简过程中常用的方法有：(1)化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．(2)对于含有根号的，常把根号下的式子化成完全平方式，然后去根号，达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造sin 2α＋cos 2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．若α为第二象限角，则sin 2α－sin 4αcos α＝( B )A ．sin αB ．－sin αC ．cos αD ．－cos α 解析：sin 2α－sin 4α＝sin 2α(1－sin 2α)＝sin 2α·cos 2α＝|sin αcos α|.因为α为第二象限角，则cos α<0，sin α>0，则|sin αcos α|＝－sin αcos α，所以原式＝－sin α.类型五 证明三角函数式【例5】 求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.【思路探究】思路1：等号右边分子、分母同乘tan α－sin α→利用平方关系和商数关系由右向左进行化简即可思路2：商数关系，平方关系→分别对等号两边的式子进行化简即可【证明】 法1：右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α ＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边， 故原等式成立．法2：因为左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α. 所以左边＝右边，故原等式成立． 规律方法 证明三角恒等式的方法证明恒等式的过程就是通过转化消去等式两边的差异来促成统一的过程，证明方法常有以下几种：(1)从等式的一边证得另一边，一般从比较复杂的一边化简到另一边，其依据是等式的传递性．(2)综合法：由一个已知等式或公式恒等变形得到要证明的等式，其依据是等价转化的思想．(3)证明左、右两边都等于同一个式子(或值)，其依据是等式的传递性． (4)比较法：证明“左边－右边＝0”或“左边右边＝1”．(5)化异为同法：即化异名为同名，化异角为同角等．求证：tan 2α－sin 2α＝tan 2α·sin 2α.证明：法1：右边＝tan 2α(1－cos 2α)＝tan 2α－tan 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2αcos 2α·cos 2α＝tan 2α－sin 2α＝左边，所以等式成立．法2：左边＝sin 2αcos 2α－sin 2α＝sin 2α－sin 2αcos 2αcos 2α＝sin 2α(1－cos 2α)cos 2α＝tan 2α·sin 2α＝右边． 等式成立．——规范解答—— 利用同角三角函数关系式求值【例6】 在△ABC 中，sin A －cos A ＝1713，求tan A 的值． 【审题】审条件→一个三角形：△ABC一个关系：sin A －cos A ＝1713 ↓ 建联系→求解tan A 的值，根据已有的关系把tan A 与sin A ，cos A 联系起来↓找思路→由在△ABC 中，确定A ∈(0，π)，再结合已知的关系与sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解方程，先求解sin A ，cos A ，再求解tan A【解题】 由sin A －cos A ＝1713知，cos A ＝sin A －1713，又因cos 2A ＋sin 2A ＝1，有(sin A －1713)2＋sin 2 A ＝1， 化简得sin 2A －1713sin A ＋60169＝0， 解得sin A ＝1213或sin A ＝513. 又因为A 为△ABC 的内角，所以sin A >0，当sin A ＝1213时，cos A ＝－513，tan A ＝－125， 当sin A ＝513时，cos A ＝－1213，tan A ＝－512. 【小结】 1.隐含条件的挖掘对题目的条件要认真分析，找出隐含条件，并要学会辨析使用，如本例中在三角形中，内角都是有范围的，均为(0，π)，从而有sin A >0这一条件．2．常用知识应用一些常见常用的知识要记牢，并会应用，如三角函数求值中，只要涉及sin α与cos α，就有sin 2α＋cos 2α＝1，这一条件往往是解题的关键．已知sin α＋cos α＝－13，其中0<α<π，求sin α－cos α的值． 解：因为sin α＋cos α＝－13， 所以(sin α＋cos α)2＝19， 所以1＋2sin αcos α＝19， 所以sin αcos α＝－49. 因为0<α<π且sin αcos α<0，所以sin α>0，cos α<0，所以sin α－cos α>0.又因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝179，所以sin α－cos α＝173.一、选择题1．化简 1－sin 2π5的结果是( A )A ．cos π5 B ．－cos π5C ．sin π5D ．－sin π5解析：原式＝cos 2π5＝cos π5.2．若tan α＝2，则2sin α－cos αsin α＋2cos α 的值为( B )A ．0 B.34C ．1 D.54解析：本小题主要考查同角三角函数基本关系式． 原式＝2tan α－1tan α＋2＝34，故选B.3．已知α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α等于( D) A.15 B ．－15C.513 D ．－513解析：∵tan α＝－512，∴sin αcos α＝－512，即cos α＝－125sin α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴16925sin 2α＝1，解得sin α＝±513. 而α是第四象限角，∴sin α＝－513. 二、填空题4．化简1＋2sin4cos4＝－(sin4＋cos4)． 解析：原式＝sin 24＋2sin4cos4＋cos 24 ＝(sin4＋cos4)2＝|sin4＋cos4|.∵π<4<3π2，∴sin4<0，cos4<0. ∴原式＝－(sin4＋cos4)．5．若sin θ＝－45，tan θ>0，则cos θ＝－35. 解析：考查同角三角函数值间的关系．∵sin θ＝－45<0，tan θ>0， ∴θ在第三象限．∴cos θ＝－35. 三、解答题6．已知tan α＝3，求下列各式的值． (1)4cos α－sin α4cos α＋sin α； (2)2sin 2α－3sin α·cos α.解：(1)原式＝4－tan α4＋tan α＝4－34＋3＝17. (2)原式＝2sin 2α－3sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α－3tan αtan 2α＋1＝2×32－3×332＋1＝910.。
高中数学第三章三角恒等变换3.2二倍角的三角函数第1课时二倍角的三角函数课件苏教版必修
解析答案
π 5π (2)sin12sin 12 ；
π π 2sin12cos12 π 5π π π 解 sin 12sin 12＝sin 12cos 12＝ 2 π sin 6 1 ＝ 2 ＝4.
解析答案
1 3 (3)sin 50° ＋cos 50° .
解
1 3 ＋ 2 sin 50° cos 50° ＋ 3sin 50° 22cos 50° 原式＝ sin 50° ＝ cos 50° 1 × 2sin 50° cos 50° 2
π 2π (1)cos 5cos 5 ；
解 π π 2π 2sin 5cos5cos 5 π 2π cos5cos 5 ＝ π 2sin 5
2π 2π 2π 2π 4π sin 5 cos 5 2sin 5 cos 5 sin 5 1 ＝ ＝ π ＝ π π ＝4. 2sin 5 4sin 5 4sin5
解析答案
类型三 化简问题
例3 1＋sin 4α－cos 4α 化简： . 1＋sin 4α＋cos 4α
1－cos 4α＋sin 4α 解 原式＝ 1＋cos 4α＋sin 4α
2sin22α＋2sin 2αcos 2α ＝ 2cos22α＋2sin 2αcos 2α 2sin 2αcos 2α＋sin 2α ＝ ＝tan 2α. 2cos 2αcos 2α＋sin 2α
解析 f(x)＝cos 2x＋4sin x＝1－2sin2x＋4sin x
＝－2sin2x＋4sin x＋1＝－2(sin x－1)2＋3.
当sin x＝1时，f(x)max＝3；
当sin x＝－1时，f(x)min＝－5.
解析答案
1
2
3
4
5
解
高考数学热点：三角恒等变换
高考数学热点：简单的三角恒等变换【考点梳理】1、两角和与差的三角函数公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ−=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=−cos()cos cos sin sin αβαβαβ−=+tan tan tan()1tan tan αβαβαβ−−=+ tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=− 2、二倍角公式sin 22sin cos ααα= 22cos2cos sin ααα=− 2cos22cos 1αα=−2cos212sin αα=− 22tan tan 21tan ααα=−3、辅助角公式sin cos )a x b x x ϕ±=±(其中tan b aϕ=) 4、降幂公式21cos2cos 2αα+=21cos2sin 2αα−=【典型题型讲解】 考点一：两角和与差公式【典例例题】例1．（2022·广东汕头·高三期末）已知πsin (,π)2αα=∈，则cos()6πα−=（ ）A ．-1B ．0C ．12D【答案】B 【详解】∵πsin (,π)22αα=∈，∴2π3α=，故ππcos()cos 0.62α−== 故选：B例2.（2022·广东湛江·一模）已知4cos 5α=，02πα<<，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）ABC．D．【答案】B 【详解】由4cos 5α=，02πα<<，得3sin 5α=，所以34sin 422252510πααα⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭，故选:B.例3．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−， 整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B【方法技巧与总结】1.三角函数式化简的方法：化简三角函数式常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.2.给值求值：解题的关键在于“变角”，把待求三角函数值的角用含已知角的式子表示出来，求解时要注意对角的范围的讨论. 【变式训练】 1.已知5π1tan()45−=α，则tan =α__________． 【答案】32【解析】本题主要考查三角恒等变换，考查考生的运算求解能力.5πtan tan5πtan 114tan 5π41tan 51tan tan 4ααααα−−⎛⎫−=== ⎪+⎝⎭+⋅，解方程得3tan 2=α.故答案为32. 2.（2022·广东韶关·一模）若()()1sin 0,,tan 22ππαααβ⎛⎫−=∈+= ⎪⎝⎭，则tan β=__________. 【答案】17【详解】因为()sin 0,2ππαα⎛⎫−=∈ ⎪⎝⎭，所以sin α=，所以cos α=，所以sin 1tan cos 3ααα==. ()()()11tan tan 123tan tan .111tan tan 7123αβαβαβααβα−+−=+−===⎡⎤⎣⎦+++⨯又 故答案为：173.（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()tan 1αβ−=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ−=−D ．()tan 1αβ+=−【答案】C 【详解】由已知得：()sin cos cos sin cos cos sin sin 2cos sin sin αβαβαβαβααβ++−=−, 即：sin cos cos sin cos cos sin sin 0αβαβαβαβ−++=， 即：()()sin cos 0αβαβ−+−=, 所以()tan 1αβ−=−, 故选：C 4.已知sin α=()cos αβ−=304πα<<，304πβ<<，则sin β=（ ）A．35BC．35D．35【答案】A 【解析】易知()()sin sin βααβ=−−，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ−，分别在()sin 5αβ−=和5−两种情况下，利用两角和差正弦公式求得sin β，结合β的范围可确定最终结果. 【详解】2sin 72α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴−<−<，()sin 5αβ∴−=±.当()sin 5αβ−=时，()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=−−=−−−57==304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴=当()sin αβ−=sin β.综上所述：sin β= 故选：A .5.已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（ ）A ．13B ．13−C ．23D ．23−【答案】A 【解析】根据题意得到sin 152α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒−= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒−=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒−︒−=︒−⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒−=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan302α⎛⎫︒−=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭，则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒−=−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒−=︒−−︒−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒−︒−⎣⎦ ()1cos 303α=︒−=，故选A.考点二：二倍角公式【典例例题】例1.（2022·广东中山·高三期末）若2sin 3α=，则cos2α=___________. 【答案】19【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算.【详解】2221cos212sin 1239αα⎛⎫=−=−⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：19.例2．（2022·广东清远·高三期末）已知tan 2α=，则sin cos 44sin 2⎛⎫⎛⎫−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααα________． 答案】18−【详解】1sin cos (sin cos )(cos sin )442sin 22sin cos ⎛⎫⎛⎫−+−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=ππααααααααα222sin cos 2sin cos tan 12tan 14sin cos 4tan 8−−+−−+===−ααααααααα．故答案为：18−例3.若cos 0,,tan 222sin παααα⎛⎫∈= ⎪−⎝⎭，则tan α=（ ）ABCD【答案】A 【详解】cos tan 22sin ααα=−2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===−−，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=−−，解得1sin 4α=， cos 4α∴=sin tan cos 15ααα∴==. 故选：A.【方法技巧与总结】三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角(名)，化简求值.三角恒等变换的关键在于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系. 【变式训练】1．（2022·广东汕头·一模）已知0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2tan tan 43πθθ⎛⎫+=− ⎪⎝⎭，则sin cos2sin cos θθθθ=+（ ） A ．12−B ．35C ．3D ．53−【答案】．B【详解】由(0,)2πθ∈，得tan 0θ>，又2tan()tan 43πθθ+=−，得tan tan24tan 31tan tan 4πθθπθ+=−−⋅，即tan 12tan 1tan 3θθθ+=−−，整理，得tan 3θ=或1tan 2θ=−(舍去)，所以sin 3cos θθ=，又22sin cos 1θθ+=，(0,)2πθ∈，解得sin cos θθ=， 故22sin cos 2sin (cos sin )sin (sin cos )(cos sin )sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθθθ−+−==+++3sin (cos sin )5θθθ=−==−. 故选：B2．（2022·广东韶关·二模）已知 1sin cos 5αα+=，则()2tan 12sin sin 2πααα++=+（ ）A ．17524−B ．17524C ．2524−D ．2524【答案】．C【详解】由题知1sin cos 5αα+=，有242sin cos 25αα=−，所以()2tan 12sin sin 2πααα+++()tan 12sin sin cos αααα+=+()sin cos 1cos 2sin sin cos αααααα+=⨯+1252sin cos 24αα==−， 故选：C ．3.（2022·广东佛山·二模）已知sin πα43⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则sin 2α=___________.【答案】59【详解】sin sin 443ππαα⎛⎫⎛⎫−=−−=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以sin 4πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭所以225sin 2cos 2cos 212sin 122449πππαααα⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−=−=−−=−⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭ 故答案为：594.（2022·广东肇庆·二模）若sin cos 5θθ+=−，则sin 2θ=______． 【答案】45【详解】∵sin cos θθ+= ∴()29sin cos 12sin cos 5θθθθ+=+=， 所以4sin 22sin cos 5θθθ==． 故答案为：45.5．（2022·广东深圳·二模）已知tan 3α=，则cos 2=α__________． 【答案】45−【详解】解：由题意可知：2214cos 22cos 121tan 15ααα=−=⨯−=−+ .6.若3sin 5α=−，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα−=+（ ）A ．12B ．12−C ．2D ．−2【答案】D 【详解】3sin 2sincos225ααα==−，故2222sincos2tan32225sin cos tan 1222αααααα==−++， 可解得1tan23α=−或tan 32α=−，又3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 32α=−，故1tan 221tan2αα−=−+， 故选：D7．已知1sin 64x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．78−B ．78C．4−D．4【答案】B 【详解】因为sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫−=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64x π⎛⎫−=− ⎪⎝⎭，2217cos 2cos 212sin 1236648x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=−−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.8．已知,22ππα⎛⎫∈− ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A． B． C ．12D【答案】D 【详解】 因为22ππα−<<，所以3444πππα−<−< 又1cos 42πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭，所以43ππα−=−，所以12πα=−所以cos 2cos cos 66ππα⎛⎫=−==⎪⎝⎭故选：D9．已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫−= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325B ．2325−C D ．5−【答案】B 【详解】因为1sin cos cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=−=−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22123cos 2cos22cos 121366525πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫−=−=−−=⨯−=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B ．10．已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos 2=α（ ）A ．2425B ．2425−C ．725D ．725−【答案】B 【详解】解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3sin 455α︒+=，所以()4cos 455α︒+==−，所以()()()3424sin 2452sin 45cos 4525525ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯−=− ⎪⎝⎭。
高中数学第三章三角恒等变换二倍角的三角函数例题与探究(含解析)
3.3 二倍角的三角函数典题精讲例1化简︒+98sin 1=__________________.思路分析：︒+98sin 1=2)49cos 49(sin ︒+︒=|sin49°+cos49°|=sin49°+cos49°=2sin(49°+45°)=2sin94°=2cos4°。
答案：2cos4°变式训练（湖北高考卷,理3)若△ABC 的内角A 满足sin2A=32，则sinA+cosA 的值为（ ） A.315B 。
—315 C 。
35 D 。
—35思路分析：∵sin2A=2sinAcosA ＞0，∴cosA ＞0。
∴sinA+cosA ＞0.∴1+sin2A=（sinA+cosA ）2。
∴1+32=（sinA+cosA ）2.∴（sinA+cosA ）2=35。
∴sinA+cosA=31535=。
答案：A例2求下列各式的值。
(1）cos 12πcos 125π；（2）(cos 12π—sin 12π）（cos 12π+sin 12π);（3）21-cos 28π；（4）—32+34cos 215°.思路分析:（1）题添加系数2，即可逆用倍角公式;(2）题利用平方差公式之后再逆用倍角公式;（3）中提取系数2后产生倍角公式的形式；（4）则需提取系数32。
解：（1)cos 12πcos 125π=cos 12πsin 12π=21×2cos 12πsin 12π=21sin 6π=41.（2）（cos 12π-sin 12π）（cos 12π+sin 12π）=cos 212π—sin 212π=cos 6π=23. （3）21—cos 28π=—21（2cos 28π—1）=-21cos 4π=-42。
（4）—32+34cos 215°=32（2cos 215°—1)=32cos30°=33. 绿色通道:根据式子本身的特征,经过适当变形,进而利用公式，同时制造出特殊角，获得式子的值，在变形中一定要整体考虑式子的特征。
(新课标)高考数学大一轮复习第三章三角函数、解三角形第3节三角恒等变换第2课时简单的三角恒等变换课件
即 3sin(α＋β)cosα－3cos(α＋β)sinα＝sin(α＋β)cosα ＋cos(α＋β)sinα，
整理可得 sin(α＋β)cosα＝2cos(α＋β)·sinα. 因为 α≠kπ＋π2 ，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)， 所以 cos(α＋β)·cosα≠0， 则有 tan(α＋β)＝2tanα.
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(2)∵α 为锐角，cosα＋π6 ＝45，∴sinα＋π6 ＝35， ∴sin2α＋π3 ＝2sinα＋π6 cosα＋π6 ＝2245， cos2α＋π3 ＝2cos2α＋π6 －1＝275， ∴sin2α＋π 12＝sin2α＋π3 －π4 ＝ 22sin2α＋π3 －cos2α＋π3 ＝1750 2.
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考向 1 给角求值
【例 2】 sin47°－cosisn1177°°cos30°＝(
)
A．－
3 2
B．－12
C.12
D.
3 2
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【解析】 原式＝sin（30°＋17° cos）17－°sin17°cos30° ＝sin30°cos17°＋cos3c0o°s1s7i°n17°－sin17°cos30° ＝sin3c0o°s1c7o°s17° ＝sin30°＝12. 【答案】 C
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cos2α－π4 ＝cos2α－π4 ＋π4 ＝ 22cos2α－π4 －sin2α－π4 ＝－3510 2.
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解法 2：由 cosπ4 －α＝35，得 22(cosα＋sinα)＝35.① 两边平方，得 1＋2cosαsinα＝1285. sin2α＝2cosαsinα＝－275， (cosα－sinα)2＝1－－275＝3225. 根据 2cosαsinα＝－275<0 及－3π 2 <α<－π2 ，
高中数学常考题型---三角函数(学生版)
中学数学常考题型---三角函数题型1、推断角的终边所在的象限【1】若α是其次象限角，试分别确定2α，α2，α3的终边所在位置 ．【2】若sin θcos θ<0，则角θ是( )A ．第一或其次象限角B ．其次或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．其次或第四象限角题型2、扇形的弧长、周长、面积【3】如图所示，已知扇形AOB 的圆心角∠AOB ＝120°，半径R ＝6，求： (1) AB ︵的长；(2)弓形ACB 的面积．【4】若一扇形的周长为60cm ，那么当它的半径和圆心角各为________cm 和________rad 时，扇形的面积最大．题型3、利用三角函数线解不等式【5】求证：当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin α<α<tan α.题型4、三角函数的定义求三角函数值【6】已知角α的终边经过点P (a ，2a )(a ＞0)，求sin α，cos α，tan α的值． 【7】已知角α的终边经过点(－4，3)，求cos α题型5、利用同角三角函数的关系求三角函数值【8】已知α∈(0，π)，且 cos α＝－35，则tan α＝【9】已知sin α＝13，且α为其次象限角，求tan α；【10】已知sin α＝13，求tan α；题型6、利用诱导公式求三角函数值【11】化简sin （2π－α）cos （π＋α）cos()π2＋αcos()11π2－αcos （π－α）sin （3π－α）sin （－π－α）sin()9π2＋α.题型7、配角法求三角函数值【12】已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，求tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4.【13】已知tan ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α.【14】已知tan α＝－2，tan (α＋β)＝17，求tan β的值．【15】设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，求sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值．【16】已知tan (α＋β)＝－1，tan (α－β)＝12，求sin 2αsin 2β的值【17】已知cos α＝13，cos (α＋β)＝－13，且α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos (α－β)的值题型8、关于sin α，cos α的齐次式问题【18】已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值．(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.题型9、求三角函数的值域【19】求函数y ＝－3sin 2x －4cos x ＋4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，2π3的值域．【20】已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，0上的最大值和最小值．【21】求函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域．题型10、三角函数的定义域【22】函数y ＝lg (sin x －cos x )的定义域是__________________________．题型11、三角函数的周期【23】在函数①y ＝cos |2x|，②y ＝|cos x|，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的全部函数为( )A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．①③【24】求函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期.【25】已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋θ＋π3 ⎝⎛⎭⎫θ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2 是偶函数，则θ的值为( )A ．0B .π6C .π4D .π3题型13、三角函数的单调性【26】求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调递减区间；【27】求y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x4的最小正周期及单调区间．题型14、三角函数的对称性【28】函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1的图象的一个对称中心的坐标是( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，0B .⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，1 C .⎝⎛⎭⎫π8，1D .⎝⎛⎭⎫－π8，－1题型15、求三角函数的解析式【29】函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3【30】说明由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换就能得到下列函数的图象． (1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3； (2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －23π； (3)y ＝||sin x ；(4)y ＝sin ||x .题型17、三角函数的图像【31】函数f (x )＝sin (2x ＋φ)＋a cos (2x ＋φ)，其中a 为正常数且0<φ<π，若f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，f (x )的最大值为2.(1)求a 和φ的值；(2)求f (x )的振幅、周期和初相；题型18、协助角公式【32】已知函数y ＝3sin x 2＋cos x2(x ∈R )．求它的振幅、周期及初相；题型19、三角恒等变换求三角函数值【33】求值：(1)sin 18°cos 36°；(2)2cos 10°－sin 20°cos 20°.（3）sin 20°cos 10°－ cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32 B .32 C ．－12 D .12题型20、正弦定理【34】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，求2sin 2B －sin 2Asin 2A 的值题型21、余弦定理【35】(1)在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin A ＝________.(2)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A .31010B .1010C ．－1010D ．－31010题型22、解三角形中的面积问题【36】在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且cos B cos C ＝－b2a ＋c .(1) 求B 的大小；(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．【37】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a ＝b cos C ＋c sin B . (1)求B ；(2)若b ＝2，求△ABC 面积的最大值．题型23、推断三角形的形态【38】在三角形ABC 中，若tan A ∶tan B ＝a 2∶b 2，试推断三角形ABC 的形态．【39】在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别为a ，b ，c ，A 为锐角，lg b ＋lg 1c ＝lgsin A ＝－lg 2，则△ABC为( )A ．锐角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形题型24、三角形外接圆的半径【40】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 2A ＋sin 2B ＋sin 2C ＝23sin A sin B sin C ，且a ＝2，则△ABC 的外接圆半径R ＝________.题型25、三角函数与向量的综合【41】已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫sin x 3，cos x 3，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x 3，3cos x3，函数f (x )＝a ·b .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若b 2＝ac ，且角B 的大小为x ，试求x 的范围及此时函数f (x )的值域．反思小结：。
三角函数、三角恒等变换与解三角形(学生版)
三角函数、三角恒等变换与解三角形根据近几年的高考情况，三角函数、三角恒变换与解三角形是高考必考点。
虽然九省联考中调整了试题顺序，但今年高考仍有可能在解答中考查这部分内容。
在高考中，主要考查正余弦定理解三角形及三角函数与解三角形的综合问题，转化为三角函数的图象及其性质进行求解。
还考察把实际应用问题转化为解三角形的问题，体现数学与实际问题的结合.题型一：三角恒等变换与三角函数1(2024·福建福州·统考模拟预测)已知函数f x =sin ωx -π4 (0<ω<3)，x =π8是f x 的零点．(1)求ω的值；(2)求函数y =f x -π8 +f 12x +π8的值域．此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多。
1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：(1)二倍角公式：sin 2α=2sin αcos α(S 2α)；cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α(C 2α)(2)降幂公式：cos 2α=1+cos2α2，sin 2α=1-cos2α2，2、再通过辅助角公式“化一”，化为y =A sin (ωx +φ)+B3、辅助角公式：a sin α+b cos α=a 2+b 2sin (α+φ)，其中tan φ=ba.4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：一般将ωx +ϕ看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题。
与三角函数相关的方程根的问题(零点问题)，通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析。
2(2024·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试)已知函数f (x )=(1+3tan2x )cos2x .(1)求函数f (x )在区间-π6,5π24上的最大值和最小值；(2)求方程f (x )=3的根.3(2022·全国·高三校联考阶段练习)已知函数f (x )=3sin2ωx +cos2ωx +1ω>0 的最小正周期为T ．若π≤T <4π，且y =f (x )的图象关于直线x =π6对称.(1)求函数f x 的单调增区间；(2)求函数f x 在区间0,π3上的最值.题型二：正余弦定理解三角形的边与角4(2024·浙江·高三浙江金华第一中学校考开学考试)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=π3，a=2.(1)若sin B+sin C=2sin A，求△ABC的面积；(2)若sin B-sin C=34，求b.利用正、余弦定理求解三角形的边角问题，实质是实现边角的转化，解题的思路是：1、选定理.(1)已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理；(2)已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理；(3)已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理；(4)已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论；(5)已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理；2、巧转化：化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化；若将条件转化为边之间的关系，则式子一般比较复杂，要注意根据式子结构特征灵活化简.3、得结论：利用三角函数公式，结合三角形的有关性质(如大边对大角，三角形的内角取值范围等)，并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等。
三角恒等变换 - 最全的总结· 学生版
12.（特殊值化特殊角处理） ＝_______
13、(tan 45°＝tan(20°＋25°)+多项式展开)若α＝20°，β＝25°，则(1＋tanα)(1＋tanβ)的值为_______
14、（合理组合，多项式乘法展开）(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为_______
（1）熟悉公式特征：能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”快速进行逻辑判断。注意构造两角和差因子
1、（二倍角公式）（2007重庆文）下列各式中，值为 的是（）
A． B． C． D．
2、（二倍角公式+平方差公式）(2008六校联考) 的值是
A. B. C. D.
8、（互余两角正余弦互换）【四川雅安中学2014－2015学年上期9月试题，理11】若 _______.
9、（互补两角余弦互为相反数） ，则 ___________
10.（两角整体相减）若 ， 则 ．
11、（两角整体相减）【2015重庆高一期末】若 且 ，则 ；
12.（两角整体相减）【2015江苏高考，8】已知 ， ，则 的值为______
13、（两角整体相减）（中山市2014届高三上学期期末考试）已知 , ,则
14、（两角相减）【2015湖南浏阳高一期末】已知 ，则β=。
答案：BDACB 6、 7、 8、 9、- 10、 11、 12、3 13、 14、
（3）弦切互化：1）、分子分母同时除以cos 2）注意分母还原sin2 + cos2 =1，然后分子分母同时除以cos2 ，即可化为正切3）注意期间学会使用解方程的思想4）遇到部分Asinα+ Bcosα之类求正切的，注意先两边平方后再进行相切互化
【精品】高中数学第三章三角恒等变换3.3几个三角恒等式教案苏教版必修4
3．3 几个三角恒等式整体设计教学分析本节主要内容为利用已有的公式进行推导发现．本节的编写意图与特色是教师引导学生发现创造，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三角恒等变换所涉及的问题各种各样，内容十分丰富，我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧，提高对三角变换的理性认识．科学发现是从问题开始的，没有问题就不可能有深入细致的观察．为了让学生经历一个完整的探索发现过程，教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题．这是从数学知识体系的内部发展需要提出问题的方法．用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系，体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用．从运算的角度提出问题，还可以帮助学生认识到三角变换也是一种运算，丰富对运算的认识，从而把对三角变换的研究纳入整体的数学体系之中．类比对数运算，由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式．在推导出了公式sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2以后，可以让学生推导其余的和差化积及积化和差公式．本节后面的练习中之所以用证明的形式给出这个问题，只是为了让学生有一个正确完整的结论．和差化积、积化和差、万能代换以及半角公式都不要求记忆和运用，要注意不应该加大三角变换的难度，不要在三角变换中“深挖洞”．高考在该部分内容上的难度一降再降几乎不涉及了．三维目标1．通过类比推导出积化和差与和差化积公式及万能公式．体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力．体会三角恒等变换在数学中的应用．2．通过和差化积公式和积化和差公式的推导，让学生经历数学探索和发现过程，激发学生数学发现的欲望和信心．重点难点教学重点：推导积化和差、和差化积公式．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.(复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式，并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、求值以及三角恒等式的证明问题，在我们运用三角函数知识解决一些问题的时候，我们也会遇到形如sin α＋sin β，sin α－sin β，cos α＋cos β，cos α－cos β的形式，那么，我们能否运用角α、β的有关三角函数值表示它们呢？这就是我们本节课所要研究的问题．思路2.(类比导入)我们知道log a m ＋log a n ＝log a (mn)，那么sin α＋sin β等于什么呢？ 推进新课新知探究和差化积公式的推导、万能公式的应用．在引入对数概念以后，我们还研究了它的运算，并得到了一些重要的结论，如log a m ＋log a n ＝log a (mn)．同样，在定义了三角函数以后，我们也应该考虑它的运算，如 sin α＋sin β＝？ 观察和角公式sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β， 容易得到sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β.① 由此，有sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．①的左边已经是两个正弦的和，因此，只要进行简单的变形，就可以回答sin α＋sin β＝？这个问题了．令α＋β＝θ，α－β＝φ，代入①得 sin θ＋sin φ＝2sin θ＋φ2cos θ－φ2，从而有sin α＋sin β＝2sin α＋β2cos α－β2.②为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sin αcos β呢？想到sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.从方程角度看这个等式，sin αcos β，cos αsin β分别看成两个未知数．二元方程要求得确定解，必须有两个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sin αcos β的公式，列出sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β后，解相应地以sin αcos β，cos αsin β为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果．得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与前者没有什么区别．只需做个变换，令α＋β＝θ，α－β＝φ，则α＝θ＋φ2，β＝θ－φ2，代入①式即得②式．证明：(1)因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β， 即sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．(2)由(1)可得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β.① 设α＋β＝θ，α－β＝φ，那么α＝θ＋φ2，β＝θ－φ2.把α、β的值代入①，即得sin θ＋sin φ＝2sin θ＋φ2cos θ－φ2.类似的还能得到sin α－sin β＝2cos α＋β2sin α－β2，cos α＋cos β＝2cos α＋β2cos α－β2，cos α－cos β＝－2sin α＋β2sin α－β2.以上四个公式我们称其为和差化积公式．教师给学生适时引导，指出这两个方程所用到的数学思想，可以总结出在本例的证明过程中，用到了换元的思想，如把α＋β看作θ，α－β看作φ，从而把包含α，β的三角函数式变换成θ，φ的三角函数式．另外，把sin αcos β看作x ，cos αsin β看作y ，把等式看作x ，y 的方程，通过解方程求得x ，这就是方程思想的体现．利用前面所学的三角函数公式还能推出很多有用的恒等式，我们先来探究一个具体问题．设tan α2＝t.(1)求证：sin α＝2t 1＋t 2，cos α＝1－t 21＋t 2，tan α＝2t1－t 2；①(2)当t ＝2时，利用以上结果求3cos 2α2－2sin α＋sin 2α2的值． (1)证明：由二倍角公式，得sin α＝2sin α2cos α2＝2sin α2cos α2cos 2α2＋sin 2α2＝2tanα21＋tan2α2＝2t1＋t 2，tan α＝2tanα21－tan2α2＝2t1－t 2.再由同角三角函数间的关系，得 cos α＝sin αtan α＝2t 1＋t 22t 1－t 2＝1－t21＋t2.(2)解：3cos2α2－2sin α＋sin 2α2＝2cos 2α2＋1－2sin α＝2＋cos α－2sin α ＝2＋1－t 21＋t 2－4t1＋t 2＝3＋t 2－4t 1＋t ＝－15. 公式①称为万能代换公式，利用万能代换公式，可以用tan α2的有理式统一表示α角的任何三角函数值．图1中的直角三角形可以帮助你更好地理解万能代换公式．图1应用示例思路1例1已知sinx －cosx ＝12，求sin 3x －cos 3x 的值．活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解．由于(a －b)3＝a 3－3a 2b ＋3ab 2－b 3＝a 3－b 3－3ab(a －b)，∴a 3－b 3＝(a －b)3＋3ab(a －b)．解完此题后，教师引导学生深挖本例的思想方法，由于sinxcosx 与sinx±cosx 之间的转化，提升学生的运算、化简能力及整体代换思想．本题也可直接应用上述公式求解，即sin 3x －cos 3x ＝(sinx －cosx)3＋3sinxcosx(sinx －cosx)＝1116.此方法往往适用于sin 3x±cos 3x 的化简问题．解：由sinx －cosx ＝12，得(sinx －cosx)2＝14，即1－2sinxcosx ＝14，∴sinxcosx＝38.∴sin 3x －cos 3x ＝(sinx －cosx)(sin 2x ＋sinxcosx ＋cos 2x) ＝12(1＋38)＝1116. 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值，注意公式的灵活运用和化简的方法.例2已知cos A cos 2B ＋sin A sin 2B ＝1，求证：cos B cos 2A ＋sin Bsin 2A＝1.活动：此题可从多个角度进行探究，由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致，只是将A 、B 的位置互换了，因此应从所给的条件等式入手，而条件等式中含有A 、B 角的正、余弦，可利用平方关系来减少函数的种类．从结构上看，已知条件是a 2＋b 2＝1的形式，可利用三角代换．证法一：∵cos 4A cos 2B ＋sin 4A sin 2B ＝1，∴cos 4Asin 2B ＋sin 4Acos 2B ＝sin 2Bcos 2B.∴cos 4A(1－cos 2B)＋sin 4Acos 2B ＝(1－cos 2B)cos 2B ， 即cos 4A －cos 2B(cos 4A －sin 4A)＝cos 2B －cos 4B. ∴cos 4A －2cos 2Acos 2B ＋cos 4B ＝0.∴(cos 2A －cos 2B)2＝0.∴cos 2A ＝cos 2B.∴sin 2A ＝sin 2B. ∴cos 4B cos 2A ＋sin 4B sin 2A ＝cos 2B ＋sin 2B ＝1. 证法二：令cos 2A cosB ＝cos α，sin 2AsinB ＝sin α，则cos 2A ＝cosBcos α，sin 2A ＝sinBsin α.两式相加得1＝cosBcos α＋sinBsin α，即cos(B －α)＝1.∴B－α＝2k π(k∈Z )，即B ＝2k π＋α(k∈Z )．∴cos α＝cosB ，sin α＝sinB. ∴cos 2A ＝cosBcos α＝cos 2B ，sin 2A ＝sinBsin α＝sin 2B. ∴cos 4B cos 2A ＋sin 4B sin 2A ＝cos 4B cos 2B ＋sin 4B sin 2B＝cos 2B ＋sin 2B ＝1. 点评：要善于从不同的角度来观察问题，本例从角与函数的种类两方面观察，利用平方关系进行了合理消元．思路2例题 证明1＋sinx cosx ＝tan(π4＋x2)．活动：教师引导学生思考，对于三角恒等式的证明，可从三个角度进行推导：①左边→右边；②右边→左边；③左边→中间条件←右边．教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导．注意式子左边包含的角为x ，三角函数的种类为正弦，余弦，右边是半角x2，三角函数的种类为正切．证法一：从右边入手，切化弦，得 tan(π4＋x 2)＝π4＋x 2π4＋x 2＝sin π4cos x 2＋cos π4sin x 2cos π4cos x 2－sin π4sin x 2＝cos x 2＋sinx 2cos x 2－sinx 2，由左右两边的角之间的关系，想到分子分母同乘以cos x 2＋sin x2，得x 2＋sin x 22x 2＋sin x 2x 2－sin x 2＝1＋sinxcosx. 证法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得 1＋sinxcosx＝x 2＋sin x 22x 2＋sin x 2x 2－sin x 2＝cos x 2＋sin x 2cos x 2－sin x 2.由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos x2，得1＋tan x 21－tan x 2＝tan π4＋tanx 21－tan π4tanx 2＝tan(π4＋x 2)． 点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.变式训练求证：1＋sin4θ－cos4θ2tan θ＝1＋sin4θ＋cos4θ1－tan 2θ. 分析：运用比例的基本性质，可以发现原式等价于1＋sin4θ－cos4θ1＋sin4θ＋cos4θ＝2tan θ1－tan 2θ，此式右边就是tan2θ. 证明：原等式等价于1＋sin4θ－cos4θ1＋sin4θ＋cos4θ＝tan2θ.而上式左边＝sin4θ＋－cos4θsin4θ＋＋cos4θ＝2sin2θcos2θ＋2sin 22θ2sin2θcos2θ＋2cos 22θ＝2sin2θθ＋sin2θ2cos2θ2θ＋cos2θ＝tan2θ＝右边．∴上式成立，即原等式得证.知能训练1．若sin α＝513，α在第二象限，则tan α2的值为( )A ．5B ．－5 C.15 D ．－152．设5π<θ<6π，cos θ2＝a ，则sin θ4等于( )A.1＋a2B.1－a2 C ．－1＋a2D ．－1－a23．已知sin θ＝－35，3π<θ<7π2，则tan θ2＝__________.答案：1．A 2.D 3.－3课堂小结1．先让学生自己回顾本节学习的数学知识：和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用，半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系．积化和差与和差化积公式及其推导，三角恒等式与条件等式的证明．2．教师画龙点睛：本节学习的数学方法：公式的使用，换元法，方程思想，等价转化，三角恒等变形的基本手段．作业课本复习题9、10.设计感想1．本节主要学习了怎样推导半角公式，积化和差，和差化积公式，在解题过程中，应注意对三角式的结构进行分析，根据结构特点选择合适公式，进行公式变形．还要思考一题多解、一题多变，并体会其中的一些数学思想，如换元、方程思想，“1”的代换，逆用公式等．2．在近几年的高考中，对三角变换的考查仍以基本公式的应用为主，突出对求值的考查．特别是对平方关系及和角公式的考查应引起重视，其中遇到对符号的判断是经常出问题的地方，同时要注意结合诱导公式的应用．备课资料一、1.一道给值求角类问题错解点击．解决给值求角这类问题时，要注意根据问题给出的三角函数值及角的范围，选择适当的三角函数，确定所求角的恰当范围，利用函数值在此范围内的单调性求出所求角．解答此类问题一定要重视角的范围对三角函数值的制约关系，常见的错误为不根据已知条件确定角的范围而盲目求值，造成增解．例题：若sin α＝55，sin β＝1010，α、β均为锐角，求α＋β的值． 错解：∵α为锐角， ∴cos α＝1－sin 2α＝255.又β为锐角，∴cos β＝1－sin 2β＝31010.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝22. ∵α，β均为锐角， ∴0°<α＋β<180°. ∴α＋β＝45°或135°.点评：上述解法欠严密，仅由sin(α＋β)＝22，0°<α＋β<180°而得到α＋β＝45°或135°是正确的．但题设中sin α＝55<12，sin β＝1010<12，使得0°<α＋β<60°，故上述结论是错误的．事实上，由0°<α＋β<180°，应选择求cos(α＋β)＝22(∵余弦函数在此范围内是单调的)，易求得cos(α＋β)＝22，则α＋β＝45°，因此，解决给值求角这类问题一般分三步：第一步是确定角所在的范围；第二步是求角的某一个三角函数值(要尽量使所选择的三角函数在所确定的范围内单调)；第三步是得到结论，求得所求角的值．2．如何进行三角恒等变式的证明． 三角恒等式证明的基本方法：师：如何利用同角三角函数的基本关系式对三角恒等式进行证明呢？ (1)可从一边开始，证得它等于另一边，一般是由繁到简． (2)可用左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子． (3)可采用切割化弦，将其转化为所熟知的正、余弦．(4)可用分析法，即假定结论成立，经推理论证，找到一个显然成立的式子(或已知条件)． (5)可用拼凑法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异，简言之，即化异求同．(6)可采用比较法，即“左边右边＝1”或“左边－右边＝0”．证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，就是有目的地进行化简，因此，在证明时要注意将上述方法综合起来考虑，要灵活运用公式，消除差异，其思维模式可归纳为三点：(1)发现差异：观察角、函数、运算结构的差异； (2)寻求联系：运用相关公式，找出转化差异的联系； (3)合理转化：选择恰当的公式，实现差异的转化． 二、备用习题1．已知tanx ＝－3，则sin2x ＝________，cos2x ＝________. 2．已知tan α＝2，则cos2α等于( ) A ．－13 B ．±13C ．－35D ．±353．下列各式化成和差的形式分别是： (1)sin(π3＋2x)cos(π3－2x)；(2)cos α＋β2sin α－β2.4．设α、β≠k π＋π2(k∈Z )，且cos2α＋sin 2β＝0.求证：tan 2α＝2tan 2β＋1.5．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A ＋C ＝2B ，且1cosA ＋1cosC ＝－2cosB ，试求cosA －C2的值．6．不查表求值： tan6°tan42°tan66°tan78°. 参考答案： 1．－35 －45 2.C3．(1)34＋12sin4x ；(2)12(sin α－sin β). 4．证明：∵cos2α＋sin 2β＝0,∴1－tan 2α1＋tan 2α＋sin 2βsin 2β＋cos 2β＝0，即1－tan 2α1＋tan 2α＋tan 2β1＋tan 2β＝0. 化简得tan 2α＝2tan 2β＋1.5．解：由题设条件，知B ＝60°，A ＋C ＝120°， 设A －C2＝α，则A ＝60°＋α，C ＝60°－α. 代入1cosA ＋1cosC ＝－2cosB ，可得1＋α＋1－α＝－22，即2cos α－3sin α＋2cos α＋3sin α＝－22，可化为4cos 2α＋2cos α－3＝0， 解得cos α＝22或－324(舍去)． ∴co s A －C 2＝22.6．解：原式＝tan54°tan6°tan66°tan42°tan78°tan54°＝－＋tan54°＝tan18°tan42°tan78°tan54°＝－＋tan54°＝tan54°tan54°＝1.。
高考培优课程秋季数学讲义：三角函数恒等变换【学生版】
高三数学三角函数恒等变换学生姓名授课日期教师姓名授课时长本篇学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角正弦、余弦和正切公式的以及运用这些公式进行简单的恒等变换。
三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上。
通过本章的学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用。
1、本章网络结构tan tan tan 2212ααααβ=-=←−−−←相除2、要点概述（1）求值常用的方法：切割化弦法，升幂降幂法，和积互化法，辅助元素法，“1”的代换法等。
（2）要熟悉角的拆拼、变换的技巧，倍角与半角的相对性，如 ()()()()2ααβαβααββαββ=++-=+-=-+，α3是23α的半角，α2是α4的倍角等。
（3）要掌握求值问题的解题规律和途径，寻求角间关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，正确选用公式，灵活地掌握各个公式的正用、逆用、变形用等。
（4）求值的类型： ①“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合和差化积、积化和差、升降幂公式转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解。
相同或具有某种关系。
③“给值求角”：实质上可转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角。
（5）灵活运用角和公式的变形，如：()()2ααβαβ=++-，()()tan tan tan tan tan αβαβαβ+=+-1等，另外重视角的范围对三角函数值的影响，因此要注意角的范围的讨论。
（6）化简三角函数式常有两种思路：一是角的变换（即将多种形式的角尽量统一），二是三角函数名称的变化（即当式子中所含三角函数种类较多时，一般是“切割化弦”），有时，两种变换并用，有时只用一种，视题而定。
第15讲 三角函数恒等变换学生
第15讲 三角函数恒等变换[玩前必备]1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β．(2)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．(3)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β， tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(α，β，α＋β，α－β均不等于k π＋π2，k ∈Z )， 2．二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α．(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α．(3)tan 2α＝2tan α1－tan α(α≠k π＋π4且α≠k π＋π2，k ∈Z )． 3．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. 4．公式的常见变形(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)；tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)．(2)sin 2α＝1－cos 2α2； cos 2α＝1＋cos 2α2； sin αcos α＝12sin 2α. [玩转典例]题型一 两角和与差公式例1 (1) 计算cos 42° cos 18°－cos 48° cos 72°的值为________．(2)cos 15°cos 105°＋sin 15°sin 105°.例2 设cos (α－β2)＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，其中α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos α＋β2.例3 化简下列各式：(1)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－3cos ⎝⎛⎭⎫2π3－x ； (2)sin (2α＋β)sin α－2cos(α＋β)．例4 若α，β均为钝角，且(1－tan α)(1－tan β)＝2，求α＋β.[玩转跟踪]1．(重庆，6)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝( )A.17B.16C.57D.562.已知cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos β的值．3.已知cos α＝55，sin(α－β)＝1010，且α、β∈⎝⎛⎭⎫0，π2.求：(1)cos(2α－β)的值；(2)β的值．4.已知△ABC中，tan B＋tan C＋3tan B tan C＝3，且3tan A＋3tan B＝tan A tan B－1，试判断△ABC的形状．题型二二倍角和辅助角公式例5已知sin 2α＝513，π4<α<π2，求sin 4α，cos 4α，tan 4α的值.例6在△ABC中，cos A＝45，tan B＝2，求tan(2A＋2B)的值.例7将下列各式写成A sin(ωx＋φ)的形式．(1)3sin x－cos x；(2)24sin⎝⎛⎭⎫π4－x＋64cos⎝⎛⎭⎫π4－x.[玩转跟踪]1.(1)cos 20°·cos 40°·cos 80°；(2)tan 70°·cos 10°·(3tan 20°－1).2.已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0<x <π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x 的值.3.已知函数f (x )＝3cos 2x －sin 2x ，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期与值域；(2)求f (x )的单调递增区间．题型三 三角函数化简综合应用例8 (广东，16)已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．[玩转跟踪] 1．(广东，16)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝322.(1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ.[玩转练习]1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α等于( ) A ．7 B.17 C ．－17 D ．－72．已知sin α＝54，则sin 2α－cos 2α的值为( )A ．－18B ．－38 C.18 D.383．已知cos α＝35，cos(α＋β)＝－513，α，β都是锐角，则cos β等于( )A ．－6365B ．－3365 C.3365 D.63654．在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C 的值是( )A ．－22 B.22 C.12 D ．－125．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于( )A.5π12B.π3C.π4D.π66．若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于( ) A.54B ．－54 C.43 D ．－43 7．函数y ＝sin x (3sin x ＋4cos x )(x ∈R )的最大值为M ，最小正周期为T ，则有序数对(M ，T )为( )A ．(5，π)B ．(4，π)C ．(－1，2π)D ．(4，2π)8．如果tan α、tan β是方程x 2－3x －3＝0的两根，则sin （α＋β）cos （α－β）＝________． 9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( ) A ．－235B.235 C ．－45 D.45 10．已知sin αcos α1－cos 2α＝12，tan(α－β)＝12，则tan β＝________． 11．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝12. (1)求tan α的值；(2)求sin 2α－cos 2α1＋cos 2α的值．。
高中数学 三角函数 板块三 三角恒等变换完整讲义(学生版)
学而思高中完整讲义：三角函数.板块三.三角恒等变换.学生版题型一：两角和与差的正弦、余弦、正切公式【例1】 cos79cos34sin79sin34+=（ ）。
A 12B 1 2 3【例2】 已知4cos 5α=-，(,)2παπ∈，则cos()4πα-=（ ）。
2 B 2C 7272 【例3】 在平面直角坐标系中，已知两点(cos80,sin80)A =，(cos20,sin 20)B =，则||AB 的值是（ ）A 12 2 3D 1【例4】 若3sin sin 1αβ-=，1cos cos 2αβ-=-，则cos()αβ-=（ ） A 12B 12- C 33 【例5】 已知3sin(30)5α+=，60150α<<，则cos α=（ ）343- 343+ 433- 433+【例6】 sin15cos15+=（ ）。
A 12B223 6【例7】 若α，β为锐角，且满足4cos 5α=，3cos()5αβ+=，则sin β的值是（ ）。
A 1725B 35C725D 15【例8】 已知1sin 4α=-，3(,)2παπ∈，3(,2)2πβπ∈，则αβ+是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角典例分析C 第三象限角D 第四象限角【例9】 已知向量(cos75,sin 75)a =，(cos15,sin15)b =，那么||a b -的值为（ ）A 12B2D 1【例10】 已知34παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ--=（ ）A 2B 2-C 1D 1-【例11】 sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）。
A 12- B 12C【例12】 已知1tan 41tan αα-=+tan()4πα-=（ ）。
A4 B 4 C 4-- D 4-【例13】 已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+=（ ） A 1318B 1322C322D 16【例14】 已知sin cos θθ-，(0)2πθ≤≤，则sin cos θθ+=（ ）B 23C 13D 1【例15】 在ABC 中，sin cos A A +的取值范围是（ ）A(1,- B (, C (,2] D (1,1]- 【例16】 sin70sin30cos70cos30a =+，cos71cos30sin71sin30b =+，则,a b 的大小关系是 。
高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 二倍角的三角函数数学教案
3.2 二倍角的三角函数整体设计教学分析“二倍角的三角函数”是在研究了两角和与差的三角函数的基础上，进一步研究具有“二倍角”关系的正弦、余弦、正切公式的，它既是两角和与差的正弦、余弦、正切公式的特殊化，又为以后求三角函数值、化简、证明提供了非常有用的理论工具；通过对二倍角的推导知道，二倍角的内涵是：揭示具有倍数关系的两个三角函数的运算规律，通过推导还让学生加深理解了高中数学由一般到特殊的化归思想；因此本节内容也是培养学生运算和逻辑推理能力的重要内容，对培养学生的探索精神和创新能力、发现问题和解决问题的能力都有着十分重要的意义．本节课通过教师提出问题、设置情境及对和角公式中α、β关系的特殊情形α＝β时的简化，让学生在探究中既感到自然、易于接受，还可清晰的知道和角的三角函数与倍角公式的联系，同时也让学生学会怎样发现规律及体会由一般到特殊的化归思想．这一切教师都要放心地让学生去做．因为《数学课程标准》提出：“要让学生在参与特定的数学活动，在具体情境中初步认识对象的特征，获得一些体验”．所谓体验，从教育的角度看，是一种亲历亲为的活动，是一种积极参与活动的学习方式．让学生亲历经验，不但有助于通过多种活动和探究获取数学知识，更重要的是学生在体验中能够逐步掌握数学学习的一般规律和方法．三维目标1．通过让学生探索、发现并推导二倍角公式，了解它们之间、以及它们与和角公式之间的内在联系，并通过强化题目的训练，加深对二倍角公式的理解，培养运算能力及逻辑推理能力，从而提高解决问题的能力．2．通过二倍角的正弦、余弦、正切公式的运用，会进行简单的求值、化简、恒等证明．体会化归这一基本数学思想在发现中和求值、化简、恒等证明中所起的作用．使学生进一步掌握联系变化的观点，自觉地利用联系变化的观点来分析问题，提高学生分析问题、解决问题的能力．3．通过本节学习，引导学生领悟寻找数学规律的方法，培养学生的创新意识，以及善于发现和勇于探索的科学精神．重点难点教学重点：二倍角三角函数公式的推导及其应用．教学难点：如何灵活应用和、差、倍角公式进行三角式化简、求值、证明恒等式．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1.(旧知导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后找一个学生把这六个公式写在黑板上．教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的．当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？今天，我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课．思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sinα＝35，α∈(π2，π)，求sin2α，cos2α的值．学生会很容易看出：sin2α＝sin(α＋α)＝sinαcosα＋co sαsinα＝2sinαcosα，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式．推进新课新知探究从两角和的公式中推导出倍角公式，并用公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明．活动：学生默写公式S (α＋β)、C (α＋β)、T (α＋β)，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α、β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试．如果学生想到α、β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入下一个问题，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的坐位上简化；教师再与学生一起订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释．这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义．同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβsin2α＝2sinαcosα(S2α)；cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβcos2α＝cos2α－sin2α(C2α)；tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβtan2α＝2tanα1－tan2α(T2α)．这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦、余弦、正切公式，并指导学生阅读课本，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”；点拨学生结合sin2α＋cos2α＝1思考，二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式．这时教师指出，这些公式都叫做倍角公式(用多媒体演示)，倍角公式是和角公式的特例．倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系．这组公式用途很广，与学生一起观察公式的特征并记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角；二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式．并引导学生观察思考并初步感性认识到：(1)这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名词时，“三”字等不可省去；(2)通过二倍角公式，可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(3)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(4)公式(S 2α)，(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠12kπ＋π4和α≠kπ＋π2(k∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意．但是当α＝kπ＋π2，k∈Z 时，虽然tanα不存在，此时不能用此公式，但tan2α是存在的，故可改用诱导公式．为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，α2是α4的二倍，3α是3α2的二倍，α3是α6的二倍，3α是3α2的二倍，π2－2α是π4－α的二倍等，所有这些都可以应用二倍角公式．例如：sin α2＝2sin α4cos α4，cos α3＝cos 2α6－sin 2α6等等． 本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意．如：sin3αcos3α＝12sin6α，4sin α4cos α4＝2(2sin α4cos α4)＝2sin α2， 2tan40°1－tan 240°＝tan80°，cos 22α－sin 22α＝cos4α，tan2α＝2tanα1－tan2α等等．一般情况下：sin2α≠2sinα，cos2α≠2cosα，tan2α≠2tanα.若sin2α＝2sinα，则2sinαcosα＝2sinα，即sinα＝0或cosα＝1，此时α＝kπ(k∈Z)．若cos2α＝2cosα，则2cos2α－2cosα－1＝0，即cosα＝1－32(cosα＝1＋32舍去)．若tan2α＝2tanα，则2tanα1－tan2α＝2tanα，∴tanα＝0，即α＝kπ(k∈Z)．应用示例思路1例1课本本节例1.变式训练1．不查表：求值sin15°＋cos15°. 解：原式＝sin15°＋cos15°2＝sin 215°＋2sin15°cos15°＋cos 215°＝62. 点评：本题在两角和与差的三角函数的学习中已经解决过，现用二倍角公式给出另外的解法，让学生体会它们之间的联系，体会数学变化的魅力．2．若sin θ2＋cos θ2＝12，则cos2θ＝________. 答案：－183．函数f(x)＝2sin 2(x 2＋π4)－1是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数答案：C4．若cos2αsin α－π4＝－22，则cosα＋sinα的值为( ) A ．－72 B ．－12C.12D.72答案：C5．下列各式中，值为32的是( ) A ．2sin15°－cos15° B．cos 215°－sin 215°C ．2sin 215°－1D ．sin 215°＋cos 215°答案：B 例2证明1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝tanθ. 活动：教师先让学生思考一会，鼓励学生充分发挥自己的聪明才智，战胜它，并力争一题多解．教师可点拨学生想一想，到现在为止，所学的证明三角恒等式的方法大致有几种：从复杂一端化向简单一端；两边化简，中间碰头；化切为弦；还可以利用分析综合法解决，有时几种方法会同时使用等．对找不到思考方向的学生，教师点出：可否再添加一种，化倍角为单角？这可否成为证明三角恒等式的一种方法？再适时引导，前面学习同角三角函数的基本关系时曾用到“1”的代换，对“1”的妙用大家深有体会，这里可否在“1”上做做文章？待学生探究解决方法后，可找几个学生到黑板书写解答过程，以便对照点评及给学生以启发．点评时对能够善于运用所学的新知识解决问题的学生给予赞扬；对暂时找不到思路的学生给予点拨、鼓励．强调“1”的妙用，妙在它在三角恒等式中一旦出现，在证明过程中就会起到至关重要的作用，在今后的证题中，万万不要忽视它．证明：方法一：左边＝sin2θ＋1－cos2θsin2θ＋1＋cos2θ＝2sinθcosθ＋1＋1－2cos2θ2sinθcosθ＋1＋2cos2θ－1＝sinθcosθ＋1－cos2θsinθcosθ＋cos2θ＝sinθcosθ＋sin2θsinθcosθ＋cos2θ＝sinθcosθ＋sinθcosθsinθ＋cosθ＝tanθ＝右边．所以原式成立．方法二：左边＝sin2θ＋cos2θ＋sin2θ＋sin2θ－cos2θsin2θ＋cos2θ＋sin2θ＋cos2θ－sin2θ＝sin2θ＋2sin2θsin2θ＋2cos2θ＝2sinθsinθ＋cosθ2cosθsinθ＋cosθ＝tanθ＝右边．方法三：左边＝1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ－cos2θ－sin2θsin2θ＋cos2θ＋2sinθcosθ＋cos2θ－sin2θ＝sinθ＋cosθ2－cosθ＋sinθcosθ－sinθsinθ＋cosθ2＋cosθ＋sinθcosθ－sinθ＝sinθ＋cosθsinθ＋cosθ＋sinθ－cosθsinθ＋cosθsinθ＋cosθ＋cosθ－sinθ＝sinθ＋cosθ·2sinθsinθ＋cosθ·2cosθ＝tanθ＝右边．点评：课本上只给出了一种方法，教学中可引导学生从不同角度观察题目得到不同解法，以训练应用公式的灵活性．以上几种方法大致遵循以下规律：首先从复杂端化向简单端；第二，化倍角为单角，这是我们今天刚刚学习的；第三，证题中注意对数字的处理，尤其是“1”的代换的妙用，请同学们在探究中仔细体会这点．在这道题中通常用的几种方法都用到了，不论用哪一种方法，都要思路清晰，书写规范才是．思路2例1求sin10°sin30°sin50°sin70°的值．活动：本例是一道灵活应用二倍角公式的经典例题，有一定难度，但也是训练学生思维能力的一道好题．本题需要公式的逆用，逆用公式的先决条件是认识公式的本质，要善于把表象的东西拿开，正确捕捉公式的本质属性，以便合理运用公式．教学中教师可让学生充分进行讨论探究，不要轻易告诉学生解法，可适时点拨学生需要做怎样的变化，又需怎样应用二倍角公式．并点拨学生结合诱导公式思考．学生经过探索发现，如果用诱导公式把10°，30°，50°，70°正弦的积化为20°，40°，60°，80°余弦的积，其中60°是特殊角，很容易发现40°是20°的2倍，80°是40°的2倍，故可考虑逆用二倍角公式．解：原式＝cos80°cos60°cos40°cos20°＝23·sin20°cos20°cos40°cos80°23·2sin20°＝sin160°16sin20°＝sin20°16sin20°＝116. 点评：二倍角公式是中学数学中的重要知识点之一，又是解答许多数学问题的重要模型和工具，具有灵活多变，技巧性强的特点，要注意在训练中细心体会其变化规律．2在△ABC 中，cosA ＝45，tanB ＝2，求tan(2A ＋2B)的值． 活动：此题结合三角形，具有一定的综合性，同时也是和与差公式的应用问题．教师可引导学生注意在三角形的背景下研究问题，会带来一些隐含的条件，如A ＋B ＋C ＝π(0<A<π，0<B<π，0<C<π)，就是其中的一个隐含条件．可先让学生讨论探究，教师适时点拨．学生探究解法时教师进一步启发学生思考由条件到结果的函数及角的联系．由于对2A ＋2B 与A ，B 之间关系的看法不同会产生不同的解题思路，所以学生会产生不同的解法，不过它们都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别．不论学生的解答正确与否，教师都不要直接干预．在学生自己尝试解决问题后，教师可与学生一起比较各种不同的解法，并引导学生进行解题方法的归纳总结．基础较好的班级还可以把求tan(2A ＋2B)的值改为求tan2C 的值．解：方法一：在△ABC 中，由cosA ＝45，0<A<π，得 sinA ＝1－cos 2A ＝1－452＝35， 所以tanA ＝sinA cosA ＝35×54＝34，tan2A ＝2tanA 1－tan 2A ＝2×341－342＝247. 又tanB ＝2，所以tan2B ＝2tanB 1－tan 2B ＝2×21－22＝－43. 于是tan(2A ＋2B)＝tan2A ＋tan2B 1－tan2Atan2B ＝247－431－247×－43＝44117. 方法二：在△ABC 中，由cosA ＝45，0<A<π，得sinA ＝1－cos 2A ＝1－452＝35. 所以tanA ＝sinA cosA ＝35×54＝34.又tanB ＝2，所以tan(A ＋B)＝tanA ＋tanB 1－tanAtanB ＝34＋21－34×2＝－112.于是tan(2A ＋2B)＝tan[2(A ＋B)]＝2tan A ＋B 1－tan 2A ＋B ＝2×－1121－－1122＝44117. 点评：以上两种方法都是对倍角公式、和角公式的联合运用，本质上没有区别，其目的是为了鼓励学生用不同的思路去思考，以拓展学生的视野.变式训练化简：1＋cos4α＋sin4α1－cos4α＋sin4α. 解：原式＝2cos 22α＋2sin2αcos2α2sin 22α＋2sin2αcos2α＝2cos2αcos2α＋sin2α2sin2αsin2α＋cos2α＝cot2α.知能训练课本本节练习1、2、3、4.作业求值：tan70°cos10°(3tan20°－1)．解：原式＝2tan70°cos10°32sin20°－12cos20°cos20°＝2tan70°cos10°－sin10°cos20°＝sin70°cos70°·－sin20°cos20°＝－1. 课堂小结1．先由学生回顾本节课都学到了什么？有哪些收获？对前面学过的两角和公式有什么新的认识？对三角函数式子的变化有什么新的认识？怎样用二倍角公式进行简单三角函数式的化简、求值与恒等式证明．2．教师画龙点睛：本节课要理解并掌握二倍角公式及其推导，明白从一般到特殊的思想，并要正确熟练的运用二倍角公式解题．在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系，一个题目能给出多种解法，从中比较最佳解决问题的途径，以达到优化解题过程，规范解题步骤，领悟变换思路，强化数学思想方法之目的．设计感想1．新课改的核心理念是：以学生发展为本．本节课的设计流程从回顾→探索→应用，充分体现了“学生主体、主动探索、培养能力”的新课改理念，体现“活动、开放、综合”的创新教学模式．本节在学生探究和角公式的特殊情形中得到了二倍角公式，在这个活动过程中，由一般化归为特殊的基本数学思想方法就深深的留在了学生的记忆中．本节课的教学设计流程还是比较流畅的．2．纵观本教案的设计，学生发现二倍角后就是应用，至于如何训练二倍角公式正用，逆用，变形用倒成了次要的了．而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律，又发现了怎样逆用公式及活用公式，那才是深层的，那才是我们中学数学教育的最终目的．3．教学矛盾的主要方面是学生的学，学是中心，会学是目的，根据高中三角函数的推理特点，本节主要是教给学生“回顾公式、探索特殊情形、发现规律、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法．这样做增加了学生温故知新的空间，增强了学生的参与意识，教给了学生发现规律、探索推导、获取新知的途径，让学生真正尝试到探索的喜悦，真正成为教学的主体．学生会体会到数学的美，产生一种成功感，从而提高了学习数学的兴趣．备课资料一、关于三角变换中的“一致代换”法在三角变换中，“一致代换”法是一种重要的方法，所谓“一致代换”法，即在三角变换中，化“异角”“异名”“异次”为“同角”“同名”“同次”的方法．它主要包括：在三角函数式中，①如果只含同角三角函数，一般应从变化函数名称入手，尽量化为同名函数，常用“化弦法”；②如果含有异角，一般应从变化角入手，尽量化不同角为同角，变复角为单角；③如果含有异次幂，一般利用升幂或降幂公式化异次幂为同次幂．二、备用习题1．求值：1sin10°－3cos10°. 2．化简：cos36°cos72°.3．化简：cosαcos α2cos α22cos α23·…·cos α2n －1. 4．求值：sin6°sin42°sin66°sin78°.5．若cos(π4＋x)＝35，17π12<x<7π4，求sin2x ＋2sin 2x 1－tanx 的值．6．已知cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos(α＋β)的值． 参考答案：1．解：原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝212cos10°－32sin10°sin10°cos10°＝4sin30°cos10°－cos30°sin10°2sin10°cos10°＝4sin 30°－10°sin20°＝4. 2．解：原式＝2sin36°cos36°cos72°2sin36°＝2sin72°cos72°4sin36°＝sin144°4sin36°＝14. 3．解：先将原式同乘除因式sin α2n －1，然后逐次使用倍角公式，则原式＝sin2α2n sin α2n －1. 4．解：原式＝sin6°cos48°cos24°cos12°＝sin6°cos12°cos24°cos48°＝24cos6°sin6°cos12°cos24°cos48°24cos6°＝sin96°24cos6°＝cos6°16cos6°＝116.5．解：原式＝2sinxcosx ＋2sin 2x 1－tanx ＝2sinxcosx 1＋tanx 1－tanx＝sin2xtan(π4＋x)． ∵17π12<x<7π4，∴5π3<π4＋x<2π.又cos(π4＋x)＝35，∴sin(π4＋x)＝－45，tan(π4＋x)＝－43.∴sin2x＝sin[2(π4＋x)－π2]＝－cos[2(π4＋x)]＝－[2cos 2(π4＋x)－1]＝725. 故原式＝725×(－43)＝－2875. 6．解：∵cos(α－β2)＝－19，π2<α<π，0<β<π2，∴π2<α－β2<π.∴sin(α－β2)＝459. ∵sin(α2－β)＝23，π2<α<π，0<β<π2，∴－π4<α2－β<π2.∴cos(α2－β)＝53. ∵cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β) ＝(－19)×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝－239729. 第2课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回顾上节课学习的三角函数倍角公式，快速写出并说出各公式的用途．思路2.三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和、差、倍角等关系，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决．如2α＝(α＋β)＋(α－β)＝α＋α＝(π4＋α)－(π4－α)等．本节我们进一步加深对所学倍角公式的灵活运用．推进新课新知探究进一步运用倍角公式进行三角函数式的化简、求值与三角恒等式的证明．采用“cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2”可将二次降为一次，故该公式又称为“降幂扩角公式”，这是一组非常有用的三角公式，对于我们进行三角函数式的化简、求值以及三角恒等式变换有很大的帮助．应用示例思路1例1课本本节例3.例2课本本节例4.例3课本本节例5.变式训练如图1，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，四边形ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．图1活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到S ＝AB·BC＝(cosα－33sinα)sinα＝sinαcosα－33sin 2α.求这种y ＝asin 2x ＋bsinxcosx ＋ccos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(x ＋φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，可分两步进行：(1)找出S 与α之间的函数关系；(2)由得出的函数关系，求S 的最大值．解：在Rt△OBC 中，OB ＝cosα，BC ＝sinα.在Rt△OAD 中，DA OA＝tan60°＝3， 所以OA ＝33DA ＝33BC ＝33sinα.所以AB ＝OB －OA ＝cosα－33sinα. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB·BC＝(cosα－33sinα)sinα＝sinαcosα－33sin 2α ＝12sin2α＋36cos2α－36＝13(32sin2α＋12cos2α)－36 ＝13sin(2α＋π6)－36. 由于0<α<π3，所以当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36. 因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36. 点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y ＝asinx ＋bcosx 的函数转化为形如y ＝Asin(ωx＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申，即可以去掉“记∠COP＝α”，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD ＝x ，S ＝x(1－x 2－33x)，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.思路2例1已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，且α、β∈(0，π)，求2α－β的值．活动：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角的范围的讨论．即解决“给值求角”问题是由两个关键步骤构成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．解：∵2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝12， ∴tan2(α－β)＝2tan α－β1－tan 2α－β＝43. 从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan[2α－β]＋tanβ1－tan[2α－β]tanβ＝43－171＋43×17＝25212521＝1. 又∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tanβ1－tan α－βtanβ＝13<1， 且0<α<π，∴0<α<π4.∴0<2α<π2. 又tanβ＝－17<0，且β∈(0，π)， ∴π2<β<π，－π<－β<－π2.∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－3π4. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0，π)，则求cosα.若α∈(－π2，π2)，则求sinα等．例2若α、β为锐角，且3sin 2α＋2sin 2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，求证：α＋2β＝π2. 证明：已知两个等式可化为3sin 2α＝cos2β，①3sinαcosα＝sin2β，②①÷②，得sinαcosα＝cos2βsin2β，即cosαcos2β－sinαsin2β＝0，∴cos(α＋2β)＝0.∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋2β<3π2.∴α＋2β＝π2. 点评：由条件等式证明“角＋角＝角”的问题，一般转化为证明相应的三角函数值问题． 知能训练课本本节练习1、2、3.课堂小结1．在解决三角函数式的化简问题时，经常从以下三个方面来考虑：一看函数式中所涉及的角之间的关系；二看函数式中所涉及的三角函数的名称之间的关系；三看所涉及的三角函数的幂．遵循的原则是：不同角化同角，不同名化同名，高次降低次．2．若所要化简或证明的三角函数式中含有多个名称的三角函数，我们常用的方法是将正切化为正弦、余弦，若是有常数和分式相加，我们采取的措施是通分，而后再化简．即对于形如例2的化简证明问题我们采用的措施是“切(正切)化弦(正弦、余弦)，通分化简，逆用公式，求得结果”．作业课本习题3.2 10、12.设计感想本节内容的几道例题都是二倍角公式的进一步应用，例3是有关几何的应用题．训练学生建立适当的数学模型来解决实际问题．教学中重在让学生体会二倍角公式的“降幂”作用，深刻领悟二倍角的结构特点及本质属性．对于三角函数条件等式的证明题，课本是从角的变换的角度来探求证明方法的．教学时要注意引导学生仔细体会、灵活掌握．备课资料备选习题1．已知x 为锐角，且sinx sin x 2＝85，则cosx 等于( ) A.45 B.825 C.1225D.7252.2－sin 22＋cos4的值是( )A ．sin2B ．－cos2 C.3cos2 D ．－3cos23．函数y ＝cos 2x －sin 2x ＋2sinxcosx 的最小值是( ) A. 2 B ．－ 2C ．2D ．－24．若tanx ＝2，则tan(π4＋2x)＝________. 5．化简2sin(45°＋α)sin(45°－α)＝________.6．化简：1＋cos2αcot α2－tan α2. 7．设α是第二象限角，sinα＝35，求sin(π6－2α)的值． 8．求证：sin 2α＋cosαcos(π3＋α)－sin 2(π6－α)的值是与α无关的定值．9．已知cos(α＋π4)＝35(π2≤α＜3π2)，求cos(2α＋π4)． 参考答案：1. D2.A 〔提示：1－sin 22＋1＋cos4＝cos 22＋2cos 22＝－3cos2〕 3．B 〔提示：y ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π4)≥－2〕 4．－17〔提示：由tanx ＝2得tan2x ＝－43，原式＝1＋tan2x 1－tan2x＝－17〕 5．cos2α 6.12sin2α. 7．解：∵α是第二象限角，且sinα＝35，∴cosα＝－45. ∴sin2α＝－2425，cos2α＝725.∴sin(π6－2α)＝12cos2α－32sin2α＝7＋24350. 8．证明：原式＝12(1－cos2α)－12[1－cos(π3－2α)]＋cosαcos(π3＋α) ＝12[cos(π3－2α)－cos2α]＋cosα(cos π3cosα－sin π3sinα)＝12(cos π3cos2α＋sin π3sin2α－cos2α)＋12cos 2α－32cosαsinα＝14cos2α＋34sin2α－12cos2α＋14(1＋cos2α)－34sin2α＝14， ∴sin 2α＋cosαcos(π3＋α)－sin 2(π6－α)的值与α无关． 9．分析：本题的解法很多，入口也较浅．为了求cos(2α＋π4)的值，可将cos(2α＋π4)适当变形，即进行三角式的恒等变形，以便与已知条件沟通起来．例如由于cos(2α＋π4)＝cos2αcos π4－sin2αsin π4，因此只需由已知条件求出cos2α及sin2α即可．又如由于cos(2α＋π4)＝cos αcos(α＋π4)－sinαsin(α＋π4)，因此只需由已知条件求出sin(α＋π4)及sinα、cosα同样也能获解．由此可见，灵活运用公式是关键．解：∵π2≤α＜3π2，cos(α＋π4)＝35＞0，∴7π4＞α＋π4＞3π2，得5π4＜α＜3π2. ∴5π2＜2α＜3π.从而sin2α＝－cos(2α＋π2)＝1－2cos 2(α＋π4)＝725， cos2α＝－1－sin 22α＝－2425.∴cos(2α＋π4)＝22(cos2α－sin2α)＝－31230.。
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题型一：两角和与差的正弦、余弦、正切公式【例1】cos79cos34sin79sin34+=（）。
A 12B 1 C2D3【例2】已知4cos5α=-，(,)2παπ∈，则cos()4πα-=（）。
A 2B2- C72- D72【例3】在平面直角坐标系中，已知两点(cos80,sin80)A=，(cos20,sin20)B=，则||AB的值是（）A 12B22C3D 1【例4】若3sin sin1αβ-=-，1cos cos2αβ-=-，则cos()αβ-=（）A 12B12- C3- D3【例5】已知3sin(30)5α+=，60150α<<，则cosα=（）A 343-B343+C433-D433+【例6】sin15cos15+=（）。
A 12B2C3D6典例分析板块三.三角恒等变换【例7】 若α，β为锐角，且满足4cos 5α=，3cos()5αβ+=，则sin β的值是（ ）。
A 1725B35C725D15【例8】 已知1sin 4α=-，3(,)2παπ∈，3(,2)2πβπ∈，则αβ+是（ ）A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角【例9】 已知向量(cos75,sin 75)a =，(cos15,sin15)b =，那么||a b -的值为（ ）A12B2CD 1【例10】 已知34παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ--=（ ） A 2B 2-C 1D 1-【例11】 sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）。
A 12-B12C D【例12】 已知1tan 41tan αα-=+tan()4πα-=（ ）。
A 4+B 4C 4-D 4-+【例13】 已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+=（ ） A1318B1322C322D16【例14】 已知sin cos θθ-=，(0)2πθ≤≤，则sin cos θθ+=（ ）AB23C13D 1【例15】 在ABC 中，sin cos A A +的取值范围是（ ）A (1,- B (,22C (,2]2-D (1,1]-【例16】 sin70sin30cos70cos30a =+，cos71cos30sin71sin30b =+，则,a b 的大小关系是 。
【例17】 若cos cos cos 0αβγ++=，sin sin sin 0αβγ++=，则cos()αβ-= 。
【例18】tan15= 。
【例19】 3cos 4sin 5cos()x x x α+=+，则sin α= ；cos α= 。
【例20】 sin 7cos15sin8cos7sin15sin8+-的值为 。
【例21】 函数cos cos()3y x x π=++的最大值是 。
【例22】 已知(0,)2πα∈，且3sin 5α=)4πα-的值。
【例23】 证明：3cos()sin 2πθθ-=-【例24】 若,αβ为锐角，且满足4cos 5α=，3cos()5αβ+=，求cos β的值。
【例25】 设1cos cos 2αβ+=，1sin sin 3αβ+=，求cos()αβ-的值。
【例26】 已知,αβ都是锐角，1cos 7α=，11cos()14αβ+=-，求cos β的值。
【例27】 若3sin sin 5x y +=，4cos cos 5x y +=，求cos()x y -的值。
【例28】 定义10200cos()cos()cos()n nθθθθθθ-+-++-为集合12{,,,}n θθθ相对于常数0θ的“余弦平均数”，求集合22{,0,}33ππ-相对于于常数0θ的“余弦平均数”。
【例29】 已知4cos 5θ=-，(,)2πθπ∈，求sin()3πθ+的值。
【例30】 已知tan()34πα+=，求tan α的值。
【例31】 已知324ππβα<<<，12cos()13αβ-=，3sin()5αβ+=-，求sin 2α的值。
【例32】 已知,(0,)αβπ∈且1tan()2αβ-=，1tan 7β=-，求2αβ-的值。
【例33】 已知2sin()3αβ+=，3sin()4αβ-=，求tan tan αβ的值。
【例34】 已知函数cos y x x =+，R x ∈（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；（2）该函数的图像可由sin ()R y x x =∈的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？【例35】 函数2()2cos sin()2sin sin 2sin cos cos f x a x x a x a x x βββ=+-+的定义域是R ，值域是[2,2]-，在区间5[,]1212ππ-上是单调递减函数，且0a >，[0,2]βπ∈。
（1）求()f x 的周期；（2）求常数a 和角β的值。
【例36】 已知,αβ都是锐角，且sin α=，sin β=αβ+。
【例37】求tan()tan()tan()tan()6666ππππθθθθ-++-+的值。
【例38】 已知5sin()413x π-=，04x π<<，求cos 2cos()4x x π+的值。
【例39】 求证：tan()tan()tan()tan()tan()tan()x y y z z x x y y z z x ---=-+-+-。
【例40】 已知3sin()sin 35παα+-=，02πα-<<，求cos α的值。
【例41】 已知tan α与tan β是方程2330x x --=的两根，求22sin ()3sin()cos()3cos ()αβαβαβαβ+-++-+的值。
【例42】 已知向量(cos ,a m θ=-，(1,sin )b n θ=+，且a b ⊥（1）若1m n ==，求sin()6πθ-的值；（2）若m =，且(0,)2πθ∈，求实数n 的取值范围。
题型二：二倍角的正弦、余弦、正切公式【例43】 下列各式中，值为12的是（ ）。
A sin15cos15 B 22cos 151-CD2tan 22.51tan 22.5-【例44】 已知(,0)2x π∈-，4cos 5x =，则tan2x =（ ）。
A724B 724-C247D 247-【例45】 22cos 75sin 75cos75cos15++的值为（ ）AB32C54D 1+【例46】 函数2sin (sin cos )y x x x =+的最大值为（ ）A 1+B 1CD 2【例47】 是二次方程21(tan )10tan x x θθ-++=的一个根，tan 1θ<，则tan2θ=（ ）AB C D【例48】 函数()sin 22f x x x =+的最小正周期是（ ）。
A π B2πC4πD8π【例49】 已知3sin()45x π-=，则cos(2)2x π-的值为（ ）。
A1925B1625C1425D725【例50】 若tan 2α=，则1sin 22α=（ ）A12B23C25D 1【例51】 如果1sin 24α=且(,)42ππα∈，那么cos sin αα-=（ ）AB 34-C34D【例52】 若22sin 12()2tan sin cos 22f θθθθθ-=+，则()8f π=（ ）A 0B 2C 2-D 4-【例53】 已知1cos()cos()444ππθθ+-=，则44sin cos θθ+的值等于_______。
【例54】 sin cos 12cos sin 3αααα+=-，则tan2α=_________。
【例55】 化简2cos 75的值是_______。
【例56】 已知tan()3πα-=，则tan α=_________；22sin cos 3cos 2sin αααα=-_________。
【例57】 已知3sin cos 10x x =，求4sin()sin()44x x ππ-+的值【例58】 求证：（1）22tan sin 21tan xx x=+；（2）221tan cos21tan x x x -=+。
【例59】 已知3cos 5α=，cos β=,(0,)2παβ∈，求tan 2()αβ-的值。
【例60】 求22sin 20cos 50sin 20cos50++的值。
【例61】 已知sin cos sin cos αααα-=，求sin 2α的值。
【例62】 已知44()cos 2sin cos sin f x x x x x =--。
（1）求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值。
【例63】 设2sin 2sin 2cos cos21,(0,)2πααααα+-=∈。
求sin ,tan αα的值。
【例64】 已知33cos()()4522πππαα+=≤<，求cos(2)4πα+的值。
【例65】 已知sin cos )θθθπ+=<<，求cos2θ的值。
【例66】 求函数66sin cos y x x =+的最小正周期。
【例67】求227()4sin cos ()424f x x x x x x ππ=-≤≤的最小值，并求出取得最小值时x 的值。
【例68】 化简42212cos 2cos 22tan()sin ()44x x x x ππ-+-+。
【例69】 若4cos(45)(225315)5x x -=-<<，求2sin 2sin 1tan x x x -+的值。
【例70】 已知矩形ABCD 的长AB a =，宽AD b =，试求其外接矩形EFGH 面积的最大值与对角线长的最大值.H G FED CB A题型三：简单的三角恒等变换【例71】 化的结果是（ ）。
A cos1-B cos1CD【例72】 tancot88ππ-的值是（ ） A 1-B 2-C 1D 2【例73】 若24sin 225α=cos()4πα-的值为（ ） A 15B75 C 15±D 75±【例74】 设θ在第二象限，且31sin()222θπ+>cos sin 22- ）A 1B 1-C 1-或1D 不能确定【例75】 若22sin 1()sin 4f ααα-=，则()12f π=_______。
【例76】 等腰三角形的顶角的正弦值为513，则它的底角的余弦值为_________。
【例77】 已知A 是ABC △的内角，且1sin cos 5A A +=，求tan A 的值。
【例78】 求证(sin cos 1)(sin cos 1)tan sin 22θθθθθθ+--+=。