高中数学 阶段质量检测(三)数系的扩充与复数的引入 新

阶段质量检测（三） 数系的扩充与复数的引入
(时间： 120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．i 是虚数单位，复数7－i
3＋i ＝( )
A ．2＋i
B ．2－i
C ．－2＋i
D ．－2－i 解析：选B
7－i
3＋i
＝7－i
3－i
10
＝20－10i 10
＝2－i.
2．若复数z 满足z
1－i
＝i ，其中i 是虚数单位，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i
D ．－1＋i
解析：选A z ＝(1－i)i ＝－i 2
＋i ＝1＋i ，z ＝1－i ，故选A. 3．设i 是虚数单位，则复数2i
1－i
在复平面内所对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
解析：选B
2i
1－i
＝2i 1＋i 1－i 1＋i
＝
2
i －1
2
＝－1＋i ，由复数的几何意义知－1＋i 在复平面内的对应点为(－1,1)，该点位于第二象限，故选B.
4．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z ，则2－z
z
等于( )
A ．－1－2i
B ．－2＋i
C ．－1＋2i
D ．1＋2i
解析：选C 由题意可得2－z z ＝2－－1＋i －1－i
＝
3－i
－1＋i
－1－i
－1＋i
＝－1＋2i ，故选C.
5．已知复数z ＝－12＋3
2i ，则z ＋|z |＝( )
A ．－12－32
i
B ．－12＋3
2
i
C.12＋32i
D.12－32
i
解析：选D 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－3
2i ＋
⎝ ⎛⎭
⎪⎫－122＋322＝12－32i.
6．已知复数z 满足(1－i)z ＝i 2 016
(其中i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )
A.1
2 B ．－1
2
C.12
i D ．－1
2
i
解析：选B ∵2 016＝4×504，∴i
2 016
＝i 4
＝1.∴z ＝
11－i ＝12＋12i ，∴z ＝12－1
2
i ，∴z 的虚部为－1
2
.故选B.
7．设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z ·z ＝8，则z
z
等于( )
A ．1
B ．－i
C ．±1
D ．±i
解析：选 D 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z
＝a －b i ，由条件可得⎩
⎪⎨⎪⎧
2a ＝4，
a 2＋
b 2
＝8.解得
⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝2，
b ＝±2.
因此⎩⎪⎨
⎪⎧
z ＝2＋2i ，
z ＝2－2i ，
或⎩⎪⎨⎪⎧
z ＝2－2i ，
z ＝2＋2i.
所以
z
z
＝
2－2i 2＋2i ＝1－i
1＋i
＝1－i 21＋i 1－i ＝－2i 2＝－i ，或z z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝1＋i 21－i 1＋i ＝2i
2＝i ，所以
z z
＝±i.
8．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则y x
的最大值是( )
A.3
2
B.
33
C.12
D. 3
解析：选D 因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2
＋y 2
＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识－3≤y x
≤ 3.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)
9．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 解析：由(1－2i)(a ＋i)＝(a ＋2)＋(1－2a )i 是纯虚数可得a ＋2＝0,1－2a ≠0，解得a ＝－2.
答案：－2
10．已知复数z ＝(5＋2i)2
(i 为虚数单位)，则z 的实部为________z －
＝________.
解析：复数z ＝(5＋2i)2
＝21＋20i ，其实部是21，z －
＝21－20i. 答案：21 21－20i
11．若a 为实数，2＋a i
1＋2i ＝－2i ，则a ＝________，2＋a i 在第________象限．
解析：
2＋a i 1＋2i
＝－2i ，可得2＋a i ＝－2i(1＋2i)＝2－2i ，所以a ＝－2，2
＋a i ＝2－2i 在第四象限．
答案：－ 2 四
12．若复数z ＝(a －2)＋3i(a ∈R)是纯虚数，则a ＝______，a ＋i
1＋a i
＝________.
解析：∵z ＝a －2＋3i(a ∈R)是纯虚数，∴a ＝2， ∴
a ＋i 1＋a i ＝2＋i 1＋2i ＝2＋i 1－2i 5＝45－3
5
i. 答案：2 45－35
i
13．已知复数z ＝5i
1＋2i (i 是虚数单位)，则z 的实部是________，|z |＝________.
解析：∵z ＝5i
1＋2i ＝2＋i ，∴z 的实部是2.
|z |＝|2＋i|＝ 5. 答案：2
5
14．设复数a ＋b i(a ，b ∈R)的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________.
解析：∵|a ＋b i|＝a 2＋b 2
＝3， ∴(a ＋b i)(a －b i)＝a 2
＋b 2
＝3. 答案：3
15．若关于x 的方程x 2＋(2－i)x ＋(2m －4)i ＝0有实数根，则纯虚数m ＝________. 解析：设m ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，则x 2
＋(2－i)x ＋(2b i －4)i ＝0，化简得(x 2
＋2x －2b )
＋(－x －4)i ＝0，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋2x －2b ＝0，
－x －4＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－4，
b ＝4，∴m ＝4i.
答案：4i
三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分14分)设复数z ＝lg(m 2
－2m －2)＋(m 2
＋3m ＋2)i(m ∈R)，试求m 取何值时？
(1)z 是实数. (2)z 是纯虚数．
(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．
解：(1)由m 2
＋3m ＋2＝0且m 2
－2m －2＞0，解得m ＝－1或m ＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数． 由lg(m 2
－2m －2)＝0，且m 2
＋3m ＋2≠0， 求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 为纯虚数．
(3)由lg(m 2
－2m －2)＞0，且m 2
＋3m ＋2＞0，解得m ＜－2或m ＞3，故当m ＜－2或m ＞3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．
17．(本小题满分15分)已知(1＋2i)z ＝4＋3i ，求z 及
z z
.
解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. ∴(1＋2i)(a －b i)＝4＋3i ， ∴(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i.
由复数相等，解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＋2
b ＝4，
2a －b ＝3，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝1.
∴z ＝2＋i.
∴z
z ＝z ·z
z ·z ＝z 2|z |2＝
4－1＋4i 5＝35＋4
5i. 18．(本小题满分15分)已知z ＝1＋i ，a ，b 为实数．
(1)若ω＝z 2
＋3z －4，求|ω|；
(2)若z 2＋az ＋b z 2－z ＋1
＝1－i ，求a ，b 的值．
解：(1)ω＝(1＋i)2
＋3(1－i)－4＝－1－i ， 所以|ω|＝ 2. (2)由条件，得
a ＋
b ＋a ＋2i
i
＝1－i ，
所以(a ＋b )＋(a ＋2)i ＝1＋i ， 所以⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＋
b ＝1，a ＋2＝1，
解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝2.
19．(本小题满分15分)虚数z 满足|z |＝1，z 2
＋2z ＋1z
＜0，求z .
解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2
＝1. 则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2
＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i
＝(x 2
－y 2
＋3x )＋y (2x ＋1)i. ∵y ≠0，z 2
＋2z ＋1z
＜0，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋1＝0， ①x 2－y 2
＋3x ＜0， ②
又x 2＋y 2
＝1. ③ 由①②③得⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＝－1
2
，y ＝±3
2.
∴z ＝－12±3
2
i.
20．(本小题满分15分)已知复数z 满足|z |＝2，z 2
的虚部是2. (1)求复数z ；
(2)设z ，z 2
，z －z 2
在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，求△ABC 的面积．
解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z 2
＝a 2
－b 2
＋2ab i ，由题意得a 2
＋b 2
＝2且2ab ＝2，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以z ＝1＋i 或z ＝－1－i.
(2)当z ＝1＋i 时，z 2
＝2i ，z －z 2
＝1－i ，所以A (1,1)，B (0,2)，C (1，－1)，所以S △
ABC
＝1.
当z ＝－1－i 时，z 2
＝2i ，z －z 2
＝－1－3i ，
所以A(－1，－1)，B(0,2)，C(－1，－3)，所以S△ABC＝1.。