函数不等式三角向量数列算法等大综合问题章节综合学案练习(六)附答案人教版高中数学真题技巧总结提升
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A． B． C． D．1
2．在△ABC中,若sinB、cos 、sinC成等比数列,则此三角形一定为( )
A．直角三角形B.等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形解析:易知cos2 =sinB·sinC,∴1+cosA=2sinBsinC,
即1-cos(B+C)=2sinBsinC,即1-cosBcosC+sinBsinC=2sinBsinC.
8．在 中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c。设向量 且 。求 的取值范围。（本题满分14分）
9．某自来水公司准备修建一条饮水渠，其横截面为如图所示的等腰梯形， ，按照设计要求，其横截面面积为 平方米，为了使建造的水渠用料最省，横截面的周长（梯形的底BC与两腰长的和）必须最小，设水渠深h米．
（Ⅰ）当h为多少米时，用料最省？
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题
1．（汇编北京2）在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80°,sin80°）,B（cos20°，sin20°），则|AB|的值是（）
5．已知集合 ，设函数 （ ）的值域为 ，若 ，则实数 的取值范围是▲．
6．设函数 ,A0为坐标原点，An为函数y=f（x）图象上横坐标为
的点，向量 ，向量i=（1，0），设 为向量 与向量i的夹角，则满足
的最大整数n是▲.
评卷人
得分
三、解答题
7．在 中，已知 ．
（1）求证： ；
（2）若 求A的值．
5．[[]]
解析：[ ]
6．3；
评卷人
得分
三、解答题
7．
8．
9．解：（Ⅰ） ，
设外周长为l，则l=2AB+BC= ，
当 时等号成立，外周长的最小值为 ，此时堤高h为 米；（8分）
（Ⅱ）
解 ，l是h的增函数，
所以 （米），（当h=3时取得最小值）．……………（15分）
10．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ） ，……………………………3分
（Ⅱ）如果水渠的深度设计在[3, ]的范围内，求横截面周长的最小值．
10．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且 ．
(Ⅰ）求角A；
(Ⅱ）若向量m ，n ，试求|m n|的最小值．
11．已知 ， ，设函数 ， 的最大值为 ，最小正周期为 ，
(Ⅰ）求 、 ；
(Ⅱ）10个互不相等的正数 满足 ，求 的值．
【答案及解析】
【点评】本题主要考查向量的数量积的定义与数量积运算、两角和与差的三角公式、三角恒等变形以及向量共线成立的条件．本题综合性较强，转化思想在解题中灵活运用，注意两角和与差的三角公式的运用，考查分析问题和解决问题的能力，从今年的高考命题趋势看，几乎年年都命制该类型的试题，因此平时练习时加强该题型的训练.本题属于中档题，难度适中.
12．△ABC中，角A的对边长等于2，向量m= ，向量n= .
(1）求m·n取得最大值时的角A的大小；
(2）在（1）的条件下，求△ABC面积的最大值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
评卷人
得分
一、选择题
1．D
2．B
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
3．
4．1
11．(1)
(2)
12．（1）m·n＝2 － .…………………3分
因为A＋B＋C ，所以B＋C －A，
于是m·n＝ ＋cosA＝－2 ＝－2 .……………5分
因为 ，所以当且仅当 ＝ ，即A＝ 时，m·n取得最大值 .
故m·n取得最大值时的角A＝ .…………………………7分
(2）设角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，
即 ，
∴ ，∴ ．…………………………………5分
∵ ，∴ ．…………………………………………………7分
(Ⅱ）m n ，
|m n| ．10分
∵ ，∴ ，∴ ．
从而 ．……………………………………………………………12分
∴当 ＝1，即 时，|m n| 取得最小值 ．……………………13分
所以，|m n| ．………………………………………………………………14分
由余弦定理，得b2＋c2－a2＝2bccosA，…………………………9分
即bc＋4＝b2＋c2≥2bc，………………………11分
所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时取等号.………………………12分
又S△ABC＝ bcsinA＝ bc≤ .
当且仅当a＝b＝c＝2时，△ABC的面积最大为 .………………………15分
∴1-cosBcosC=sinB sinC.
∴cos(B-C)=1.
∵0＜B＜π,0＜C＜π,
∴-π＜B-C＜π.
∴B-C=0,B=C.
∴△ABC为等腰三角形.
故选B.
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
3．已知函数 ，则a,b,c由小到大的顺序是.
4．若函数 = ，则 ( +2) ( ) .
2．在△ABC中,若sinB、cos 、sinC成等比数列,则此三角形一定为( )
A．直角三角形B.等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰或直角三角形解析:易知cos2 =sinB·sinC,∴1+cosA=2sinBsinC,
即1-cos(B+C)=2sinBsinC,即1-cosBcosC+sinBsinC=2sinBsinC.
8．在 中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c。设向量 且 。求 的取值范围。（本题满分14分）
9．某自来水公司准备修建一条饮水渠，其横截面为如图所示的等腰梯形， ，按照设计要求，其横截面面积为 平方米，为了使建造的水渠用料最省，横截面的周长（梯形的底BC与两腰长的和）必须最小，设水渠深h米．
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一、选择题
1．（汇编北京2）在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80°,sin80°）,B（cos20°，sin20°），则|AB|的值是（）
5．已知集合 ，设函数 （ ）的值域为 ，若 ，则实数 的取值范围是▲．
6．设函数 ,A0为坐标原点，An为函数y=f（x）图象上横坐标为
的点，向量 ，向量i=（1，0），设 为向量 与向量i的夹角，则满足
的最大整数n是▲.
评卷人
得分
三、解答题
7．在 中，已知 ．
（1）求证： ；
（2）若 求A的值．
5．[[]]
解析：[ ]
6．3；
评卷人
得分
三、解答题
7．
8．
9．解：（Ⅰ） ，
设外周长为l，则l=2AB+BC= ，
当 时等号成立，外周长的最小值为 ，此时堤高h为 米；（8分）
（Ⅱ）
解 ，l是h的增函数，
所以 （米），（当h=3时取得最小值）．……………（15分）
10．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ） ，……………………………3分
（Ⅱ）如果水渠的深度设计在[3, ]的范围内，求横截面周长的最小值．
10．在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且 ．
(Ⅰ）求角A；
(Ⅱ）若向量m ，n ，试求|m n|的最小值．
11．已知 ， ，设函数 ， 的最大值为 ，最小正周期为 ，
(Ⅰ）求 、 ；
(Ⅱ）10个互不相等的正数 满足 ，求 的值．
【答案及解析】
【点评】本题主要考查向量的数量积的定义与数量积运算、两角和与差的三角公式、三角恒等变形以及向量共线成立的条件．本题综合性较强，转化思想在解题中灵活运用，注意两角和与差的三角公式的运用，考查分析问题和解决问题的能力，从今年的高考命题趋势看，几乎年年都命制该类型的试题，因此平时练习时加强该题型的训练.本题属于中档题，难度适中.
12．△ABC中，角A的对边长等于2，向量m= ，向量n= .
(1）求m·n取得最大值时的角A的大小；
(2）在（1）的条件下，求△ABC面积的最大值.
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得分
一、选择题
1．D
2．B
第II卷（非选择题）
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得分
二、填空题
3．
4．1
11．(1)
(2)
12．（1）m·n＝2 － .…………………3分
因为A＋B＋C ，所以B＋C －A，
于是m·n＝ ＋cosA＝－2 ＝－2 .……………5分
因为 ，所以当且仅当 ＝ ，即A＝ 时，m·n取得最大值 .
故m·n取得最大值时的角A＝ .…………………………7分
(2）设角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，
即 ，
∴ ，∴ ．…………………………………5分
∵ ，∴ ．…………………………………………………7分
(Ⅱ）m n ，
|m n| ．10分
∵ ，∴ ，∴ ．
从而 ．……………………………………………………………12分
∴当 ＝1，即 时，|m n| 取得最小值 ．……………………13分
所以，|m n| ．………………………………………………………………14分
由余弦定理，得b2＋c2－a2＝2bccosA，…………………………9分
即bc＋4＝b2＋c2≥2bc，………………………11分
所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时取等号.………………………12分
又S△ABC＝ bcsinA＝ bc≤ .
当且仅当a＝b＝c＝2时，△ABC的面积最大为 .………………………15分
∴1-cosBcosC=sinB sinC.
∴cos(B-C)=1.
∵0＜B＜π,0＜C＜π,
∴-π＜B-C＜π.
∴B-C=0,B=C.
∴△ABC为等腰三角形.
故选B.
第II卷（非选择题）
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得分
二、填空题
3．已知函数 ，则a,b,c由小到大的顺序是.
4．若函数 = ，则 ( +2) ( ) .