吉林省辽源市五校高三数学上学期期末联考试题 理

吉林省辽源市五校2018届高三数学上学期期末联考试题 理
说 明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页。

考试时间120分钟，分值150分。

注意事项：
1、答题前，考生必须将自己的姓名、考号填写清楚，并将条形码粘贴到指定区域。

2、选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草纸、试题卷上答题无效。

4、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

第Ⅰ卷
一、 选择题 （本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1. 已知集合{}
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧≤-=≤-=02,01x x x
Q x x P ，则()Q P C R ⋂（ ） A.()1,0 B.(]2,0 C.(]2,1 D.[]2,1
2. 下列命题中的假命题是( )
A.0log ,2=∈∃x R x
B.0,2
>∈∀x R x C.1cos ,=∈∃x R x D.02,>∈∀x
R x
3. 已知两条直线n m 、，两个平面βα、，给出下面四个命题： ①α∥m n m ⇒⊂⊂βαβ,,∥n ； ②m ∥n ，m ∥n ⇒α∥α； ③m ∥n ，⊥m αα⊥⇒n ； ④α∥m ,β∥βα⊥⇒⊥n m n ,。

其中正确命题的序号是（ ）
A. ①③
B. ③④
C. ①④
D. ②③ 4. 某几何体的三视图如图，则几何体的体积为 A. 8π+16 B. 8π-16 C. 16π﹣8 D. 8π+8
5. 已知变量x ，y 满足约束条⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+≥-4211y x y x y x ，则y x z +=3的最大值为（ ）
A. 2
B.6
C. 8
D. 11
6. 已知等比数列{}n a 的前n 项和12-=n
n S ，则数列{}n a 2log 的前12项和等于（ ）
A. 66
B. 55
C. 45
D.65
7.
如图所示，向量C B A c OC b OB a OA ,,,,,===在一条直线上，且CB AC 4-=则( ) A. b a c 2321+=
B.b a c 2
123-= C.b a c 2+-= D.b a c 3
43
1
+
-= 8. 函数()()10log <<=
a x
x x x f a 图象的大致形状是（ ）
A. B. C. D .
9. 已知随机变量X 服从正态分布N （3，δ2
），且P （x≤6）=0.9，则P （0＜x ＜3）=（ ） A 、0.4 B 、0.5 C 、0.6 D 、0.7 10. 已知函数()()0cos 3sin >-=ωωωx x x f 的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于
4π
，若将函数()x f y =的图象向左平移6
π个单位得到函数()x g y =的图象，则在下列区间中使()x g y =是减函数的是（ ）
A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-
0,3π B. ⎪⎭⎫ ⎝⎛247,24ππ C. ⎪⎭
⎫
⎝⎛3,0π D.⎪⎭⎫ ⎝⎛3,4ππ
11. 设F 为双曲线()0,01:22
22>>=-b a b
y a x C 的右焦点，过坐标原点的直线依次与双曲线
C 的左、右支交于点Q P 、，若︒=∠=60,2PQF QF PQ ，则该双曲线的离心率为（ ） A. 31+ B. 3 C. 32+
D. 324+
12. 设函数()x f '是奇函数()x f （x ∈R ）的导函数，()01=-f ，且当0>x 时，
0)()(>-'x f x f x ，则使得)(x f >0成立的x 的取值范围是 （ ）
A. ()()∞+⋃，10,1-
B. ()()1,01--⋃∞，
C. ()()0,1-1--⋃∞，
D. ()()∞+⋃，11,0
第II 卷
二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分 ，共20分）
13. 设向量)2,1(=a ，)1,1(--=b ，若a ρ-b ρ
与a m ϖb ρ+垂直，则m 的值为_____
14. 若函数()b ax x x f ++=2
的两个零点是－1和2，则不等式()02>-x af 的解集是__
___．
15. 设n= sinx 620⎰π
dx ，则二项式n
x x ⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-22展开式中常数项为 ________．
16. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若32=b ，三内角A ，B ，C 成等差数列，则该三角形的外接圆半径等于______________；
三、 解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

） 17. （10分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC （acosB+bcosA ）=c ． （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c=3，△ABC 的面积为34，求△ABC 的周长．
18. （12分）记n S 为差数列{}n a 的前n 项和，已知，24122=+a a .12111=S
(1)求{}n a 的通项公式； (2)令2
1
1++=
n n n a a b ，n n b b b T +++=......21，若024≥-m T n 对一切*
∈N n 成立，求实数m
的最大值.
19. （12分）如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE=3AF ，BE 与平面ABCD 所成角为60°． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ； （Ⅱ）求二面角F ﹣BE ﹣D 的余弦值．
20. （12分）某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段进行，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则即遭淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是3
1
2132，，且各阶段通过与否相互独立． (1)求该选手在复赛阶段被淘汰的概率；
(2)设该选手在竞赛中回答问题的个数为ξ，求ξ的分布列与均值．
21. （12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为34，离心率为
2
3
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线L 经过点M （0，1），且与椭圆C 交于A ，B 两点，若2=，求直线L 的方程．
22. （12分）已知函数()()R a a ax x x f ∈+-=2ln 2 （1）当2=a 时，求曲线()x f y =在1=x 处的切线方程；
（2）讨论()x f 的单调性；
友好学校第六十四届期末联考 高三数学（理科）答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B
B
B
D
A
D
B
A
B
A
A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分 ，共20分）
13、
8
5 14、⎪⎭
⎫
⎝⎛-21,1 15、60 16、2 三、 解答题（本大题共6小题，共70分。

）
17. （10分）解：（Ⅰ）∵在△ABC 中，0＜C ＜π，∴sinC≠0 利用正弦定理化简得：2cosC （sinAcosB+sinBcosA ）=sinC ，…...2分 整理得：2cosCsin （A+B ）=sinC ， 即2cosCsin （π﹣（A+B ））=sinC
2cosCsinC=sinC …... …….. ……………………………..…..…..4分
∴cosC=
21，∴C=3
π
….... ….…….. ……………………………...….5分 （Ⅱ）由余弦定理得3=a 2+b 2
﹣2ab•2
1，
∴（a+b ）2
﹣3ab=3，………………………………………………..6分 ∵S=
2
1
absinC= 43ab=34，……………………………………..7分
∴ab=16， …………………………………….8分
∴（a+b ）2
﹣48=3，∴a+b=51，
∴△ABC 的周长为51+ 3．……………………………………10分
18. （12分）解：(1)∵等差数列{}n a 中， 24122=+a a ， 12111=S .
∴⎩⎨
⎧==1211124267a a ，解得⎩⎨⎧==11
12
67a a . ……………………………2分
1111267=-=-=∴a a d ， ……………………………3分 ()*6,56N n n d n a a n ∈+=-+=∴. ……………………………5分
(2) ()()7
1
61761121+-+=++=⋅=
++n n n n a a b n n n Θ ……………………………7分
()
77717171611019191818171+=+-=+-+++-+-+-=
∴n n n n n T n Λ，………9分 {}n T ∴是递增数列，56
1
1n =
≥T T ， 成立对一切*,024N n m T n ∈≥-Θ， ()7
3
5624min 24==≤∴n T m
∴实数m 的最大值为7
3
. ……………………………12分
19. （12分） (1)证明：
因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC ．…………………………..2分 因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，
从而AC ⊥平面BDE …………………………..5分
（Ⅱ）解：因为DA ，DC ，DE 两两垂直，所以建立空间直角坐标系D ﹣xyz 如图所示．
因为BE 与平面ABCD 所成角为60°，即∠DBE=60°，所以3=DB
DE
． 由AD=3，可知DE=36，AF=6．
则A （3，0，0），B （3，3，0），F （3，0，6），E （0，0，36）， C （0，3，0） ………………………………7分 所以
=（0，﹣3，6），
=（3，0，﹣26）．
设平面BEF 的法向量为=（x ，y ，z ），则
即⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-0
6230
63z x z y ．令z=6，则=
（4，2，6）． 因为AC ⊥平面BDE ，所以
为平面BDE 的法向量，
=（3，﹣3，0）．…………10分
所以cos<,>===．
因为二面角为锐角，所以二面角F ﹣BE ﹣D 的余弦值为．……………………12分
（本图中AM 这条线忽略不计） 20. （12分）
（1）解：记“该选手通过初赛”为事件A ，“该选手通过复赛”为事件B ，“该选手通过决
赛”为事件C ，则P （A ）=
32，P （B ）= 2
1，P （C ）=
3
1
……………………………………………...2分 那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率P=P （A
）=P （A ）P （
）=
3
1
21132=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯ ……………………………………………….4分 （2）解：ξ可能取值为1，2，3． ……………………………….5分 P （ξ=1）=1﹣
32= 3
1
， ……………………………….6分 P （ξ=2）=
3
1
21132=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯ ……………………………….7分 P （ξ=3）=
312132⨯⨯+322132⨯⨯=3
1
……………………………….9分 故ξ的分布列为：
ξ 1
2
3
P
31 31 3
1 ……………………………….10分 E ξ= = 1⨯31+2⨯31+3⨯3
1
=2 ……………………………….12分
21. （12分）
（1） 设椭圆方程为()222210,0x y a b a b
+=>>，因为23
,32===a c e c ，
所以2,4==b a ， …………………… 3分
所求椭圆方程为14
162
2=+y x . ……………………… 5分 （2）由题得直线L 的斜率存在，设直线L 方程为y=kx+1， ..…………………… 5分
则由⎪⎩⎪⎨⎧=+
+=14
161
22y
x kx y 得()01284122=-++kx x k ，且0>∆． …………………… 6分
设()()
1122,,,A x y B x y ，则由2AM MB =u u u u v u u u v 得122x x =﹣，又⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+-=⋅+-=+2212
214112418k x x k k x x ，所以
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+-
=-+-=2222
241122418-k x k k x 消去2x 得，解得2032=k ，1015±=k ， …………………… 10分 所以直线l 的方程为110
15
+±=x y .……………………… 12分 22. （12分） （1）当
2=a 时，()24ln 2+-=x x x f ，()42
-=
'∴x
x f ， …… 1分 ()()21,21-=-='∴f f ， .……………………… 3分
∴曲线()y f x =在1x =处的切线方程为：02=+y x ； .....…………………5分
（2）()()02
222>+-=
-=
'x x
ax a x x f Θ .....…………………6分 若0a ≤， ()0f x '>， ()f x 在()0,+∞上递增； .....…………………8分 若0a >，当⎪⎭
⎫
⎝⎛∈a x 1,
0时， ()0f x '>， ()f x 单调递增； ....…………………10分 当⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞∈,1a x 时， ()0f x '<， ()f x 单调递减． .………………… 12分。