高三数学上学期期末调研考试试题 文扫描 试题

本卷贰O贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

2021年普通高中高三调研考试
数学试题(文科) 参考答案及评分HY
一.选择题:每一小题5分,总计60分 题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 1
2 答案
B B D
C C B A B A C
D
B
二.填空题:每一小题5分,总计20分. 13. x 2
=-12y 15. [12,54]
16.
9
2
三.解答题:
17.(本小题满分是12分)
解：〔1〕由a 32=9a 2a 6得：a 32=9a 42 q 2=1
9 ∵q>0 ∴q=13 又2a 1+3a 2=1 ∴a 1=13 …………3分
∴a n =(13)n
…………………………………………………………………………6分
(2) 由b n +1=2log 31a n 得：b n =2n-1 令c n = a n b n =(2n-1)·(13)n
……………………………8分
∴S n =1×13+3×(13)2+5×(13)3+…+(2n-3)×(13)n-1+(2n-1)×(13)n
…………………①
13S n =1×(13)2+3×(13)3+5×(13)4+…+(2n-3)×(13)n +(2n-1)×(13
)n+1
………………② ①-②得：23S n =1×13+2[(13)2+ (13)3+…+ (13)n-1+13)n ]－(2n-1)×(13)n+1＝1
3+2×(13)2[1-(13)n-1
]1-1
3－(2n-1)×
(13
)n+1 ∴S n =1-n+1
3n …………………………………………12分
18．〔本小题满分是12分〕
在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，
ABC=90
，
P M
AB=PB=PC=BC=2CD ，平面PBC ⊥平面ABCD ，M 为PD 中点；过A ，B ，M 的平面记为α；
〔1〕平面α与四棱锥P －ABCD 的面相交，交线围成一个梯形，在图中 画出这个梯形；〔不必说明画法及理由〕 〔2〕求证：AB ⊥平面PBC
〔3〕假设CD ＝1，求三棱锥M －ACD 的体积； 18．〔本小题满分是12分〕
〔1〕如图，其中N 为PC 中点；……………………………3分
〔2〕证明：因为∠ABC=90°，所以AB ⊥BC ．
因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD=BC ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PBC ；……………………………6分
〔3〕解：取BC 的中点O ，连接PO ．因为PB=PC ，所以PO ⊥BC ． 因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD=BC ，PO ⊂平面PBC ， 所以PO ⊥平面ABCD ．
∵M 为PD 中点，∴P 到面ACD 的间隔 等于M 到面ACD 间隔 的2倍 ∴V M-ACD =1
2 V P-ACD
∵AB ∥CD,
ABC=90
，AB=BC=2CD=2 ∴S △ACD =1
2
×1×2=1
在△PBC 中，PB=PC=BC=2 ∴PO= 3
∴V M-ACD =12 V P-ACD =12·13·S △ACD ·PO=12×13×1×3=3
6……………………………12分
19．〔本小题满分是12分〕 (1) x A -<x B
- 〔2〕由茎叶图可知，“种子选手〞一共有13名，其中A 班3人，B 班10人，非种子选手27人，其中A 班17人，B 班10人，从而22 A
D
P
B
C M O
将22 列联表中的数据代入公式计算，得 ……6分 K 2
=n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=40×(3×10-17×10) 2
20×20×27×13 =13×142
13×27=1960
351
≈ 因为，
所以可以“在犯错误的概率不超过的前提下〞认为成为‘种子选手’与班级有关？……8分 (3)由茎叶图知：获一等奖的学生一共6人，其中A 班两名同学，记作A 1，A 2，B 班4名同学，记作B 1，B 2，B 3，B 4，
“从6人中抽取3人〞一共包含以下根本领件：〔A 1，A 2，B 1〕，〔A 1，A 2，B 2〕，〔A 1，A 2，B 3〕，〔A 1，A 2，B 4〕，〔A 1，B 1，B 2〕，〔A 1，B 1，B 3〕，〔A 1，B 1，B 4〕，〔A 1，B 2，B 3〕，〔A 1，B 2，B 4〕，〔A 1，B 3，B 4〕，〔A 2，B 1，B 2〕，〔A 2，B 1，B 3〕，〔A 2，B 1，B 4〕，〔A 2，B 2，B 3〕，〔A 2，B 2，B 4〕，〔A 2，B 3，B 4〕，〔B 1，B 2，B 3〕，〔B 1，B 2，B 4〕，〔B 1，B 3，B 4〕，〔B 2，B 3，B 4〕一共20个，其中事件“至少含有1名A 班同学〞包含以下根本领件：〔A 1，A 2，B 1〕，〔A 1，A 2，B 2〕，〔A 1，A 2，B 3〕，〔A 1，A 2，B 4〕，〔A 1，B 1，B 2〕，〔A 1，B 1，B 3〕，〔A 1，B 1，B 4〕，〔A 1，B 2，B 3〕，〔A 1，B 2，B 4〕，〔A 1，B 3，B 4〕，〔A 2，B 1，B 2〕，〔A 2，B 1，B 3〕，〔A 2，B 1，B 4〕，〔A 2，B 2，B 3〕，〔A 2，B 2，B 4〕，〔A 2，B 3，B 4〕一共16个
设事件A=“至少含有1名A 班同学〞 ∴P 〔A 〕=1620=45
即在获级一等奖的同学中选出3人，至少含有1名A 班同学的概率为4
5…………………………………
12分
20.(本小题满分是12分)
如图，椭圆C 1: x 2
a 2+y 2
b 2=1(a>b>0)的离心率为12，点A(0,3)和点P 都在椭圆C 1上
方程为x 2
2+y
2
2
=4(a>b>0)；
〔1〕求椭圆C 的方程；
〔2〕过P 作椭圆C 1的切线l 交椭圆C 2于M,N 两点，过P 作射线PO 交椭圆C 2于Q 点，设OQ →=λOP →； 〔i 〕求λ的值；〔ii 〕求|MN|的取值范围；(iii)求证：△QMN 的面积为定值，并求出这个定值； 解：〔1〕∵e=12 ∴a 2=4c 2=4a 2-4b 2 ∴3a 2=4b 2 又由题意知：b= 3 ∴a 2
=4
∴椭圆C 1的方程为：x 2
4+y
2
3
=1……………4分
(2)(i)设P(m,n),那么由OQ →=λOP →得：Q 〔λm, λn 〕 ∵Q 在椭圆C 2上, ∴ λ2m 2
4+λ2n 2
3=4 λ2
(m 2
4+n 2
3)=4 ∵P 在椭圆C 1上 ∴m 2
4+n 2
3
=1 ∴λ2
=4 又∵λ<0 ∴λ=-2 (7)
分
设切线l 的方程为：y=kx+t
联立方程组：⎩
⎪⎨⎪⎧x 24+y 2
3=1y=kx+t 联立并消元整理得：(4k 2+3)x 2+8ktx+4t 2
-12=0
=48(4k 2
+3-t 2
)=0 ∴4k 2
+3=t 2
………②
联立方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 216+y 2
12=1y=kx+t
消元整理得：(16k 2+12)x 2+32ktx+16t 2
-16×12=0…………①
设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),那么x 1,x 2是方程①的两个解，由韦达定理得： x 1+x 2=-32kt 16k 2+12, x 1x 2=16t 2
-16×12
16k 2
+12 |MN|==1+k 2
·(x 1+x 2)2
-4x 1x 2=
1+k 2
·163·16k 2+12-t
2
16k 2
+12
=1+k 2
·163·12k 2
+9
16k 2
+12
=1+k 2
·
12
4k 2
+3
设O 到直线MN 的间隔 为d 1, Q 到直线MN 的间隔 为d 2,那么由〔i 〕知：d 2=3d 1 d 2=3d 1=3t
1+k 2 由②知：t=4k 2
+3 ∴d 2=34k 2
+3
1+k
2
∴S QMN =12·|MN|·d 2=12·1+k 2
·124k 2+3·34k 2
+31+k 2
=18 即△QMN 的面积为定值，这个定值为18……………12分 函数f(x)=(x+b)e ax
的图象与直线2x-y-1=0切于点P 〔0，－1〕 21. (本小题满分是12分)
解：⑴∵f(x)=x-1e x ，∴f (x)=2-x e
x . ……………………………2分 令f (x)=0，解得x=2.
X (-∞,2) 2
(2,+
∞)
f
(x)
＋
0 － f
(x) ↗
极大值1
e 2 ↘ ∴f(x)在(-∞,2)内是增函数，在(2,+∞)内是减函数. ……………………………3分
∴当x=2时，f(x)获得极大值f(2)= 1e
2 . ……………………………4分 ⑵证明：g(x)=f(4-x)=3-x e 4-x ，令F(x)=f(x)-g(x)= x-1e x - 3-x
e 4-x ,
∴F (x)= 2-x e x -2-x e 4-x =(2-x)(e 4-e 2x
)e x+4. ……………………………6分 当x>2时，2-x<0，2x>4，从而e 4-e 2x <0，
∴F (x)>0，F(x)在(2,+∞)是增函数.
∴F(x)>F(2)= 1e 2 -1
e 2 =0 故当x>2时，f(x)>g(x)成立 ……………………………8分 ⑶证明：∵f(x)在(-∞,2)内是增函数，在(2,+∞)内是减函数.
∴当x 1≠x 2，且f(x 1)=f(x 2)，x 1,x 2不可能在同一单调区间内.
不妨设x 1<2<x 2，由⑵可知f(x 2)>g(x 2)，
又g(x 2)=f(4-x 2)，∴f(x 2)> f(4-x 2).
∵f(x 1)=f(x 2)，∴f(x 1)> f(4-x 2).
∵x 2>2,4-x 2<2,x 1<2，且f(x)在区间(-∞,2)内为增函数，
∴x 1>4-x 2，即x 1+x 2>4……………………………12分
22．〔本小题满分是10分〕选修4-1：几何证明选讲
由切割线定理知DF2=DB·DA,因此只需证明DF=DE．因为∠OFC+∠CFD=90°，∠OCE+∠CEO=90°, ∠OCF=∠OFC．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．
试题解析：证明：连结OF．
因为DF切⊙O于F，所以∠OFD=90°．
所以∠OFC+∠CFD=90°．
因为OC=OF，所以∠OCF=∠OFC．
因为CO⊥AB于O，所以∠OCF+∠CEO=90°．
所以∠CFD=∠CEO=∠DEF，所以DF=DE．
因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB·DA．
所以DE2=DB·DA．
23.〔本小题满分是10分〕选修4-4：坐标系与参数方程
解法一〔1〕曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，
∴ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，
∴曲线C的极坐标方程化为普通方程是x2+y2-4x=0.
直线l的参数方程相减得x-y=m，即x-y-m=0，
∴直线l的参数方程化为普通方程是x-y-m=0. ……5分
〔2〕由〔1〕知：圆心的坐标为〔2，0〕，圆的半径R=2，
圆心到直线l的间隔 d=22-(14
2
)2 =
2
2
∴|2-0-m|
2
=
2
2
∴ |m-2|=1，
解得m=1或者m=3. ……10分解法二〔1〕同解法一……5分〔2〕由〔1〕知：曲线C的普通方程是x2+y2-4x=0,
设A(22t 1+m, 22t 1),B(22t 2+m, 22
t 2) 将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程x 2+y 2-4x=0,
得(22t+m)2+(22t)2-4(22
t+m)=0， 整理得t 2+2(m-2)t+m 2-4m=0，
那么t 1,t 2是关于t 的一元二次方程t 2+2(m-2)t+m 2-4m=0的两个不相等的根， m 的取值需满足△=[2(m-2)]2-4(m 2-4m)=-2m 2+8m+8>0，
∴t 1+t 2=-2(m-2), t 1t 2= m 2-4m ，
∴|AB|=
[(22t 1+m)-( 22t 2+m)]2+(22t 1-22t 2)2 =(t 1-t 2)2=2(m-2)2-4(m 2-4m) =-2m 2+8m+8 ∴-2m 2+8m+8 =14
∴解得m=1或者m=3. ……10分 〔24〕解:：(Ⅰ)|x-1|+|x-4|≥5等价于
1255x x <⎧⎨-+≥⎩ 或者1435
x ≤≤⎧⎨≥⎩ 或者4255x x >⎧⎨-≥⎩， 解得：x ≤0或者x ≥5．
故不等式f(x)≥5的解集为{x| x ≤0或者x ≥5}． ……5分 (Ⅱ)因为: f(x)=|x-1|+|x-a|≥|(x-1)-(x-a)|=|a-1|〔当x=1时等号成立〕 所以：f(x)min =|a-1|…8分. 由题意得：|a-1|≥4， 解得a ≤-3或者a ≥5．…10分
本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写； 出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。