2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理 (E)

2020-2021学年高二数学上学
期期中试题 理 (E)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的．
1、命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是 A ．若△ABC 是等腰三角形，则它的任何两个内角相等 B ．若△ABC 中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形 C ．若△ABC 中有两个内角相等，则它是等腰三角形 D ．若△ABC 中任何两个内角相等，则它是等腰三角形
2、已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x
>1，则﹁
p 为 A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0
≤1 C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x
≤1 D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x
≤1
3已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于 A ．－1 B ．1 C ．3
D ．7
4、“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，若第一个
单音的频率f ，则第八个单音频率为 A.f 32 B.f 322 C. f 1252 D.f 1272
5.已知椭圆x 2
25＋y 2
m
2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m ＝
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9 6．抛物线28=y x 的焦点到直线3=0x y -的距离是 A ．23
B ．2
C ．3
D ．1
7、命题：若y x >，则y x tan tan >；命题：xy y x 22
2
≥+．下列命题为假命题的是 A ．
B ．
C ．
D ．
8、已知实数1,,9m 成等比数列，则圆锥曲线2
21x y m
+=的离心率为
A ．
63 B ．2 C ．63或2 D ．22
或3 9.已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，其前9项和99
2S =
，则2
814a a +的最小值为 A ．8 B ．9 C ．12 D ．16
10、在焦距为2c 的椭圆22
22:1(0)x y M a b a b
+=>>中，12,F F 是椭圆的两个焦点，则 “b c <”
是“椭圆M 上至少存在一点P ，使得12PF PF ⊥”的 A.充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
11.已知函数()()3
3f x x x x R =+∈，若不等式()
()2240f m mt f t ++<对任意实数1t ≥恒成立，则实数m 的取值范围是 （ ） A. ()(
),22,-∞-⋃
+∞ B. 2,2⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭
C. ()
2,2-- D. ()
,2-∞-
12．已知1F ，2F 分别为双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任
意一点，若
2
12
PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．(1，＋∞)
B ．(1,2]
C ．(
1,3⎤⎦
D ．(1,3]
二、填空题： 本大题共4小题，每小题5分.
13、若双曲线的渐近线方程为1
3
y x =±，它的一个焦点是()
10,0，则双曲线的标准方程是____．
14. 若命题“∃t ∈R ，t 2
－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．
15. 已知P 为椭圆221214
x y F F +=上任意一点，，是椭圆的两个焦点，则：22
12PF PF +的最小值为_________
16、下列四种说法：
①命题“∀x ∈R ，都有x 2
－2<3x ”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2
－2≥3x ”；
②命题“在数列{}n a 中，若数列{}n a 为等比数列,则312
2a a a ⋅=”的逆命题为真命题；
③若“p q ∨”为真命题，则“()p q ∧⌝”也为真命题
④设111111M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，且1a b c ++=(其中a ，b ，c 为正实数)，则M 的取值范
围是[)8,+∞
其中正确的说法是________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17．（10分）已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝
x 2＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 真，p ∧q 假，求实数a 的取值范
围．
18.(12分)已知点()3,0A -, ()3,0B ,直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为
169
. （Ⅰ）求点M 的轨迹方程;
（Ⅱ）若点()()4,2,5,0P F ,求MP MF +的最小值.
19. (12分)设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和.已知S 3＝7， 且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列. (1)求数列{a n }的通项； (2)令13ln +=n n a b ，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .
20．（12分）已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线上，且点M 的横坐标为4，|MF |＝5．
（1）求抛物线的方程；
（2）设l 为过点(4,0)的任意一条直线，若l 交抛物线于A 、B 两点，求证：以AB 为直径的圆必过原点．
21.(12分)在等比数列{a n }中，a n >0 (n N *
∈
),公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又
a 3与a 5的等比中项为2.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设2log n n b a = ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S n
n 最大时，求n 的值.
22.(12分)设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率
为
5
3
，13AB =． （1）求椭圆的方程；
（2）设直线():0l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的．
1、命题“若△ABC 不是等腰三角形，则它的任何两个内角不相等”的逆否命题是( ) A ．若△ABC 是等腰三角形，则它的任何两个内角相等 B ．若△ABC 中任何两个内角不相等，则它不是等腰三角形 C ．若△ABC 中有两个内角相等，则它是等腰三角形 D ．若△ABC 中任何两个内角相等，则它是等腰三角形 答案：C
3、已知命题p ：∀x >0，总有(x ＋1)e x
>1，则﹁
p 为 A ．∃x 0≤0，使得(x 0＋1)e x 0≤1 B ．∃x 0>0，使得(x 0＋1)e x 0
≤1 C ．∀x >0，总有(x ＋1)e x
≤1 D ．∀x ≤0，使得(x ＋1)e x
≤1 答案：B
3已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20等于 A ．－1 B ．1 C ．3
D ．7
答案B.∵a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，∴a 3＝35，∴a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝33－35＝－2， ∴a 20＝a 3＋17d ＝35＋17×(－2)＝1.
4、“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，若第一个
单音的频率f ，则第八个单音频率为 A.f 32 B.f 322 C. f 1252 D.f 1272 【答案】D
5.已知椭圆x 2
25＋y 2
m
2＝1(m >0)的左焦点为F 1(－4,0)，则m
＝
A ．2
B ．3
C ．4
D ．9 答案：B
7．抛物线28=y x 的焦点到直线3=0x y -的距离是 A ．23
B ．2
C ．3
D ．1
【答案】D 【解析】由28=y x 可得其焦点坐标()2,0，根据点到直线的距离公式可得
()
2
2|230|=113d -⨯=
+
．故选D ．
7、已知实数1,,9m 成等比数列，则圆锥曲线2
21x y m
+=的离心率为
A ．
63 B ．2 C ．63或2 D ．22
或3 【答案】【解析】C 故答案为：
6
3
或2． 8、命题：若y x >，则y x tan tan >；命题：xy y x 22
2
≥+．下列命题为假命题的是 A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
9.已知数列{}n a 是各项均为正数的等差数列，其前9项和99
2
S =，则
2814a a +的最小值为 A ．8 B ．9 C ．12 D ．16 【答案】B
10、在焦距为2c 的椭圆22
22:1(0)x y M a b a b
+=>>中，12,F F 是椭圆的两个焦点，则 “b c <”
是“椭圆M 上至少存在一点P ，使得12PF PF ⊥”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
【答案】A
11.已知函数()()3
3f x x x x R =+∈，若不等式()
()2240f m mt f t ++<对任意实数1t ≥恒
成立，则实数m 的取值范围是 （ ） A ． ()(
),22,-∞-⋃
+∞ B ． 2,2⎛⎫
-∞-
⎪ ⎪⎝⎭
C ． ()2,2--
D ． ()
,2-∞- 【答案】D 【解析】由题意得， ()()f x f x -=-，则()f x 为奇函数且()f x 在R 上单调递增，不等式(
)
()2240f m mt f t ++<对任意实数1t ≥恒成立，则224m mt t +<-在1t ≥恒成立，分离参数2
44
22t m t t t
<-
=-++，又因为222t t +≥（当且仅当2t =时，取等号），则2m <-，故选D.
12．已知1F ，2F 分别为双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任
意一点，若
2
12
PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）
A ．(1,3]
B ．(1,2]
C ．(
1,3⎤⎦
D ．(1，＋∞)
【答案】A 【解析】()
2
2
221222
2
244448a PF PF a PF a a a a PF PF PF +=
=++≥+=，当且仅当2
224a PF PF =，
即22PF a =时取等号．这时14PF a =．由1212PF PF F F ≥+，得62a c ≥，即3c
e a
=≤，得(]1,3e ∈，
三、填空题： 本大题共4小题，每小题5分.
13、若双曲线的渐近线方程为1
3
y x =±，它的一个焦点是
(
)
10,0，则双曲线的标准方程是
________．
【答案】2219x y -=【解析】由双曲线的渐近线方程为13y x =±，知1
3
b a =，它的一个焦点是
(
)
10,0，知22
10a b +=，因此3a =，1b =，故双曲线的方程是2
219
x y -=．
14. 若命题“∃t ∈R ，t 2
－2t －a <0”是假命题，则实数a 的取值范围是________．
(－∞，－1]
15. 已知P 为椭圆221214
x y F F +=上任意一点，，是椭圆的两个焦点，则：22
12PF PF +的最小值为_________ 解2
2
2
12222
12
1212()242282PF PF PF PF PF PF PF PF a a ⎛+⎫+=+-⋅≥-⨯== ⎪⎝⎭
故22
12PF PF +的最小值是8
16、下列四种说法：
①命题“∀x ∈R ，都有x 2
－2<3x ”的否定是“∃x ∈R ，使得x 2
－2≥3x ”；
②命题“在数列{}n a 中，若数列{}n a 为等比数列,则312
2a a a ⋅=”的逆命题为真命题；
③若“p q ∨”为真命题，则“()p q ∧⌝”也为真命题
④设111111M a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，且1a b c ++=(其中a ，b ，c 为正实数)，则M 的取值范
围是[)8,+∞
其中正确的说法是________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.
17．（10分）已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝x 2
＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 真，p ∧q 假，求实数a 的取值范围．
解 对于命题p ：当0<a <1时，函数y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减．
当a >1时，函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递增，所以如果p 为真命题，那么0<a <1. 如果p 为假命题，那么a >1.
对于命题q ：如果函数y ＝x 2
＋(2a －3)x ＋1的图象与x 轴交于不同的两点， 那么Δ＝(2a －3)2
－4>0， 即4a 2
－12a ＋5>0⇔a <12，或a >52
.
又∵a >0，所以如果q 为真命题，那么0<a <12或a >5
2.
如果q 为假命题，那么12≤a <1，或1<a ≤5
2.
∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 一真一假． 如果p 真q 假，那么⎩⎪⎨⎪
⎧
0<a <1，12
≤a <1，或1<a ≤5
2，⇔1
2
≤a <1. 如果p 假q 真，那么⎩
⎪⎨⎪
⎧
a >1，0<a <12，或a >5
2，⇔a >52
.
∴a 的取值范围是[12，1)∪(5
2
，＋∞)．
18．已知点()3,0A -, ()3,0B ,直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为16
9
. （Ⅰ）求点M 的轨迹方程;
（Ⅱ）若点()()4,2,5,0P F ,求MP MF +的最小值.
【答案】（Ⅰ）()22
13916
x y x -=≠±；（Ⅱ） 856-. 解析：
（Ⅰ）设(),M x y ,则,33
AM BM y y
k k x x ==
+-,且3x ≠± 因为169AM BM
k k ⋅=,即16339
y y x x ⋅=+-,且3x ≠± 所以点M 的轨迹方程为
()22
13916
x y x -=≠±. （Ⅱ）由（Ⅰ）知,点M 的轨迹方程是双曲线
()22
13916
x y x -=≠± 所以3,5,5a b c ===.
所以F 为双曲线的右焦点,设双曲线的左焦点为1F ,
因为()4,2P 在第一象限，所以若MP MF +最小,则M 在双曲线的右支上. 由双曲线的定义知126MF MF a -==,则16MF MF =-,
所以16MP MF MP MF +=+-
因为两点之间线段最短,所以连接1PF ,则直线1PF 与双曲线的交点即为M 所以()
()()()
22
1
1min
452085MP MF PF +==
--+-=.
所以MP MF +的最小值为856-.
19．（12分）设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和.已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列. (1)求数列{a n }的通项；
(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .
解 (1)由已知得⎩
⎪⎨⎪
⎧
a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1＋3＋a 3＋4
2＝3a 2，解得a 2＝2.
设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2
q
，a 3＝2q ， 又S 3＝7，可知2q
＋2＋2q ＝7，即2q 2
－5q ＋2＝0.
解得q 1＝2，q 2＝1
2.由题意得q ＞1，∴q ＝2，∴a 1＝1.
故数列{a n }的通项为a n ＝2
n －1
.
(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…， 由(1)得a 3n ＋1＝23n
，∴b n ＝ln 23n
＝3n ln 2. 又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n b 1＋b n
2
＝
3n n ＋1
2
·ln 2.
故T n ＝
3n n ＋1
2
ln 2.
20．（12分）已知抛物线y 2
＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在抛物线上，且点M 的横坐标为4，|MF |＝5．
（1）求抛物线的方程；
（2）设l 为过点(4,0)的任意一条直线，若l 交抛物线于A 、B 两点，求证：以AB 为直径的圆必过原点．
【答案】（1）y 2
＝4x ；【解析】（1）由题意得|MF |＝4＋2
p ＝5，∴p ＝2，故抛物线方程为y 2
＝4x ．
（2）当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝4．由24
4x y x =⎧⎨=⎩
，得y ＝±4．
∴|AB |＝8，∴
||
2
AB ＝4，∴以AB 为直径的圆过原点． 当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＝k (x －4)(k ≠0)．
设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，由()244y k x y x
⎧=-⎪⎨=⎪⎩，得k 2x 2－(4＋8k 2)x ＋16k 2
＝0，
∴x 1＋x 2＝2
2
48k k
+，x 1x 2＝16． 2212121212()()[()]
44416y y k x x k x x x x =--=-++
222
2
22
481632[16416](32)16k k k k k k +-=-⨯+=-=-，
∴12120x x y y +=．又12120OA OB x x y y ⋅=+=，∴OA ⊥OB ， ∴以AB 为直径的圆必过原点． 综上可知，以AB 为直径的圆必过原点．
21. （12分）在等比数列{a n }中，a n >0 (n ∈N
)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2. (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S n
n 最大时，求n 的值.
解 (1)∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 2
3＋2a 3a 5＋a 2
5＝25， 又a n >0，∴a 3＋a 5＝5. 又a 3与a 5的等比中项为2， ∴a 3a 5＝4，而q ∈(0,1)， ∴a 3>a 5，∴a 3＝4，a 5＝1.
∴q ＝12，a 1＝16，∴a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝25－n
.
(2)b n ＝log 2a n ＝5－n ， ∴b n ＋1－b n ＝－1，
∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝
n 9－n
2
，
∴S n n ＝9－n 2
，
∴当n ≤8时，S n n >0；
当n ＝9时，S n n ＝0；
当n >9时，S n n <0.
∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S n n
最大. 22．（12分）设椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ．已知椭圆的离心率为53，13AB =． （1）求椭圆的方程；
（2）设直线():0l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值．
【答案】（1）22194x y +=；（2）12
-． 【解析】（1）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a
=，又由222a b c =+，可得23a b =． 由22
13AB a b =+=,从而3a =，2b =．所以，椭圆的方程为22
194x y +=． （2）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意，210x x >>， 点Q 的坐标为()11,x y --．由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得PM PQ =2， 从而()21112x x x x -=--⎡⎤⎣⎦，即215x x =．
易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236x y y kx +==⎧⎨⎩
消去y ，可得2632x k =+． 由方程组22
194x y y kx ⎧+==⎪⎨⎪⎩
，消去y ，可得12694x k =+．由215x x =， 可得()294532k k +=+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12
k =-． 当89
k =-时，290x =-<，不合题意，舍去； 当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意．所以，k 的值为12
-． 【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。