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高中复数知识点及相关练习
复数基础知识
一、复数的基本概念
（1）形如 a + bi的数叫做复数（其中）；复数的单位为i ，它的平方等于－ 1，即. 其中 a 叫做复数的实部， b 叫做虚部
实数：当 b = 0 时复数 a + b i 为实数
虚数：当时的复数a + bi为虚数；
纯虚数：当 a = 0 且时的复数 a + b i为纯虚数
（ 2）两个复数相等的定义：
（ 3）共轭复数： z a bi 的共轭记作 z a bi ；
（ 4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a
bi ，对应
点坐标为
p a,b
（ 5）复数的模：对于复数z a
bi ，把
z
a2 b2 叫做复数 z 的模；
二、复数的基本运算
设z
1
a
1
b
1
i
，
z
2 a2 b2 i
（ 1）加法：z
1 z
2 a1 a2 b1 b2
i ；
（ 2）减法：z
1 z
2 a1 a2 b1 b2
i ；
（ 3）乘法：z
1 z
2 a1a2 b1b2 a2 b1 a1 b2 i 特别 z z a
2
b2 。

（4）幂运算： i1 i i 2 1 i3 i i 4 1 i 5 i i 6 1 三、复数的化简
1/12
c di
z
bi （
a, b
是均不为 0 的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分
a
c di
c di a bi
ac bd ad bc i
z
a 2
b 2
母化为实数：
a bi a bi a bi
z c
di
a b 0
c d
z 为纯虚数是 z 可设为
对于
a bi ，当
a b
时 z 为实数；当
c di
z
xi
a
bi
进一步建立方程求解
一、知识梳理
1、复数的有关概念
（ 1）复数的概念：形如 a b(i a, b )R
的 数 叫 做 复 数 ， 其 中
a, b
分 别 是 它
的。

若
，则 a
bi 为实数，若 ，则 a bi 为虚数，
若
，则
a bi
为纯虚数。

（ 2）复数相等：
（ 3）共轭复数：
a bi c
di
( a, b,c,d R) 。

a bi 与 c di 共轭
(a , b ,c , d R)。

（ 4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面， x
轴叫做 ，
y
轴 叫 做。

实轴上的点都表示 ；除原点外，虚轴上的点都表
示
；各象限内的点都表示。

（ 5）复数的模：向量 OZ
的模 r 叫做复数 z a bi 的模，记作：
，
即 z a
bi。

2、复数的几何意义
（1）复数
z
a
bi
一一对应
复平面上的点
Z ( a, b)(a, b R) 。

一一对应
（2）复数z a bi 复平面上的向量OZ。

3、复数的运算
2/12
（1）复数的四则运算
设 z 1 a bi ， z 2
c di (a, b, c, d
R) ，则
①加法： z 1 z 2
；
②减法： z 1 z 2 ；
③乘法：
z 1
z 2 =
；
z 1
④ 除 法 ： z 2
=
=
（ c di
0 ）。

（注：分母实数化）
（2）复数的运算定律：
z 1 z 2
； z
1
z 2 z 3
；
z 1 z 2
；
z 1
( z
2
z 3 )
；
z
m n
；
z 1
z
2
n
z mn
=
z =
；。

4、几个重要的结论
（1） | z 1 z 2 |2 | z 1 z 2 |2 2(| z 1 |2 | z 2 |2
) ；
（2）
z z
| z |2 | z |2 ；
（3）若 z 为虚数，则
| z|2
z 2 。

复数最重要的一点就是：记住
i 2
1
z a 1
b
4 i
例 1：已知
，求
（ 2） 当
a, b 为何值时 z 为纯虚数
（ 3） 当
a, b
为何值时 z 为虚数
3/12
（ 4）当a, b
满足什么条件时 z 对应的点在复平面内的第二象限。

例2：已知 z1 3 4i ；z
2
a3b 4 i
，求当a, b为何值时z1=z2
例：已知 z 1 i ，求 z ， z z ；
3
变式： 1 是虚数单位 , 等于 ( )
A．i B．-i C．1 D． -1
2i 3
变式 2：已知i是虚数单位，1
i （）
Ａ 1 i Ｂ 1 i Ｃ 1 i Ｄ．
1 i
1 3i
变式 3：已知i
是虚数单位，复数
1
i = （）
A2 i B2 i C 1 2i D 1 2i
1 3i
变式 4：已知 i 是虚数单位，复数 1 2i （）(A)1 ＋i (B)5 ＋5i (C)-5-5i (D)-1 － i
i 3 i 1
变式 5：已知i
是虚数单位，则i 1 （）
(A) 1 (B)1 (C) i (D) i
变式 6：已知=2+i, 则复数 z=（）
（ A） -1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i
变式 7： i 是虚数单位，若，则乘积的值是
（ A）－ 15 （B）－ 3 （C）3 （D）15
真题实战：
4/12
1．（ 2005）若(a 2i )i b i
，其中 a、b∈ R， i 是虚数单位，则 a 2 b2 =（）
5
A ． 0
B ．2 C．2
D． 5
2．（ 2005）已知向量a
( 2,3), b ( x,6), 且 a // b, 则x= .
3. （ 2007）若复数 (1+bi)(2+i) 是纯虚数 (i 是虚数单位， b是实数 ) ，则 b=
1 1
A． -2 B ． 2 C. 2 D ． 2
4 ．（ 2008 ）已知0
a 2 ，复数z a i （i是虚数单位），则
| z |
的取值范围是
（）
A． (1，5) B． (13)，C． (1，5) D． (1，3)
5.（ 2009）下列 n 的取值中，使i
n =1(i 是虚数单位）的是
A. n=2
B. n=3
C. n=4
D. n=5
6．（ 2011）设复数z 满足 iz=1 ，其中 i 为虚数单位，则
A ． -i
B ． i C． -1 D ．1
7.（ 2012 ）设 i 为虚数单位，则复数=（）
a，b R
A.3
B.1
C.-5
D.-6
8．（ 2013）若i ( x yi )
3 4i ， x, y
R
，则复数
x yi
的模是
A ．2 B． 3 C．4 D ．5
二、例题分析
类型一：复数的有关概念及复数的几何意义
【例 1】当实数m
为何值时，
z
lg( m2 2m 2) ( m2 3m 2)i
（1）为纯虚数；（ 2）为实数；（3）对应的点在复平面内的第二象限内。

5/12
类型二：复数相等
【例
M (a 3) (b2 1)i ,8 N 3i, (a2 1) (b 2)i
2】已知集合，集合同时满足
M NM,MN ，求整数a, b
的值。

【例3】已知 x, y 为共轭复数，且( x y)23xyi 46i ，求x, y。

练习：已知复数z 的共轭复数为z ，且满足z z2iz 92i ，求z。

类型三：复数的代数运算
(2 2i )4 2 3 i 2
2012
【例4】计算：（1）(1
3i)5 ；（2）
1
2 3i 1 i ；（
3 ）
1 i 6
3i
2
1 i 3 2i ；
6/12
（4） 1 i i 2i 2012。

类型四：复数加减法的几何意义
【例 5】如图，平行四边形OABC，顶点O, A,C
分别表示
0,3
2i , 2 4i ，试求：
（1）AO、BC表示的复数；（2）对角线CA所表示的复数。

练习：若 z 为复数，且z1
，求
z i
的最大值。

类型五：复数综合
【例 6】求同时满足下列两个条件的所有复数z 。

1 z 10 6
（1）z ；（ 2）z的实部和虚部都是整数。

7/12
z 1
z
z 2
练习：已知虚数 z 使得 1 z 2 和
z 2
1 z 都为实数，求 z 。

三、巩固提高
1
、
i
i 3 i 5
i 33
的
值
是
（ ）
A i
B -i
C 1
D
– 1
z
1 i
2、当 2 时， z 100
z 50
1
( )
的值是
A 1
B -1
C i
D
– i
( 1
3i )3
2 i 3、
(1 i )6
1 2i 等于
( )
A 0
B 1
C -1
D i
a b i
4、设 a
、 b
、 c
、
d
R ，若 c
d i
为实数，则
( )
(A) bc ad 0
(B) bc ad 0 (C)
bc ad 0
(D) bc ad 0
8/12
1 i
1 i
1 2
1 2
5
、
i
i
（
）
（ A ） i
（B ） i
（ C ）1
（D ） 1
(1
i ) 2005
6、
1 i
（ ）
A ． i
B
．－ i
C
． 2 2005
D
．－ 22005
1 100
1 i 200
z i
2
2
7、对于
，下列结论成立的是
( )
A z
是零
B
z
是纯虚数
C
z
是正实数
D
z
是负实数
8、已知3
3i
z ( 2 3i )
， 那 么 复 数 z
在复平面内对应的点位于
（
）
A 第一象限
B
第二象限
C
第三象限
D 第四象限
x
1990
y 1990
9 、设非零复数
x, y 满足 x
2
xy
y
2
，则代数式
x y
x y
的值是
（ ）
A 2 1989
B － 1
C 1
D 0
10 、
若
| z 3 4i | 2
，
则
|z|
的
最
大
值
是
( )
A3 B7 C9 D5
11、复数 z 在复平面内对应的点为 A ，将点 A 绕坐标原点按逆时针方向旋转
2 ，再向左平
移一个单位，向下平移一个单位，得到点 B ，此时点 B 与点 A 恰好关于坐标原点对称，则
复 数
z
为
(
)
A － 1
B 1
C iD
－ i
12、设复数：
z 1 1 i , 2 zx 2 ( i 若 x ) 1
R, z z
x
为实数，则
9/12
（）A．－ 2 B ．－ 1 C ． 1 D ． 2
13、若复数 z 满足方程z
i i 1，则z .
i z2
14、设复数z
1
2 i , z2 1
3i
则复数 z1
5
的虚部等于.
15、已知f (x)
x5 5x4 10x3 10x2 5x 1.求 f ( 21 23 i ) 的值.
16、已知复数z
3 2i ，复数 z 满足
z z
3zz
0，则复数
z 。

1 3
i n
17、知 2 2 i N *
的最小正整数 n .
，求使
2 3 i
3024
2
( 4 8i )2 2 (4 8i )
18、计算：1
2 3i 1 i 11 7i
19、设z
1
3i
，
z
2
1 i
，试求满足
z
1
n
z
2
n
的最小正整
m, n
的值。

20、是否存在复数z ，使其满足z z 2i z 3 ai (a R)
，如果存在，求出
z
的值，如
果不存在，说明理由
21、设等比数列z
1,
z
2
, z
3
z
n
其中
z
1
1,z
2
a bi , z
3
b ai
(a, b R，且 a 0)
（1）求a, b
的值；
（2）试求使z1 z2 z
n
的最小自然数 n
（3）对（ 2）中的自然数n ，求z
1
z
2
z
n
的值。

z a i
(a 0)
z( z i )
的虚部减去它的实部所得的差等于
3
22、已知 1 i ，且复数 2 ，求复数的模；
z ( 1 3i )(1 i ) (1 3i ) , z ai
z 2
a 的取值范
23 、已知复数i 当，求实数围。

2 3 i
z ( z z)i
i (i为虚数单位)
24、在复数范围内解方程 2。