2021年新高考数学模拟试卷(36)

2021年新高考数学模拟试卷（36）
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）已知全集U ＝R ，A ＝{x |x 2＜9}，B ＝{x |﹣2＜x ＜4}，则A ∩（∁R B ）等于（ ） A ．{x |﹣3＜x ＜﹣2} B ．{x |3＜x ＜4}
C ．{x |﹣2＜x ＜3}
D ．{x |﹣3＜x ≤﹣2}
2．（5分）已知复数z 满足z +2i ∈R ，z 的共轭复数为z ，则z −z =（ ） A ．0
B ．4i
C ．﹣4i
D ．﹣4
3．（5分）已知某团队有老年人28人，中年人56人，青年人84人，若按老年人，中年人，青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则从中年人中应抽取（ ） A ．2人
B ．4人
C ．5人
D ．3人
4．（5分）已知5件产品中有2件次品，其余3件为合格品．现从这5件产品中任取2件，至少有一件次品的概率为（ ） A ．0.4
B ．0.6
C ．0.7
D ．0.8
5．（5分）△ABC 是边长为4的等边三角形，AD →
=1
3
DC →
，则BD →
⋅BC →
=（ ） A ．﹣2
B ．10
C ．12
D ．14
6．（5分）设a ＝log 318，b ＝log 424，c =23
4，则
a 、
b 、
c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b
C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜b ＜a
7．（5分）函数f(x)=(
x−1x+1
)e x
的部分图象大致是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
8．（5分）设双曲线
x 2a −
y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F （﹣2，0），圆x 2+y 2＝c 2与双曲
线的一条渐近线交于点A ，直线AF 交另一条渐近线于点B ，若FB →
=1
2FA →
，则双曲线的方程为（ ）
A ．x 23−y 2
=1 B ．
x 22
−
y 26=1
C ．
x 2
6
−
y 22
=1
D ．x 2−y 2
3=1
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）我国已成为名副其实的工业大国．据统计，在500多种主要工业品中，我国有220多种产品产量居全球第一位，工业化的大规模推进也消耗了大量的资源和能源．为加快推进工业节能与绿色发展，工业和信息化部及国家开发银行联合发布了《关于加快推进工业节能与绿色发展的通知》，大力支持工业节能降耗、降本增效，实现绿色发展．如表是某国企利用新科技进行节能降耗技术改造后连续五年的生产利润统计表：
年号
1 2 3 4 5 年生产利润y （单位：千
万元）
0.7
0.8
1
1.1
1.4
则下列说法正确的是（ ） （参考公式及数据：：b =
∑ n i=1(x i −x)(y i −y)∑ n i=1(x i −x)
2
=
∑ n i=1x i y i −nxy ∑ n
i=1x i 2
−nx
2
；a =y −b x ，∑
5i=1（x i −x ）（y i −y ）＝1.7，∑ 5i=1x i 2
−n x 2
=10）
A ．这五年生产利润的方差为0.06
B ．每年的年生产利润比前一年大约增长0.49千万元
C ．预测2020年该国企的年生产利润为1.68千万元
D ．要使年生产利润突破2千万元，至少要等到2022年 10．（5分）下列说法正确的是（ ）
A ．命题p ：∀x ＞0，2x ≥x 2的否定为∃x ≤0，2x ＜x 2
B ．已知2cos α+3cos β=√5，2sin+3sin β＝2√3，则cos （α﹣β）=1
3
C ．“a 3＞b 3“是“ac 2＞bc 2“的充要条件
D ．若二项式（x 1
a √
x ）6（a ＞0）的展开式中的常数项为
1516
，则a ＝2
11．（5分）将正方形ABCD 沿对角线BD 对折，使得平面ABD ⊥平面BCD ，则（ ） A ．AC ⊥BD
B ．△AD
C 为等边三角形
C ．AB 与C
D 所成角为60° D ．AB 与平面BCD 所成角为60°
12．（5分）关于函数f(x)=2cos 2x −cos(2x +π
2
)−1的描述正确的是（ ） A ．其图象可由y =√2sin2x 的图象向左平移π
8个单位得到
B ．f （x ）在(0，π
2)单调递增 C ．f （x ）在[0，π]有2个零点
D ．f （x ）在[−π2
，0]的最小值为−√2
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）若f(x)+2f(1
x
)=2x +1x
对任意非零实数x 恒成立，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为 ． 14．（5分）已知a ＞0，b ＞0，2a +b ＝4，则
3ab
的最小值为 ．
15．（5分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣4y +4＝0，抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）过点C ，其焦点为F ，则直线CF 被抛物线截得的弦长等于 ．
16．（5分）已知△ABC 是边长为4的正三角形，点D 是AC 的中点，沿BD 将ABCD 折起使得二面角A ﹣BD ﹣C 为π
2，则三棱锥C ﹣ABD 外接球的体积为 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b cos C 与c cos B 的等差中项为a cos B ． （1）求B ；
（2）若a +c ＝6，△ABC 的面积S =√3，求边b ．
18．（12分）等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列． （1）求{a n }的通项公式；
（2）设S n 是数列{a n }的前n 项和，求数列{
1S n
}的前n 项和T n ．
19．（12分）已知梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AD ＝4，BC ＝CD ＝2，E 为AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起，使得AB ⊥CE ． （1）证明：AE ＝AC ；
（2）若梯形ABCD 中，∠ADC =π3，折起后∠ABD =π
3，点A 在平面BCDE 上的射影点H 为线段BD 上的一个点，求二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值．
20．（12分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2
b 2=1(a ＞b ＞0)过点M （1，1）离心率为√22
． （1）求Γ的方程；
（2）如图，若菱形ABCD 内接于椭圆Γ，求菱形ABCD 面积的最小值．
21．（12分）已知函数f （x ）＝ax 3+bx 2+cx +d （a ＞0）为奇函数，且在x ＝﹣1处取得极值． （1）求f （x ）的单调区间；
（2）当a ＝1时，f （x ）+（m +2）x ≤x 2（e x ﹣1）对于任意的x ∈[0，+∞）恒成立，求实数m 的取值范围．
22．（12分）第五届中国“互联网+”大学生创新创业大赛在浙江大学开幕.10月15日，第五届中国“互联网+”大学生创新创业大赛全国总决赛闭幕．在此次全国总决赛中，高教主赛道共评选出60个金奖项目（含5个港澳台金奖项目），“青年红色筑梦之旅”赛道、职教赛道和国际赛道各评选出15个金奖项目．某公司迅速引进其中的两个项目，在甲，乙两个生产车间进行试验，其中，甲车间只有一条生产线，乙车间有两条生产线，公司在试运营过程中随机选取了甲车间生产的部分产品，测得相应的综合质量指标值为t ．根据国家规定，综合质量指标值t ≥90为优等品；80≤t ＜90为合格品；t ＜80为不合格品．甲车间生产的产品综合质量指标值的频率分布直方图如图．
（1）已知每件产品的生产成本与综合质量指标值t 的关系式为P （t ）＝0.5t ，若优等品的出售价格为100元，合格品的出售价格为80元，不合格品需要全部销毁，每件产品的销毁费用为20元，将每件产品的利润用综合质量指标值t 的函数Q （t ）来表示； （2）根据预测，甲车间生产线成功生产产品的概率为p ，每年可获得利润7003
万元；乙
车间每条生产线成功生
产产品的概率为1
2
（e p ﹣1），每年可获得利润300万元，记每年两个车间的利润之和为X ，
则当p 为何值时，X 的期望最大？
2021年新高考数学模拟试卷（36）
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）已知全集U＝R，A＝{x|x2＜9}，B＝{x|﹣2＜x＜4}，则A∩（∁R B）等于（）A．{x|﹣3＜x＜﹣2}B．{x|3＜x＜4}C．{x|﹣2＜x＜3}D．{x|﹣3＜x≤﹣2}【解答】解：因为：全集U＝R，A＝{x|x2＜9}，B＝{x|﹣2＜x＜4}，
∴A＝{x|﹣3＜x＜3}；∁R B＝{x|x≥4或x≤﹣2}
则A∩（∁R B）＝{x|﹣3＜x≤﹣2|
故选：D．
2．（5分）已知复数z满足z+2i∈R，z的共轭复数为z，则z−z=（）A．0B．4i C．﹣4i D．﹣4
【解答】解：∵z+2i∈R，设z+2i＝a∈R，
则z＝a﹣2i，
则z−z=a﹣2i﹣（a+2i）＝﹣4i．
故选：C．
3．（5分）已知某团队有老年人28人，中年人56人，青年人84人，若按老年人，中年人，青年人用分层抽样的方法从中抽取一个容量为12的样本，则从中年人中应抽取（）A．2人B．4人C．5人D．3人
【解答】解：据题设知，从中年人中应抽取12×
56
28+56+84
=4人．
故选：B．
4．（5分）已知5件产品中有2件次品，其余3件为合格品．现从这5件产品中任取2件，至少有一件次品的概率为（）
A．0.4B．0.6C．0.7D．0.8
【解答】解：记5件产品的编号分别为1，2，3，a，b，其中1，2，3为合格品，
从5件产品中选2件的事件的结果有12，13，1a，1b，23，2a，2b，3a，3b，ab共10种，
满足条件的基本事件有1a，1b，2a，2b，3a，3b，ab共7种，
故所求的概率为P=7
10
=0.7．
故选：C．
5．（5分）△ABC 是边长为4的等边三角形，AD →
=1
3
DC →
，则BD →
⋅BC →
=（ ） A ．﹣2
B ．10
C ．12
D ．14
【解答】解：如图所示，
△ABC 是边长为4的等边三角形，AD →
=13DC →
，
所以CD →
=34CA →=34
（BA →
−BC →），
所以BD →⋅BC →=（BC →+CD →）•BC →=BC →
2+3
4（BA →−BC →）•BC →
＝16+34BA →•BC →−34
BC →2
＝16+34×4×4×cos60°−34
×16 ＝10． 故选：B ．
6．（5分）设a ＝log 318，b ＝log 424，c =23
4，则
a 、
b 、
c 的大小关系是（ ） A ．a ＜b ＜c
B ．a ＜c ＜b
C ．b ＜c ＜a
D ．c ＜b ＜a
【解答】解：c =23
4＜2，a =log 318＞log 39=2，b =log 424
＞log 416＞2， 又a =log 318=1+log 36，b =log 424=1+log 46，
∵log 46=1log 64，log 36=1
log 63且log 64＞log 63＞0， ∴
1log 64
＜1log 63
，
∴log 424＜log 318， ∴c ＜b ＜a ． 故选：D ．
7．（5分）函数f(x)=(x−1
x+1)e x 的部分图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：当x →﹣∞时，e x →0+，x−1
x+1=1−2
x+1→1+，所以f （x ）→0+，排除C ，D ；
因为x →+∞时，e x →+∞，x−1
x+1=1−2
x+1→1+，所以f （x ）→+∞，因此排除B ， 故选：A ． 8．（5分）设双曲线
x 2a −
y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的左焦点F （﹣2，0），圆x 2+y 2＝c 2与双曲
线的一条渐近线交于点A ，直线AF 交另一条渐近线于点B ，若FB →
=12FA →
，则双曲线的
方程为（ ） A ．x 23−y 2
=1 B ．
x 22
−
y 26
=1
C ．
x 2
6
−
y 22
=1
D ．x 2
−y 2
3
=1
【解答】解：由题意，y =b
a x 与x 2+y 2＝c 2联立，可得A （a ，
b ）， ∴AF 的斜率为
b
a+c
，
∵FB →
=1
2FA →
， ∴B 为线段F A 的中点， ∴OB ⊥AF ， ∴
b a+c
•
（−b
a ）＝﹣1，即
b 2＝a 2+2a ， 结合b 2＝
c 2﹣a 2＝4﹣a 2， 解得a ＝1，b =√3， 则双曲线的方程为x 2−y 2
3
=1， 故选：D ．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（5分）我国已成为名副其实的工业大国．据统计，在500多种主要工业品中，我国有220多种产品产量居全球第一位，工业化的大规模推进也消耗了大量的资源和能源．为加快推进工业节能与绿色发展，工业和信息化部及国家开发银行联合发布了《关于加快推进工业节能与绿色发展的通知》，大力支持工业节能降耗、降本增效，实现绿色发展．如表是某国企利用新科技进行节能降耗技术改造后连续五年的生产利润统计表：
年号12345年生产利润y（单位：千
万元）
0.70.81 1.1 1.4
则下列说法正确的是（）
（参考公式及数据：：b=∑n
i=1
(x i−x)(y i−y)
∑n i=1(x i−x)2
=∑
n
i=1
x i y i−nxy
∑n i=1x i2−nx2
；a=y−b x，∑5i=1（x i−x）
（y i−y）＝1.7，∑5i=1x i2−n x2=10）
A．这五年生产利润的方差为0.06
B．每年的年生产利润比前一年大约增长0.49千万元C．预测2020年该国企的年生产利润为1.68千万元D．要使年生产利润突破2千万元，至少要等到2022年
【解答】解：由表中数据，计算x=1
5
×（1+2+3+4+5）＝3，y=15×（0.7+0.8+1+1.1+1.4）
＝1，
s2=1
5
×[（﹣0.3）2+（﹣0.2）2+02+0.12+0.42]＝0.06，所以A正确；
计算b=∑n
i=1
(x i−x)(y i−y)
∑n i=1(x i−x)2
=∑
n
i=1
x i y i−nxy
∑n i=1x i2−nx2
=1.710=0.17，
所以每年的年生产利润比前一年大约增长0.49千万元，B正确；计算a=y−b x=1﹣0.17×3＝0.49，
∴y关于x的线性回归方程为y=0.17x+0.49；
题目中具体年份没有说明，所以C、D选项无法确定正误．故选：AB．
10．（5分）下列说法正确的是（）
A．命题p：∀x＞0，2x≥x2的否定为∃x≤0，2x＜x2
B．已知2cosα+3cos β=√5，2sin+3sinβ＝2√3，则cos（α﹣β）=1 3
C．“a3＞b3“是“ac2＞bc2“的充要条件
D．若二项式（x
1
a√x）
6（a＞0）的展开式中的常数项为
15
16
，则a＝2
【解答】解：A错，∵命题p：∀x＞0，2x≥x2的否定为∃x＞0，2x＜x2．
B对，由2cosα+3sinβ=√5，2sinα+3cosβ＝2√3，两式平方相加得cos（α﹣β）=1 3；
C错，当c＝0时，“a3＞b3“不是“ac2＞bc2“的充分条件；
D对，由通项公式计算可得常数项是第5项，即C64（−1
a）
4=15
16，又a＞0，则a＝2．
故选：BD．
11．（5分）将正方形ABCD沿对角线BD对折，使得平面ABD⊥平面BCD，则（）A．AC⊥BD
B．△ADC为等边三角形
C．AB与CD所成角为60°
D．AB与平面BCD所成角为60°
【解答】解：将正方形ABCD沿对角线BD对折，使得平面ABD⊥平面BCD，
构建棱长均为a的正四棱锥C﹣ABED，
由正四棱锥的性质知：
在A中，连结AE、BD，交于点O，连结CO，
则AE⊥BD，CO⊥BD，∵AE∩BD＝O，∴BD⊥平面AEC，
∵AC⊂平面ACE，∴AC⊥BD，故A正确；
在B中，△ADC是等边三角形，故B正确；
在C中，∵AB∥DE，△DEC是等边三角形，∴AB与CD所成角为60°，故C正确；
在D中，AB与平面BCD所成角为∠ABO＝45°，故D错误．
故选：ABC．
12．（5分）关于函数f(x)=2cos 2x −cos(2x +π
2
)−1的描述正确的是（ ） A ．其图象可由y =√2sin2x 的图象向左平移π8个单位得到
B ．f （x ）在(0，π2
)单调递增 C ．f （x ）在[0，π]有2个零点
D ．f （x ）在[−π
2，0]的最小值为−√2
【解答】解：f(x)=2cos 2x −cos(2x +π
2)−1=cos2x +sin2x =√2sin （2x +π
4）， A .y =√2sin2x 的图象向左平移π
8个单位得到，y =√2sin2（x +π
8
）=√2sin （2x +π4
），故A
正确，
B ．当0＜x ＜π
2，则0＜2x ＜π，π
4＜2x +π
4＜5π
4，此时函数f （x ）不单调，故B 错误，
C ．由2x +π4
=k π，得x =
kπ2−π8
， 当k ＝0时，x =−π
8，当x ＝1时，x =3π
8，当x ＝2时，x =7π
8，当x ＝3时，x =11π
8，即f （x ）在[0，π]有2个零点，3π8
，
7π8
，故C 正确，
D ．−
π2≤x ≤0，则﹣π≤2x ≤0，−3π4≤2x +π4≤π4，则当2x +π4=−π
2
时，函数f （x ）取得最小值，最小值为y =√2sin （−π
2
）=−√2，故D 正确 故选：ACD ．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）若f(x)+2f(1x )=2x +1
x 对任意非零实数x 恒成立，则曲线y ＝f （x ）在点（1，f （1））处的切线方程为 x +y ﹣2＝0 ．
【解答】解：∵f(x)+2f(1x )=2x +1x
① ∴f(1x
)+2f(x)=
2
x +x② 联立①②，消去f （1x
）得f （x ）=1x
． ∴f ′(x)=−
1
x 2
，∴f （1）＝1，f ′（1）＝﹣1． 故切线方程为y ﹣1＝﹣（x ﹣1），即x +y ﹣2＝0． 故答案为：x +y ﹣2＝0．
14．（5分）已知a ＞0，b ＞0，2a +b ＝4，则3ab
的最小值为
32
．
【解答】解：a ＞0，b ＞0，2a +b ＝4， 由基本不等式可得，4≥2√2ab ，
∴ab ≤2，当且仅当b ＝2a 即b ＝2，a ＝1时取等号 则
3ab
的最小值为3
2．
故答案为：32
．
15．（5分）已知圆C ：x 2+y 2﹣4x ﹣4y +4＝0，抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）过点C ，其焦点为F ，则直线CF 被抛物线截得的弦长等于
258
．
【解答】解：圆C 的标准方程为（x ﹣2）2+（y ﹣2）2＝4，圆心C 为（2，2），半径为2， ∵抛物线E ：y 2＝2px 过点C ，∴22＝2×p ×2，解得p ＝1， ∴抛物线的方程为y 2＝2x ，焦点F 的坐标为(12
，0)，
由C （2，2），F (1
2，0)可知，直线CF 的方程为y =4
3(x −1
2)， 联立{y =4
3(x −12)y 2=2x 得8x 2﹣17x +2＝0，解得x 1=2，x 2=18
，
由抛物线的定义可知，所求的弦长为x 1+x 2+p =2+1
8+1=25
8， 故答案为：
258
．
16．（5分）已知△ABC 是边长为4的正三角形，点D 是AC 的中点，沿BD 将ABCD 折起使得二面角A ﹣BD ﹣C 为π
2
，则三棱锥C ﹣ABD 外接球的体积为
20√5
3
π ． 【解答】解：由题意折起的二面角A ﹣BD ﹣C 为π2
，放在长方体中，由正三角形边长为4
可得，
D 为AC 的中点可得，AD ＝DC ＝2，BD ＝2√3， 长方体中同一个顶点的三条棱长分别为2，2，2√3，
又由于长方体的对角线为外接球的直径2R ，所以2R =√4+4+12=2√5，所以R =√5，
所以外接球的体积V =4πR 33=4π3⋅(√5)3=20√53π，
故答案为：
20√53
π．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，b cos C 与c cos B 的等差中项为a cos B ． （1）求B ；
（2）若a +c ＝6，△ABC 的面积S =√3，求边b ． 【解答】解：（1）由题意可得，b cos C +c cos B ＝2a cos B ，
由正弦定理可得sin B cos C +sin C cos B ＝2sin A cos B ，即sin （B +C ）＝sin A ＝2sin A cos B ， 所以cos B =1
2
， 所以B =1
3π；
（2）又S =√3
4ac =√3， 所以ac ＝4， 由余弦定理可得，1
2=
a 2+c 2−
b 2
2ac
=
36−2ac−b 2
2ac
，
解可得，b ＝2√6．
18．（12分）等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列． （1）求{a n }的通项公式；
（2）设S n是数列{a n}的前n项和，求数列{1
S n
}的前n项和T n．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，
由题意得a42＝a2a8，即（a1+6）2＝（a1+2）（a1+14），解得a1＝2．∴{a n}的通项公式a n＝2n；
（2）由（1）得S n=1
2（a1+a n）＝n（n+1），
1 Sn =
1
n(n+1)
=
1
n
−
1
n+1
．
于是T n＝（1−1
2）+（
1
2
−
1
3
）+（
1
3
−
1
4
）+…+（
1
n
−
1
n+1
）
＝1−
1
n+1
=n n+1．
19．（12分）已知梯形ABCD中，BC∥AD，AD＝4，BC＝CD＝2，E为AD的中点，沿BE 将△ABE折起，使得AB⊥CE．
（1）证明：AE＝AC；
（2）若梯形ABCD中，∠ADC=π
3，折起后∠ABD=
π
3，点A在平面BCDE上的射影点
H为线段BD上的一个点，求二面角B﹣AD﹣C的余弦值．
【解答】（1）证明：∵梯形ABCD中，BC∥AD，AD＝4，BC＝CD＝2，E为AD的中点，∴四边形BCDE是菱形，∴BD⊥CE，
沿BE将△ABE折起，使得AB⊥CE．又BD∩AB＝B，
∴CE⊥平面ABD，
设BD∩CE＝O，连接AO，则O是CE中点，
∵AO⊂平面ABD，∴AO⊥CE，
∴AE＝AC．
（2）解：∵梯形ABCD中，∠ADC=π3，
∴△CDE为等边三角形，∴四边形ABCE是菱形．
∴AE ＝AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝BE ＝EC ＝2． 折起后∠ABD =π3，BH =1
2AB ＝1． 过点H 作HM ∥OC ，交BC 于点M ．
∴HB 、HM 、HA 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
H （0，0，0），B （1，0，0），A （0，0，√3），C （1−√3，1，0），D （1﹣2√3，0，0）， AD →
=（1﹣2√3，0，−√3），AC →
=（1−√3，1，−√3），
设平面ADC 的法向量为m →
=（x ，y ，z ），则m →
•AD →
=m →
•AC →
=0，∴（1﹣2√3）x −√3z ＝0，（1−√3）x +y −√3z ＝0， 取m →
=（√3，﹣3，1﹣2√3）．
取平面ABD 的法向量为n →
=（0，1，0）． ∴cos ＜m →
，n →
＞=
√3+9+(1−2√3)=√25−4√3
．
∵二面角B ﹣AD ﹣C 的平面角为锐角， ∴二面角B ﹣AD ﹣C 的余弦值为
√25−4√3
．
20．（12分）已知椭圆Γ：x 2a 2+y 2b
2=1(a ＞b ＞0)过点M （1，1）离心率为√22．
（1）求Γ的方程；
（2）如图，若菱形ABCD 内接于椭圆Γ，求菱形ABCD 面积的最小值．
【解答】解：（1）由题意，{
1a 2+1
b 2=1
c a =√22a 2
=b 2+c 2，解得a 2=3，b 2=3
2．
∴椭圆Γ的方程为
x 23
+
2y 23
=1；
（2）∵菱形ABCD 内接于椭圆Γ，
由对称性可设直线AC ：y ＝k 1x ，直线BD ：y ＝k 2x ． 联立{x 2+2y 2=3
y =k 1x ，得方程（2k 12+1）x 2﹣3＝0，
∴x A 2=x C 2=
32k 12
+1
，
∴|OA |＝|OC |=√1+k 12⋅√
3
2k 12
+1
．
同理，|OB |＝|OD |=√1+k 22⋅√
3
2k 22
+1
．
又∵AC ⊥BD ，∴|OB |＝|OD |=√1+1k 1
2⋅
√3
2k 1
2
+1
，其中k 1≠0．
从而菱形ABCD 的面积S 为： S ＝2|OA |•|OB |＝2√1+k 12⋅√
3
2k 12
+1
•√1+
1k 1
2
⋅
√3
2k 1
2+1
，
整理得S ＝6
√1
2+
1
(k 1+1k 1
)
2
≥4，其中k 1≠0．
当且仅当
1
k 1
=k 1时取“＝”，
∴当k 1＝1或k 1＝﹣1时，菱形ABCD 的面积最小，该最小值为4．
21．（12分）已知函数f （x ）＝ax 3+bx 2+cx +d （a ＞0）为奇函数，且在x ＝﹣1处取得极值． （1）求f （x ）的单调区间；
（2）当a ＝1时，f （x ）+（m +2）x ≤x 2（e x ﹣1）对于任意的x ∈[0，+∞）恒成立，求实数m 的取值范围．
【解答】解：（1）∵f （x ）＝ax 3+bx 2+cx +d 为奇函数，∴b ＝d ＝0；
∴f '（x ）＝3ax 2+c ，∵f （x ）在x ＝﹣1处取得极值，∴f '（﹣1）＝3a +c ＝0，∴c ＝﹣3a ； ∴f '（x ）＝3a （x 2﹣1），
a ＞0时，f （x ）在（﹣∞，﹣1）递增，（﹣1，1）递减，（1，+∞）递增． （2）当a ＝1时，∵f （x ）+（m +2）x ≤x 2（e x ﹣1）；
∴x 3﹣3x +（m +2）x ≤x 2（e x ﹣1）；∴（m +2）x ≤x 2（e x ﹣1）﹣x 3+3x ； 当x ＝0时，m ∈R ；
当x ＞0时，∴m +2≤xe x ﹣x ﹣x 2+3⇒m ≤x （e x ﹣x ﹣1）+1，
设h （x ）＝e x ﹣x ﹣1，∵x ＞0，∴h '（x ）＝e x ﹣1＞0，∴h （x ） 在（0，+∞）递增，∴h （x ）＞h （0）＝0；
∴g （x ）＝x （e x ﹣x ﹣1）+1＞1，从而m ≤1； ∴实数m 的取值范围为（﹣∞，1]．
22．（12分）第五届中国“互联网+”大学生创新创业大赛在浙江大学开幕.10月15日，第五届中国“互联网+”大学生创新创业大赛全国总决赛闭幕．在此次全国总决赛中，高教主赛道共评选出60个金奖项目（含5个港澳台金奖项目），“青年红色筑梦之旅”赛道、职教赛道和国际赛道各评选出15个金奖项目．某公司迅速引进其中的两个项目，在甲，乙两个生产车间进行试验，其中，甲车间只有一条生产线，乙车间有两条生产线，公司在试运营过程中随机选取了甲车间生产的部分产品，测得相应的综合质量指标值为t ．根据国家规定，综合质量指标值t ≥90为优等品；80≤t ＜90为合格品；t ＜80为不合格品．甲车间生产的产品综合质量指标值的频率分布直方图如图．
（1）已知每件产品的生产成本与综合质量指标值t 的关系式为P （t ）＝0.5t ，若优等品的出售价格为100元，合格品的出售价格为80元，不合格品需要全部销毁，每件产品的销毁费用为20元，将每件产品的利润用综合质量指标值t 的函数Q （t ）来表示； （2）根据预测，甲车间生产线成功生产产品的概率为p ，每年可获得利润7003
万元；乙
车间每条生产线成功生
产产品的概率为1
2（e p ﹣1），每年可获得利润300万元，记每年两个车间的利润之和为X ，
则当p 为何值时，X 的期望最大？
【解答】解：（1）当75≤t ＜80时，Q （t ）＝﹣0.5t ﹣20； 当80≤t ＜90时，Q （t ）＝80﹣0.5t ； 当90≤t ≤100时，Q （t ）＝100﹣0.5t ．
∴Q(t)={−0.5t −20，75≤t ＜80
80−0.5t ，
80≤t ＜90100−0.5t ，
90≤t ≤100
． （2）随机变量X 的可能取值为7003
，300，
16003
，600，
25003
，
P （X =
7003）=p ×[1−1
2
(e p −1)]2， P （X ＝300）=(1−p)×C 21
×1
2
(e p −1)×[1−12
(e p −1)]，
P （X =
16003）=p ×C 21
×12(e p −1)×[1−12
(e p −1)]， P （X ＝600）=(1−p)×[1
2(e p −1)]2， P （X =
25003）=p ×[12
(e p −1)]2． 由P （X =
7003）+P （X ＝300）+P （X =16003）+P （X ＝600）+P （X =25003
）＝1，化简整理后得e p ﹣1＝4p ． 数学期望E （X ）=
7003×p ×[1−12(e p −1)]2+300×(1−p)×C 21
×12
(e p −1)×[1−12(e p −1)]+16003×p ×C 21
×12(e p −1)×[1−12(e p −1)]+600×(1−p)×[12
(e p −1)]2+
25003×p ×[12(e p −1)]2
=300（e p ﹣1）+7003p ＝300×4p +7003p =43003
p ． ∵0＜p ≤1，∴当p ＝1时，E （X ）最大，为43003
万元．。