专题21 抛物线的焦点弦 微点1 抛物线的焦点弦常用结论试题及答案

专题21 抛物线的焦点弦 微点1 抛物线的焦点
弦常用结论及其应用
专题21 抛物线的焦点弦
微点1 抛物线的焦点弦常用结论及其应用 【微点综述】
在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的切入点．本文对此作一些介绍． 一、常用结论
不妨设抛物线方程为()2
20y px p =>，如图1，准线2
p
x =-
与x 轴相交于点P ，过焦点,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线l 与抛物线相交于()()1122,,,A x y B x y 两点，O 为原点，α为AB 与对称轴正向所成的角，AB 的中点为C ，又作111,,AA l BB l CC l ⊥⊥⊥，垂足分别为111,,A B C ，则有如下结论（1）～（9）：
（1）2
21212,4
p x x y y p ==-． （2）焦半径长公式：12,22
p p
AF x BF x =+
=+（坐标式）；夹角式：,1cos 1cos p p
AF BF αα
=
=-+（A 在x 轴上方，B 在x 轴下方）．
（3）焦点弦长公式：1222,sin p
AB x x p AB α=++=．
（4）通径长公式：2AB p =（通径最短）．
（5）AF ，BF 的数量关系：2
2112,sin 2
p AB p AF BF AF BF p α⋅+=⋅==． （6）三角形AOB 的面积：2
,2sin AOF AOB
BOF AF S p S S BF
α==△△△． （7）中点弦斜率：若AB 斜率为k ，()00,C x y ，则0
p
k y =
． （8）直线,PA PB 的斜率之和为零0PA PB k k +=，即APF BPF ∠=∠． （9）焦点弦与圆有关的结论，如图2， ①以AB 为直径的圆M 与准线相切； ①以AF 为直径的圆C 与y 轴相切； ①以BF 为直径的圆D 与y 轴相切；
①分别以,,AB AF BF 为直径的圆之间的关系：圆C 与圆D 外切；圆C 与圆D 既与y 轴相切，又与圆M 相内切．
（10）由焦点弦得出有关直线垂直关系的结论，如图3，
①以AB 为直径的圆的圆心在准线上的射影1M 与,A B 两点的连线互相垂直，即11M A M B ⊥；
①以AF 为直径的圆的圆心在y 轴上的射影1C 与,A F 两点的连线互相垂直，即11C A C F ⊥；
①以BF 为直径的圆的圆心在y 轴上的射影1D 与,B F 两点的连线互相垂直，即11D B D F ⊥；
①以11A B 为直径的圆必过原点，即11A F B F ⊥； ①1M F AB ⊥．
（11）点1,,A O B 三点共线；点1,,A O B 三点共线．
（12）如图4，点A ，B 是抛物线()20y px p =>，O 为原点，若90AOB ∠=︒，则直线AB 过定点()2,0p ．
图4
证明：（1）因为焦点坐标为,02p F ⎛⎫
⎪⎝⎭
，当AB 不垂直于x 轴时，可设直线AB 的方程为：
2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由222p y k x y px
⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝
⎭⎨⎪=⎩
得：2220ky py kp --=，212122,p y y y y p k ∴+==-，22
42
121222244
y y p p x x p p p =⋅==．
当AB x ⊥轴时，直线AB 方程为2
p x =，则1y p =，2y p =-，①2
12y y p =-，同上也有：
2
124
p x x =．
（2）由抛物线的定义易得1112,22
p p AF AA x BF BB x ==+
==+． 又()1cos ,1cos A F p AF AA p x x p AF AF αα==+-=+∴=-，同理可证1cos p
BF α
=+．
（3）由（2）可得弦长：
121222,221cos 1cos sin p p p p p
AB AF BF x x x x p AB AF BF ααα
=+=+
++=++=+=+=-+．
（4）当AB x ⊥轴时，直线AB 方程为2
p
x =，则1y p =，
2y p =-，①通径长公式：2AB p =． （5）由212122,p
y y y y p k
+=
=-，得()()2
22222121212122
2222222p p k p y y y y y y k x x p p p k ⎛⎫
+ ⎪++-+⎝⎭
+====
，又()()22221212121212,42224424p p p p p p p p x x AF BF x x x x x x x x ⎛
⎫⎛⎫=∴⋅=++=+++=+++ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭
()2
1222222sin sin p p p p x x p αα
=++=⋅=， 222112sin 2sin AF BF AB p AF BF AF BF AF BF p p
αα++===⋅=⋅⋅． （6）点O 到直线AB 的距离d 就是的AOB ∆
高，sin 2
p h d α
==
=
， 2
21
112sin 2,122sin 22sin 2
AOF AOB BOF
AF d AF S p p p
S AB h S BF BF d ααα⋅⋅∴=
⋅=⋅⋅===⋅⋅△△△． （7）
22
11222,2y px y px ==，由点差法得
()()()()22
12121212121212120
22,2,y y p p
y y p x x y y y y p x x k x x y y y --=-∴+-=-∴=
==-+．
（8）
()()1122,,,,,02p A x y B x y P ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，
122112121222222222PA PB
p p p p k x x k x x y y k k p p p p x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫-++-+ ⎪⎪ ⎪⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴+=+=⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭， 分子2221221122202222242p p p p p p p k x x k x x k x x k ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++-+=-=⨯
-= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴直线,PA PB 的斜率之和为零：0PA PB k k +=，即APF BPF ∠=∠．
（9）①如图2，过M 点作1MM l ⊥于1M ，则1MM 是梯形11AA B B 的中位线，由抛物线的定义知
()()11111111
,,222
AA AF BB BF MM AA BB AF BF AB ==∴=
+=+=， 即以AB 为直径的圆M 与准线相切，同理可证①，①． ①
,AF BF AB +=∴分别以,,AB AF BF 为直径的圆有以下关系：圆C 与圆D 外切；
圆C 与圆D 既与y 轴相切，又与圆M 相内切．
（10）①准线与圆M 相切，∴圆M 的圆心在准线上的射影1M 就是切点，
直径所对的圆周角是直角，11M A M B ∴⊥．同理可证①，①：1111,C A C F D B D F ⊥⊥． ①由抛物线的定义知11,AA AF BB BF ==，1BB //NF //1111,AA AA F AFA A FN ∴∠=∠=∠， 111BB F BFB B FN ∠=∠=∠，而
111111,2
AFA A FN BFB B FN A FN NFB π
∠+∠+∠+∠=π∴∠+∠=
，即11A F B F ⊥． ①易知10,2p M y ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，又
11010,0,,,1,2M F AB M F AB y p p F k k k k M F AB p y ⎛⎫
∴=-=∴⋅=-∴⊥ ⎪⎝⎭
．
（11）由（1）知
22
22221221212122224422,,4
4OA
y y x y p p p p x x y y p k x y x y y p
----==-∴==÷===．
1221122,,,,22
OB OA y y p BB l B y k k p p -⎛⎫
⊥∴-∴===∴
⎪⎝⎭-点1,,A O B 三点共线．同理可证：点1,,A O B 三点共线．
（12）11,1,1,1OA OB OA OB k k st t s
⊥∴⋅=-∴⋅=-∴=-．设()()22
2,2,2,2A pt pt B ps ps ，
则
()
()
22212AB p s t k s t p s t -=
=
+-，直线AB 方程为()21
22y pt x pt s t
-=-+， 即()22221
2,,,2x pt x pst x p y pt y y y x p s t s t s t s t s t s t s t
-=+-∴=+∴=+∴=-+++++++，∴直线
AB 过定点()2,0p ． 二、应用举例
例1．（2022太原一模）
1．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A B 、两点，O 为坐标原点，若AB =6，则AOB ∆的面积为
A B ．C ．D ．4
例2．（2022晋中二模）
2．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，O 坐标原点，
若AOB 的面积为AB = A ．24
B ．8
C ．12
D ．16
3．过抛物线2y ax =(>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则11
p q
+等于 A ．2
B ．
12a
C ．4a
D ．4a
4．直线过抛物线24y x =的焦点F 且交抛物线于A ，B 两点，A 在x 轴上方，若=5AF ，求BF ．
5．直线过抛物线24y x =的焦点F 且交抛物线于A ，B 两点，A 在x 轴上方，直线倾斜角为60︒，求OAF
S
．
6．若抛物线23y x =，过焦点F 作倾斜角为30的直线与抛物线交于A ，B ，求AB ． 7．直线过抛物线22y x =的焦点F 且交抛物线于A ，B 两点，若25
=12
AB AF BF <，，求AF ．
8．若抛物线24y x =，过焦点F 作两条互相垂直的直线分别于抛物线交于A ，B 和C ，D ，求()min AB CD +．
9．若抛物线24y x =，过焦点F 作直线与抛物线交于A ，B ，若=3AF BF ，求直线l 方程．
10．若抛物线23y x =，过焦点F 且倾斜角为30的直线交抛物线于A ，B 两点，求OAB
S
．
11．斜率为k 的直线过抛物线24y x =的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，O 为原点，M 为AB 中点，且2OFM
S =，求k ．
【强化训练】
（2022·云南玉溪·高二期末）
12．直线10x -=与抛物线24y x =交于A ，B 两点，则AB =（ ）
A ．
B ．8
C ．
D ．16
13．过抛物线24y x =的焦点F 的直线与其交于A ，B 两点，AF BF >，如果5AF =，那么BF =（ ）
A B ．54
C ．52
D ．3
2
14．过抛物线24y x =的焦点作两条互相垂直的弦AB 、CD ，则
11AB CD
+=（ ） A ．2 B ．4 C ．12
D ．14
15．设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为 F ，点M 在 C 上，5MF =，若以 MF 为直径的圆过点（0,2），则C 的方程为 A ．24y x =或 28y x = B ．22y x =或 28y x = C ．24y x =或 216y x = D ．22y x =或 216y x =
（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测）
16．已知直线l 过抛物线2:4C y x =的焦点，并且与抛物线C 交于不同的两点A 、B ，若
()02,M y 为线段AB 的中点，则||AB 的值为（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．8
（2022·广东佛山·模拟预测）
17．已知抛物线C ：()2
20y px p =>的焦点为F ，过焦点且斜率为l 与抛物
线C 交于A ，B （A 在B 的上方）两点，若AF BF λ=，则λ的值为（ ）
A
B C ．2
D 18．已知抛物线2:8W x y =-，点()11,A x y ，()22,B x y 是曲线W 上两点，若128y y +=-，则AB 的最大值为（ ） A ．10
B ．14
C ．12
D ．16
（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）
19．已知以F 为焦点的抛物线2:4C y x =上的两点A ，B ，满足133AF FB λλ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭
，
则弦AB 的中点到C 的准线的距离的最大值是（ ） A ．2
B ．8
3
C ．
103
D ．4
（2022全国·高二月考） 20．已知抛物线C ①2
14
y x =
，过抛物线焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若直线AO ，BO 分别交直线y =x -2于E ，F 两点，则|EF |的最小值（ ）
A ．
253
B ．
3
C ．
128
25
D （2022·辽宁实验中学模拟预测）
21．已知抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，准线为l ，过点A 作1AA l ⊥，垂足为1A ，1A AF ∠的角平分线交l 于点M ，过B 作抛物线的切线交l 于点N ，则MN =_________．
（2022·青海·海东市第一中学模拟预测）
22．已知抛物线C ：22y px =（p >0）的焦点为F ，过点F 且斜率为1的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，与抛物线C 的准线交于点E ，若2
AB EF =，则p ＝________. （2022·江苏南通·高二期末）
23．直线l 过抛物线()2
20x py p =>的焦点为()0,1F ，且与抛物线交于A 、B 两点，则
2
AF BF
-
的最小值为_______． （2022·四川省内江市第六中学高二月考）
24．如图，已知抛物线1C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，且过点()3,6，圆
222:680C x y x +-+=，过圆心2C 的直线l 与抛物线和圆依次交于P ，M ，N ，Q ，则
3PN QM +的最小值为___________.
（2022·广东广州·高二期末）
25．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离为2，过点F 的直线l 与抛物线C 交于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，若124y y +=，则线段PQ 的长度为__________． （2022·全国·高二月考）
26．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，点M N ，在抛物线上，且M N F ，，三点共线;点P 在准线上，PN NM = ，则p
MF
= __． 27．已知抛物线()2
:20C x py p =>，直线l 经过抛物线C 的焦点，且垂直于抛物线C
的对称轴，直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，且4MN =． (1)求抛物线C 的方程；
(2)已知点()2,1P ，直线():2m y k x =+与抛物线C 相交于不同的两点A ，B ，设直线P A 与直线PB 的斜率分别为1k 和2k ，求证：12k k ⋅为定值． （2022·湖南衡阳·三模）
28．已知抛物线C ：()2
0y ax a =>的焦点是F ，若过焦点F 的直线与C 相交于A ，B 两
点，所得弦长AB 的最小值为2． (1)求实数a 的值；
(2)设P ，Q 是抛物线C 上不同于坐标原点O 的两个不同的动点，且以线段PQ 为直径的
圆经过点O ，作OM PQ ⊥，M 为垂足，试探究是否存在定点N ，使得MN 为定值，若存在，则求出该定点N 的坐标及定值MN ，若不存在，请说明理由． （2022·河北秦皇岛·三模）
29．已知抛物线2:2(0)C y px p =>上的点M 与焦点F 的距离为9，点M 到x 轴的距离
为．
(1)求抛物线C 的方程．
(2)经过点F 的直线与抛物线C 交于,A B 两点，E 为直线=1x -上任意一点，证明：直线
,,EA EF EB 的斜率成等差数列．
（2022·浙江省杭州学军中学模拟预测）
30．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过点F 且斜率大于0的直线交抛物线C 于A ，B 两点，过线段AB 的中点M 且与x 轴平行的直线依次交直线OA ，OB ，l 于点P ，Q ，N ．
(1)求证：||||PM NQ =；
(2)若线段NP 上的任意一点均在以点Q 为圆心、线段QO 长为半径的圆内或圆上，若
≤NAB
S
p 的取值范围；
（2022·江苏·扬州中学模拟预测）
31．已知抛物线H ：()2
20y px p =>的焦点为F ，抛物线H 上的一点M 的横坐标为5，
O 为坐标原点.2
cos 3
OFM ∠=-.
(1)求抛物线H 的方程；
(2)若一直线经过抛物线H 的焦点F ，与抛物线H 交于A ，B 两点，点C 为直线=1x -上的动点，求证：π2
ACB ∠≤
. （2022·江西·上饶市第一中学模拟预测）
32．已知抛物线()2
20y px p =>的焦点为F ，过焦点F
A 、
B 两点（点A 在第一象限），交抛物线准线于G ，且满足8
3
BG =． (1)求抛物线的标准方程；
(2)已知C ，D 为抛物线上的动点，且OC OD ⊥，求证直线CD 过定点P ，并求出P 点坐标；
(3)在（2）的条件下，求PC PD ⋅的最大值． （2022·江苏南京·模拟预测）
33．已知圆F ：()2
221x y -+=，动圆P 与圆F 内切，且与定直线3x =-相切，设动点P 的轨迹为E ． (1)求E 的方程；
(2)若直线l 过点F ，且与E 交于A ，B 两点，与y 轴交于M 点，满足MA AF λ=，MF FB μ=（0λ>，0μ>），试探究λ与μ的关系．
参考答案：
1．A
【详解】解：设直线AB 的方程为：()1y k x =- ，
与抛物线方程联立可得：2
4
40y y k
-
-= ，
则：12y y -=
=，
2
1221416,2y y k k ⎛⎫-=+=∴= ⎪⎝⎭
，
三角形的面积为：1211
122
S OF y y =⨯⨯-=⨯=.
本题选择A 选项. 2．A
【详解】抛物线24y x = 的焦点F 坐标为(10)F ，
,过焦点(10)F ，的直线设为1x my =+ ,设1122(,),(,)A x y B x y ,联立214x my y x
=+⎧⎨=⎩ 有2440y my --= ,所以有121244
{y y m
y y +==- ,
由1211
122
AOB S OF y y ∆=⋅⋅-=⋅,
所以有m =
,
1224AB y =-== ,
故选A. 3．C
【分析】设PQ 直线方程是1
4y kx a -=则x 1，x 2是方程2104ax kx a
--=的两根，借助韦达定理即可得到
11
p q
+的值． 【详解】抛物线2
(0)y ax a =>转化成标准方程：21
x y a
=
， ∴焦点F 坐标1(0,
)4a
，准线方程为14x a =-，
设过1
(0,
)4F a 的AB 直线方程为14y kx a
=+， ∴214y kx a y ax
⎧
=+
⎪⎨⎪=⎩，整理得2104ax kx a --
=． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y
由韦达定理可知：1214x x =
，12k x x a
+=， 2
12121()2k y y k x x a a
∴+=++=，
12122
111()()4416y y kx kx a a a =+
+=， 根据抛物线性质可知，14
a
p y =+，22
p q y =+
， 2122122111241()()444k a
y y p q a a p p k p q pq y y a
+++
++====+++，
∴
11
p q
+的值为4a ，
故选：C ．
【点睛】涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出1212,x x x x +⋅，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用． 4．54
【分析】根据抛物线的焦点弦性质计算．
【详解】由对称性，不妨设AB 的倾斜角α为锐角，52p >=， 由结论2可得：
2325
5,5,cos ,31cos 5415
AF BF αα=∴
=∴=∴
==
-+．
5【分析】由焦点弦的性质求得AF ，
【详解】由题意211=
=4,=
sin1201412212
AOF
AF S
OF AF ∴⋅︒=⨯⨯- 6．12
【分析】由抛物线的焦点弦长公式2
2sin p
l α
=
（α是焦点弦所在直线倾斜角）计算． 【详解】22
23
12sin 12p AB α=
==⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
7．56
【分析】根据抛物线的焦点弦长公式2
2sin p
l α
=
（α为焦点弦所在直线的倾斜角，由对称性，设α为锐角）求出弦所在直线的倾斜角的正弦，再由焦半径公式较短的1cos p
AF α
=+，较
长的1cos p
BF α
=
-计算．
【详解】设AB 倾斜角为α，且α为锐角，则
2225115
=
=,sin cos ,1sin 125615
AB AF ααα∴=∴=∴==
+． 8．16
【分析】设出直线AB 的倾斜角为θ，根据抛物线焦点弦的结论得到AB 与CD ，利用三角函数的恒等变换及有界性求出最小值.
【详解】设直线AB 的倾斜角为θ，则2224
sin sin p AB θθ
==，2224
πcos sin 2p CD θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭
， 所以
222222444416
1sin cos sin cos sin 2sin 24
AB CD θθθθθθ+=
+===
，
当π4
θ=
或3π
4时，2sin 21θ=，()min 16AB CD += 9
0y -=
0y +=．
【分析】由焦点弦性质求得直线AB 的倾斜角的余弦值，从而得直线斜率，得直线方程． 【详解】先设直线AB 倾斜角α为锐角，
1cos 13,cos ,tan :1)1cos 2AF k l y x BF αααα+==∴=∴===--． 由对称性直线l 方程还可以为3(1)y
x ，
综上，直线l
0y -
0y +． 10．94
【分析】求出直线AB 的方程，与抛物线联立后得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出AB ，利用点到直线距离公式求出原点到直线AB 的距离，从而求出三角形OAB 的面积. 【详解】由题意得：3,04F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，直线AB
的斜率为tan 30︒
故直线AB
的方程为34y x ⎫
=
-⎪⎝⎭
， 将23y x =联立得：2173
03216x x -+=，
设()()1122,,,A x y B x y ， 则1212219,216
x x x x +=
=，
则12AB ==， 点()0,0O 到直线AB
的距离为3
8d =
=， 所以1139122284
OAB
S
AB d =
⋅=⨯⨯= 11．1
2
±．
【分析】由焦点弦的性质求解.
【详解】设(,)M x y ，设0y >，24p =，2p =， 2OFM
S
=，又112OFM S y ∆=⨯⨯，1
2,42
y y ∴=∴=，
所以
2142p k y ===，由对称性，12k =-也适合． 综上，12
k =±． 12．D
【分析】焦点弦长度等于12x x p ++.
【详解】抛物线24y x =的焦点为()1,0
在直线10x -=上，故AB 是抛物线的焦点弦，
则
由2104x y x
⎧-=⎪⎨=⎪⎩得：21410x x -+=， 所以，1214x x +=，
所以，1214216AB x x p =++=+= 故选：D. 13．B
【分析】设(),A x y ，根据5AF =，利用抛物线定义求得点A 的坐标，进而得到直线AF 的方程，求得点B 的坐标，再利用抛物线定义求解. 【详解】解：抛物线的焦点()1,0F ，准线方程为=1x -， 设(),A x y ，则15AF x =+=，故4x =，此时4y =， 即()4,4A ，则直线AF 的方程为
014041y x --=--，即()4
13
y x =-， 代入24y x =得241740x x -+=，解得4x =（舍）或1
4
x =， 则15144
BF =
+=， 故选：B ． 14．D
【分析】根据抛物线的焦点弦长公式计算． 【详解】抛物线24y x =，可知24p =， 设直线1l 的倾斜角为θ，则2l 的倾斜角为
π2θ-，显然2
π
θ≠， 过焦点的弦，22sin p
AB θ
=，2222πcos sin 2
p p
CD θθ==- ①
2211sin cos 112224
AB CD p p p θθ+=+==， 故选：D ． 15．C
【详解】①抛物线C 方程为22(0)y px p =>,①焦点(,0)2
p
F ，
设(,)M x y ,由抛物线性质52
p MF x =+
=,可得52p x =-，
因为圆心是MF 的中点,所以根据中点坐标公式可得,圆心横坐标为5
2
，
由已知圆半径也为5
2
,据此可知该圆与y 轴相切于点(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M 点纵坐
标为4， 即(5,4)2
p
M -
,代入抛物线方程得210160p p -+=，所以p=2或p=8. 所以抛物线C 的方程为24y x =或216y x =. 故答案C.
【点睛】本题主要考查了抛物线的定义与简单几何性质，圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题，本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF ,以MF 为直径的圆交抛物线于点
(0,2)，故将圆心的坐标表示出来，半径求出来之后再代入到抛物线中即可求出p 的值，从而
求出抛物线的方程，因此正确运用圆的性质和抛物线的简单几何性质是解题的关键. 16．C
【分析】先求出抛物线的准线方程，分别过,,A B M 作准线的垂线，垂足分别为111,,A B M ，由抛物线的定义可得出答案.
【详解】抛物线2:4C y x =的准线方程为：=1x - 分别过,,A B M 作准线的垂线，垂足分别为111,,A B M 则点()02,M y 到准线的距离为213+=
根据抛物线的定义可得11,AF AA BF BB ==,且111222
AA BB AF BF AB
MM ++===
所以1||26AB MM == 故选：C
17．C
【分析】设直线l 的倾斜角为θ，求得1
cos 3
θ=．过A 作1AA ⊥准线于1A ，过B 作1BB ⊥准
线于1B ，过B 作1BC AA ⊥于C .由抛物线定义求出()1AC BF λ=-和()1AB BF λ=+. 在直角三角形ABC 中，利用余弦的定义表示出1
cos 3
AC
AB θ=
=,即可解得．
【详解】设直线l 的倾斜角为θ，根据条件可得tan θ=1
cos 3
θ=．
过A 作1AA ⊥准线于1A ，过B 作1BB ⊥准线于1B ，过B 作1BC AA ⊥于C . 由抛物线定义可得：11,AF AA BF BB ==.
因为AF BF λ=，所以()11
111AC AA AC AA BB AF BF BF λ=-=-=-=-. 而()1AB AF BF BF λ=+=+.
在直角三角形ABC 中，()()11
cos 13
AC BF AB BF λθλ-===+,解得：2λ=． 故选：C 18．C
【分析】确定抛物线的准线方程，由抛物线定义可得()124AF BF y y +=-+，结合条件可得12AF BF +=，结合抛物线的几何性质可得当且仅当A ，F ，B 三点共线时12AB ≤，即可得答案.
【详解】设抛物线2:8W x y =-的焦点为F ，则(0,2)F -,焦准距4p =,准线方程为2y =， 根据抛物线的定义得，()124AF BF y y +=-+． 又128y y +=-，所以12AF BF +=．
因为AF BF AB +≥，当且仅当A ，F ，B 三点共线时等号成立，即12AB ≤， 所以AB 的最大值为12， 故选：C 19．B
【分析】根据抛物线焦点弦的性质以及AF FB λ=，联立可得121
,x x λλ
==，进而可用对勾函
数的性质求1
2AB λλ
=+
+的最值，进而可求.
【详解】解法1：抛物线24y x =的焦点坐标为()1,0，准线方程为=1x -，
设()11,A x y ，()22,B x y ，则①AF BF λ=，由抛物线定义可知()1211x x λ+=+①，①
121x x λλ=+-，又因为AF FB λ=，所以()()11221,1,x y x y λ--=-，即()1211x x λ-=-②，由①①可得：121
,x x λλ
==
所以()()121
112AB AF BF x x λλ
=+=+++=++.①1
33λ≤≤，
当=3λ时，1
162=
3AB λλ
=+
+，当1=3λ时，116
2=3
AB λλ=++，
①max 11623λλ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则弦AB 的中点到C 的准线的距离2
AB d =，d 最大值是8
3.
①弦AB 的中点到C 的准线的距离的最大值是8
3
，
故选：B.
解法2：弦AB 的中点到C 的准线的距离22222sin 22sin sin p
AB p d θθθ====
，根据结论121cos 10,112λθλλ-⎡⎤=
=-∈⎢⎥++⎣⎦，223sin 1cos ,14θθ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，2282,sin 3d θ⎡⎤
=
∈⎢⎥⎣⎦
， 故选：B. 20．D
【分析】设AB 的方程为y =kx +1代入2
14
y x =
，得x 2-4kx -4=0，设()()1122,,A B x y x y ，，得出根与系数的关系，再得出直线OA 的方程为1
1
y y x x =，与2y x =-联立求得点E 、
F 的坐标，表示出线段EF ，运用函数的性质可求得最小值得选项. 【详解】由抛物线C ①2
14y x =
，得焦点为()01，，设AB 的方程为y =kx +1代入214
y x =，
得x 2-4kx -4=0，设()()1122,,A B x y x y ，，
所以124x x k +=，124x x =-
，12||x x -=216+16>0k ∆=，
直线OA 的方程为1
1y y x x =，联立11121111112,
228144E
y x x x x y y x x y x x x x =-⎧⎪⇒===⎨=--⎪-⎩； 同理可得2
8
4F x x =-，
，所以
||EF === 令()430k t t -=≠，则3+4t k
=
，所以||EF = 当>0
t
时，||EF = 当0t
<
时，||EF =≥当253t =-，即43k =-时，取等号，
所以|EF
| 故选：D.
【点睛】方法点睛：(1)解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或
y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量
关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊
情形．有时若直线过x 轴上的一点，可将直线设成横截式. 21．0
【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，求出1A AF ∠的角平分线方程11
2
2y y x y -
=，得到1121,2y M y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；求出在()22,B x y 处的切线方程为： 222224y y x y y ⎛-=⎫- ⎪⎝⎭，得到
2221,2y N y ⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭.由124y y =-，整理得M 、N 重合.即可求得.
【详解】抛物线24y x =的焦点为()1,0F ，准线为l ：=1x -.
因为过F 的直线交抛物线于A ，B 两点，所以可设直线AB ：1x my =+.
设()()1122,,,A x y B x y ，则241x x
y y m =+=⎧⎨⎩，消去x 得：2440y my --=.
所以2
121216160,4,4m y y m y y ∆=+>+==-.
不妨设10y >，则21
4
0y y =-
<. 因为过点A 作1AA l ⊥，垂足为1A ，所以()111,A y -，1110112
A F y y
k -=
=--- 设1A F 的中点为E ,则10,2y E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1112AE A F k k y =-
=，所以直线AE : 1122y y x y -=. 令=1x -，解得：1122y y y =
-，所以1121,2y M y ⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭. 对于点()22,B x y ，因为20y <，由24y x =
可得：y =-
y '=. 所以在()22,B x y
处的切线的斜率为2
2k y ==，切线方程为：()2222
x x y y y =--，即
222224y y x y y ⎛
-=⎫- ⎪⎝⎭.
令=1x -，解得：2222y y y =
-，所以2221,2y N y ⎛⎫
-- ⎪⎝
⎭. 因为124y y =-，所以214y y =-所以1111
4
22422y y y y y -
=-=-+-
，即1121,2y N y ⎛⎫
--+ ⎪⎝⎭
所以M 、N 重合. 所以MN =0. 故答案为：0. 22．2
【分析】过点F 且斜率为1的直线方程为2
p y x =-，联立抛物线C 的方程，求出AB ，EF ，由2
AB EF =，即可求出p 的值.
【详解】过点F 且斜率为1的直线方程为2
p y x =-， 联立抛物线C 的方程，得22
304
p x px -+=，
所以3422
p p
AB p p =+
+=， 又因为令2p y x =-
中2p x =-，则,2p E p ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
，又因为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，
所以EF ，又因为2
AB EF =，所以242p p =，解得p ＝2. 故答案为：2.
23
．2
##2-+【分析】推导出抛物线的焦半径的性质111AF BF +=，再利用基本不等式可求得2
AF BF
-的最小值. 【详解】易知
12
p
=，可得2p =，所以，抛物线的方程为24x y =. 若直线l 与y 轴重合时，则该直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意. 所以，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为1y kx =+，
联立214y kx x y =+⎧⎨=⎩可得244x kx =+，即2440x kx --=，216160k ∆=+>，
由韦达定理可得124x x k +=，124x x =-.
所以，
()()122121212124111111
112224
k x x AF BF y y kx kx k x x k x x +++=+=+=+++++++ 222441484
k k k +==-++，
所以，111BF AF =-，则212212AF AF AF BF AF AF ⎛⎫-=--=+- ⎪ ⎪⎝⎭
22≥=，
当且仅当AF 2
AF BF
-
的最小值为2.
故答案为：2. 24
．16+【分析】设抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的焦点弦性质，求得111
||||3PF QF +=，根据抛物线的性质及基本不等式，即可求得答案．
【详解】解：设抛物线的方程：()2
20y px p =>，焦点为F ，则3623p =⨯，则212p =，
①抛物线的标准方程：212y x =，焦点坐标()3,0F ，准线方程为3x =-， 圆222:680C x y x +-+=的圆心为()3,0，半径为1，
由直线PQ 过圆的圆心即抛物线的焦点，可设直线l 的方程为：3my x =-， 设P ､Q 坐标分别为()11,x y 和()22,x y ，
由2123
y x my x =⎧⎨=-⎩联立，得212360y my --=，21441440m ∆=+>恒成立， 由韦达定理得：1212y y m +=，1236y y ⋅=-，
①()1212612x x m y y m +=++=，2212
1291212
y y x x ⋅==⨯，
①()22112111112661333
931269m PF QF x x m +++=+==+++++， 则()()11313134334PN QM PF QF PF QF PF QF PF QF ⎛⎫
+=+++=++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭
(
334434416QF PF PF QF ⎛⎫
=+++≥++=+ ⎪ ⎪⎝
⎭
当且仅当)1233PF x x =⇒++时等号成立，
故答案为：16+25．8
【分析】确定2P =，设直线方程并和抛物线方程联立，求得114y y =-，进而求出12x x +，根据抛物线的弦长公式求得答案.
【详解】由题意知2p =,故24y x =，其焦点为(1,0)，
设直线l 的方程为1,(0)x ky k =+≠ ，联立24y x =，得:2
440y ky --= ,
216(1)0k ∆=+> ,由于()11,P x y ，()22,Q x y ，
则11114,4y y k y y +==-，而124y y +=，
故22212121212()2162(4)64444
y y y y y y x x +---+=+=== ， 故PQ 的长为12628x x p ++=+=， 故答案为：8 26．2
3
【分析】作辅助线，由PN NM =可知PN NM =，由三角形相似结合抛物线定义可求得
2MF NF =，从而推得23
PF PM =
，从而由p FK PF MF ME PM ==求得答案. 【详解】如图，设抛物线准线交x 轴与点K ,
分别过M N ，作ME NG ，垂直于抛物线的准线于E G ，， 由PN NM =，得PN NM = ，
由抛物线定义可知NF NG FM ME ==，，
由PNG PME ∽ ，得1
2,,PM PM PN
PM PN PM ME NG MF NF MF NF =∴=∴= ，
2MF NF ∴=，
则11112
36263NF NM PM PF PN NF PM PM PM ===+=+=，，
23
p FK PF MF ME PM ∴=== ， 故答案为：2
3
． 27．(1)24x y = (2)证明见解析
【分析】（1）将MN 用p 表示，得出p 的值，进而得抛物线方程；
（2）联立直线与抛物线的方程，根据斜率计算公式结合韦达定理即可得结果. （1）
由题意可得24p =，得2p =， ①抛物线2:4C x y =. （2）
证明：():2m y k x =+，联立()
224y k x x y ⎧=+⎨=⎩，得2480x kx k --=．
由216320k k ∆=+>，得0k >或2k <-，
设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x k +=，128x x k =-，
①22
12
1212
121211
11442222
x x y y k k x x x x ----=⋅=⋅---- ()()()1212122224884116
16
16
4
x x x x x x k k +++++-++=
===.
28．(1)1
2
(2)存在，定点N 为()0,1，MN 为定值1
【分析】（1）根据抛物线和过焦点的直线联立方程，根据焦点弦的计算，即可求解.
（2）联立方程，得到根与系数的关系，根据以线段PQ 为直径的圆经过点O ，转化成0OP OQ ⋅=，可得直线过定点，再由OM PQ ⊥，根据直角三角形的特征即可找到N 的位置，
即可求解. （1）
抛物线C ：()20y ax a =>化为标准方程为：21x y a =
，其焦点10,4F a ⎛⎫
⎪⎝⎭
，因为斜率一定存在，设其方程为11
4y k x a
=+
， 联立方程得：12141y k x a x y
a ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，整理得：2
12104k x x a a --=，0∆>恒成立．
其中()11,A x y ，()22,B x y ，112k x x a +=，()211211211
22k y y k x x a a a
+=++
=+， 因为焦点弦长2112112k y AB y a a a
=++
=+，所以当2
10k =时，弦长min 12AB a ==． 所以，实数a 的值为1
2． （2）
由题意可知直线PQ 的斜率存在，设其方程为()0y kx t t =+≠．
联立方程得：22y kx t
x y =+⎧⎨=⎩，整理得：2220x kx t --=，2480k t ∆=+>．
其中()33,P x y ，()44,Q x y ，342x x k +=，342x x t =-， 因为以PQ 为直径的圆经过点O ，所以0OP OQ ⋅=．
又因为222
2343434344220224
x x t OP OQ x x y y x x t t t ⋅=+=+
⋅=-+=-+=， ①0t ≠，①2t =．
所以直线PQ 过定点()0,2T ，
又因为OM PQ ⊥，所以OMT △为直角三角形， 所以当N 为斜边OT 中点时，MN 为定值， 此时1
12
MN OT =
=． 所以定点N 为0,1，MN 为定值1．
29．(1)24y x =； (2)证明见解析.
【分析】(1)由条件结合抛物线的定义列方程求p 即可；(2)联立方程组，利用设而不求的方法证明2EA EB EF k k k +=即可.
【详解】（1）设点00(,)M x y
，由题意可知0y =
所以202px =，解得08x =． 因为08922
p p
MF x =+
=+=，所以2p =． 所以抛物线C 的方程为24y x =．
（2）设直线AB 的方程为22
12121,,,,44y y x my A y B y ⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
联立方程组24,
1,y x x my ⎧=⎨=+⎩消去x 得2440,y my --=，
所以12124,4y y m y y +==-．
设()1,E n -，则()()22
12
121212122222
1212244411114444EA EB
y y y y y y y y n n y n y n k k y y y y ⎛⎫+++-+- ⎪--⎝⎭+=+=⎛⎫⎛⎫++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
22
122
2
12
244244
y y n n y y ⎛⎫-++ ⎪
⎝⎭==-++， 又因为2
EF n
k =-，
所以2EA EB EF k k k +=，即直线,,EA EF EB 的斜率成等差数列．
【点睛】解决直线与抛物线的综合问题的一般方法为设而不求法，要证明直线,,EA EF EB 的斜率成等差数列只需证明2EA EB EF k k k +=即可. 30．(1)证明见解析
(2)0<≤
p
【分析】（1）设22
121212,,,,022⎛⎫⎛⎫
>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
y y A y B y y y p p ，即可表示M 、N 的坐标，再由直线OA 的方程，得到P 点坐标，同理可得Q 点坐标，从而得证；
（2）依题意可得OQ PQ
OQ QN ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩
，即可求出1y 、2y ，再根据三角形面积求出p 的取值范围；
（1）
解：设22
121212,,,,022⎛⎫⎛⎫
>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
y y A y B y y y p p ， 则22121212,,,,,042222⎛⎫+++⎛⎫⎛⎫
- ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭y y y y p y y p M N F p ， 由于A ，F ，B 三点共线，则1
2
2
21222
22
=
--y y y p
y p p p ，整理得212y y p =-， 又1
2:OA p
l y x y =
， 则22112,42⎛⎫-+ ⎪⎝⎭y p y y P p ，同理可得22212,42⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
y p y y Q p 则222222
1212||444+-+=-=y y y p y p PM p p p
， 222
2
22||424-+=+=y p p y p QN p p
，所以||||=PM QN ，即证；
（2）
解：若线段NP 上的任意一点均在以点Q 为圆心、线段QO 长为半径的圆内或圆上，
即OQ PQ OQ QN ⎧≥⎪⎨≥⎪⎩，则22
2222221212
22222222122424424y p y y y y p p y p y y y p p p ⎧⎛⎫⎛⎫-+-⎛⎫⎪+≥ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫
⎪-++⎛⎫+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎩， 化简得442
21122
15168164-+≥-p y y p y p ，2212≥y p ， 即24422211221541681644
-≥-+≥-≥-p p y y p p y p
可得1y =，又因为2
12y y p =-，
2212
=-=-p y p y
，1222
1212
222-===+-AB y y p k y y y y p p
可得2⎛⎫- ⎪⎝⎭p N p
，58⎛⎫ ⎪⎝⎭p M p
，12=-=h y y ，
119228=
⨯⨯=⨯≤NAB
p S
NM h 2329≤p
，即0<≤p 31．(1)24y x =； (2)证明见解析.
【分析】（1）根据点在抛物线上的性质，结合锐角三角函数定义进行求解即可；
（2）将直线方程与抛物线方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合平面向量夹角公式进行计算证明即可. （1）
因为抛物线H 的方程为22y px =，M 抛物线H 上且的横坐标为5， 所以M
的纵坐标为
当点M
的坐标为(时，过点M 作MN OF ⊥，垂足为N ，
因为2cos 3OFM ∠=-，所以2cos 3MFN ∠=
，所以tan MFN ∠=
又
tan 52
MN MFN FN ∠=
=-
52=
-
所以100p +=，所以
0=，又0p >
所以2p =，同理当点M 的坐标为(5,时，2p =所以抛物线H 的方程为24y x =； （2）
设直线AB ：1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()1,C n -，
由214x my y x
=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=， 则124y y m +=，124y y =-，2
1242x x m +=+，121=x x .
()111,CA x y n =+-，()221,CB x y n =+-
()()2
212121212120CA CB x x x x y y n y y n m n ⋅=++++-++=-≥，
所以cos ,0CA CB 〈≥〉，所以π2
ACB ∠≤
. 【点睛】关键点睛：利用平面向量夹角公式是解题的关键. 32．(1)24y x =
(2)证明见解析；P 点坐标为（4，0） (3)16-
【分析】（1）过点B 作准线的垂线，垂足为H ，设准线与x 轴相交于点M ，由直线的斜率得出倾斜角，利用三角函数及抛物线的定义求出||MF 即可得解；
（2）设直线CD 的方程为：x my t =+，211,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2
2
2,4y D y ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，联立方程组，由根与系数的关系求出12y y ，再由OC OD ⊥建立斜率的方程即可得解； （3）由向量的数量积坐标运算化简，利用二次函数求最值. （1）
过点B 作准线的垂线，垂足为H ，设准线与x 轴相交于点M ，如图，
由题知，直线l 的倾斜角为π
3．①在R t BGH 中，π3
GBH ∠=， 又①83BG =
，①43
BH =，①4
3BF =．
①4GF BG BF =+=，①在R t GFM 中，又3
MFG π
∠=
，
①2MF =，①2p =，①抛物线的标准方程为24y x =． （2）
由（1）可知，抛物线方程为24y x =，
设直线CD 的方程为：x my t =+，211,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，22
2,4y D y ⎛⎫
⎪⎝
⎭
， 直线与抛物线联立：24x my t
y x
=+⎧⎨=⎩，得：2440y my t --=，
则124y y m +=，124y y t ，
①14OC k y =
，24OD k y =且OC OD ⊥，①121616
14OC OD k k y y t
⋅=
==--则4t =， ①直线CD 过定点（4，0），即P 点坐标为（4，0）， （3）
由（2）可知P 点坐标为（4，0），
①()22
22
212121216161616
y y PC PD y y y y m ⋅=-+++=--， ①PC PD ⋅的最大值为16-． 33．(1)28y x = (2)λμ=
【分析】(1)根据直线与圆的位置关系可得3R x =+，根据圆与圆的位置关系可得
1R =
，列出方程，解之即可；
(2)设直线l 的方程为()2y k x =-、()11,A x y 、()22,B x y ，法一：由平面共线向量的坐标表示
和定点分比公式可得()241k λλ=+、()2
41k μμ=+，列出方程，解之即可；法二：联立抛
物线方程，利用韦达定理和平面共线向量的坐标表示，化简计算可得1
12x x λ=-、222
x μ=-，
证明0λμ-=即可.
【详解】（1）设(),P x y ，圆P 的半径为R ，由题可知，点P 在直线3x =-右侧， 因为圆P 与定直线3x =-相切，所以3R x =+． 又圆P 与圆F
内切，所以11R PF =+=，
所以
31x +=
，化简得28y x =，即E 的方程为2
8y x =．
（2）解法一：由（1）得()2,0F ，设直线l 的方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ， 则()0,2M k -，因为MA AF λ=，由定点分比公式可知121x λλ=+，121k
y λ
-=
+ 因为点A 在E 上，所以21
18y x =，即
()
2
2
41611k λλ
λ=
++，所以()2
41k λλ=+． 同理，由MF FB μ=，可得222,11x k y F μμμμ⎛⎫
-+ ⎪++⎝
⎭， 所以
221x μμ=+，2201k y μμ-+=+，即()221x μμ
+=，22k
y μ=， 因为点B 在E 上，所以2
228y x =，即()221614k μμμ
+=，所以()241k μμ=+．
由()()4141λλμμ+=+，得()()10λμλμ-++=， 因为0λ>，0μ>，所以10λμ++≠，即0λμ-=．
解法二：设直线l 的方程为()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，则()0,2M k -．
由()
2
82y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，整理得()22224840,k x k x k -++=， 由韦达定理可知2122
48k x x k ++=，124x x =．
因为MA AF λ=，即()()1122,22,x y k x y λ+=--，所以1
1
2x x λ=-． 由MF FB μ=，可得()()222,22,k x y μ=-，所以22
2
x μ=-． 所以()()()()()()
21111212121222242
0222222x x x x x x x x x x x x λμ-+---=-===------， 即λμ=．。