2019-2020学年北师大版数学必修一专题强化训练3 指数函数和对数函数【含答案】

专题强化训练(三) 指数函数和对数
函数
(教师独具) [合格基础练]
一、选择题
1．设f (x )＝⎩⎨⎧
1－x ，x ≥0
2x ，x <0，则f [f (－2)]＝( )
A ．－1
B ．14 C.12
D ．32
C [f [f (－2)]＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
14＝1－
14＝1－12＝12.]
2．下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是( ) A ．y ＝
1
1－x
B ．y ＝x 2
C ．y ＝ln(1＋x )
D ．y ＝2－x
D [y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x
在R 上是减函数，故选D.]
3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－∞，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，＋∞ B [因为f (x )是偶函数，所以原不等式可化为f (－2|x －1|)>f (－2)， 又f (x )在(－∞，0)上单调递增，
则－2|a －1|>－2，∴2|a －1|<212
， ∴|a －1|<12，∴12<a <3
2.]
4．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 3
B ．f (x )＝3x
C ．f (x )＝x 12
D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x
B [满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )的只有选项B 与D ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12x
是减函数，f (x )＝
3x 是增函数，故选B.]
5．若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是(
)
B [依题意，log a 3＝1，∴a ＝3.
y ＝a －x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
13x
是减函数，故A 错；y ＝(－x )a ＝－x 3是减函数，故C 错；y ＝log a (－
x )＝log 3(－x )是减函数，故D 错．而B 符合题意，故选B.]
二、填空题
6．lg(lg 10)＝________. 0 [lg(lg 10)＝lg 1＝0.]
7．函数f (x )＝a x －2＋3(a >0，且a ≠1)的图像恒过定点________． (2,4) [因为f (2)＝a 0＋3＝1＋3＝4，所以f (x )的图像恒过点(2,4)．] 8．已知3a ＝4b ＝12，则a ＋b
ab ＝________.
2 [由3a
＝4b
＝12，得a lg 3＝b lg 4＝1
2lg 12.
∴a ＝12lg 12lg 3，b ＝12lg 12lg 4， ∴a ＋b
ab ＝12lg 12lg 3＋12lg 12lg 412lg 12lg 3·1
2lg 12lg 4
＝lg 4＋lg 312lg 12＝lg 1212lg 12＝2.]
三、解答题
9．已知1≤x ≤10，且xy 2＝100，求(lg x )2＋(lg y )2的最大值． [解] 由xy 2＝100，得lg x ＋2lg y ＝2，∴lg x ＝2－2lg y .
∴u ＝(lg x )2
＋(lg y )2
＝(2－2lg y )2
＋(lg y )2
＝5(lg y )2
－8lg y ＋4＝5⎝ ⎛
⎭
⎪⎫lg y －452＋4
5.
∵1≤x ≤10，∴1≤100
y 2≤10， 即10≤y 2≤100，∴1
2≤lg y ≤1.
当lg y ＝12，即y ＝1012时，u 取最大值5
4， 此时x ＝100y 2＝100⎝ ⎛⎭
⎪⎫10122＝100
10＝10.
10．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a >0，且a ≠1)的图像有两个公共点，求a 的取值范围．
[解] 当0<a <1时，y ＝|a x －1|的图像如图①所示，
图①
∴0<2a <1，∴0<a <1
2.
当a >1时，y ＝|a x －1|的图像如图②所示
图②
由于2a >2，所以不可能有两个公共点． 综上所得0<a <1
2.
[等级过关练]
1．为了得到函数y ＝log 3x －3
3的图像，只需要把函数y ＝log 3x 的图像上所有的点( )
A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D [由对数的运算性质得log 3x －3
3＝log 3(x －3)－log 33＝log 3(x －3)－1，所以，要得到函数y ＝log 3x －3
3，即y ＝log 3(x －3)－1的图像，只需把函数y ＝log 3x 的图像向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度．]
2．设实数m 满足条件3m ＝2－3，则下列关于m 的范围的判断正确的是( ) A ．－4<m <－3 B ．－3<m <－2 C ．－2<m <－1
D ．－1<m <1
C [因为3m ＝2－3，m ＝－3log 32，又3<8<9，所以313<2<323，所以13<log 32<23，故m ＝－3log 32∈(－2，－1)，故选C.]
3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
13x ，则f (－2
＋log 35)＝________.
－5
9 [因为－2＋log 35<0且f (x )在R 上为奇函数，所以f (－2＋log 35)＝－f (2－log 35)
4．定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈(－2,0)时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12x
，则f (log 28)＝________. 2 [f (log 28)＝f (3)＝f (2＋1)＝－f (2)＝－f (1＋1)＝f (1)，因为f (x )为R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12－1
＝2，
故f (log 28)＝2.]
5．设函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x )，且1
9≤x ≤9. (1)求f (3)的值；
(2)令t ＝log 3x ，将f (x )表示成以t 为自变量的函数，并由此求函数f (x )的最大值与最小值及与之对应的x 的值．
[解] (1)f (3)＝log 327·log 39＝3×2＝6. (2)∵t ＝log 3x ，又∵1
9≤x ≤9， ∴－2≤log 3x ≤2，即－2≤t ≤2.
由f (x )＝(log 3x ＋2)·(log 3x ＋1)＝(log 3x )2＋3log 3x ＋2＝t 2＋3t ＋2. 令g (t )＝t 2＋3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322
－1
4，t ∈[－2,2]．
①当t ＝－32时，g (t )min ＝－1
4， 即log 3x ＝－32，则x ＝3－32＝3
9，
∴f (x )min ＝－14，此时x ＝3
9； ②当t ＝2时，g (t )max ＝g (2)＝12， 即log 3x ＝2，x ＝9， ∴f (x )max ＝12，此时x ＝9.。