江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：导数及其应用

江苏省13市县2016届高三上学期期末考试数学试题分类汇编
导数及其应用
一、填空题
1、（（无锡市2016届高三上期末）过曲线1(0)y x x x
=-
>上一点00(,)P x y 处的切线分别与x 轴，y 轴交于点A 、B ，O 是坐标原点，若OAB ∆的面积为13，则0x =
填空题答案
1、5
二、解答题
1、（常州市2016届高三上期末）已知,a b 为实数，函数3()f x ax bx =-。

（1）当a ＝1且[1,3]b ∈时，求函数()1()|
ln |21([,2])2f x F x x b x x =-++∈的最大值M （b ）; （2）当0,1a b ==-时，记ln ()()
x h x f x =。

①函数()h x 的图象上一点P 00(,)x y 处的切线方程为()y y x =，记()()()g x h x y x =-。

问：是否存在0x ，使得对于任意10(0,)x x ∈，任意21(,)x x ∈+∞，都有12()()0g x g x <恒成立？若存在，求出所有可能的0x 组成的集合，若不存在，说明理由。

②令函数,()2(),0x x s H x e h x x s
⎧≥⎪=⎨⎪<<⎩，若对任意实数k ，总存在实数0x ，使得0()H x k =成立，
求实数s 的取值集合。

2、（淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市2016届高三上期末）已知函数
]42)4(23
1[)(23--++-=a x a x x e x f x ，其中R a ∈，e 为自然对数的底数 （1）若函数)(x f 的图像在0=x 处的切线与直线0=+y x 垂直，求a 的值．
（2）关于x 的不等式x
e x
f 34)(-<在)2,(-∞上恒成立，求a 的取值范围．
（3）讨论)(x f 极值点的个数．
3、（南京、盐城市2016届高三上期末）已知函数()x ax f x e =
在0x =处的切线方程为y x =. （1）求a 的值；
（2）若对任意的(0,2)x ∈，都有21()2f x k x x
<+-成立，求k 的取值范围； （3）若函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x ，试判断1
2()2
x x g +'的正负，并说明理由.
4、（南通市海安县2016届高三上期末）设a 为正常数，函数x x g ax x f ln )(,)(==；
（1）求函数)()()(x g x f x h ⋅=的极值；
（2）证明：R x ∈∃0，使得当0x x >时，)()(x g x f >恒成立。

5、（苏州市2016届高三上期末）已知函数()e (21)x f x x ax a =--+（a ∈R ），e 为自然对数的底数．
（1） 当a ＝1时，求函数()f x 的单调区间；
（2） ①若存在实数x ，满足()0f x <，求实数a 的取值范围；
②若有且只有唯一整数0x ，满足0()0f x <，求实数a 的取值范围．
6、（泰州市2016届高三第一次模拟）已知函数()4212
f x ax x =-，(0,)x ∈+∞，()()()
g x f x f x '=-．
（1） 若0a >，求证：
（ⅰ）()f x 在()f x '的单调减区间上也单调递减；
（ⅱ）()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点；
（2） 若1a >，记()g x 的两个零点为12,x x ，求证：1244x x a <+<+．
7、（无锡市2016届高三上期末） 已知函数()2ln (0)a e f x x a x
+-=+
> （1）当2a =时，求出函数()f x 的单调区间；
（2）若不等式()f x a ≥对于0x >的一切值恒成立，求实数a 的取值范围。

8、（扬州市2016届高三上期末）已知函数x e x ax x f )2()(2++=（0＞a ），其中e 是自然对数的底数.
（1）当2=a 时，求)(x f 的极值；
（2）若)(x f 在[]22，-上是单调增函数，求a 的取值范围；
（3）当1=a 时，求整数t 的所有值，使方程4)(+=x x f 在[]1+t t ，上有解.
9、（镇江市2016届高三第一次模拟）已知函数f (x )＝[ax 2－(2a ＋1)x ＋2a ＋1]e x .
(1) 求函数f (x )的单调区间；
(2) 设x>0，2a ∈[3，m ＋1]，f (x )≥b
2a －1e 1a 恒成立，求正数b 的范围．
解答题答案
1、
2、 (1) 由题意，321()e 3x f x x x ax a ⎛⎫'=-+- ⎪⎝⎭
， …………………………………………2分 因为()f x 的图象在0x =处的切线与直线0x y +=垂直，
所以(0)=1f '，解得1a =-. ……………………………4分
(2) 法一：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ⎡⎤-++--<-⎢⎥⎣⎦
， 即326(312)680x x a x a -++--<对任意(2)x ∈-∞，
恒成立，……………………………6分 即()32636128x a x x x ->-=-对任意(2)x ∈-∞，
恒成立， 因为2x <，所以()()322612812323
x x x a x x -++>=----， ……………………………8分 记()21()23
g x x =--，因为()g x 在(2)-∞，上单调递增，且(2)0g =， 所以0a ≥，即a 的取值范围是[0)+∞，
． ………………………………………10分 法二：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ⎡⎤-++--<-⎢⎥⎣⎦
， 即326(312)680x x a x a -++--<在(2)-∞，
上恒成立，……………………………6分 因为326(312)680x x a x a -++--<等价于2(2)(434)0x x x a --++<，
①当0a ≥时，22434(2)30x x a x a -++=-+≥恒成立，
所以原不等式的解集为(2)-∞，
，满足题意． …………………………………………8分 ②当0a <时，记2()434g x x x a =-++，有(2)30g a =<，
所以方程24340x x a -++=必有两个根12,x x ，且122x x <<，
原不等式等价于12(2)()()0x x x x x ---<，解集为12()(2)x x -∞ ，，，与题设矛盾， 所以0a <不符合题意．
综合①②可知，所求a 的取值范围是[0)+∞，
．…………………………………………10分 (3) 因为由题意，可得321()e 3x f'x x x ax a ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭
， 所以()f x 只有一个极值点或有三个极值点. ………………………………………11分 令321()3
g x x x ax a =-+-，
①若()f x 有且只有一个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且只穿过一次，
即()g x 为单调递增函数或者()g x 极值同号．
ⅰ）当()g x 为单调递增函数时，2()20g'x x x a =-+≥在R 上恒成立，得1a ≥…12分 ⅱ）当()g x 极值同号时，设12,x x 为极值点，则12()()0g x g x ⋅≥，
由2()20g'x x x a =-+=有解，得1a <，且21120,x x a -+=22220x x a -+=，
所以12122,x x x x a +==， 所以3211111()3g x x x ax a =-+-211111
(2)3
x x a x ax a =--+-
11111(2)33x a ax ax a =---+-[]12(1)3
a x a =--， 同理，[]222()(1)3
g x a x a =--， 所以()()[][]121222(1)(1)033
g x g x a x a a x a =--⋅--≥， 化简得221212(1)(1)()0a x x a a x x a ---++≥， 所以22(1)2(1)0a a a a a ---+≥，即0a ≥，
所以01a <≤．
所以，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点； …………………14分
②若()f x 有三个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且穿过三次，同理可得0a <； 综上，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点，
当0a <时，()f x 有三个极值点． …………………16分
3、解：（1）由题意得(1)()x a x f x e -'=
，因函数在0x =处的切线方程为y x =， 所以(0)11
a f '==，得1a =. ……………4分 （2）由（1）知2
1()2x x f x e k x x =<+-对任意(0,2)x ∈都成立， 所以220k x x +->，即22k x x >-对任意(0,2)x ∈都成立，从而0k ≥. ………6分 又不等式整理可得22x e k x x x
<+-，令2()2x
e g x x x x =+-， 所以22(1)()2(1)(1)(2)0x x
e x e g x x x x x
-'=+-=-+=，得1x =， ……………8分
当(1,2)x ∈时，()0g x '>，函数()g x 在(1,2)上单调递增，
同理，函数()g x 在(0,1)上单调递减，所以min ()(1)1k g x g e <==-，
综上所述，实数k 的取值范围是[0,1)e -. ……………10分
（3）结论是12()02
x x g +'<. …………11分 证明：由题意知函数()ln g x x x b =--，所以11()1x g x x x
-'=-=， 易得函数()g x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以只需证明1212
x x +>即可. ……12分
因为12,x x 是函数()g x 的两个零点，所以1122
ln ln x b x x b x +=⎧⎨+=⎩，相减得2211ln x x x x -=， 不妨令21
1x t x =>，则21x tx =，则11ln tx x t -=，所以11ln 1x t t =-，2ln 1t x t t =-， 即证1ln 21t t t +>-，即证1()ln 201
t t t t ϕ-=->+， ……………14分 因为2
2214(1)()0(1)(1)
t t t t t t ϕ-'=-=>++，所以()t ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0t ϕϕ>=， 综上所述，函数()g x 总满足1
2()02
x x g +'<成立. …………16分 4、
5、解：（1）当a ＝1时，()()e 211x f x x x =--+，()()e '211x f x x =+-， ……………1分
由于'(0)0f =，
当(0,)x ∈+∞时，e 1,211x x >+>，∴'()0f x >，
当(,0)x ∈-∞时，0<e 1,211x x <+<，∴'()0f x <，
所以()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增. …………………4分
（2）①由()0f x <得()()e 211x x a x -<-．
当1x =时，不等式显然不成立； 当1x >时，()e 211x x a x ->
-；当1x <时，()e 211x x a x -<-. …………………6分 记()g x =()e 211x x x --，()()()
()
()()222e e e '()232112111x x x g x x x x x x x x =-+---=--， ∴ ()g x 在区间()0-∞，和3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数，()0,1和31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数． ∴ 当1x >时，32e 342a g ⎛⎫>= ⎪⎝⎭
，当1x <时，()01a g <=． ……………………8分 综上所述，所有a 的取值范围为()32e ,14,⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭
U ． ………………………9分 ②由①知1a <时，0(,1)x ∈-∞，由0()0f x <，得0()g x a >，
又()g x 在区间()0-∞，上单调递增，在()0,1上单调递减，且()01g a =>， ∴()1g a -≤，即e 32a ≥，∴e 312a <≤. ………………………12分 当3
24e a >时，0(1,)x ∈+∞，由0()0f x <，得0()g x a <，
又()g x 在区间312⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，且32e 342g a ⎛⎫=< ⎪⎝⎭
， ∴()()23g a g a
<⎧⎪⎨⎪⎩≥，解得3
2e 532a <e ≤. ………………………15分 综上所述，所有a 的取值范围为32e e e 35[,1)3,22⎛⎤ ⎥⎝
⎦ ． ………………………16分
6、证：（1）因为()()42102
f x ax x x =->，所以3()4f x ax x '=-， 由32(4)1210ax x ax '-=-<得()f x '的递减区间为1(0,)23a
， …………2 分 当1(0,)23x a
∈时，32()4(41)0f x ax x x ax '=-=-<， 所以()f x 在()f x '的递减区间上也递减． …………4 分
（2）解1：()()()4
2343211(4)422
g x f x f x ax x ax x ax ax x x '=-=---=--+， 因为0x >，由()4321402g x ax ax x x =--+=得3214102
ax ax x --+=， 令321()412x ax ax x ϕ=--+，则21()382
x ax ax ϕ'=--， 因为0a >，且1(0)02ϕ'=-<，所以()x ϕ'必有两个异号的零点，记正零点为0x ，则0(0,)x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；0(,)x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增，若()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点，则0()0x ϕ<， …………7 分 由20001()3802x ax ax ϕ'=--=得2001382
ax ax =+， 所以0003217()939x ax x ϕ=--+，又因为对称轴为4,3x =所以81()(0)032
ϕϕ==-<， 所以08733x >>，所以0003217()()0933
x ax x ϕ=---<， 又3222111()41(8)(1)1222x ax ax x ax x x ax ϕ=--+=-+-+，
设
1
,8a
中的较大数为M ，则()0M ϕ>， 故0a >()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点． …………10 分
解2：()()()4
2343211
(4)422g x f x f x ax x ax x ax ax x x '=-=-
--=--+， 因为0x >，由()4321402g x ax ax x x =--+=得32
14102
ax ax x --+=，
令32
1()412
x ax ax x ϕ=--+，
若()g x 在(0,)+∞上恰有两个零点，则()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点， 当2x =时， 由()0x ϕ=得0a =，此时1
()12
x x ϕ=-
+在(0,)+∞上只有一个零点，不合题意； 当2x ≠时，由3
2
1()4102x ax ax x ϕ=--+=得32
1422
x x a x -=-， …………7 分
令322148
()2422x x x x x x x ϕ-==-----，
则22
1
22
57
2[()]
2(58)24()0(2)(2)
x x x x x x x x ϕ-+-+'==>--， 当(0,2)x ∈时，()x ϕ单调递增，且由2
8
24,2
y x x y x =--=-
-值域知 ()x ϕ值域为(0,)+∞；当(2,)x ∈+∞时，1()x ϕ单调递增，且1(4)0ϕ=，由
2824,2y x x y x =--=--值域知()x ϕ值域为(,)-∞+∞；
因为0a >，所以102a >，而12y a
=与1()x ϕ有两个交点，所以1()x ϕ在(0,)+∞上恰有两个零点． …………10 分
（3）解1：由（2）知，对于3
2
1
()412
x ax ax x ϕ=--
+在(0,)+∞上恰有两个零点12,x x ， 不妨设12x x <，又因为(0)10ϕ=>，11()(67)028a ϕ=-<，所以11
02
x <<，……12 分
又因为(4)10ϕ=-<，91()(65710)028a ϕ=
->，所以29
42x <<， 所以1219
45422
x x a <+<+=<+． …………16 分
解2：由（2）知32
1422
x x a x -=-， 因为[0,2)x ∈时，1()x ϕ单调递增，1
7()212ϕ=，111111
(0)0()()22
x a ϕϕϕ=<=
<， 所以11
02
x <<
， …………12 分
当(2,)x ∈+∞时，1()x ϕ单调递增，1981()2
20ϕ=，112119
(4)0()()22
x a ϕϕϕ=<=
<， 所以29
42
x <<
， 所以1219
45422
x x a <+<+=<+． …………16 分 7、
8、解：（1）2()(22)x f x x x e =++，则'2()(253)(1)(23)x x f x x x e x x e =++=++ ………2分
令'()0f x = ，3
1,2
x =--
x
3(,)2-∞-
32- 3(,1)2--
1-
(1,)-+∞
'()f x +
0 -
0 +
()f x
增
极大值
减
极小值
增
323
()()52
极大值=f x f e -∴-= ，1()(1)3极小值=f x f e --= ………4分
（2）问题转化为'2()(21)30x
f x ax a x e ⎡⎤=+++≥⎣⎦在[2,2]x ∈-上恒成立；
又0x e > 即2(21)30ax a x +++≥在[2,2]x ∈-上恒成立； ………6分 2()(21)3令g x ax a x =+++ 0a >，对称轴1
102x a
=--
< ①当1122a --
≤-，即1
02
a <≤时，()g x 在[2,2]-上单调增， min ()(2)10g x g ∴=-=> 1
02
a ∴<≤
………8分 ②当12102a -<--
<，即12a >时，()g x 在1[2,1]2a ---上单调减，在1
[1,2]2a
--上单调增，2(21)120a a ∴∆=+-≤ 解得：331122a -
≤≤+ 13
122
a ∴<≤+
综上，a 的取值范围是3
(0,1]2
+
． ………10分 （3）1,a = 设2()(2)4x h x x x e x =++-- ，'2()(33)1x h x x x e =++- 令2()(33)1x x x x e ϕ=++- ，'2()(56)x x x x e ϕ=++ 令'2()(56)0,2,3得x x x x e x ϕ=++==--
x
(,3)-∞-
3-
(3,2)--
2-
(2,)-+∞
'()x ϕ +
0 -
0 +
()x ϕ
增
极大值
减
极小值
增
33()(3)10极大值=x e ϕϕ∴-=
-< ，2
1
()(2)10极小值=x e
ϕϕ-=-< ………13分 1
(1)10,(0)20e ϕϕ-=-<=> 000(1,0),()()0()()0存在-,时，,
+时x x x x x x x ϕϕ∴∈-∈∞<∈∞> ()h x ∴在0(,)x -∞上单调减，在0(,)x +∞上单调增
又43
148(4)0,(3)10,(0)20,(1)450h h h h e e e -=
>-=-<=-<=-> 由零点的存在性定理可知：12()0(4,3),(0,1)的根h x x x =∈--∈ 即4,0t =-． ………16分
9、【答案】（1）当a ＝0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)，减区间是(0，＋∞)；
当a<0时，函数f(x)的增区间是⎝⎛⎭⎫1a ，0，减区间是(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫－∞，1
a ；当a>0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞，减区间是⎝⎛⎭⎫0，1
a ；（2）当2<m≤4时，0<b≤2；当m>4时，0<b≤m 1
m ． 【命题立意】本题旨在考查利用导数求函数的单调区间，考查分类讨论思想，转化思想；难度中等. 【解析】 (1) f′(x)＝(ax 2－x)e x ＝x(ax －1)e x .(1分)
若a ＝0，则f′(x)＝－x e x ，令f′(x)>0，则x<0；令f′(x)<0，则x>0； 若a<0，由f′(x)>0，得1a <x<0；由f′(x)<0，得1
a >x 或0<x ；
若a>0，由f′(x)<0，得0<x<1a ；由f′(x)>0，得x>1
a 或x<0；
综上可得：
当a ＝0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)，减区间是(0，＋∞)；(3分) 当a<0时，函数f(x)的增区间是⎝⎛⎭⎫1a ，0，减区间是(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫－∞，1
a ；(5分) 当a>0时，函数f(x)的增区间是(－∞，0)⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞，减区间是⎝⎛⎭
⎫0，1
a (7分)
(2) 因为2a ∈[3，m ＋1]，由(1)x ∈(0，＋∞)上函数f(x)的最小值是f ⎝⎛⎭⎫
1a . 因为f(x)≥b 2a －1
e 1
a 恒成立，
所以f ⎝⎛⎭⎫1a ≥b 2a －1e 1
a 恒成立，(8分)
所以e 1a (2a －1)≥b 2a －1
e 1
a 恒成立，即2a －1≥
b 2a －1恒成立．(9分)
由2a ∈[3，m ＋1]，令2a －1＝t ∈[2，m]，则t≥b t ，所以ln b≤ln t
t ＝g(t)，(10分)
由g′(t)＝
1－ln t
t 2
，可知函数g(t)在(0，e )上递增；(e ，＋∞)上递减，且g(2)＝g(4)．(11分) 当2<m≤4时，g(t)min ＝g(2)＝ln 22，从而ln b≤ln 2
2
，解得0<b≤2；(13分) 当m>4时，g(t)min ＝g(m)＝ln m m ，从而ln b≤ln m
m
，解得0<b ≤m 1
m ，(15分)
故：当2<m≤4时，0<b≤2；当m>4时，0<b≤m 1
m (16分)。