山东省潍坊市2019届高三上学期期末测试数学(文科)试题(解析版)

2018-2019学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）
A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．[1，2]
2．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣，则f（﹣2）＝（）
A．B．C．﹣D．﹣
3．若cos（）＝﹣，则cos2α＝（）
A．﹣B．﹣C．D．
4．双曲线C：＝λ（λ≠0），当λ变化时，以下说法正确的是（）
A．焦点坐标不变B．顶点坐标不变
C．渐近线不变D．离心率不变
5．若实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最大值是（）
A．2B．1C．﹣1D．﹣4
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．16C．D．
7．若将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是（）
A．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）
B．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）
C．[+kπ，+kπ]（k∈Z）
D．[+kπ，+kπ]（k∈Z）
8．四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年被美国数学家阿佩尔与哈肯证明称为四色定理其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色．”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”
如图网格纸上小正方形的边长为1粗实线围成的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率为（）
A．B．C．D．
9．已知函数f（x）＝，则不等式|f（x）|≥1的解集为（）
A．（﹣∞，]B．（﹣∞，0]∪[2，+∞）
C．[0，]∪[2，+∞）D．（﹣∞，]∪[2，+∞）
10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点，A（1，1），当△PAF周长最小时，PF所在直线的斜率为（）
A．﹣B．﹣C．D．
11．由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准（GB/T19522﹣2010）》于2011年7月1日正式实施．车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表1．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图1，且图
1表示的函数模型f（x）＝，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时
间以整小时计算）？（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）（）
表1 车辆驾驶人员血液酒精含量阀值
A．5B．6C．7D．8
12．已知偶函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[0，1]时f（x）＝x，g（x）＝4x﹣2x﹣2．
①方程|g（x）|＝1有2个不等实根；
②方程g（f（x）＝0只有1个实根；
③当x∈（﹣∞，2]时，方程f（g（x）＝0有7个不等实根；
④存在x0∈[0，1]使g（﹣x0）＝﹣g（x0）
正确的序号是（）
A．①②B．①③C．①④D．②④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．设向量＝（3，2），＝（1，﹣1），若（+）⊥，则实数λ＝．
14．若直线3x+4y+12＝0与两坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的内切圆的标准方程为．15．已知圆台的上、下底面都是球O的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O的表面积为．
16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为ab，c，且a2＝b2+c2﹣bc，△AbC的面积为S，a＝3，则S+6cos B cos C 的最大值为
三、解答題：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第
2223题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分
17．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且2，a n，S n成等差数列．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）数列{b n}满足b n＝log2a1+log2a2+…+log2a n，求数列{}的前n项和T n．
18．（12分）如图，四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC＝60°，CD＝2AD，EC⊥底面ABCD．（1）求证：平面ADE⊥平面ACE；
（2）若AD＝CE＝2，求三棱锥C﹣ADE的高．
19．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C的长轴长与焦距之比为：1，过点F2（3，0）且斜率不为0的直线l与C交于A，B两点．
（1）当l的斜率为1时，求△F1AB的面积．
（2）若在y轴上存在一点D（0，﹣），使△ABD是以D为顶点的等腰三角形，求直线l的方程．
20．（12分）某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了100件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如图频率分布表和频率分布直方图．
（1）求a，b；
（2）根据质量标准钢管内径尺寸大于等于25.75或小于25.15为不合格，钢管尺寸在[25.15，25.35）或[25.45，25.75）为合格等级，钢管尺寸在[25.35，25.45）为优秀等级钢管的检测费用0.5元/根．
（i）若从[25.05，25.15）和[25.65，2575）的5件样品中随机抽取2根，求至少有一根钢管为合格的概率；
（ii）若这批钢管共有2000根，把样本的频率作为这批钢管的概率，有两种销售方案：
①对该批剩余钢管不再进行检测，所有钢管均以45元/根售出；
②对该批剩余钢管一一进行检测，不合格产品不销售，合格等级的钢管50元/根，优等钢管60元/根请你为该企业选
择最好的销售方案，并说明理由．
21．（12分）已知函数f（x）＝a sin x（a∈R），g（x）＝e x．
（1）若0＜a≤1，证明函数G（x）＝f（﹣x）+lnx在（0，1）上单调递增；
（2）设F（x）＝（a≠0），对任意x∈[0，]，F（x）≥kx恒成立求实数k的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以x轴的非负半轴为
极轴，原点O为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线θ＝和θ＝（ρ∈R）分别与曲线C相交于A、B两点（A，B两点异于坐标原点）．
（1）求曲线C的普通方程与A、B两点的极坐标；
（2）求直线AB的极坐标方程及△ABO的面积．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x+|（a＞0）．
（1）证明f（x）≥4；
（2）若不等式f（x）﹣|x+|≥4x的解集为{x|x≤2}，求实数a的值．
2018-2019学年山东省潍坊市高三（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的1．已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≥0}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，则A∩B＝（）
A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2]C．[﹣1，1]D．[1，2]
【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．
【解答】解：由A中不等式变形得：（x﹣3）（x+1）≥0，
解得：x≤﹣1或x≥3，即A＝（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞），
∵B＝[﹣2，2]，
∴A∩B＝[﹣2，﹣1]，
故选：A．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2﹣，则f（﹣2）＝（）
A．B．C．﹣D．﹣
【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（﹣2）的值，结合函数的奇偶性可得f（2）＝﹣f（﹣2），即可得答案．
【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝x2﹣，则f（﹣2）＝4﹣＝，
又由函数f（x）为奇函数，则f（2）＝﹣f（﹣2）＝﹣；
故选：C．
【点评】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，注意利用奇4﹣函数的性质进行分析．
3．若cos（）＝﹣，则cos2α＝（）
A．﹣B．﹣C．D．
【分析】由题意利用诱导公式求得sinα的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值．
【解答】解：∵cos（）＝﹣sinα＝﹣，∴sinα＝，
则cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝，
故选：C．
【点评】本题主要考查利用诱导公式、二倍角公式进行化简三角函数式，属于基础题．
4．双曲线C：＝λ（λ≠0），当λ变化时，以下说法正确的是（）
A．焦点坐标不变B．顶点坐标不变
C．渐近线不变D．离心率不变
【分析】判断双曲线的焦点坐标，顶点坐标以及离心率，再求解渐近线方程，即可得到结果．
【解答】解：当λ＞0时，双曲线的焦点坐标以及顶点坐标在x轴上，离心率也随实轴的变而变化，只有渐近线方程为：
y＝±x不变．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
5．若实数x，y满足，则z＝x﹣2y的最大值是（）
A．2B．1C．﹣1D．﹣4
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：作出实数x，y满足对应的平面区域如图：
由z＝x﹣2y得y＝x﹣z，平移直线y＝x﹣z，由图象可知当直线y＝x﹣z，经过点A时，
直线y＝x﹣z，的截距最小，此时z最大，
由，解得A（﹣1，﹣1），z＝1．
故选：B．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A．B．16C．D．
【分析】根据三视图知该几何体是长方体去掉一个三棱锥，结合题意画出图形，由图中数据计算该几何体的体积．【解答】解：根据三视图知该几何体是长方体去掉一个三棱锥，如图所示；
则该几何体的体积为4×2×2﹣××2×2×4＝．
故选：C．
【点评】本题考查了利用三视图求几何体体积的应用问题，是基础题．
7．若将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，则平移后所得图象对应函数的单调增区间是（）
A．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）
B．[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z）
C．[+kπ，+kπ]（k∈Z）
D．[+kπ，+kπ]（k∈Z）
【分析】根据函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，求得平移后所得图象对应函数的单调增区间．
【解答】解：将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位长度，可得y＝sin（2x﹣）的图象．
令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，
可得平移后所得图象对应函数的单调增区间为[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z），
故选：A．
【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于基础题．
8．四色猜想是世界三大数学猜想之一，1976年被美国数学家阿佩尔与哈肯证明称为四色定理其内容是：“任意一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家涂上不同的颜色．”用数学语言表示为“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4四个数字之一标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字”
如图网格纸上小正方形的边长为1粗实线围成的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】由网格纸上一共有5×6＝30个小方格，其中标记为1的小方格有10个，能求出所求概率．
【解答】解：网格纸上一共有5×6＝30个小方格，
其中标记为1的小方格有10个，
∴网格纸上小正方形的边长为1粗实线围成的各区域上分别标有数字1，2，3，4的四色地图符合四色定理，
若在该四色地图上随机取一点，则恰好取在标记为1的区域的概率为p＝．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．已知函数f（x）＝，则不等式|f（x）|≥1的解集为（）
A．（﹣∞，]B．（﹣∞，0]∪[2，+∞）
C．[0，]∪[2，+∞）D．（﹣∞，]∪[2，+∞）
【分析】去掉绝对值，解各个区间上的x的范围，取并集即可．
【解答】解：|f（x）|≥1，即f（x）≥1或f（x）≤﹣1，
由≥1，解得：x≤0，
由log2x≥1，解得：x≥2，
由≤﹣1，无解，
由log2x≤﹣1，解得：0＜x≤，
故不等式的解集是（﹣∞，]∪[2，+∞），
故选：D．
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，考查指数函数以及对数函数的性质，是一道常规题．
10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，P为抛物线上一点，A（1，1），当△PAF周长最小时，PF所在直线的斜率为（）
A．﹣B．﹣C．D．
【分析】求△PAF周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值．设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|．因此问题转化为求|PA|+|PD|的最小值，根据平面几何知识，当D、P、A三点共线时|PA|+|PD|最小，由此即可求出P的坐标，然后求解PF所在直线的斜率．
【解答】解：求△PAF周长的最小值，即求|PA|+|PF|的最小值，
设点P在准线上的射影为D，
根据抛物线的定义，可知|PF|＝|PD|
因此，|PA|+|PF|的最小值，即|PA|+|PD|的最小值
根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，
因此的最小值为x A﹣（﹣1）＝1+1＝2，
∵|AF|＝1，此时P（，1），F（1，0）PF所在直线的斜率为：＝﹣
故选：A．
【点评】考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，A三点共线时|PA|+|PD|最小，是解题的关键．
11．由国家公安部提出，国家质量监督检验检疫总局发布的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验标准（GB/T19522﹣2010）》于2011年7月1日正式实施．车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阀值见表1．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图1，且图
1表示的函数模型f（x）＝，则该人喝一瓶啤酒后至少经过多长时间才可以驾车（时
间以整小时计算）？（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）（）
表1 车辆驾驶人员血液酒精含量阀值
A．5B．6C．7D．8
【分析】由图知车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时x＞2；
令90•e﹣0.5x+14＜20，解得x的取值范围，结合题意求得结果．
【解答】解：由图知0≤x＜2时，函数f（x）取得最大值，
此时f（x）＝40sin（x）+13，
x≥2时，函数f（x）＝90•e﹣0.5x+14；
当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/百毫升时可以驾车，此时x＞2；
由90•e﹣0.5x+14＜20，得e﹣0.5x＜，
两边取自然对数，得lne﹣0.5x＜ln，
即﹣0.5x＜﹣ln15，解得x＞≈＝5.42，
所以喝啤酒后需6个小时后才可以合法驾车．
注：如果根据图象可猜出6个小时．
故选：B．
【点评】本题考查了散点图的应用问题，也考查了分段函数与不等式的应用问题，是中档题．
12．已知偶函数f（x）的定义域为R，且满足f（x+2）＝f（﹣x），当x∈[0，1]时f（x）＝x，g（x）＝4x﹣2x﹣2．
①方程|g（x）|＝1有2个不等实根；
②方程g（f（x）＝0只有1个实根；
③当x∈（﹣∞，2]时，方程f（g（x）＝0有7个不等实根；
④存在x0∈[0，1]使g（﹣x0）＝﹣g（x0）
正确的序号是（）
A．①②B．①③C．①④D．②④
【分析】由g（x）＝1，g（x）＝﹣1解方程可判断①；设t＝f（x），g（t）＝0，结合f（x）的周期性可判断②；设m＝g（x），则f（m）＝0，可得m为偶数，再由g（x）的值域，可判断③；
由g（﹣x0）＝﹣g（x0），结合二次函数和指数函数的单调性，可判断④．
【解答】解：对于①，g（x）＝4x﹣2x﹣2，由g（x）＝1可得2x＝或2x＝（舍去），
即x＝log2；由g（x）＝﹣1可得2x＝或2x＝（舍去），故①正确；
对于②，方程g（f（x）＝0，设t＝f（x），即g（t）＝0，解得t＝1，即f（x）＝1，
由f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为周期为2的函数，
f（x）＝1的根为x＝2k﹣1，k∈Z，故②错误；
对于③，当x∈（﹣∞，2]时，方程f（g（x）＝0，
可设m＝g（x），则f（m）＝0，可得m＝2k，k∈Z，
由g（x）在x≤2的值域为[﹣，10]，可得m＝﹣2，0，2，4，6，8，10，有7个不等实根，故③正确；
对于④由g（﹣x0）＝﹣g（x0），即4x0﹣2x0﹣2+4﹣x0﹣2﹣x0﹣2＝0，可设t＝2x0+2﹣x0，
则t2﹣t﹣4＝0，解得t＝+，由2x0+2﹣x0＝+，即4x0﹣（+）2x0+1＝0，
由△＝（+）2﹣4＝+，可得2x0＝＞2，
即x0＞1，故④错误．
故选：B．
【点评】本题考查函数的性质和运用，主要是周期性和值域的求法，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．设向量＝（3，2），＝（1，﹣1），若（+）⊥，则实数λ＝﹣13．
【分析】可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出λ的值．
【解答】解：；
∵；
∴；
解得λ＝﹣13．
故答案为：﹣13．
【点评】考查向量垂直的充要条件，向量加法、数乘和数量积的坐标运算．
14．若直线3x+4y+12＝0与两坐标轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则△AOB的内切圆的标准方程为（x+1）2+（y+1）2＝1．
【分析】令x＝0、y＝0代入3x+4y﹣12＝0分别求出A、B的坐标，设△AOB的内切圆的圆心（a，b），再由相切列出方程求出a、b的值，代入圆的标准方程
【解答】解：在直线3x+4y+12＝0中，令x＝0代入3x+4y+12＝0得，y＝﹣3，则A（0，﹣3），
令y＝0代入3x+4y+12＝0得，x＝﹣4，则B（﹣4，0）
设△AOB的内切圆的圆心（a，b），
因为内切圆与x、y轴都相切，所以a＝b＝﹣r，
又内切圆与直线3x+4y+12＝0相切，所以a＝﹣r＝﹣，
化简解得，a＝﹣1或a＝﹣3 （舍去），∴圆心为（﹣1，﹣1），半径为1，
所以△AOB的内切圆的方程为：（x，+1）2+（y+1）2＝1，
故答案为：（x+1）2+（y+1）2＝1．
【点评】本题考查了圆的方程求法：待定系数法，以及直线与圆相切的条件，属于中档题
15．已知圆台的上、下底面都是球O的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O的表面积为80π．【分析】在轴截面等腰梯形中计算出sin A与BD，然后利用正弦定理计算出△ABD的外接圆半径，即为球O的半径，再利用球体的表面积公式可得出球O的表面积．
【解答】解：如下图所示，
设圆台的一个轴截面为等腰梯形ABCD，则AB＝8，CD＝4，
过点C、D分别作CE⊥AB、DF⊥AB，垂足分别为点E、F，
则，
且CE＝DF＝6，
所以，，
在Rt△ADF中，，，
设球O的半径为R，则2R为△ABD外接圆的直径，
由正弦定理可得，，
因此，球O的表面积为．
故答案为：80π．
【点评】本题考查球体的表面积的计算，解决本题的关键在于计算球体的半径长，考查计算能力与转化能力，属于中等题．
16．△ABC的内角A，B，C的对边分别为ab，c，且a2＝b2+c2﹣bc，△AbC的面积为S，a＝3，则S+6cos B cos C 的最大值为6
【分析】由余弦定理化简已知等式解得cos A，利用同角三角函数基本关系式可求sin A，利用三角形内角和定理，两角
和的余弦函数公式可求cos B cos C＝sin B sin C﹣，根据正弦定理可求cos B cos C＝﹣，由余弦定理，基本不等式可求bc的最大值，根据三角形的面积公式化简所求即可计算得解．
【解答】解：∵a2＝b2+c2﹣bc，可得：b2+c2﹣a2＝bc，
∴由余弦定理可得：2bc cos A＝bc，解得：cos A＝，可得：sin A＝＝，
∵cos A＝﹣cos（B+C）＝sin B sin C﹣cos B cos C＝，
∴可得：cos B cos C＝sin B sin C﹣，
∵a＝3，由＝4，可得：sin B＝，sin C＝，
∴cos B cos C＝﹣，
∵由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A，可得9＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc（2﹣），当且仅当b＝c时等号成立，
∴bc≤＝8+2，当且仅当b＝c时等号成立，
∴S+6cos B cos C＝bc sin A+6（﹣）＝bc﹣≤×（8+2）﹣＝6，当且仅当b＝c时等号成立．
可得S +6cos B cos C 的最大值为6． 故答案为：6．
【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的余弦函数公式，正弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 三、解答題：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第2223题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分 17．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2，a n ，S n 成等差数列． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）数列{b n }满足b n ＝log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n ，求数列{
}的前n 项和T n ．
【分析】（1）由题意可得2a n ＝2+S n ，运用数列的递推式：当n ＝1时，a 1＝S 1，n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1，结合等比数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；
（2）求得log 2a n ＝log 22n ＝n ，b n ＝n （n +1），＝
＝2（﹣
），由数列的裂项相消求和，化简整理，
可得所求和．
【解答】解：（1）2，a n ，S n 成等差数列，可得2a n ＝2+S n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1﹣2，解得a 1＝2， n ≥2时，a n ＝S n ﹣S n ﹣1＝2a n ﹣2﹣2a n ﹣1+2， 化为a n ＝2a n ﹣1，
可得数列{a n }为首项为2，公比为2的等比数列， 即有a n ＝2n ，n ∈n *； （2）log 2a n ＝log 22n ＝n ，
b n ＝log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a n ＝1+2+…+n ＝n （n +1），
＝
＝2（﹣
），
即有前n 项和T n ＝2（1﹣+﹣+…+﹣）
＝2（1﹣
）＝
．
【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
18．（12分）如图，四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ADC ＝60°，CD ＝2AD ，EC ⊥底面ABCD ． （1）求证：平面ADE ⊥平面ACE ；
（2）若AD ＝CE ＝2，求三棱锥C ﹣ADE 的高．
【分析】（1）推导出AD ⊥AC ，EC ⊥AD ，从而AD ⊥平面ACE ，由此能证明平面ADE ⊥平面ACE ． （2）设三棱锥C ﹣ADE 的高为h ．由V D ﹣ACE ＝V C ﹣ADE ，能求出三棱锥C ﹣ADE 的高． 【解答】证明：（1）∵在平行四边形ABCD 中，∠ADC ＝60°，CD ＝2AD ，
由余弦定理得AC ＝
，
∴AD 2+AC 2＝CD 2，∴∠DAC ＝90°，∴AD ⊥AC ， ∵EC ⊥底面ABCD ，∴EC ⊥AD ， ∵EC ∩AC ＝C ，∴AD ⊥平面ACE ， ∴平面ADE ⊥平面ACE ．
解：（2）∵AD ＝CE ＝2，∴CD ＝4，
∵AD ⊥AC ，∴AC ＝2
，∴AE ＝4，
设三棱锥C ﹣ADE 的高为h ．
由V D ﹣ACE ＝V C ﹣ADE ，得，
解得h ＝
，
∴三棱锥C ﹣ADE 的高为
．
【点评】本题考查面面垂直的证明，考查三棱锥的高的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
19．（12分）已知椭圆C ：
+
＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，椭圆C 的长轴长与焦距之比为
：
1，过点F 2（3，0）且斜率不为0的直线l 与C 交于A ，B 两点． （1）当l 的斜率为1时，求△F 1AB 的面积．
（2）若在y轴上存在一点D（0，﹣），使△ABD是以D为顶点的等腰三角形，求直线l的方程．
【分析】（1）由已知条件得出c＝3，结合离心率可求出a的值，再计算出b的值，可得出椭圆的方程，然后将直线l 的方程与椭圆的方程联立，求出交点坐标，再利用三角形的面积公式可求出△F1AB的面积；
（2）设直线l的方程为y＝k（x﹣3），设点A（x1，y1）、B（x2，y2），将直线l的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出线段AB的中点H的坐标，然后将问题转化为DH⊥AB，由这两条直线的斜率之积为﹣1求出k的值．
【解答】解：（1）依题意，∵，且c＝3，∴，b＝3，所以，椭圆C的方程为，
设A（x1，y1）、B（x2，y2），当k＝1时，直线l：y＝x﹣3，
将直线与椭圆方程联立得，消去x得，y2+2y﹣3＝0，
解得y1＝﹣3，y2＝1，则|y1﹣y2|＝4，
所以，；
（2）设直线l的斜率为k，由题意知k≠0，
由，消去y得，（2k2+1）x2﹣12k2x+18（k2﹣1）＝0，
△＞0恒成立，由韦达定理得，
设线段AB的中点为H（x0，y0），则，∴，
若△ABD是以D为顶点的等腰三角形，则k DH•k AB＝﹣1，得，
整理得，故直线l的方程为．
【点评】本题考查直线与椭圆的综合问题，解决本题的关键在于将等腰三角形转化为三线合一，考查计算能力与转化能力，属于中等题．
20．（12分）某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了100件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如图频率分布表和频率分布直方图．
（1）求a，b；
（2）根据质量标准钢管内径尺寸大于等于25.75或小于25.15为不合格，钢管尺寸在[25.15，25.35）或[25.45，25.75）为合格等级，钢管尺寸在[25.35，25.45）为优秀等级钢管的检测费用0.5元/根．
（i）若从[25.05，25.15）和[25.65，2575）的5件样品中随机抽取2根，求至少有一根钢管为合格的概率；
（ii）若这批钢管共有2000根，把样本的频率作为这批钢管的概率，有两种销售方案：
①对该批剩余钢管不再进行检测，所有钢管均以45元/根售出；
②对该批剩余钢管一一进行检测，不合格产品不销售，合格等级的钢管50元/根，优等钢管60元/根请你为该企业选
择最好的销售方案，并说明理由．
【分析】（1）由频率分布直方图先求出b，由此列方程能求出a．
（2）（i）记内径尺寸在（25.05，25.15）的钢管为a1，a2，内径尺寸在（25.65，25.75）的钢管为b1，b2，b3，从[25.05，
25.15）和[25.65，2575）的5件样品中随机抽取2根，利用列举法能求出至少有一根钢管为合格的概率．
（ii）由题意，不合格钢管的概率为0.02，合格钢管的概率为0.68，优秀钢管的概率为0.3，不合格钢管40根，合格钢管1360根，优秀等级钢管600根，分别求出两种方案和利润，由此能求出结果．
【解答】解：（1）由题意知b＝＝1.8，
∴（a+2.3+1.8+1.4+1+0.3+0.2）×0.1＝1，
解得a＝3．
（2）（i）记内径尺寸在（25.05，25.15）的钢管为a1，a2，
内径尺寸在（25.65，25.75）的钢管为b1，b2，b3，
从[25.05，25.15）和[25.65，2575）的5件样品中随机抽取2根，
基本事件总数n＝＝10，分别为：
（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），
至少有一根钢管为合格包含的基本事件有9种情况，分别为：
（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3），
∴至少有一根钢管为合格的概率p＝．
（ii）由题意，不合格钢管的概率为0.02，合格钢管的概率为0.68，优秀钢管的概率为0.3，
不合格钢管40根，合格钢管1360根，优秀等级钢管600根，
若依第①种方案，则：2000×45﹣0.5×100＝89950元；
若依第②种方案，则：1360×50+600×60﹣0.5×2000＝103000元．
103000＞89950，故选第②种方案．
【点评】本题考查频率、概率的求法及应用，考查频率分布表、频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝a sin x（a∈R），g（x）＝e x．
（1）若0＜a≤1，证明函数G（x）＝f（﹣x）+lnx在（0，1）上单调递增；
（2）设F（x）＝（a≠0），对任意x∈[0，]，F（x）≥kx恒成立求实数k的取值范围．
【分析】（1）求出函数的导数，结合a的范围，得出函数的单调性即可；
（2）由对任意x∈[0，]，F（x）≥kx恒成立，设h（x）＝e x sin x﹣kx，求出函数的导数，根据函数的单调性求出k 的范围即可．
【解答】解：（1）G（x）＝﹣a sin x+lnx，
则G′（x）＝﹣a cos x，
由于x∈（0，1），故＞1，
又a∈[0，1]，cos x∈[﹣1，1]，故a cos x≤1，
故﹣a cos x＞0，即G′（x）＞0在（0，1）上恒成立，
故G（x）在（0，1）递增；
（2）F（x）＝e x sin x，
由对任意x∈[0，]，F（x）≥kx恒成立，
设h（x）＝e x sin x﹣kx，
则h′（x）＝e x sin x+e x cos x﹣k，
再设m（x）＝e x sin x+e x cos x﹣k，
则m′（x）＝2e x cos x≥0，
因此m（x）在[0，]递增，
故m（x）≥m（0）＝1﹣k，
①当k≤1时，m（x）≥0即h′（x）≥0，
h（x）在[0，]递增，故h（x）≥h（0）＝0，
即k≤1适合题意，
②当k＞1时，m（0）＝1﹣k＜0，m（）＝﹣k，
若﹣k＜0，则取x0＝，x∈（0，x0）时，m（x）＜0，
若﹣k≥0，则在（0，]上m（x）存在唯一零点，记为x0，
当x∈（0，x0）时，m（x）＜0，
总之，存在x0∈（0，]使x∈（0，x0）时m（x）＜0，
即h′（x）＜0，故h（x）递减，h（x）＜h（0）＝0，
故k＞1时，存在（0，x0）使h（x）＜0，不合题意，
综上，k≤1．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．（二）选考题：共10分.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题计分[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以x轴的非负半轴为
极轴，原点O为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线θ＝和θ＝（ρ∈R）分别与曲线C相交于A、B两点（A，B两点异于坐标原点）．
（1）求曲线C的普通方程与A、B两点的极坐标；
（2）求直线AB的极坐标方程及△ABO的面积．
【分析】（1）曲线C和参数方程消去参数α能求出曲线C的普通方程，从而能求出曲线C的极坐标方程；将直线θ
＝和θ＝代入圆的极坐标方程能求出A、B两点的极坐标．
（2）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得A（，），B（﹣，），根据两点式方程得直线AB的方程为y＝x+1，由此能求出AB的极坐标方程及△ABO的面积．
【解答】解：（1）曲线C和参数方程为，
∴消去参数α得曲线C的普通方程为x2+y2﹣2y＝0，
∴曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ．
将直线θ＝和θ＝代入圆的极坐标方程得ρ1＝，ρ2＝1，
∴A、B两点的极坐标分别为A（），B（1，）．
（2）由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得A（，），B（﹣，），
根据两点式方程得直线AB的方程为y＝x+1，
∴AB的极坐标方程为．
∴直线AB恰好经过圆的圆心，故△ABO为直角三角形，
且|OA|＝，|OB|＝1，
∴S
＝＝．
△ABO
【点评】本题考查曲线的普通方程、点的极坐标方程、直线的极坐标方程、三角形面积的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．设函数f（x）＝|x﹣a|+|x+|（a＞0）．
（1）证明f（x）≥4；
（2）若不等式f（x）﹣|x+|≥4x的解集为{x|x≤2}，求实数a的值．
【分析】（1）根据绝对值不等式的性质证明即可；
（2）通过讨论x的范围，求出不等式的解集，根据对应关系得到关于a的方程，求出a的值即可．
【解答】解：（1）证明，f（x）＝|x﹣a|+|x+|≥|x﹣a﹣x﹣|＝a+≥2＝4；
（2）由f（x）﹣|x+|≥4x，
可得|x﹣a|≥4x，（a＞0），
当x≥a时，x﹣a≥4x，解得：x≤﹣，
这与x≥a＞0矛盾，故不成立，
当x＜a时，a﹣x≥4x，解得：x≤，
又不等式的解集是{x|x≤2}，
故＝2，解得：a＝10．
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及分类讨论思想，转化思想，是一道常规题．。