偏微(08)一阶扩散方程

第四章 抛物型方程的有限差分方法
1 常系数扩散方程 常系数扩散方程
u t
a
2u x 2
,
x
R,
t>
0, (1.1)
a为正常数， 如果给定初始条件
u x,0 g x, x R, (1.2)
(1.1、1.2)就构成了初值问题。
1.1 向前差分格式、向后差分格式
u t
a
2u x 2
,
x
ujn
un-1 j
-a
un j+1
2ujn h2
un j-1
=0 (1.5)
un+1 j
ujn
-a
un j+1
2ujn h2
un j-1
=0 (1.3)
把（1.3）式改写为
隐式
无条件稳定 显式 条件稳定
ujn
un-1 j
-a
un-1 j+1
2ujn-1 h2
un-1 j-1
=0 (1.3) '
2ujn+1
un+1 j-1
un j+1
2ujn
un j-1
=0 (1.8)
一般称为Crank-Nicolson格式
1 时，格式（1.6）为向后差分格式
0 时，格式（1.6）为向前差分格式
1.2 加权隐式格式
0 1 u 2u
t a x2
un j
un-1 j
-a
un j+1
1
1
G ,k的特征方程为
1
1
0
2
2 1
cos
kh
1 1
0 （1.11）
1.3 三层显示格式 引理1.1 实系数二次方程 2 b c 0 的根按其模小于或等于1的充分必要条件是
b 1 c, c 1
推论 实系数二次方程 2 b c 0 的根，按其模 小于或等于1的充分必要条件是 b 1 c 2
2a
0
0 0
un j 1
0 1
1
2a
0
unj
2a
0
0 0
un j1
1.3 三层显示格式
u t
a
2u x 2
,
x
R,
t>
0, (1.1)
un+1 j
un-1 j
-a
un j+1
2
un+1 j
un-1 j
h2
un j-1
=0
(1.10)
考虑Du Frot-Frankel的稳定性 化成与其等价的
a
2u x 2
,
x
R,
t>
0, (1.1)
ujn
un-1 j
-a
un j+1
2ujn h2
un j-1
1
un-1 j+1
2ujn-1 h2
un-1 j-1
=0 (1.6)
a
un j1
1
2a
unj
a
un j 1
a
1
un1 j1
1
2a
1
un1 j
a
1
un1 j 1
求1.6的截断误差
u x,t 是方程（1.1）的充分光滑的解 代入到1.6式
u t
a
2u x 2
,
x
R,
t>
0, (1.1)
un j
un-1 j
-a
un j+1
2ujn h2
un j-1
1
un-1 j+1
2ujn-1 h2
un-1 j-1
=0 (1.6)
引起注意的是 1 截断误差是 O 2 h2 2
un+1 j
ujn
-
a 2h2
un+1 j+1
R,
t>
0, (1.1)
u x,0 g x, x R, (1.2)
un+1 j
ujn
-a
un j+1
2ujn h2
un j-1
=0 (1.3)
u0j g xj （1.4）
截断误差是 O h2
增长因子是 G ,h 1 4a sin2 kh
2
=
h2
1.1 向前差分格式、向后差分格式
un+1 j
ujn
-a
un j+1
2ujn h2
un j-1
=0 (1.3)
截断误差是O
h2
无条件稳定的向后差分格式
ujn
un-1 j
-a
un j+1
2ujn h2
un j-1
=0 (1.5)
截断误差是 O h2
1.2 加权隐式格式
u t
a
2u x 2
, x
R,
t>
0, (1.1)
2
右边的不等号对 0 总是成立的，
不等式左边要求1 4 a sin2 kh 1 41 a sin2 kh
2
2
1.2 加权隐式格式
1 41 a sin2 kh
G ,h
2
1 4 a sin2 kh
2
当 G ,h 1 时
u 2u t a x2
von Neumann条件为充
u t
a
2u x 2
,
x
R,
t>
0, (1.1)
u x,0 g x, x R, (1.2) u0j g x j (1.4)
un+1 j
ujn
-a
un j+1
2ujn h2
un j-1
=0 (1.3)
增长因子是 G ,h 1 4a sin2 kh
2
=
h2
如果
1
a 2 那么有
un j
un-1 j
-a
un j+1
2ujn h2
un j-1
1
u 2u
un-1 j+1
2ujn-1 h2
un-1 j-1
a t
=0 (1.6)
x 2
不等式左边要求 1 4 a sin2 kh 1 41 a sin2 kh
2
2
上式等价于 41 2 a sin2 kh 2
2
考虑到 sin2 kh 1 2
此时有 i 1i 1,2.
E
a
1 2
3u
n
x
2t
j
O
2 h2
1
2
引起注意的是 1 截断误差是 O 2 h2 2
un+1 j
ujn
-
a 2h2
un+1 j+1
2ujn+1
un+1 j-1
un j+1
2ujn
un j-1
=0 (1.8)
一般称为Crank-Nicolson格式
1.2 加权隐式格式
用 乘（1.5）式 用 1 乘（1.3)’式，
1.2 加权隐式格式
u t
a
2u x 2
, x
R,
t>
0, (1.1)
ujn
un-1 j
-a
un j+1
2ujn h2
un j-1
=0 (1.5)
un+1 j
ujn
-a
un-1 j+1
2ujn-1 h2
un-1 j-1
=0 (1.3) '
要条件
此要求为
1 41 a sin2 kh
1
2 1
1 4 a sin2 kh
2
不等式左边要求 1 4 a sin2 kh 1 41 a sin2 kh
2
2
上式等价于 41 2 a sin2 kh 2
2
考虑到 sin2 kh 1 2
要求化为 2a 1 2 1
1.2 加权隐式格式
a
2u x 2
,
x
R,
t>
0, (1.1)
1 2a
0
0 1
un1 j
2a
0
0 0
un1 j
0 1
1
2a
0
unj
2a
0
0 0
un j1
令 unj vneikjh 代入上式，经运算得增长矩阵
G
,
k
1
2a
0
其中 2a
01 4a cos kh 1 2a
1
1
0
2 cos kh
二层差分方程组1
2a
un1 j
1
2a
v
n j
2a
un1 j
un j 1
v
n1 j
unj
令 u u, v T ,
1 2a
0
0 1
un1 j
2a
0
0 0
un j 1
0 1
1
2a
0
unj
2a
0
0 0
un j1
令unj vneikjh，代入上式，经运算得增长矩阵
1.3 三层显示格式
u t
要求化为 2a 1 2 1
差分格式1.6的稳定性条件为
2a 1 , 当0 1 ，
1 2
2
无限制，
当 1 1，
2
1.3 三层显示格式
u t
a
2u x 2
, x
R,
t>
0, (1.1)
二阶精度的三层格式，即Richardson格式P36
un+1 j
un-1 j
2
-a
un j+1
(1.10)
改写为
1
2a
un1 j
1
2a
un1 j
2a
un j1
un j 1
考虑Du Frot-Frankel的稳定性 化成与其等价的
二层差分方程组
1
2a
un1 j
1
2a
v
n j
2a
un j1
un j 1
v
n1 j
unj
令 u u, v T ,
1 2a
0
0 1
un1 j
E
a
1 2
3u x 2t
n j
O
2 h2
当
1 2
时截断误差是
O h2
1.2 加权隐式格式
u t
a
2u x 2
,
x
R,
t>
0, (1.1)
un j
un-1 j
-a
un j+1
2ujn h2
un j-1
1
un-1 j+1
2ujn-1 h2
un-1 j-1
=0 (1.6)
1.3 三层显示格式
其中 2a
引理1.1 实系数二次方程 2 b c 0
的根按其模小于或等于1的充分必要条件是
b 1 c, c 1
G的特征方程为
2
2 1
cos
kh
1 1
0（1.11）
b 2 cos kh c 1
1
1
1 c 2
1
b 1 c, c 1
特征方程的两个根 1, 2满足 i 1i 1, 2 .
在 xj ,tn 处进行Taylor级数展开并经简化有
1.2 加权隐式格式
u t
aHale Waihona Puke 2u x 2,x
R,
t>
0, (1.1)
a
un j1
1
2a
unj
a
un j 1
a
1
un1 j1
1
2a
1
un1 j
a
1
un1 j 1
求1.6的截断误差
u x,t 是方程（1.1）的充分光滑的解 代入到1.6式
在 xj ,tn 处进行Taylor级数展开并经简化有
2ujn h2
un j-1
1
un-1 j+1
2ujn-1 h2
un-1 j-1
=0 (1.6)
G
,h
1 41
a
sin2
kh 2
1 4 a sin2 kh
2
当 G ,h 1 时 von Neumann条件为充 要条件
此要求为
1 41 a sin2 kh
1
2 1
1 4 a sin2 kh
h 0 的速度快。
1.3 三层显示格式
u t
a
2u x 2
,
x
R,
t>
0, (1.1)
un+1 j
un-1 j
-a
un j+1
2
un+1 j
un-1 j
h2
un j-1
=0
(1.10)
（1.10）的截断误差
u t
n j
a
2u x 2
n j
a
h
2
2u t 2
n j
,
x
R,
t>
0, (1.1)
un+1 j
un-1 j
-a
un j+1
2
un+1 j
un-1 j
h2
un j-1
=0
(1.10)
设 u x,t 是（1.1）的光滑解，（1.10）的截断误差为
u xj, tn u xj, tn
2
u
-a
xj h, tn
u
xj, tn u
用 乘（1.5）式,用 1 乘（1.3)’式，
把其结果相加就得到一个差分格式
ujn
un-1 j
-a
un j+1
2ujn h2
un j-1
1
un-1 j+1
2ujn-1 h2
un-1 j-1
=0 (1.6)
0 1，我们称差分格式（1.6）为加权隐式格式。
1.2 加权隐式格式
u t
O
2 h2
4
O
h2
如果
h
(1.10)就不与(1.1)相容，而与下面双曲方程相容
u t
a
2u x 2
a
2
2u t 2
0
1.3 三层显示格式
u t
a
2u x 2
, x
R, t>
0, (1.1)
un+1 j
un-1 j
-a
un j+1
2
un+1 j
un-1 j
h2
un j-1
=0
G , k 1
满足v-N条件
G有一个元素 von Neumann又是充分条件
1
向前差分格式的稳定性条件是 a 2
1.1 向前差分格式、向后差分格式
u t
a
2u x 2
,
x
R,
t>
0, (1.1)
u x,0 g x, x R, (1.2) u0j g x j (1.4)
h2
xj, tn