江苏省第九届淮海工学院高等数学竞赛本科二级模拟试卷(二)答案与评分标准

１
江苏省第九届高等数学竞赛
淮海工学院本科二级模拟试卷(闭卷二)
答案及评分标准
一、填充题（本大题共8小题，每题 4 分，共 32 分）
1、设)(x f 的反函数为1
()f x -，则1
(21)[
]3f x f --的反函数为11
{1[3()]}2
f f x -+ ． 2、设1
lim )()1()1(2+++=--∞→x n x n n e b
ax e x x f 连续，则a b +=1．
3、某曲线极坐标方程为13ρπθ=
-，其斜渐近线的直角坐标方程为2
3
y =+．
提示：将极坐标方程化为,x y 关于θ的参数方程，注意仅3
π
θ→时，x →∞． 4、
22
00
22
cos cos 2()2()2()()22
x t x t dx
dx dx x x t t x ππ
ππ
πππππ
ππππ=-+-+===-+-+-+⎰
⎰⎰2π．
5、已知32
(0,0)1,(,)3,(,),22
x y x x f f x y x y f x ===则(,)f x y =34
1x y y -+．
6、设曲线22
33:1L x y +=，则222L
ydx xdy
x y -=+⎰ ． 7、幂级数
1
1112n
n x n
∞
=+++∑
的收敛域为[1,1)-．
8、设直线232,
23x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩在平面1z =上的投影为直线L ，则点(1,2,1)到直线L
． 二、计算题（本大题8 分）
设()f x 在0x =处具有二阶导数，且有42260()ln(1)2
lim 3
x x f x x x x →++-=， 求(0),'(0),''(0)f f f ．
解（一）：因
42
2
6()l n (1)2,3
x f x x
x x α+
+-=+其中0lim 0x α→=---------------------------1'
则2222
4
ln(1)2(),3
x x f x x x x α+-=-++---------------------------------------------------1' 于是，22400ln(1)1
(0)lim ()lim
,2
x x x x f f x x →→+-==-=-------------------------------------2' 224
5001
ln(1)()(0)2'(0)lim lim 0x x x x x f x f f x x →→+-+-==-=--------------------------2' 故200'()'(0)()(0)2
''(0)lim 2lim 3x x f x f f x f f x x →→--===--------------------------------2' 解（二）：因4622
6ln(1)(),23
x x x x x ο+=-
++-------------------------------------------1' 则464
662001()()()21232lim lim
33
x x x x x f x x f x x x ο→→-++-
==+-----------------------------2' 即201()12lim
3
x f x x →-
=-----------------------------------------------------------------------------1' 于是，01(0)lim (),2x f f x →==0()(0)
'(0)lim
0x f x f f x →-==----------------------------2' 故200'()'(0)()(0)2
''(0)lim
2lim 3
x x f x f f x f f x x →→--===--------------------------------2'
三、问答题（本大题8 分）
２
设222()(1)(2)(3)f x x x x =---，试问曲线()y f x =有几个拐点？
解：'()6(1)(2)(3)f x x x x x x =--------------------1' 则'()f x 有5个零点，由罗尔定理知在其相邻零点之间必有''()f x 的零点-------2' 于是''()f x 至少有4个零点1234x x x x <<<-------------------------------1' 而''()f x 为4次多项式，至多有4个零点，则''()f x 恰有4个零点------------1' 于是，可令1234''()30()()()()f x x x x x x x x x =--------------------------1'
注意到'''()30
()0,1,2,3,4i i
j
j i
f x x x i ≠=-≠=∏，
故曲线()y f x =有4个拐点.-------------------------------------------2'
四、计算题（本大题8 分）
设10
(),0,1z xy t f t dt x y =
-≤≤⎰
，若()f t 为连续函数，求xx yy z z +.
解：1
()()()()xy xy
z xy t f t dt xy t f t dt =
---⎰⎰-----------------------------2'
1100
[()()]()()xy xy
xy
xy
xy f t dt f t dt tf t dt tf t dt =-+-⎰⎰⎰⎰----------------1'
1
[()()]xy x xy
z y f t dt f t dt =-⎰
⎰ -------------------------------------2'
22()xx z y f xy = --------------------------------------------------1'
由对称性知2
2()yy z x f yx =-----------------------------------------1' 故2
22()()xx yy z z x y f xy +=+. -------------------------------------1'
五、证明题（本大题8 分）
设)(x f 在[0,1]上连续, 且
10
()1f x dx =⎰
，若(0,1)λ∈，
证明:在(0,1)内存在不同的ηξ,,使()(1)()1f f λξλη+-=. 证明： 设0
()()x F x f t dt =
⎰
，
则()F x 在[0,1]上可导，且(0)0,(1)1F F ==-----1' 令()()(1)G x F x x =--，则(0)1,(1)1G G =-=---------------------------1' 由连续函数零点定理知,存在(0,1)λ∈,使()1F λλ=- ------------------------------1' 在区间[0,]λ与[,1]λ上分别用拉格朗日中值定理, 有
()(0)1()'(),00F f f F λλ
ξξξλλλ--==
=<<--------------------------------------2'
(1)()()'(),111F F f F λλ
ηηληλλ
-===<<----------------------------------------2'
于是，原题得证-------------------------------------------------------------------------------------1'
六、计算题（本大题8 分）
设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面2
22z x x =++截下的有限部分为∑．为计算曲面∑的面积，我们用薄铁片制作∑的模型，(1,0,5),(1,0,1),(1,0,0)A B C --为∑上三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ,建立平面直角坐标系,使D 位于x 轴正上方，点A 的坐标为(0,5),试写出D 的边界方程，并求D 的面积．
七、设计题（本大题8 分）
ρ为原点到222222:1,,,0x y y a b c a b c ∑++=>的切平面之距，计算ds
I ρ∑=⎰⎰ ．
３
八、计算题（本大题10分）
设()f u 在0x =处可导，且(0)0f =，'(0)5f =，若D ：222,0x y tx y +≤≥
求4
1lim
t D
f y dxdy t +
→⎰⎰．
解一：原式2arccos 2
240001lim
()sin t t
t f d d t
ρ
ρρρθθ+→=⎰⎰---------------------------------------------3' 224001lim ()(1)2t t f d t
t ρρρρ+→=-⎰------------------------------------------------2' 222300
5
01()()2lim t t
t t f d f d t ρρρρρρ+→-=⎰⎰-------------------------------------------1' 220
4
()lim 5t
t f d t ρρρ
+
→=⎰
-----------------------------------------------------------------2'
04(2)(0)
lim
52t f t f t
+→-=-----------------------------------------------------------------1' 4
'(0)45
f =
=．-----------------------------------------------------------------------1' 解二：原式2cos 2240001lim ()sin t t d f d t π
θθρρθρ+→=⎰⎰------------------------------------------2' 2cos 2
2
30001lim [()sin ]4t t f d d t
t πθρρθρθ+→∂=∂⎰⎰ -----------------------------------2' 22
3001lim 2cos (2cos )(2cos )sin 4t t f t d t πθθθθθ+
→=⎰----------------------------2' 2cos 22
50
01lim ()8u t t t u f u du t θ+=→=⎰--------------------------------------------------------2' 04(2)(0)
lim 52t f t f t
+
→-=--------------------------------------------------------------1' 4
'(0)45
f =
=．------------------------------------------------------------------1'
九、讨论题（本大题10 分）
试根据k 的不同取值，讨论级数2
1
(1)(ln )n
k n n n ∞
=-∑的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？。