课时作业8：8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

8.3 简单几何体的表面积与体积 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
基础达标
一、选择题
1.正三棱锥的所有棱长均为a ，则该三棱锥的表面积为( ) A.33a 2 B.23a 2 C.3a 2
D.4a 2
解析 S ＝4×12×3
2a ·a ＝3a 2. 答案 C
2.长方体过一个顶点的三条棱的棱长的比是1∶2∶3，体对角线长为214，则这个长方体的体积是( ) A.6 B.12 C.24
D.48 解析 依题意，设三条棱的长分别为x ，2x ，3x ，则x 2＋（2x ）2＋（3x ）2＝214，解得x ＝2，即三条棱长分别为2，4，6，于是体积V ＝2×4×6＝48. 答案 D
3.一个棱柱和一个棱锥的高相等，底面积之比为2∶3，则棱柱与棱锥的体积之比为( ) A.12 B.2 C.13
D.3
解析 设棱柱的高为h ，底面积为S ，则棱锥的高为h ，底面积为3
2S ，故二者的体
积之比为V 1V 2
＝Sh 13×32Sh ＝2
1＝2.
答案 B
4.将一个正方体截去四个角后得到一个正四面体，这个正四面体的体积是正方体体积的( ) A.12 B.13 C.16
D.14
解析 设正方体棱长为a ，则截去的每个角(三棱锥)的体积是13×12×a 3＝1
6a 3，故剩余正四面体的体积是a 3－16a 3×4＝1
3a 3，所以这个正四面体的体积是正方体体积的13. 答案 B
5.如图所示，三棱台ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1∶AB ＝1∶2，则三棱锥B －A 1B 1C 1与三棱锥A 1－ABC 的体积比为( )
A.1∶2
B.1∶3
C.1∶ 2
D.1∶4
解析 三棱锥B －A 1B 1C 1与三棱锥A 1－ABC 的高相等，故其体积之比等于△A 1B 1C 1与△ABC 的面积之比，而△A 1B 1C 1与△ABC 的面积之比等于A 1B 1与AB 之比的平方，即1∶4，故选D. 答案 D 二、填空题
6.正三棱锥的底面边长为a ，高为6
6a ，则此棱锥的表面积为________. 解析 如图，在正三棱锥S －ABC 中，
AB ＝a ，SO ＝6
6a ，
于是OD ＝13·AB ·sin 60°＝3
6a ， 从而SD ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫66a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫36a 2＝a 2
， 故三棱锥的表面积S ＝3×12·a ·a 2＋12×3
2a ·a ＝3＋34a 2. 答案
3＋34a 2
7.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________.
解析 S △DD 1E ＝12DD 1×1＝1
2， 又点F 到平面DD 1E 的距离为1， 所以V D 1－EDF ＝V F －D 1DE ＝13S △DD 1E ×1＝1
6. 答案 16
8.一个正四棱台，其上、下底面均为正方形，边长分别为8 cm 和18 cm ，侧棱长为13 cm ，则其表面积为________ cm 2.
解析 易知正四棱台侧面为等腰梯形，其高为132－52＝12，所以正四棱台的表面积S ＝4×1
2×(8＋18)×12＋82＋182＝1 012(cm 2). 答案 1 012 三、解答题
9.如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求点A 到平面A 1BD 的距离d .
解 在三棱锥A 1－ABD 中，AA 1是三棱锥A 1－ABD 的高，AB ＝AD ＝AA 1＝a ，A 1B ＝BD ＝A 1D ＝2a ， ∵V 三棱锥A 1－ABD ＝V 三棱锥A －A 1BD ， ∴13×12a 2·a ＝13×12×2a ·3
2×2a ·d ，
∴d ＝3
3a .
∴点A 到平面A 1BD 的距离为3
3a .
10.如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AB ，EF ＝2，EF 上任意一点到平面ABCD 的距离均为3，求该多面体的体积.
解 如图，连接EB ，EC ，AC .
V 四棱锥E －ABCD ＝1
3×42×3＝16. ∵AB ＝2EF ，EF ∥AB ， ∴S △EAB ＝2S △BEF .
∴V 三棱锥F －EBC ＝V 三棱锥C －EFB ＝12V 三棱锥C －ABE ＝12V 三棱锥E －ABC ＝12×1
2V 四棱锥E －ABCD ＝4. ∴多面体的体积V ＝V 四棱锥E －ABCD ＋V 三棱锥F －EBC ＝16＋4＝20.
能力提升
11.三棱锥P －ABC 中，D ，E 分别为PB ，PC 的中点，记三棱锥D －ABE 的体积为V 1，P －ABC 的体积为V 2，则V 1
V 2
＝________.
解析 如图，设点C 到平面P AB 的距离为h ，则点E 到平面BAD 的距离为1
2h .
∵S △DAB ＝1
2S △P AB ，
∴V 1V 2
＝13
S △DAB ·12h 13S △P AB ·h ＝13×12S △P AB ·12h 13S △P AB ·h ＝14.
答案 1
4
12.如图所示，已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，E ，F 分别为AA 1，CC 1的中点，求四棱锥A 1－EBFD 1的体积.
解 因为EB ＝BF ＝FD 1＝D 1E ＝ a 2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 22
＝52a ，D 1F ∥EB ，
所以四边形EBFD 1是菱形. 连接EF ，则△EFB ≌△EFD 1.
易知三棱锥A 1－EFB 与三棱锥A 1－EFD 1的高相等， 故V A 1－EBFD 1＝2V A 1－EFB ＝2V F －EBA 1. 又因为S △EBA 1＝12EA 1·AB ＝1
4a 2， 则V F －EBA 1＝1
12a 3，
所以V A 1－EBFD 1＝2V A 1－EFB ＝2V F －
EBA
1＝1
6a 3.
创新猜想
13.(多空题)如图，已知正四棱锥底面正方形的边长为4 cm，高与斜高的夹角为30°，则正四棱锥的侧面积与表面积分别为________和________.
解析正四棱锥的高、斜高、底面边心距组成Rt△POE.
∵OE＝2 cm，∠OPE＝30°，
∴斜高PE＝
OE
sin 30°＝
2
1
2
＝4(cm).
因此S
棱锥侧＝
1
2×4×4×4＝32(cm
2)，
S棱锥表＝32＋16＝48(cm2).
答案32 cm248 cm2
14.(多空题)已知正四棱台的高是12 cm，两底面边长之差为10 cm，全面积为512 cm2，则上、下底面边长分别为________cm，体积为________cm3.
解析O，O1分别是上底面和下底面的中心，E，E1分别是棱的中点，FE1⊥O1E1.设OE＝x cm，则上底面边长为2x cm，
下底面边长为(2x－10)cm，故O1E1＝(x－5)cm，则FE＝5 cm.
又∵正四棱台的高是12 cm，
∴EE1＝13 cm.
故正四棱台的全面积S＝(2x)2＋(2x－10)2＋4×1
2(2x＋2x－10)×13＝8(x
2＋8x－
20)＝512(cm2)，
解得x＝6 cm，
所以正四棱台上底面边长为12 cm，下底面边长为2 cm.
V台＝1
3×12×(12
2＋122×22＋22)＝4×(144＋24＋4)＝688(cm3).
答案12，2 6 88。