江西省南康中学2011-2012学年高二数学第一学期第一次月考试题 理 北师大版

7 8 99
4 4 6 4 7 3
江西省南康中学2011-2012学年高二第一学期第一次月考数学（理A ）
试题
满分：150分 时间：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。

） 1、下列赋值语句中，正确的为（ ） A 、1+=x x
B 、x b =
C 、10==y x
D 、10=+y x
2、频率分布直方图中最高小矩形的中间位置所对数据的数字特征是（ ） A 、中位数
B 、众数
C 、平均数
D 、标准差
3、右图是2007年在广州举行的全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）.
A ．84，4.84
B ．84，1.6
C ．85，1.6
D ．85，4
4．设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)(),f x f x f x f x -=+=,则()y f x =的图像可能是
A ．
B ．
C ．
D ．
5．高一年级某班63人，要选一名学生做代表，每名学生当选是等可能的，若“选出代表是女生”的概率是“选出代表是男生”的概率的10
11
，这个班的女生人数为（ ）． A ．20 B. 25 C. 30 D. 35 6、如果执行右边的流程图，那么输出的S 等于（ ） A 、2450
B 、2500
C 、2550
D 、2652
7、在区间(10，20]内的所有实数中随机取一个实数，则 这个实数＜13的概率是（ ） A 、
3
1 B 、
7
1
INPUT x IF 0≤x THEN
1)(-=x x f
ELSE x x f 2)(=
END IF PRINT )(x f 4
2
C 、10
3 D 、
10
7
8．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表
广告费用x （万元） 4 2 3 5 销售额y （万元）
49
26
39
54
根据上表可得回归方程y bx a =+中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为
A ．63.6万元
B ．65.5万元
C ．67.7万元
D ．72.0万元
9. 一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A ．48 B ．17 C ．17
D ．80
10．设向量,,a b c 满足a =b =1，a b =12
-，,a c b c --=0
60，则c 的最大值等于（ ）
A 2
B 3
C ． 2
D ．1
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11、抛掷两粒质地均匀的骰子，点数之和恰好为8的概率是 。

12、已知直线,:b x y l +=曲线21:x y c -=，它们有两个公共点，则b 的取值范围
是 。

13．已知一个算法的程序如下，则=+-)2()3(f f .
14．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = 15. 函数1
1y x
=
-的图象与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图象所有交点的橫坐标之和等
于 。

三、解答题（共计74分。

解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

） 16．（本小题满分12分）
如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
（1）79.589.5这一组的频数、频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）。

17、（本小题满分12分）
已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧+=-=0,130,00
,1x ＞x x x ＜x y ，输入自变量的值，输出对应的函数值。

（1）画出算法框图。

（2）写出程序语句。

18．（本小题共12分） 已知函数()4cos sin()16
f x x x π
=+
-。

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：
（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值。

19、（本小题满分12分）
有编号为12,A A ，…，10A 的10个零件，测量其直径（单位：cm ），得到下面数据： 编号
1A 2A 3A 4A 5A 6A 7A 8A 9A 10A
直径 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47 其中直径在区间［1．48，1．52］内的零件为一等品。

（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率： （Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个。

（i ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果；（注：一组结果中编号不分先后顺序） （ii ）求这2个零件直径相等的概率。

20.( 本小题满分13分)
在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线34x -=相切 （1）求圆O 的方程；
（2）圆O 与x 轴相交于A B ，两点，圆内的动点P 使PA PO PB ，，成等比数列，求
PA PB 的取值范围
21．（本小题满分14分）
如图，在圆锥PO 中，已知PO 2，⊙O 的直径2AB =,C 是AB 的中点，D 为AC 的
1
y x =-中点．
（Ⅰ）证明：平面POD ⊥平面PAC ; （Ⅱ）求二面角B PA C --的余弦值。

第一次月考
数学（理A ）试题参考答案
一、选择题（10小题，每题5分，共50分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8
9 10 答案 A B C B C C C B C C
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11、
36
5
12、2)
13、0 14、
1
3
15、8 三、解答题（共74分） 16. 解：（1）频率为：0.025100.25⨯=，频数：600.2515⨯= ………………6分
（2）0.015100.025100.03100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯= (12)
分 17、（1）见右图（6分） （2）输入 x If x ＜0 Then 1y x =- Else
If x ＞0 Then 1*3+=x y Else 0=y
End If End If
输出y ……………………（12分） 18.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为1)6
sin(cos 4)(-+=π
x x x f
…………6分
1)cos 2
1
sin 23(
cos 4-+=x x x 1cos 22sin 32-+=x x …3分 x x 2cos 2sin 3+=)6
2sin(2π
+
=x
……………5分
所以)(x f 的最小正周期为π
………………………………
6分 （Ⅱ）因为.3
26
26
,4
6
π
π
π
π
π
≤
+
≤-≤
≤-x x 所以……………………………8分 于是，当6
,26
2π
ππ
=
=
+x x 即时，)(x f 取得最大值2；………………10分
当)(,6
,66
2x f x x 时即π
π
π
-=-
=+
取得最小值—1. ………………12分 19.（Ⅰ）解：由所给数据可知，一等品零件共有6个.设“从10个零件中，随机抽取一个为
一等品”为事件A ，则P （A ）=610=3
5
. …………4分 （Ⅱ）（i ）解：一等品零件的编号为123456,,,,,A A A A A A .从这6个一等品零件中随机抽
取
2
个
，
所
有
可
能
的
结
果
有
：{}{}{}121314,,,,,A A A A A A ,{}{}1516,,,A A A A ,{}23,A A ,{}24,,A A
{}25,A A ,{}{}{}263435,,,,,A A A A A A ,{}{}{}364546,,,,,A A A A A A ,{}56,A A 共有
15
种.…………8分 （ii ）解：“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B ）的所有可能
结果有：{}{}{}141646,,,,,A A A A A A ，{}{}{}232535,,,,,A A A A A A ，共有6种.
所以P （B ）=
62
155
=. ……………………12分 20． 解：（1）依题意知，圆O 的半径r 等于原点O 到直线34x -=的距离，…………2分
即 213
r ==+ 得圆O 的方程为22
4x y += ………………5分
（2）不妨设1212(0)(0)A x B x x x <，，
，， 由24x =即得 (20)(20)A B -，，，
设()P x y ，，由PA PO PB ，，成等比数列，得 222222(2)(2)x y x y x y ++-+=+，即 222x y -=
(2)(2)PA PB x y x y =-----，，22242(1).x y y =-+=-
…………9分
由于点P 在圆O 内，故222242.
x y x y ⎧+<⎪⎨-=⎪⎩， 由此得201y ≤<…………11分
所以PA PB 的取值范围为[20)-， ……………13分
21．（本小题满分14分）解法：（Ⅰ）连结OC ，因为,OA OC D AC =⊥是的中点,所以AC OD.
又PO ⊥底面⊙O ，AC ⊂底面⊙O ，所以AC PO ⊥，
因为OD ，PO 是平面POD 内的两条相交直线，所以AC ⊥平面POD ，
而AC ⊂平面PAC ，所以平面POD ⊥平面PAC 。

……………………6分
（II ）在平面POD 中，过O 作OH PD ⊥于H ，由（I ）知，平面,POD PAC ⊥平面 所以OH ⊥平面PAC ，又PA ⊂面PAC ，所以.PA OH ⊥
在平面PAO 中，过O 作OG PA ⊥于G ， 连接HG ，则有PA ⊥平面OGH ，
从而PA HG ⊥，故OGH ∠为二面角B —PA —C 的平面角。

………9分 在2,sin 45Rt ODA OD OA ∆=⋅︒=中
在,
Rt POD OH
∆==
中
在Rt POA
∆
，
22
PO OA
OG
OA
⋅
==
=
+
在
,sin
OH
Rt OHG OGH
OG
∆
∠===
中
……………………12分
所以cos
OGH
∠故二面角B-PA-C……14分。