九人数学下册教学课件28.1 第2课时 余弦函数和正切函数

sinA =___1_3___，cosA =___1_3___，tanA =___2__，
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2 13
3 13
2
sinB =___1_3___，cosB =___1_3___，tanB =___3__. B
在直角三角形中，如果已知两
条边的长度，即可求出所有锐
3
角的正弦、余弦和正切值
C 2A
例 2 如图，在 Rt△ABC中，∠C = 90°，BC = 6，sinA
= 3 ，求 cosA，tanB 的值．
5 解：在
Rt△ABC
中，∵
sin
A
BC ，
B
AB 在AB直角三BC角形=6中 5，=如10果. 已知一
6
边长及一sin个A锐角的3某个三角函 A
C
又数∵值A，C即可A求B出2 其B他C2所有102 62 8，
锐角的三角函数值
∴ cos A AC = 4，tan B AC = 4 .
九下数学教学课件（RJ）
第二十八章 锐角三角函数
28.1 锐角三角函数
第2课时 余弦函数和正切函数
问题引入 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，当锐角 A 确
定时，∠A 的对边与斜边的比就随之确定. 此时，其他边之间的比是否也确定了呢？ B
A
C
合作探究
余弦
如图，△ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中
D. cos70°＜sin70°＜tan70°
解析：根据锐角三角函数的概念，知 sin70°＜1，
cos70°＜1，tan70°＞1. 又∵cos70°＝sin20°，正弦值
随着锐角的增大而增大，∴sin70°＞sin20°＝cos70°.
故选 D.
3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，cosA = 15 ，求
角边为 2 6x＜5x，
∴ sinα = 2 6 ，cosα = 5 .
7
7
正切
合作探究
如图， △ABC 和 △DEF 都是直角三角形， 其中
∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 BC EF 成立吗？
为什么？
B
AC DF
E
A
CD
F
∵ ∠A =∠D ，∠C =∠F = 90°，
B
∴ Rt△ABC ∽ Rt△DEF.
D
C
在 Rt△ABD 中，AD AB2 BD2 42 32 7，
∴
tanB
=
AD BD
7. 3
余弦函数 和
正切函数
余弦
在直角三角形中，锐角 A 的邻 边与斜边的比叫做角 A 的余弦
正切
在直角三角形中，锐角 A 的对 边与邻边的比叫做角 A 的正切
性质
锐角∠A 的大小确定的情况下， cosA，tanA 为定值，与直角三 角形的大小无关
=
∠A 的对边 ∠A 的邻边
BC AC
.
B
锐角 A 的正弦、余弦、正切 都是∠A 的三角函数.
对边
A 邻边 C
想一想： 如果两个角互余，那么这两个角的正切值有
什么关系？
互为倒数.
练一练 1. 如图，在平面直角坐标系中，若点 P 坐标为 (3，4)， 连接 OP，则 OP 与 x 轴正方向所夹锐角 α 的正切值
∴ BC AC . ∴ BC EF .
EF DF
AC DF
归纳：
A
C
由此可得，在有一个锐角相等
E
的所有直角三角形中，这个锐角的
对边与邻边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
D
F
如下图，在直角三角形 ABC 中，我们把锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作 tanA， 即
tanA
∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，则 AC DF 成立吗？
为什么？
B
AB DE
E
A
CD
F
我们来试着证明前面的问题：
∵∠A =∠D，∠C =∠F = 90°，
∴∠B =∠E．
从而 sinB = sinE，
因此 AC DF . AB DE
B E
A
CD
F
归纳： 在有一个锐角相等的所有直角三角形中，这个
锐角的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角
形的大小无关．
如右图所示，在直角三角形中，
B
我们把锐角 A 的邻边与斜边的比叫做 斜边 ∠A 的余弦，记作 cosA，即
cosA
=
∠A 的邻边 斜边
AC . AB
A
邻边 C
从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，有 cosα = sin(90°－α)．
(A)
A. msin 35 B. m cos35
B
m C.
D. m
cos 35
cos 35 A
C
2. sin70°，cos70°，tan70° 的大小关系是
( D)
A. tan70°＜cos70°＜sin70°
B. cos70°＜tan70°＜sin70°
C. sin70°＜cos70°＜tan70°
从而有 sinα = cos(90°－α)．
练一练
1. 在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12， 12
则 cosA＝ 13 .
2. 已知直角三角形的斜边与一直角边的比为7∶5，α 为 其最小的锐角，求 α 的正弦值和余弦值．
解：由题意设斜边为 7x，则该直角边为 5x，另一直
17
sinA，tanA 的值． 解：在 Rt△ABC 中，由 cos A AC 15，
B
AB 17
设 AC = 15k，则 AB = 17k.
A
C
∴ BC AB2 AC2 (17k)2 (15k)2 8k，
∴ sin A BC 8k 8 ， tan A BC 8k 8 .
AB 17k 17
4
为__3___.
α
2. 如图，△ABC 中一边 BC 与以 AC 为直径的 ⊙O 4
相切与点 C，若 BC = 4，AB = 5，则 tanA =__3_.
A
·O
B
C
锐角三角函数
典例精析 例 1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，BC = 6，求 sinA，cosA，tanA 的值.
5
12
5
sinA =__1_3___，cosA =___1_3__，tanA =__1_2_，
A
12
5
12
sinB =___1_3__，cosB =__1_3___，tanB =__5__. 13 12
B
C
2. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 2，BC = 3.
3 13
2 13
3
AB 5
BC 3
练一练
1. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 8，tanA =
3 ， 求 sinA，cosA 的值．
4 解：∵
tan
A
BC
3 ，∴
BC
3
AC
6.
B
AC 4
4
∴ AB AC 2BC2 82 62 10. C
8
A
∴ sin A BC 6 3，cos A AC 8 4 .
AC 15k 15
4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，CD⊥AB，垂
足为 D. 若 AD = 6，CD = 8. 求 tanB 的值.
解: ∵ CD⊥AB，∠ACB =∠ADC = 90°，
∴∠B +∠A = 90°，
∠ACD +∠A = 90°．
∴∠B = ∠ACD．
∴
tan∠B
=
tan∠ACD
=
AD CD
6 8
3. 4
5. 如图，在△ABC中，AB = AC = 4，BC = 6. 求 cosB
及 tanB 的值.
解：提过示点：A求作锐A角D的⊥三BC角于函点数D值.
A
∵ A的B问= 题AC，，当BC图=形6中，没∴有B直D =角CD = 3．
∴ c三造os角直B形角 时三BADB，角可形34以. . 作辅助线构 B
解：由勾股定理得 AC = AB2 BC2 = 102 62 = 8，
∴ sin A BC = 6 = 3，cos A AC = 8 = 4，
AB 10 5
AB 10 5
B
tan A BC = 6 = 3 .
10 6
AC 8 4
A
C
练一练
1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12，AB =13.
AB 10 5
AB 10 5
2.在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，且 sinA = 1 ，则下列
2
结论正确的是
（ D）
A. cosA = 1 2
B. tanA = 3 2
C. cosA = 3 3
D. tanA = 1
3
1. 如图，在 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 m，
∠A = 35°，则直角边 BC 的长是