05第五章 圆柱投影

这个投影是16世纪荷兰地图学家墨卡托Mercator所创造， 故又称为墨卡托投影，迄今还是广泛应用于航海、航空方面得
重要投影之一。其投影公式如下
x

Mod
lg U
y
mn
rK
P m2
等角航线

r
0
等角航线是地面上两点之间得一条特殊得定位线，它是两 点间同所有经线构成得相同方位角得一条曲线。等角航线又名为
a2 1 y2 y1 则： tg a ln U 2 a ln U1 x2 x1
通过上式，即可证明两点间得等角航线在墨卡托投影中表
现为与 x 轴相交成
角的直线。
ABC中有如下关系式
等角航线的弧长自微分三角形
AC Md dsm
则可得：
CAB
dsL dsm sec 按纬度积分即得：
x f ( z)
y a
式中x、y为投影后的直角坐标，α为常数，a、z为斜轴和 横轴的极面坐标。X轴与通过Q的经线（直线）相合，当横轴 时与投影区域中央经线相合，取赤道或制图区域最低纬度与x 轴相交之点作为坐标原点。
斜轴或横轴圆柱投影的计算步骤如下： 1.确定球体半径R； 2.对于斜轴选定Q的 0 ， 0 ，对于横轴选定中 央经线，即 C ； 3.根据规定的经差与纬差（经纬网密度）把制图 区域内经纬线交点的地理坐标 、 换算 为 、 z ； 4.计算投影，即投影半径、长度比、面积比及最

上列公式中，常数c是根据切圆柱还是割圆柱投影来确定。
在切圆柱投影中，圆柱面切于赤道（如下图），则
0 0
c c 1 因此， 于是 n0 r0 R cos 0
c R cos 0 R
在割圆柱投影中，圆柱面割于赤道南北两条同名纬线 k 上，则：
c nk 1 rk
恒向线、斜航线。它在墨卡托投影中的表象成为两点之间的直线。
墨卡托投影是等角投影，而经线有事平行直线，那么两
点间的一条等方位曲线在该投影中当然只能是连接两点的一条
直线。这个特点就是墨卡托投影之所以被广泛应用于航海、航 空方面的原因。
如下图：
等角航线的方位角为 ，由微分三角形 ABC可得
BC N cos d tg AC Md
m dx Md
n

r
而面积比与最大角度变形得一般公式为：
P ab mn
a b sin 2 ab

或
tg 45 4
a b
这就是圆柱投影得一般公式。
等角圆柱投影（墨卡托投影）
等角、等距离、等面积或其它圆柱投影，当投影面与地球
相对位置一定得情况下，其差别仅是
tg 45 2 此处 ln U ln tg e 45 2
(1)
sin e sin C为积分常数
当 0 时，x 0 ，故 C 0 。 则将（1）式化为以10为底的对数，则上式成为：
x

Mod
lg U 式中Mod＝loge=0.4342945
圆柱投影示意图如下:
根据经纬线表象特征，不难看出，投影直角 坐标x、y分别是φ、λ的函数，而且y坐标简单与 经差成正比。由此可以写出一般公式:
x f ( )
y
式中函数f取决于投影变形性质。a为一常数，当 相割时小于a。
圆柱面与地球相切时（于赤道上）时，等于赤道半径a，
上图中，在地球面上微分弧AB＝rd ，微分弧AD＝BC
1
2
1 cos 2 sin 2
圆柱投影变形及其应用
圆柱投影仅随纬度变化而变化，在同纬度上各点的变形相 成为平行直线。 圆柱投影中变形变化的特征是以赤道为对称轴，南北同名 纬线上的变形大小相同。 在切圆柱投影中，赤道上没有变形，自赤道向两侧随着纬 度的增加而增大。
同而与经度无关。因此，在圆柱投影中，等变形线与纬线相合，

斜轴与横轴圆柱投影
正轴投影一般来说最适宜于低纬度沿纬线伸展的地区。
如果制图区域是沿一大圆方向伸展或者 沿经线方向伸展，
这时就应该考虑斜轴或横轴圆柱投影，以使变形减少。 在斜轴或横轴圆柱投影中，通常把地球当作半径为R的 球体，应用球面极坐标 ， 为 Q 0 , 0 ，是通过制图区域延伸方向大圆的天顶。 在斜轴或横轴的情况下，垂直圈投影成为平行直线，间
在割圆柱投影中，在两条标准纬线上没有变形，自标准纬
线向内（向赤道）及向外（向两极）增大。
任何方向的长度比均相等，也就是没有角度变形，即：
mn
dx m Md dx Md
a n r
由此可求定 x f ，将上式移项积分：
dx
Md 1 e2 d 2 2 r 1 e sin cos


x ln U C
2 sL s sec 1
式中
2 s 为纬度为 1 、 2 间子午线弧长， 为等角 1
航线得方位角。 当把地球当作球体，则等角航线弧长化为：
sL
R

2 1 sec
等角航线是两点间对所有经线保持等方位角得特殊曲线，
所以它不是大圆（对椭球体而言不是大地线），也就不是两点 间的最近路线，它与经线所交的角度，也不是一点对另一点 （大圆弧）的方位角。它是以极点为渐进点的螺旋曲线。 等角航线有两种极限情况：
x R 90


y R 90 z


1 1
P 2
2 csc z
a b 1 2 sin 2 ab 1 2

如以地理坐标代入，则有：
x R arctg (tg sec )
y R arcsin(cos sin )
故
M d d tg N cos
上式予于积分得： 即：

2
1
d tg
2
1
M d N cos
2 1 tg ln U 2 ln U1 等式两边各乘以 a 此时 a 得：
a2 1 tg a ln U 2 a ln U1
z
，它的原点（称为新极）
隔与方位角
成正比，等高圈投影也成为平行直线，且与垂直
圈正交，这种情况相当于正轴投影中纬线。
的投影。而经纬线投影一般为曲线，仅通过Q点的经线投影 为直线且为投影的对称轴（中央经线）。在这种情况下主方 向与垂直圈及等高圈相合。故沿垂直圈长度比 1 与沿等高圈 长度比 2 即为极值长度比 斜轴与横轴圆柱投影的一般公式为：
所以，
c rk R cos k
通常采用投影区域的中央经线
区域最低纬度为
y 轴。
0 作为 x
轴，赤道或投影
在正轴圆柱投影中经纬正交，故沿经纬线长度比就是极值
长度比（即 m a， n b 或 m b ， n a ）。
对方程式求偏导
x f ( ) y

1.方位角
2.方位角
0
，
2 1 0即等角航线与经线
相合（起始两点在同一经线上）。
90 ，则
2 1 ln tg 45 ln tg 45 2 2
tg
2 1
因
tg tg90 ，故必须有 2 1 ，即
条件式（假定在正轴情况下）：
x的表达式，也就是 x大
小的差别。为此我们先提出等角、等距离、等面积投影的统一
m nN
显然，当 显然，当
N 1 时，构成等角条件： m n N 0 时，构成等距离条件： m 1
1 显然，当 N 1时，构成等面积条件： m n
在等角圆柱投影中，微分圆的表象保持为圆形，即一点山
大角度变形。
横切圆柱等角投影
横切圆柱等角投影也就是横轴墨卡托投影。圆柱面在 制图区域的中央经线上。把地球椭球体作为球体时，在中
央经线上长度比
变形
C 0，其余点上 1 2
，角度
0
。
相当于 ， 90 z 相当于 ，因此我们写出横切圆柱 等角投影公式：
和正轴圆柱等角投影相比，x 、y相互易位，而且
1 1 2 sin z
1 1 cos 2 sin 2
P
1 1 cos 2 sin 2
0
在横切圆柱等距离投影中，圆柱面切于制图区域中央经
线上，其长度比 C 1 ，同时垂直于中央经线的一切大圆无 长度变形。参考前面的公式，也可得到其公式。
横切圆柱等距离投影的公式
在切圆柱投影中圆柱面切于赤道如下图则于是因此通常采用投影区域的中央经线作为轴赤道或投影区域最低纬度为在正轴圆柱投影中经纬正交故沿经纬线长度比就是极值长度比即对方程式求偏导确定高斯系数mddxmnab这就是圆柱投影得一般公式
第五章 圆柱投影
圆柱投影

圆柱投影的定义

圆柱投影的分类
墨卡托投影 斜轴和横轴圆柱投影 圆柱投影变形及其应用
＝ 段
Rd ，在投影面上：微分线段 AB dy AD dx ，则有：
AD dx m AD Rd
，微分线
AB dy cd c n AB rd rd r
dx c cdx P mn 2 Rd r R cos d
mn sin 2 mn
式中
x Md C s C
xs
另一个坐标
y 和变形表达式的推导，与等角圆柱投影相
同。但须指出，在切圆柱投影中，如把地球当作球体，则
x R
y R
由上式可见，这时经纬网的表象成为正方形的格子，故 该投影又称为方格投影。
等面积圆柱投影
1 或 故有： mn 1 即： m n



一、圆柱投影的定义
几何概念：以圆柱面作为投影面，按某种投影 条件，将地球椭球面上的经纬线投影于圆柱面上，并 沿圆柱的母线切开成一中投影。
二、圆柱投影的分类
正轴圆柱投影
横轴圆柱投影
斜轴圆柱投影ຫໍສະໝຸດ 正轴圆柱投影定义：纬线投影为一组平行直线，经线 投影为与纬线正交的另一组平行直线，两经线间的间 隔与相应的经度差成正比。
2
确定高斯系数
x E
y
2
dx d
2
2
F
x x y y 0
x y 2 G
2
代入长度比一般公式中，得圆柱投影沿经纬线长度比一般公 式：
在上式中尚有一个常数需要确定，为此令纬度 尚长度比 nK 1，则
nK

K
rK
1
故得
rK
K 0 时， a
这就是割圆柱投影常数，rK 为所割纬线半径。 特别当
这就是切圆柱投影常数， a 为赤道半径。 得到了 ，可得本投影长度比公式： 割圆柱 切圆柱
rR mn r a mn r

等角航线与纬线相合（起始两点在同一纬线上）。
其它圆柱投影
除等角圆柱投影外，其它圆柱投影应用较少，所以我们仅
简单介绍其特点。
等距离圆柱投影 由上一节可知，当
N 0 时，即得等距离条件，故有：
dx m 1 Md
s 为由赤道到 的子午线弧长，C 为常数，当横坐 标轴与赤道相合， 0 时， x 0 ，故 C 0 ，即


x R 90



R z y lg ctg Mod 2
1 2 csc z
P csc 2 z
0
如以地理坐标带入，则有
x Rarctg (tg sec )
1 cos sin R 1 y lg Mod 2 1 cos sin
由上一节可知，当 N
1时，即得等距离条件，
dx mn 1 Md r
将上式移项，积分得： x 式中 S
1

S C
到 的椭球体上得梯形面积。当 0时， x 0 1 故C 0 ，则


0
Mrd 是经差一弧度，纬差由赤道
x S
此处的 及
y 的求法与等角圆柱投影相同。