8位移法2
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《结构力学习题集》第8章位移法
第8章 位移法习 题一、判断题：1、位移法未知量的数目与结构的超静定次数有关。
（ ）2、位移法的基本结构可以是静定的，也可以是超静定的。
（ ） 4、位移法典型方程的物理意义反映了原结构的位移协调条件。
（ ）5、图示结构，当支座B 发生沉降∆时，支座B 处梁截面的转角大小为12./∆l ，方向为顺时针方向，设EI =常数。
（ ）6、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为(/)38l θ（向下）。
（ ）2θθC7、图示梁之EI =常数，固定端A 发生顺时针方向之角位移θ，由此引起铰支端B 之转角（以顺时针方向为正）是-θ/2 。
（ ）8、用位移法可求得图示梁B 端的竖向位移为ql EI 324/。
（ ）q9、结 构 按 位 移 法 计 算 时 ， 其 典 型 方 程 的 数 目 与 结 点 位 移 数 目 相 等 。
（ ） 10、位移法求解结构内力时如果P M 图为零，则自由项1P R 一定为零。
（ ） 11、超 静 定 结 构 中 杆 端 弯 矩 只 取 决 于 杆 端 位 移 。
（ ） 12、图示梁之 EI =常数，当两端发生图示角位移时引起梁中点C 之竖直位移为(/)38l θ（向下）。
2θθC二、填空题：13、判断下列结构用位移法计算时基本未知量的数目。
（1） （2） （3）（4） （5） （6）EIEIEIEI 2EI EI EIEIEA EA ab EI=EI=EI=24442第13题14、位移法可解超静定结构、静定结构，位移法典型方程体现了_______条件。
15、图示梁A 截面的角位移φA = ____________。
（杆长l，荷载作用在中点）16、图示结构，M AB = __________。
17、图示刚架，各杆线刚度i 相同，不计轴向变形，用位移法求得 M AD = ，M BA =___________。
Di i i A4518、图示结构M BA 的值为_____________,________________侧受拉。
第八章位移法new
1）在B结点增加附加转动约束（附加刚臂）( )。
附加转动约束只能阻止刚结点的转动，不能阻止结
点之间的相对线位移。此时产生固端弯矩
M
F。
BC
q
锁A 住
B 0
B
C
q
M
F BA
0,
M
F BC
ql2 。 8
B
M
F BC
C
2）令B结点产生转角
(
B
)。此时AB、BC杆类似
于B端为固端且产生转角 B 的单跨超静定梁。 4
20
三. 固端弯矩
单跨超静定梁在荷载作用下产生的杆端弯矩称为 固端弯矩。固端弯矩以顺时针方向为正，逆时针方向 为负。
1. 两端固定的梁：
q
ql 2 12
A
ql 2 24
l
ql 2 12 FP l 8
B
A
FP
FP l 8
B
FP l
l/2
8
l/2
M
F AB
ql 2 12
,
M
F BA
ql 2 。 12
增加附加链杆：
B EA C
Z1 BH CH
B EA = 有限值 C
Z1 BH
Z2 CH
A
DA
Z3 D
D
Z1 B
Z2 C
C
Z1 B
Z4 BH B
A
C
Z5 CH
Z2
B
BH
E A
D
当BD杆： EI无限大
D
？
12
§8-2 等截面直杆的刚度（转角位移）方程
矩阵位移法的计算步骤及示例
单元①②和③：
35
⎡ 500 0 0 − 500 0 0 ⎤
⎢ ⎢
0
12 24
0
− 12
24
⎥ ⎥
(1)
k
=
(2)
k
=
(3)
k
=
10
3
⎢ ⎢⎢−
0 500
24 0
64 0
0 − 24 32 ⎥
500 0
0
⎥ ⎥
⎢ 0 −12 − 24 0 12 − 24⎥
⎢ ⎢⎣ 0
24 32
0
− 24
⎥ 64 ⎥⎦
8-8 矩阵位移法的计算步骤及示例 1
矩阵位移法的计算步骤：（以后处理为例）
（1）对结点和单元进行编号，建立结构（整
体）坐标系和单元（局部）坐标系，并对结
点位移进行编号。
（2）计算各杆的单元刚度矩 k (e)、k (e) 。
（3）形成结构原始刚度矩阵K。
（4）计算固端力
F
(e) F
、等效结点荷载FE及综合
⎢⎣0.0 0.0 6.0 12.0⎥⎦
由于连续梁的单元刚度矩阵为非奇异矩阵， 由此组集而成的结构刚度矩阵K 也是非奇异 的，故无需再进行支座约束条件处理。
（4）计算固端力列阵及等效结点 15 荷载列阵。
②单元的固端力列阵
F (2) F
=
⎧ 300 ⎫ ⎩⎨− 300⎭⎬kN
⋅
m
等效结点荷载列阵：
k(3)
=
⎢ ⎢ ⎢
l(3) 2EI
⎢⎣ l ( 3 )
4
2EI l(3) 4EI l(3)
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
3 4
（3）集成结构刚度矩阵K
结构力学第8章位移法
结构力学第8章位移法位移法是结构力学中一种常用的分析方法。
它基于结构物由刚性构件组成的假设，通过计算结构在外力作用下产生的位移和变形，进而推导出结构的反力和应力分布。
位移法的基本思想是将结构的局部位移组合成整体位移，通过建立位移和反力之间的关系，解决结构的力学问题。
位移法的分析步骤通常包括以下几个方面：1.建立结构的整体位移函数。
位移函数是位移法分析的基础，通过解结构的运动方程建立结构的位移与自由度之间的关系。
2.应用边界条件。
根据边界条件，确定结构的支座的位移和转角值。
支座的位移和转角值可以由结构的约束条件和外力产生的位移计算得出。
3.构建位移方程组。
将结构的整体位移函数带入到结构的平衡方程中，得到位移方程组。
位移方程组是未知反力系数的线性方程组。
4.解位移方程组。
通过解位移方程组，求解未知反力系数。
可以使用高斯消元法、克拉默法则或矩阵方法等解方程的方法求解。
5.求解反力和应力分布。
通过已知的位移和未知的反力系数，可以计算出结构的反力和应力分布。
这些反力和应力分布可以进一步用于结构的设计和评估。
位移法的优点是适用范围广泛，适合复杂结构的分析。
它可以处理线性和非线性的结构，包括静力学和动力学的分析。
同时，位移法具有较高的精度和准确度，在结构的分析和设计中得到广泛应用。
然而，位移法也存在一些限制。
首先，位移法假设结构是刚性的，忽略了结构的变形和位移过程中的非线性效应。
其次，位移法需要建立适当的位移函数，对于复杂结构来说，这是一个复杂和困难的任务。
此外，位移法在处理大变形和非线性结构时可能会遭遇困难。
综上所述，位移法是结构力学中一种重要的分析方法。
它通过计算结构的位移和变形，推导出结构的反力和应力分布，为结构的设计和评估提供基础。
然而，位移法也存在一些限制，需要在具体的分析问题中谨慎应用。
位移法知识讲解
第8章 位移法
§8-1 形常数与载常数 §8-2 位移法Ⅰ—直接平衡法 §8-3 位移法Ⅱ—典型方程法 §8-4 对称性利用 §8-5 支座位移和温度变化时的计算 §8-8 小结
8-1 形常数与载常数
基本构件
形常数 三类基本构件由于杆端单位位移所引起的杆端弯矩和剪力.
载常数 三类基本构件在荷载作用下的杆端弯矩和剪力
8-2位移法Ⅰ——直接平衡法
q=20kN/m
A 4I0 4m
B 5I0 3I0 E
5m
C 4I0 D 3I0
F 4m
4m 6m
MCB 2iBC 1 4iBC 2 MCFB 21 42 41.7
MCD 3iCD 2 3 2
MBE 4iBE 1 3 1
MEB 2iEB 1 1.5 1
MCF 4iCF 2 2 2
将系数和自由项代入方程，解得
35.5
1 3.24 / i 2 0.534 / i
2.9
13
2.1
（4）利用叠加原理，做弯矩图
M图
6.5
1
8-3 位移法Ⅱ——典型方程法
【例题】 试做图示刚架的弯矩图。
FP FP iEI1=∞ i
i EI1=∞i
ll
1 2
基本结构
解 （1）选择基本结构 （2）建立位移法方程
EI
EI
Δ1
Δ2
4m
4m
2m 2m
解 （1）选择基本结构
（2）建立位移法方程 k11 1 k12 2 F1P 0 k21 1 k22 2 F2P 0
基本结构
8-3 位移法Ⅱ——典型方程法
(3)求系数和自由项，解方程
k11 1 1 4i
k21
§8-1 形常数与载常数 §8-2 位移法Ⅰ—直接平衡法 §8-3 位移法Ⅱ—典型方程法 §8-4 对称性利用 §8-5 支座位移和温度变化时的计算 §8-8 小结
8-1 形常数与载常数
基本构件
形常数 三类基本构件由于杆端单位位移所引起的杆端弯矩和剪力.
载常数 三类基本构件在荷载作用下的杆端弯矩和剪力
8-2位移法Ⅰ——直接平衡法
q=20kN/m
A 4I0 4m
B 5I0 3I0 E
5m
C 4I0 D 3I0
F 4m
4m 6m
MCB 2iBC 1 4iBC 2 MCFB 21 42 41.7
MCD 3iCD 2 3 2
MBE 4iBE 1 3 1
MEB 2iEB 1 1.5 1
MCF 4iCF 2 2 2
将系数和自由项代入方程，解得
35.5
1 3.24 / i 2 0.534 / i
2.9
13
2.1
（4）利用叠加原理，做弯矩图
M图
6.5
1
8-3 位移法Ⅱ——典型方程法
【例题】 试做图示刚架的弯矩图。
FP FP iEI1=∞ i
i EI1=∞i
ll
1 2
基本结构
解 （1）选择基本结构 （2）建立位移法方程
EI
EI
Δ1
Δ2
4m
4m
2m 2m
解 （1）选择基本结构
（2）建立位移法方程 k11 1 k12 2 F1P 0 k21 1 k22 2 F2P 0
基本结构
8-3 位移法Ⅱ——典型方程法
(3)求系数和自由项，解方程
k11 1 1 4i
k21
位移法
F B 端为铰支座固端弯矩 M AB 由上式得： F M BA F F 铰 支 M AB M AB (c) 2 B 端为滑动支座：q B FQBA 0
P M A 0 FQBAl M AB M BA M A 0
把式(a) 、(b)代入上式，得：
D F F P 6iq A 12i M AB M BA M A P M AB M BA M A l FQBA 0 l l F F P 6iq Al M ABl M BAl M A l 1 l F F P D q Al ( M AB M BA M A ) (d) 12i 2 12i
§8-3 无侧移刚架的计算
1、无侧移刚架基本未知量的判定：
其位移法基本未知量数目
结构上刚结点的独立角位移数 等于结构上的自由刚结点数 。
(a)
1 D E 2 C F
A
(b)
B
D
EA=
C
1 C
B
1 A
2 B
A
(c)
(d)
说明：
1）强调位移法基本未知量是结 构中自由结点上的独立结点位移。 结点上的独立角位移是自由刚结 点上的角位移。
(2) B 端为铰支座
式(8-5)中
M BA 0
，得：
D M AB 4iq A 2iq B 6i L D 0 2iq A 4iq B 6i L
整理上式得：
M AB
D 3iABq A 3i L
(8-9)
(3) B 端为滑动支座
代入(8-5)式，得：
D 1 qA 式(8-6)中 q B FQAB FQBA 0 ，得： L 2
(8-10)
第8章 位移法
第8章 位移法§8-1 概述§8-2 等截面直杆的转角位移方程§8-3 位移法的基本未知量和基本结构§8-4 位移法的典型方程及计算步骤§8-5 直接由平衡条件建立位移法基本方程§8-6 对称性的应用2021-5-1212021-5-12 1§8-1 位移法的基本概念内力对于线弹性结构位移位移内力两种方法的基本区别之一，在于基本未知量的选取不同：力法是以多余未知力（支反力或内力）为基本未知量，而位移法则是以结点的独立位移（角位移或线位移）为基本未知量。
用位移法分析结构时，先将结构拆分成单个的杆件，进行杆件受力分析（建立杆件的转角位移方程）；再将杆件组装成原结构，利用结点和截面平衡条件建立位移法方程，解出结点位移，再由转角位移方程求出内力。
2021-5-121一、引例1. 确定基本位移未知量图a所示两跨常刚度连续梁，抗弯刚度为EI。
忽略二杆的轴向变形，B结点不会发生线位移，而仅会产生角位移，设此角位移为Z1。
因B结点刚结两梁段于B端，从而保证两梁段在B端有相同的角位移，均为Z1。
2021-5-1212. 分列各组成杆的转角位移方程AB和BC二杆在B端具有相同的角位移和零线位移后，因此可将二杆在B端处分开，单独分析。
2021-5-1211）AB杆2）BC杆2021-5-1213. 通过B结点的平衡条件求出Z1由B结点的平衡可得2021-5-1214. 将Z1代回转角位移方程，求出各杆端弯矩2021-5-1212021-5-121二、其他示例（a） 若略去受弯直杆的轴向变形，并不计由于弯曲而引起杆段两端的接近，则可认为三杆长度不变，因而结点A没有线位移，而只有角位移。
对整个结构来说，求解的关键就是如何确定基本未知量q A的值。
2021-5-1212021-5-121三、位移法计算原理思路小结1. 把结构在非支座结点处拆开，将各杆视为相应的单跨超静定梁。
第8章位移法学习
r12 Z 2 r22 Z 2
R1P R2P
0 0
位移法典型方程
物理意义
基本结构在荷载等外因和各结点位移的共同作用下，每一个附加联系上的 附加反力矩和附加反力都应等于零。
原结构的静力平衡条件
第14页/共39页
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
为求系数和自由项，绘弯矩图如图a、b、c。
r11 7i
第17页/共39页
§8-4 位移法的典型方程及计算步骤
对于具有n个独立结点位移的结构，可建立n个方程如下
r11Z1 r1i Zi r1nZn R1P 0
ri1Z1 rii Zi rin Zn RiP 0
rn1Z1 rniZi rnnZn RnP 0
112EI
r11 10m r22 1000m3
r12
r21
6EI 100m
2
解得
Z1
232.7kN EI
m2
660.4kN m3
Z2
EI
R1P 100kN m R2P 60kN
由 M M1Z1 M 2Z2 M P
第28页/共39页
§8-7 有侧移的斜柱刚架
图a所示为一具有斜柱的刚架发生结点线位移的情形。A、D是不动的。
B点：当位移很小时，在垂直AB方向上运动。
C点：BC杆平移至B’C’’，CC’’=BB’。 C’’在垂直B’C’’方向上运动， 作C’’C’垂直于B’C’’。 同理，作CC’垂直于DC。 CC’与C’’C’的交点C’即C位移后的位置。
在图b中任选一点O为不动点→极点，AD与O重合。 作OB垂直于杆AB；过B作杆BC的垂线；过O作杆CD 的垂线，得交点C。
解： 刚架有一个独立的结点角位移Z1，一个独立的结点线位移Z2。基本体系 如图b所示。
位移法
示。基本结构的变形与原结构是相同的，要使它们受力也相同，则
基本结构在荷载与Z1、Z2的共同作用下，附加联系(含附加刚臂及附 加链杆)处的反力矩及反力应为零(因为原结构不存在这些约束)，假 设附加刚臂处的反力矩为 R1，附加链杆处的反力为R2，则
R1 0 R2 0
(a)
设由Z1、Z2及荷载引起的附加刚臂上的反力矩为R11、R12、R1P，
“附加链杆”阻止结点的移动。位移法中的基本未知量用Z表示，
这是一个广义的位移，并用“ ⌒”及“→”分别表示原结点处
的角位移、线位移的方向，加在附加刚臂及附加链杆处，以保证 基本结构与原结构变形是一致的，如图8-5(c)、(f)。 对于图8-7(a)所示刚架，刚结点E、G的转角为基本未知量，分别 用Z1、Z2表示，铰结点处的竖向线位移也是一个基本未知量用Z3 表示，基本结构为图8-7(b)。图8-7(c)所示刚架，F为一组合结点， 即BF、EF杆在F处为刚结,该结构
(8-4)
式(8-3)称为图8-4(a)所示单跨梁的转角位移方程。式(8-3)还 可由式(8-1)推出，由MBA=0可得(荷载项单独考虑)
2i A 4i B
6i AB 0 l
(a)
B
1 3 ( A ab ) 2 l
将(a)式代入式(8-1)第一式可得
M AB 4i A 2i[ 3i A 1 3 6i ( A AB )] AB 2 l l
l
独立的角位移数目也就是刚结点的数目。图8-5(d)所示刚架，
E为铰结点，汇交于E结点的三根杆件各杆端转角由上节可
知不是独立的，故该刚架,
。 n 2, n 1.
l
独立的线位移数目，对于较复杂的结构无法直接观察而得，可采
结构力学 第8章 位移法
6
杆端内力、位移的符号规定： 杆端内力、位移的符号规定：
●
杆端弯矩: 表示AB杆 端的弯矩 绕杆端顺时针 端的弯矩。 顺时针为正 杆端弯矩: MAB表示 杆A端的弯矩。绕杆端顺时针为正 杆端剪力：绕隔离体顺时针转为正(同前) 杆端剪力：绕隔离体顺时针转为正(同前)。 顺时针转为正 结点转角： 顺时针转为正。 结点转角：以顺时针转为正。 转为正 杆端的相对线位移：使杆件弦转角顺时针转动为正。 杆端的相对线位移：使杆件弦转角顺时针转动为正。 弦转角顺时针转动为正
1 2 3
杆14, 36: 两端固定
4 5 6
基本未知量3个。 基本未知量 个
杆12, 23, 25: 一端固定 一端铰结
23
又例:
m m
原结构
次超静定） （4次超静定） 次超静定
基本结构
次超静定） （5次超静定） 次超静定
24
§8—4 位移法的典型方程及计算步骤 4
基本未知量为: 基本未知量为:Z1、Z2 。 基本结构如图。 基本结构如图。 R1—附加刚臂上的反力矩 附加刚臂上的反力矩 F R2—附加链杆上的反力 附加链杆上的反力 l 据叠加原理, 则有 据叠加原理, 2 R1=R11+R12+R1P=0 R2=R21+R22+R2P=0
EI
可见， 不独立, 代入第一式: 可见，B=f (A、△AB), 不独立 代入第一式 MAB=3iA 式中 （转角位移方程） 转角位移方程） （固端弯矩） 固端弯矩）
l
t2
16
§8—3 位移法的基本未知量和基本结构 3
1.位移法的基本未知量 1.位移法的基本未知量
位移法的基本未知量是各结点的角位移和线位移, 位移法的基本未知量是各结点的角位移和线位移, 计算时应 各结点的角位移 独立的角位移和 数目。 首先确定独立的角位移 线位移数目 首先确定独立的角位移和线位移数目。 (1) 独立角位移数目 同一刚结点,各杆端转角相等一个独立的角位移未知量。 一个独立的角位移未知量 同一刚结点,各杆端转角相等一个独立的角位移未知量。 固定支座处，转角=0,已知量; =0,已知量 固定支座处，转角=0,已知量; 铰结点或铰支座各杆端的转角不独立，不必作为基本未知量。 铰结点或铰支座各杆端的转角不独立，不必作为基本未知量。 独立角位移数目= 独立角位移数目=结构刚结点的数目
第8章_位移法
k11
MP
3i
3
1
k11 4i 3i 7i
4i
将以上两式代入基本方程，得：
kR1111
4i
1
2
3Pl 7i Z1 16 0
1=Z1
Z1=
3i 1
3Pl Z1 112i
3
2i
M1
4、根据叠加原理作最后弯矩图
M M1Z1 MP
3Pl Z1 112i
3Pl 28
1
2
11Pl 56
3
3Pl 56
1
M 2
X2=1 1/l
l 3EI
X1
l 6EI
X2
l
A
l 6EI
X1
l 3EI
X2
l
B
A
fA
X1
fB
令 i EI l 线刚度
X1
4i A
2iB
6i l
X1=1
X2
2i A
4iB
6i l
1
M AB
4i A
2i B
6i l
M BA
2i A
4i B
6i l
M 1
M 2
X2=1
VAB
M AB
M BA l
C
D
C
D
1
C
D
A
B
A
B
1
试确定图示结构的独立线位移数
4
0
3、位移法的基本未知数
n n nl
例：确定结构按位移法求解的基本未知数
n 4 n n nl 4 2 6
nl 2
思考：确定结构按位移法求解的基本未知数
n n nl 6 2 8
结构力学 第8章 位移法
B B
3i
1
0 0
l
3i
l
3i
l2
A
θ=1
B
i
－i
0
二、由外部荷载求固端反力矩
mAB q
EI l
q EI l mBA
mAB
ql 2 8
ql 2 mBA 8
» 在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力 一般公式（转角位移方程）： AB 4i A 2i B 6i m AB M
位移法：以某些结点位移基本未知量
用力法求解，有6个未知数。 用位移法求解，未知数=
？个。
5.力法与位移法的适用范围：
力 法: 超静定结构
位移法：超静定结构，也可用于静定结构。 一般用于结点较少而杆件较多的刚架。
位移法正负号规定
★杆端角位移、杆两端相对线位移（侧移）Δ ：顺时针为正 ★ 杆端弯矩：绕杆端顺时针为正、绕结点逆时针为正
综上所述，位移法的基本思路是： 1. 在原结构产生位移的结点上设置附加约束，使结点 固定，从而得到基本结构，然后加上原有的外荷载；
２. 人为迫使原先被“固定”的结点恢复到结构原有的 位移。
通过上述两个步骤，使基本结构与原结构的受力和变 形完全相同，从而可以通过基本结构来计算原结构的内力 和变形。
位移法中需要解决的问题：
2. 回顾力法的解题思路
先求多余未知力 结构内力
结构位移
具体解题过程：
超静定结构 拆成基本结构 加上某些条件
位移条件（力法典型方程）
3. 反推位移法的解题思路
先求某些结点位移 结构内力
具体解题过程：
结 构 拆成单根杆件 的组合体
1.杆端位移协调条件
2.结点平衡条件
矩阵位移法的计算步骤及标准规定样式
1
2
3
4
K
=
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
k (2) 11
18 19 20 23 24 25
（2）形成局部坐标系中的单刚23
桁架各杆单元的单元刚度矩阵为4×4阶的， 即：
⎡ 1 0 −1 0⎤
(e)
k
=
EA(e) l (e)
⎢ ⎢
0
⎢− 1
0 0
0 1
0⎥⎥ 0⎥
⎢ ⎣
0
0
0
0⎥⎦
（3）计算结构坐标系中的单刚 24
单元(1)：θ (1) = 30D sin θ = 1/ 2 cosθ = 3 / 2
30 32 35 36 37
（2）形成局部坐标系中的单刚34
先将所需有关数据计算如下：
EA = 500 ×103 kN/m l
6EI = 24 ×103 kN l2
2EI = 32 ×103 kN ⋅ m l
12EI = 12 ×103 kN/m l3 4EI = 64 ×103 kN ⋅ m l
各单元的杆端弯矩为：
F (1)
=
k (1 )δ (1 )
=
k
(
1
)
⎧θ ⎩⎨θ
1 2
⎫ ⎬ ⎭
=
⎡8 ⎢⎣4
4⎤ 8⎥⎦
×
10
4
kN
⋅
⎧ 1.78 ⎫ m⎨ ⎬
⎩- 3.57⎭
×
10
−3
=
⎧ ⎩⎨−
0⎫ ⎬kN
214⎭
⋅
m
18
F(2)
=
k ( 2 )δ ( 2 )
+
F (2) F
第8章 位移法
(非独立线位移)
M
q
FP
应用以上三组转角位移方程，即可求出三种基本的单跨超静定梁 的杆端弯矩。至于杆端剪力，则可根据平衡条件导出为
FQAB FQBA
M AB M BA 0 ( ) FQAB l M AB M BA 0 ( ) FQBA l
0 F0 式中，QAB 和 FQBA 分别表示相当简支梁在荷载作用下的杆 端弯矩。
k11 Z 1 F1P 0
这就是求解基本未知量Z1的位移法基本方程，其实质是平衡条件 。
为了求出系数k11和自由项F1P，可利用表8-2和表8-1，在 基本结构上分别作出荷载作用下的弯矩图（MP图）和 Z1=1引起的弯矩图（ M 1 图）。
F1P
FP l 8
FP
FP l 8 C 4i
k11 Z 1=1 A 4i
c) 基本体系 C
A Z1
三、位移法方程
l/2 l/2 FP lFP l/2 /2 A A Z 1Z
1
C C Z1 Z
1
F1=0F1=0 FP Z1 Z1 A A Z1 Z Z1 Z1 1
FP
C
F1P
F1P A
FP
FP
C
C
A
C
EI =常数 B
l
EI =常数
B
l
c)
B
基本体系
B
B
d)
B
锁住结点
F11 A C
Z3 Z5
n n y nl 42 6
Z4 F E G
a)
原结构
D A B E G H
c)
“增设链杆”
D G E H
①
A
③
《结构力学》第八章-位移法
(5) 按叠加法绘制最后弯矩图。
18
例 8—1 图示刚架的支座A产生了水平位移a、竖向位移b=4a
及转角=a/L，试绘其弯矩图。
L
解：基本未知量 Z 1(结点C转角)； C EI
B C Z1
B
基本结构如图示；
2EI
建立位移法典型方程： r11Z1+R1△=0
A Z1
基本结构 A
为计算系数和自由项，作
链为了杆能数简，捷即地为确定原出结结构构的的独独立立线线位
(b)
移位移数数目目(见，可图以b)。
11
2.位移法的基本结构
用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静
定梁。因此，位移法的基本结构就是把每一根杆件都暂时变为一根
单跨超静定梁(或可定杆件)。通常 的做法是，在每个刚结点上假想 1
构在荷载等外因和各结点位移共同作用下，各附加联系上的反力矩
或反力均应等于零的条件，建立位移法的基本方程。
(3) 绘出基本结构在各单位结点位移作用下的弯矩图和荷载作
用下(或支座位移、温度变化等其它外因作用下)的弯矩图，由平衡
条件求出各系数和自由项。
(4) 结算典型方程，求出作为基本未知量的各结点位移。
正。
B
B
B′
X2
X3
M1图
1
M
图
2
7
将以上系数和自由项代入典型方程，可解得 X1=
X2=
令
称为杆件的线刚度。此外，用MAB代替X1，用
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(8—1）
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆
结构力学第8章
(h)
1 1 ∆ AB ′ θ A = θ A +θ ′′ = M AB − MBA + 3i 6i l (c) 1 1 ∆ AB ′ θ B = θ B +θ ′′ = − M AB + MBA + 6i 3i l
(2) B端为定向支承，如图(d)所示。 B端为定向支承 如图(d)所示。 端为定向支承， (d)所示
1. 位移法的基本未知量的数目(至少要求出多少个位 位移法的基本未知量的数目( 移未知量) 移未知量) 2. 单跨超静定梁分析 相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。 3. 相应于基本未知量的位移法方程如何建立和求解。
在本节中，我们讨论第一个问题， 在本节中，我们讨论第一个问题，位移法的基本未 知量的数目及相应的位移法基本结构。其它两个问题， 知量的数目及相应的位移法基本结构。其它两个问题， 后面讨论。 后面讨论。 为了将原刚架的各杆变成单跨超静定梁， 为了将原刚架的各杆变成单跨超静定梁，可以在原 刚架的结点上引入某些附加约束 刚架的结点上引入某些附加约束 如：附加的刚臂（阻止结点转动的约束） 附加的刚臂（阻止结点转动的约束） 附加链杆（阻止结点线位移的约束） 附加链杆（阻止结点线位移的约束） 引入附加的刚臂 附加链杆后 使得结构的结点 附加的刚臂或 结点变 引入附加的刚臂或附加链杆后，使得结构的结点变 固定端或铰支端，而各杆成为单跨超静定梁。 成固定端或铰支端，而各杆成为单跨超静定梁。所得的 结构即为位移法计算时的基本结构 位移法计算时的基本结构。 结构即为位移法计算时的基本结构。 而结构独立的基本未知量数目等于把原结构转变为 独立的基本未知量数目 而结构独立的基本未知量数目等于把原结构转变为 基本结构时， 附加的刚臂和附加链杆数目之和 数目之和。 基本结构时，所附加的刚臂和附加链杆数目之和。这样 在确定了基本结构的同时， ，在确定了基本结构的同时，也就确定了位移法的基本 未知量的数目。 未知量的数目。如：
《结构力学》第八章 位移法
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定举例
位移未知数确定练习
na 5 nl 2
na 2 nl 2
位移未知数确定练习
na 3 nl 4
na 0 nl 1
位移未知数确定练习
na 3 nl 1
na 3 nl 0
位移未知数确定练习
na 2 nl 3
基本思路
两种解法对比：
典型方程法和力法一样，直接对结构按统 一格式处理。最终结果由迭加得到。
平衡方程法对每杆列转角位移方程，视具 体问题建平衡方程。位移法方程概念清楚， 杆端力在求得位移后代转角位移方程直接可 得。
位移法方程：
两法最终方程都是平衡方程。整理后形式 均为：
K R 0
典型方程法基本概念
有一(A 点
转角,设为
).
位移法第一种基本思路
利用转角位移 方程可得:
M AD M
M AC
3i
ql 2 8
M AB
4i
FP l 8
M AE
i
FP l 2
在此基础上,由图示结点平衡得 M 0
第一种基本思路
位移法思路(平衡方程法)
以某些结点的位移为基本未知量 将结构拆成若干具有已知力-位移(转角-位移) 关系的单跨梁集合 分析各单跨梁在外因和结点位移共同作用下 的受力 将单跨梁拼装成整体 用平衡条件消除整体和原结构的差别,建立 和位移个数相等的方程 求出基本未知量后,由单跨梁力-位移关系可 得原结构受力
超静定单跨梁的力法结果(3) 载
载 载
1
超静定单跨梁的力法结果(4) 载 形 形 载
超静定单跨梁的力法结果(5) 载 载 载
第八章.位移法
0.75iE
M BE
1 2 42 8
3 2i 4
E
1.5i E
4
i/2
D 0 2i
A E ( ) B
c） E 产生的杆端弯矩
第33页/共107页
3）建立位移法方程并求解 由结点D平衡：
D
MDC
MDE
MD 0
MDA
M DC M DA M DE 0 5iD 0.75iE 14 0 1
30
第31页/共107页
二、有侧移刚架的位移法求解
例8-3-2 用位移法求图示刚架内力图。i 2EI
14kN
4
D (i)
E
C
2EI (2i)
(i/2) EI
4EI
4m
2kN/m
A
B
1m 4m
解：
1. 利用平衡条件建立位移法方程
1）未知量：D( ) E( )
2）列出杆端弯矩表达式 31 第32页/共107页
3）位移法的基本结构可看作为单跨超静定梁的 组合体系。为顺利求解，必须首先讨论单跨超 静定梁在荷载及杆端位移作用下的求解问题。
4
第5页/共107页
二、 位移法基本未知量
位移法的基本未知量是结构内部结构结 点（不包括支座结点）的转角θ 和线位移△。
不把支座结点的可能位移作为位移法的未知 量是因为：
1）减少未知量的数目；
38.76 27.02
1.42
B 1.7
D
8 11.73
E
25.24
A 0.71
C M 图(kN.m)
26
第27页/共107页
2. 利用位移法基本体系建立位移法方 程
解: 1 B ( ) 2 D ( )
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2
位移法要点：
1）位移法的基本未知量是结点位移； 2）位移法以单根杆件为计算单元； 3）根据平衡条件建立以结点位移为基本未知量的基本方程。 4）先将结构拆成杆件，再将杆件搭成结构。这就将复杂结构 的计算问题转换为简单的杆件分析与综合问题。 位移法计算刚架时的特点： 1）基本未知量是结点位移； 2）计算单元是一组单跨超静定梁； 3）位移法方程是根据平衡条件建立的。
l
升温T°C Δ=αTL M=－3iΔ/h
l L
l
C
l
l
l
l
l
l
15
对称结构对称荷载，对称轴上的点无转角和水平侧移, 立柱可自由伸长不产生内力，横梁伸长时，柱子产生侧移Δ
h
h
例：图示结构各杆尺寸相同，截面高度h=0.6m。作弯矩图。
30o C 30o C 30o C 10o C
6m
30o C 30o C 10o C 10o C
①把结构拆成杆件 （物理条件） ②把杆件装成结构 （变形协调、平衡）
应用位移法求解刚架需要解决三个问题：
①单跨超静定梁的内力分析； ②位移法基本未知量的确定； ③位移法方程的建立与求解。
3
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。
单跨超静定梁简图
A A
MAB
B
MBA
QAB= QBA
θ=1
B
4i
1
2i
6i
对称结构在反对称荷载作用下变形是反对称的，其内力图的特点是：
P
P
M
Q
N
6
利用这些特点，可以取结构的一半简化计算。
一、单数跨
(1)对称荷载 q
E
F1P
1 l q 3 2
2
k11 4iAB
1 l q 6 2
2
B
Δ1
iBE
A
iBE
l/2
EI l/2
MP
2iAB
M1
k11 Δ 1 + F1P = 0
1
基本未知量确定注意事项： 1、杆件边界端无垂直杆轴方向的支承，该杆端剪力等 于0，与杆件轴向垂直的线位移不作为基本未知量（如 悬臂端，定向铰支。简支）。 2、对于由横梁竖柱组成的矩形框架，线位移数目等于 层数。
铰化体系法：适用杆件边界端有垂直杆轴方向的支承。 剪力静定杆：剪力可由静力平衡条件求出的杆件。 杆断侧移可不做为位移法基本位置量，该杆形常数和 载常数按一端固定，一端定向支撑的单跨梁考虑。
20o C 20o C
20o C 20o C
M M
BA
+ M BC 0
1.67 EIq B 9.1EI 0
4m
q 5.17 4
B
0ooC 0C
6m
中面温差
4m
10 C
6m
o
10o C
6m
在杆件中面温差作用下：
B
C
10o C 10o C
10 C 10o C 20o C 20o C
AB柱缩短αt0 l=40α
CD柱伸长αt0 l=40α BC梁缩短αt0 l=60α 各杆端的相对线位移 ΔAB= 60α ΔBC= －80α
B
20o C 20o C
D
M
D
BA
Δ
+ M BC 0
6iq B 3i 0 l
q
B
D
2l
13
A
i
B i
C
l
l
1.5i
Δ/2
A i B
D l
C
i
l
l
Δ/2
i
i
l
l
M反=0
Δ/2
14
A
B
C
Δ/2
Δ
二、温度改变时的计算
•杆件内外温差产生的“固端弯矩”
固端弯矩
•温变产生的轴向变形使结点产生已知位移，从而使 杆端产生相对横向侧移产生的 “固端弯矩” C
4I
3m
B
8
A
i=1 C
A
MAB MAC 4m
4m
12×4 2 4q A 16 =－8kN.m M AB 4q A 12 M BA 2q A +16 =20kN.m 1）斜梁（静定或超静定）受竖向 M A M AB + M AC 0 荷载作用时，其弯矩图与同水平跨 M AC 4q A =8kN.m 8q A 16 0 度同荷载的水平梁弯矩图相同。 M CA 2qA =4kN.m 2）对称结构在对称荷载作用下， qA 2
6m
C
A
D
A 壁面温差
6 EI mAB=mBA 2 D AB 22.5EI H
6 EI mBC=mCB 2 D BC 13.3EI l
16
0 oC 0C
D
o
o
EIDt 49.7 C B 66.7EI －mAB=mBA h 81.8 EIDt 66.7EI M图×αEI － mBC=mCB h 杆端弯矩为 6m D A 6m 6m 86.5 EI M AB 2 q B + (22.5 66.7)EI 0.5EIq B 89.4EI =－86.5αEI 4 EI M BA 4 q B + (22.5 + 66.7)EI EIq B + 44.2EI =49.6αEI 4 EI M BC 4 q B + (13.3 66.7)EI 0.67 EIq B 53.3EI =－49.7αEI 6 EI M CB 2 q B + (13.3+ 66.7)EI 0.33 EIq B +80.0EI =81.8αEI 6
↓↓↓↓↓↓↓
16
48
72
↓↓↓↓↓↓↓↓
EI
M图 (kN.m) 4m
12kN/m
24
4
2EI
12kN/m
20 M对称
9
8 4m
↓↓↓↓↓↓↓↓
EI
52
EI
32
4
↓↓↓↓↓↓↓↓
4m
8
20
12kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
12kN/m 20 20
12kN/m
↓↓↓↓↓↓↓
8
M图 4I 4I(kN.m) 4 4m 4
12 i
l
2
6i
3i
l
6i
0
l
l
A A
θ=1
B B
3i
3i
l
1 θ=1
B
3i
i
l
0
l2
A
－i
0
4
直接平衡法的计算步骤：
1）确定位移法的基本未知量。
（铰结点、 铰支座的转角， 定向支座的侧移 不作为基本未知量）。 2）由转角位移方程列杆端弯 矩表达式。 3）由平衡条件列位移法方程。
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
(2)反对称荷载
P
B
Δ3 E Δ1 C
Z3
P
Δ2 D
P
B
E
反弯点 B
Δ1
A
A l/2
A
7
二、偶数跨
(1)对称荷载
q
C
q
C
M=Q=0
(2)反对称荷载 P
N=0
反弯点 P P P
I
I 2
P
I 2
无限短跨 P
P
I 2
+
I 2
I 2
8
72
12kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓
24 24
92
M反对称
EI
24kN/m
位移法的两种求解思路： 基本体系法的计算步骤： 1）确定基本未知量（结点角位移和线位移），加入附加联系得 到基本结构； 2）根据各附加联系上的反力或反力矩为0，建立典型方程； 3）绘制基本结构在单位位移作用下的弯矩图，由平衡条件求出 各系数和自由项； 4）解典型方程，求出各节点位移 5）按叠加法绘制内力图。 直接列平衡方程法的计算步骤： 1）确定基本未知量（结点角位移和线位移）； 2）利用转角方程写出各杆端弯矩的表达式； 3）利用角位移，建立节点的力矩平衡方程； 或利用线位移，建立截面的投影平衡方程； 4）解方程，得节点位移 5）将节点位移代入杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩绘内力图。
12kN/m 25kN.m
32kN
A
D
4m
4m
4）解方程，求结点位移。
5）将结点位移代回杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩。 6）校核 （平衡条件）
5
2m
2EI 2
EI 1
2m
B
EI i=1
C
EI 1
E
§8-6
对称结构的计算
对称结构在对称荷载作用下变形是对称的，其内力图的特点是：
I2
I1 I1
M Q N
4m
12 与对称轴重合的杆弯矩=0，剪力=0。
*§8-7 支座移动和温度改变时的计算 一、支座移动时的计算
基本方程和基本未知量以及作题步骤与荷载作用时一样，只是固端 力一项不同。
1.5i
A
i B
D
l
i
M图
C
lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
M BA 3iq B = 1.5i l D D M BC 3iq B 3i = 1.5i l l
位移法要点：
1）位移法的基本未知量是结点位移； 2）位移法以单根杆件为计算单元； 3）根据平衡条件建立以结点位移为基本未知量的基本方程。 4）先将结构拆成杆件，再将杆件搭成结构。这就将复杂结构 的计算问题转换为简单的杆件分析与综合问题。 位移法计算刚架时的特点： 1）基本未知量是结点位移； 2）计算单元是一组单跨超静定梁； 3）位移法方程是根据平衡条件建立的。
l
升温T°C Δ=αTL M=－3iΔ/h
l L
l
C
l
l
l
l
l
l
15
对称结构对称荷载，对称轴上的点无转角和水平侧移, 立柱可自由伸长不产生内力，横梁伸长时，柱子产生侧移Δ
h
h
例：图示结构各杆尺寸相同，截面高度h=0.6m。作弯矩图。
30o C 30o C 30o C 10o C
6m
30o C 30o C 10o C 10o C
①把结构拆成杆件 （物理条件） ②把杆件装成结构 （变形协调、平衡）
应用位移法求解刚架需要解决三个问题：
①单跨超静定梁的内力分析； ②位移法基本未知量的确定； ③位移法方程的建立与求解。
3
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。
单跨超静定梁简图
A A
MAB
B
MBA
QAB= QBA
θ=1
B
4i
1
2i
6i
对称结构在反对称荷载作用下变形是反对称的，其内力图的特点是：
P
P
M
Q
N
6
利用这些特点，可以取结构的一半简化计算。
一、单数跨
(1)对称荷载 q
E
F1P
1 l q 3 2
2
k11 4iAB
1 l q 6 2
2
B
Δ1
iBE
A
iBE
l/2
EI l/2
MP
2iAB
M1
k11 Δ 1 + F1P = 0
1
基本未知量确定注意事项： 1、杆件边界端无垂直杆轴方向的支承，该杆端剪力等 于0，与杆件轴向垂直的线位移不作为基本未知量（如 悬臂端，定向铰支。简支）。 2、对于由横梁竖柱组成的矩形框架，线位移数目等于 层数。
铰化体系法：适用杆件边界端有垂直杆轴方向的支承。 剪力静定杆：剪力可由静力平衡条件求出的杆件。 杆断侧移可不做为位移法基本位置量，该杆形常数和 载常数按一端固定，一端定向支撑的单跨梁考虑。
20o C 20o C
20o C 20o C
M M
BA
+ M BC 0
1.67 EIq B 9.1EI 0
4m
q 5.17 4
B
0ooC 0C
6m
中面温差
4m
10 C
6m
o
10o C
6m
在杆件中面温差作用下：
B
C
10o C 10o C
10 C 10o C 20o C 20o C
AB柱缩短αt0 l=40α
CD柱伸长αt0 l=40α BC梁缩短αt0 l=60α 各杆端的相对线位移 ΔAB= 60α ΔBC= －80α
B
20o C 20o C
D
M
D
BA
Δ
+ M BC 0
6iq B 3i 0 l
q
B
D
2l
13
A
i
B i
C
l
l
1.5i
Δ/2
A i B
D l
C
i
l
l
Δ/2
i
i
l
l
M反=0
Δ/2
14
A
B
C
Δ/2
Δ
二、温度改变时的计算
•杆件内外温差产生的“固端弯矩”
固端弯矩
•温变产生的轴向变形使结点产生已知位移，从而使 杆端产生相对横向侧移产生的 “固端弯矩” C
4I
3m
B
8
A
i=1 C
A
MAB MAC 4m
4m
12×4 2 4q A 16 =－8kN.m M AB 4q A 12 M BA 2q A +16 =20kN.m 1）斜梁（静定或超静定）受竖向 M A M AB + M AC 0 荷载作用时，其弯矩图与同水平跨 M AC 4q A =8kN.m 8q A 16 0 度同荷载的水平梁弯矩图相同。 M CA 2qA =4kN.m 2）对称结构在对称荷载作用下， qA 2
6m
C
A
D
A 壁面温差
6 EI mAB=mBA 2 D AB 22.5EI H
6 EI mBC=mCB 2 D BC 13.3EI l
16
0 oC 0C
D
o
o
EIDt 49.7 C B 66.7EI －mAB=mBA h 81.8 EIDt 66.7EI M图×αEI － mBC=mCB h 杆端弯矩为 6m D A 6m 6m 86.5 EI M AB 2 q B + (22.5 66.7)EI 0.5EIq B 89.4EI =－86.5αEI 4 EI M BA 4 q B + (22.5 + 66.7)EI EIq B + 44.2EI =49.6αEI 4 EI M BC 4 q B + (13.3 66.7)EI 0.67 EIq B 53.3EI =－49.7αEI 6 EI M CB 2 q B + (13.3+ 66.7)EI 0.33 EIq B +80.0EI =81.8αEI 6
↓↓↓↓↓↓↓
16
48
72
↓↓↓↓↓↓↓↓
EI
M图 (kN.m) 4m
12kN/m
24
4
2EI
12kN/m
20 M对称
9
8 4m
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EI
52
EI
32
4
↓↓↓↓↓↓↓↓
4m
8
20
12kN/m
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12kN/m 20 20
12kN/m
↓↓↓↓↓↓↓
8
M图 4I 4I(kN.m) 4 4m 4
12 i
l
2
6i
3i
l
6i
0
l
l
A A
θ=1
B B
3i
3i
l
1 θ=1
B
3i
i
l
0
l2
A
－i
0
4
直接平衡法的计算步骤：
1）确定位移法的基本未知量。
（铰结点、 铰支座的转角， 定向支座的侧移 不作为基本未知量）。 2）由转角位移方程列杆端弯 矩表达式。 3）由平衡条件列位移法方程。
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(2)反对称荷载
P
B
Δ3 E Δ1 C
Z3
P
Δ2 D
P
B
E
反弯点 B
Δ1
A
A l/2
A
7
二、偶数跨
(1)对称荷载
q
C
q
C
M=Q=0
(2)反对称荷载 P
N=0
反弯点 P P P
I
I 2
P
I 2
无限短跨 P
P
I 2
+
I 2
I 2
8
72
12kN/m
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24 24
92
M反对称
EI
24kN/m
位移法的两种求解思路： 基本体系法的计算步骤： 1）确定基本未知量（结点角位移和线位移），加入附加联系得 到基本结构； 2）根据各附加联系上的反力或反力矩为0，建立典型方程； 3）绘制基本结构在单位位移作用下的弯矩图，由平衡条件求出 各系数和自由项； 4）解典型方程，求出各节点位移 5）按叠加法绘制内力图。 直接列平衡方程法的计算步骤： 1）确定基本未知量（结点角位移和线位移）； 2）利用转角方程写出各杆端弯矩的表达式； 3）利用角位移，建立节点的力矩平衡方程； 或利用线位移，建立截面的投影平衡方程； 4）解方程，得节点位移 5）将节点位移代入杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩绘内力图。
12kN/m 25kN.m
32kN
A
D
4m
4m
4）解方程，求结点位移。
5）将结点位移代回杆端弯矩表达式，求出杆端弯矩。 6）校核 （平衡条件）
5
2m
2EI 2
EI 1
2m
B
EI i=1
C
EI 1
E
§8-6
对称结构的计算
对称结构在对称荷载作用下变形是对称的，其内力图的特点是：
I2
I1 I1
M Q N
4m
12 与对称轴重合的杆弯矩=0，剪力=0。
*§8-7 支座移动和温度改变时的计算 一、支座移动时的计算
基本方程和基本未知量以及作题步骤与荷载作用时一样，只是固端 力一项不同。
1.5i
A
i B
D
l
i
M图
C
lቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
l
M BA 3iq B = 1.5i l D D M BC 3iq B 3i = 1.5i l l