谈《分式》的学习--基于MPCK视角（论）

几个公式记混淆，如果学生能够掌握一些基本的数学思想方法，只要记住四个公式就可以了，它们是长方形的周长公式：C=2（a+b ），长方形的面积公式：S=ab ，长方体的体积公式：V=abh ，圆的周长公式：C=πd 。

而其他公式都可以自己利用“转化思想方法”、“极限思想方法”推导出来。

譬如，根据长方形周长公式可以推导出正方形的周长公式，根据长方形面积的度量意义和长方形（正方形）的特征推导出正方形的面积公式，又可以推导出平行四边形、三角形、梯形的面积公式，还可以推导出圆的面积公式，体积公式亦是如此，不再赘述。

从而，体会到数学思想方法的妙用，它就好像是变魔术的神奇魔棒，让所学知识凝练成精华，越变越少，而自己学到的知识却越来越多。

对于图形的认识，不仅可以从静态的角度认识它，还可以从动态的角度丰富对它的认识。

在教学中，教师应鼓励学生将静态和动态结合起来，激励他们在运动中体会图形之间的面积转化。

如：在复习平面图形面积公式时，教师可以帮助学生建立动态的转化。

教师教学时可以问：“你能用已知的梯形面积公式推导出其他图形的面积公式吗？”学生试着用梯形的面积公式推导三角形面积公式。

如下图所示：S 梯=（a+b ）h ÷2，当a=
0时，（梯形上底的A 、B 两点重合为一点时，则为三角形。

）S 三=（0+b ）h ÷2=bh ÷2（b 是现三角形的底，h 是现三角形的高。

）。

学生
还可以尝试将梯形转化成平行四边形和长方形推导面积公式，经历这样的动态转化之后，不管学生记住了哪个公式，其他面积公式完全可以推导出来，从中让学生感受到数学的神奇和知识之间的联系。

揭开数学知识神秘面纱的就是那条隐性知识的数学思想方法，再次感受到它的神奇之处，它可以把
学过的知识贯穿起来，同时也可以验证和揭示新的知识，激发学生对数学思想方法认知的兴趣。

通过以上几个教学实例，知道数学思想方法是数学知识的精髓，它蕴含在数学知识发生、发展和应用的全过程，是数学发展的内在动力，是知识化为能力的桥梁，是学生形成良好认知结构的纽带。

在小学数学教学中有意识地渗透一些基本数学思想方法，是增强学生数学观念，形成良好思维素质的关键，不仅能使学生领悟数学的真谛，懂得数学的价值，学会用数学思想方法思考和解决问题，还能把知识的学习与能力的培养、智力的发展有机统一起来。

参考文献：
［1］张丹，白永潇.课程标准案例式导读与学习内容要点.东北师范大学出版社,2012(03).
［2］张丹.小学数学教学策略.北京师范大学出版社，2010
(08).
［3］中华人民共和国教育部制定.数学课程标准(2011年版).北京师范大学出版社，
2013(12).
PCK 是学科教学知识（Pedagogical Content Knowledge ）的简称，最早是由美国舒尔曼（Schulman ，L.S ）教授于1986年提
出的。

他认为这种知识是学科知识在教学应用中的转换形式，是特定的内容与教学法的整合或转换，是教师独特的知识领域，是他们专业理解的特殊形式。

具体来说，就是“对于一个人的学科领域中最一般的要教授的内容，表达那些概念的最有用的形式，最有效的比喻、说明、例子、解释以及演示———一句话，就是使人易于懂得该学科内容的表达和阐述方式”，它还包括“知道不同年龄和背景的学生在学习那些最经常教授的课题时已具有的一些日常概念和先入之见，这些日常概念和先入之见会使具体内容的学习变得容易或困难。

”［1］
根据舒尔曼的观点，PCK 是一种实用性知识，它的核心要素有：一是直面学生教学如何构架和呈现学科内容知识；二是有关学生在学习具体内容时可能拥有的共同的概念、误解和困难的知识；三是在具体教学情况下能满足学生学习需求的具体教学策略等。

若结合数学学科探讨PCK ，即为MPCK （Mathe 鄄matical Pedagogical Content Knowledge ），我们称之为“数学教学内容知识”。

下面以舒尔曼提出PCK 三种核心要素框架，分析“分式的学习”，并以此说明数学教师所应具备的MPCK 。

一、直面学生教学如何构架和呈现学科内容的知识课堂教学第一部分：提出问题，创设情境。

（1）A 教师的教学设计
同学们，只要你留下观察，你会发现生活中处处都有数学。

前段时间老师和大家一起去溱湖湿地公园参加社会实践活动，在这个过程中要利用数学知识解决哪些问题呢？
第一步：坐车去溱湖湿地公园
正衡中学与溱湖公园的距离为138公里，汽车平均速度为75千米/小时，约多少小时可以到达？
思考：若正衡中学与溱湖公园的距离为a 公里，汽车平均速度为b 千米/小时，约多少小时可以到达？
第二步：买溱湖公园门票
门票价格:学生票：60元，成人票：80元；我们有a 位同学，b 位老师，买门票共需多少钱？平均每张门票多少钱？
第三步：参观
某小组租用了一艘小船在湖上游玩，若一艘小船1小时的租金是100元，该小组有x 人，平均每人花多少钱？
在溱湖公园里，大家买了些纪念品，总共花了m 元，平均每人花了多少钱？
（常州市正衡中学，江苏常州213000）
余
娜
谈《分式》
的学习
———基于MPCK 视角
摘要：本文就基于MPCK 视角下《分式》的学习给予详细阐述，以舒尔曼提出PCK 三种核心要素框架，分析“分式概念、分式
有意义、无意义、分式的值为零的学习”，并以此说明数学教师所应具备的MPCK 。

关键词：分式PCK 有意义无意义
57
m
a+b。

（2）B教师的教学设计
请同学们思考下列问题，你能用代数式表示下列数量关系吗？
1.某制衣厂3小时可生产100套成衣，平均每小时可生产摇摇套衣服。

2.某制衣厂a小时可生产100套成衣，平均每小时可生产摇摇套衣服。

3.橘子的单价是b元/千克，苹果的单价比橘子贵2元，用a 元钱可买摇摇千克橘子，摇摇千克苹果。

4.有一块a公顷和一块b公顷的田地，今年粮食总产量分别为m千克和n千克，平均每公顷产粮食摇摇千克。

观察：这些代数式有什么共同特征100
a
，
a
b
，
a
b+2
，
m+n
a+b。

从表面上看，两位老师都是让学生从生活中实际问题中列出代数式，并观察代数式的特征，从而归纳分式的概念。

相比而言，A教师从学生经历过的实际问题出发，让学生在情感上容易产生共鸣，更能让学生尽快进入学习主题。

由于学生对制衣厂并没有切身的体会，因此B教师的这个引入稍显突兀，不能很好地激发学生的学习兴趣。

课堂教学第二部分：新课——
—类比分数得到分式的概念。

A教师和B教师都是让学生观察列出的代数式的共同特，类比分数的概念，对比整式的概念，从而归纳出分式的概念。

（1）学生都能说出，上述代数式共同特征有：类似与分数的形式，分子分母都是整式，分母中含有字母。

（2）对比整式：整式的分母中不含字母，分式的分母中含有字母。

（3）A教师的例题是：例2：求分式a-3
a+2
的值，①a=3；②a=-
2
5。

思考：a的值可以任意取吗？
学生类比分数：由于零不能做除数，因此分式和分数一样，分母都不能为零。

得出结论：形如A
B
的分式，分式有意义圳B≠0；分式无意
义圳B=0。

B教师的例题是：例题2：下列分式何时无意义、有意义？
①x-2
2x-3
②
2
m2-9
两位老师的选题都是为了告诉学生分式的分母不能为零，否则就无意义。

但A老师从求分式的值的提问中，让学生通过思考，类比分数中分母不为零，得出若分式的分母为零，分式无意义，分式的分母不为零，分式有意义。

B教师是直接提出分式有意义、无意义，这样就不能很好地体现类比的数学思想。

二、有关学生在学习具体内容时可能拥有的共同的概念、误解和困难的知识
学生已有的共同的概念：
（1）分数、整式的概念。

学习难点1：对于
2π
是否是分式的理解上存在误区？学生会认为π也是字母，所以两位老师在第一道例题中都不约而同地举出这个例子，让学生进行辨析。

加深学生对π的理解，π代表的是一个无限不循环小数，是一个具体的数字，所以
c+1
2π是整式而不是分式。

学习难点2：在A教师设计的拼式游戏中：从“-x、3、x2、2a+3b”中任选两个式子，能组成多少个分式？学生都认为
x2
x
不是分式，虽然学生还没有学过分式的约分，但直观感觉可以将该式约分成x的形式，故而不是分式。

在教学中应引导学生回顾分式的概念，分式的概念是从形式上定义的，只要符合
A
B （A、B表示整式，B中含有字母）形式的式子就是分式。

判断一个式子是不是分式，不能看它化简后的结果，而应看它本来的面目。

学习难点3：对于分式
x2-9
x-3
的值何时为零？一部分学生只考虑分子为零，而得到x=±3；还有一部分学生会说x=3时，分子、分母均为零，分式的值不也为零吗？这说明学生对“分式的值为零，首先分式的要有意义，也就是说，分式的分母不为零”理解不到位。

为了使学生进一步明了“分式的分母不为零”，还需要教师的MPCK，需要教师从生活的例子出发，引导学生尽可能多地举例，建立数学模型，从例子中感受分式中字母的取值。

三、在具体教学情况下能满足学生学习需求的具体教学策略
1.在学习中学生通过自主探究、小组合作获得了成功，此时，学生内心充满了喜悦，急切地想与大家分享。

此时教师要给时间、给机会让学生回答。

这也是学生小结、反思的一个过程。

同时，通过这个过程，学生的表达能力、数学语言的组织能力得到了很好的锻炼，自信心也得到了很好的培养。

2.在教学过程中要把数学思想方法渗透给学生。

本节课主要运用了对比和类比的数学思想方法。

要引导学生在学习一个新的概念前，要类比于前面所学过的知识，比如分式和分数。

在学习一个新的概念后，要对比于和该知识点相关的知识，比如整式和分式，这样学生对分式概念的把握会更清晰。

自2005年以来，PCK日益成为我国教学研究和教师教育研究的热点问题。

希望更多的教师在平时的教学中多动脑、多思考，增强自己的PCK，让教师的教学和学生的学习充满乐趣。

参考文献：
［1］杨小丽.勾股定理的PCK内涵解析.初中数学教与学，2011（6）.
［2］田军.新手与专家数学教师教学内容知识的对比研究.中学数学杂志，2009（10）.
［3］刘璇燕.国内关于学科教学知识（PCK）的研究综述及其对师资培训的启示.中学数学杂志，2010（12）.
58。