湛江二中届九级上第一次月考数学试卷及答案解析

广东省湛江二中2015届九年级上学期第一次月考数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A．等边三角形B．平行四边形C．等腰梯形D．矩形
2．（3分）点P（2，3）关于原点对称的点的坐标是（）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，3）
3．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=40°，则∠BOC的度数为（）
A．20°B．40°C．60°D．80°
4．（3分）⊙O的直径为15cm，O点与P点的距离为8cm，点P的位置（）
A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定
5．（3分）把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（）
A．y=2（x+3）2+4 B．y=2（x+3）2﹣4 C．y=2（x﹣3）2﹣4 D．y=2（x﹣3）2+4
6．（3分）用配方法解方程x2+2x﹣1=0，下列配方正确的是（）
A．（x+1）2=1 B．（x+1）2=2 C．（x﹣1）2=2 D．（x﹣1）2=1
7．（3分）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）
A．3000（1+x）2=5000 B．3000x2=5000
C．3000（1+x%）2=5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000
8．（3分）已知⊙O的半径为5，且圆心O到直线l的距离是方程x2﹣4x﹣12=0的一个根，则直线l与圆的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
9．（3分）如图所示，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为（）
A．50m B．5m C．2m D．1m
10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）方程x2=1的解是．
12．（4分）分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是度．
13．（4分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为．
14．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90，AC=6，BC=8，且△ABC的三边都与圆O相切，则圆O的半径r=．
15．（4分）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是．
16．（4分）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第n个图形中需要黑色瓷砖块（用含n的代数式表示）．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）解方程：x2﹣2x﹣4=0．
18．（6分）用配方法把函数y=﹣3x2﹣6x+10化成y=a（x﹣h）2+k的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．
19．（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在个点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣6，1），点B的坐标为（﹣3，1），点C的坐标为（﹣3，3）．
（1）将Rt△ABC沿x轴正方向平移5个单位得到Rt△A1B1C1，试在图上画出的图形
Rt△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）将原来的Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2的图形．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O 上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若⊙O半径为5，CD=2，求AB的长．
21．（7分）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
22．（7分）如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，将△ABC绕点C 逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，求BB′的长度．
五、解答题（三）（本大题3小题，每题9分，共27分）
23．（9分）某园林公司，购买了一批树苗，其进价每棵40元，按每棵60元出售，平均每天可售出100棵，后来经过市场调查发现，每棵降价2元，则平均每天的销售量可以增加20棵．若该公司想要平均每天获利2240元，请回答：
（1）每棵树苗应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该公司应按原售价的几折出售？
24．（9分）如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）当0B=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长．
25．（9分）如图，抛物线y=﹣x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于
另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x 轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．
广东省湛江二中2015届九年级上学期第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A．等边三角形B．平行四边形C．等腰梯形D．矩形
考点：中心对称图形；轴对称图形．
分析：根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，针对每一个选项进行分析，即可选出答案．
解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故此选项正确；
故选D．
点评：此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（3分）点P（2，3）关于原点对称的点的坐标是（）
A．（2，﹣3）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（2，3）
考点：关于原点对称的点的坐标．
分析：本题比较容易，考查平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点．解答：解：根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”可知：
点P（2，3）关于原点对称的点的坐标是（﹣2，﹣3）．
故选C．
点评：解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，∠A=40°，则∠BOC的度数为（）
A．20°B．40°C．60°D．80°
考点：圆周角定理．
分析：可由同弧所对的圆周角、圆心角的关系求出∠BOC的度数．
解答：解：∵∠BOC、∠A是同弧所对的圆心角和圆周角，
∴∠BOC=2∠A=80°；
故选D．
点评：此题主要考查的是圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．
4．（3分）⊙O的直径为15cm，O点与P点的距离为8cm，点P的位置（）
A．在⊙O外B．在⊙O上C．在⊙O内D．不能确定
考点：点与圆的位置关系．
分析：由⊙O的直径为15cm，O点与P点的距离为8cm，根据点与圆心的距离与半径的大小关系，即可求得答案．
解答：解：∵⊙O的直径为15cm，
∴⊙O的半径为7.5cm，
∵O点与P点的距离为8cm，
∴点P在⊙O外．
故选A．
点评：此题考查了点与圆的位置关系．注意点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d＜r时，点在圆内．
5．（3分）把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数表达式为（）
A．y=2（x+3）2+4 B．y=2（x+3）2﹣4 C．y=2（x﹣3）2﹣4 D．y=2（x﹣3）2+4
考点：二次函数图象与几何变换．
专题：计算题．
分析：抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），则把它向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的顶点坐标为（﹣3，4），然后根据顶点式写出解析式．
解答：解：把抛物线y=2x2先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为y=2（x+3）2+4．
故选A．
点评：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
6．（3分）用配方法解方程x2+2x﹣1=0，下列配方正确的是（）
A．（x+1）2=1 B．（x+1）2=2 C．（x﹣1）2=2 D．（x﹣1）2=1
考点：解一元二次方程-配方法．
分析：配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
解答：解：由原方程移项，得
x2+2x=1，
等式的两边同时加上12，得
x2+2x+12=1+12，
配方，得
（x+1）2=2．
故选：B．
点评：此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
7．（3分）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（）
A．3000（1+x）2=5000 B．3000x2=5000
C．3000（1+x%）2=5000 D．3000（1+x）+3000（1+x）2=5000
考点：由实际问题抽象出一元二次方程．
专题：增长率问题；压轴题．
分析：主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元”，可以分别用x表示2007以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．
解答：解：依题意得2009年投入为3000（1+x）2，
∴3000（1+x）2=5000．
故选A．
点评：找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
8．（3分）已知⊙O的半径为5，且圆心O到直线l的距离是方程x2﹣4x﹣12=0的一个根，则直线l与圆的位置关系是（）
A．相交B．相切C．相离D．无法确定
考点：直线与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．
分析：首先求出方程的根，再利用半径长度，由点O到直线a的距离为d，若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离，从而得出答案．
解答：解：∵x2﹣4x﹣12=0，
（x+2）（x﹣6）=0，
解得：x1=﹣2（不合题意舍去），x2=6，
∵点O到直线l距离是方程x2﹣4x﹣12=0的一个根，即为6，
∴点O到直线l的距离d=6，r=5，
∴d＞r，
∴直线l与圆相离．
故选C．
点评：本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d 与圆半径大小关系完成判定．
9．（3分）如图所示，某小区在宽20m，长32m的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，则道路的宽为（）
A．50m B．5m C．2m D．1m
考点：一元二次方程的应用．
专题：几何图形问题．
分析：设道路宽为x米，根据矩形的性质，先将道路进行平移，然后根据矩形的面积公式列方程求解即可．
解答：解：设道路宽为x米，根据题意得：
（32﹣x）=540，
解得：x1=2，x2=50（舍去），
则道路的宽为2m；
故选C．
点评：此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．本题中按原图进行计算比较复杂时，可根据图形的性质适当的进行转换化简，然后根据题意列出方程．
10．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则abc，b2﹣4ac，2a+b，a+b+c这四个式子中，值为正数的有（）
A．1个B．2个C．3个D． 4个
考点：二次函数图象与系数的关系．
专题：计算题．
分析：由抛物线的开口向上知a＞0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上可以得到c＞0，而对称轴为x=＞0，由此可以判定abc＜的符号；由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；由图象知道当x=1时，y=a+b+C＜0；当x=﹣1时，y=a﹣b+c＞0；
由对称轴为x=＞0可以判定2a+b的符号．
解答：解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，
∵对称轴为x=＞0，∴a、b异号，即b＜0，
∴abc＜0；
②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0；
③对称轴为x=＞1，∴2a+b＜0；
④当x=1时，y=a+b+c＜0；
因此②的值为正数．
故选A．
点评：本题考查了抛物线的位置与系数的关系，需要从开口方向、顶点坐标、对称轴及图象与x轴（y轴）的交点情况进行判断．
二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）方程x2=1的解是±1．
考点：解一元二次方程-直接开平方法．
专题：计算题．
分析：因为x2=1，从而把问题转化为求1的平方根．
解答：解：∵x2=1
∴x=±1．
点评：解决本题的关键是理解平方根的定义，注意一个正数的平方根有两个，这两个数互为相反数．
12．（4分）分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示．将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是90度．
考点：旋转对称图形．
专题：数形结合．
分析：观察图形可得，图形有四个形状相同的部分组成，从而能计算出旋转角度．
解答：解：图形可看作由一个基本图形每次旋转90°，旋转4次所组成，故最小旋转角为90°．
故答案为：90．
点评：本题考查了观察图形，确定最小旋转角度数的方法，需要熟练掌握．
13．（4分）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55°，则∠BCD的度数为35°．
考点：圆周角定理．
专题：计算题．
分析：连结AD，由AB是⊙O的直径得到∠ADB=90°，再根据互余计算出∠A的度数，然后根据圆周角定理即可得到∠C的度数．
解答：解：连结AD，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=55°，
∴∠A=90°﹣55°=35°，
∴∠BCD=∠A=35°．
故答案为35°．
点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
14．（4分）在Rt△ABC中，∠C=90，AC=6，BC=8，且△ABC的三边都与圆O相切，则圆O的半径r=2．
考点：三角形的内切圆与内心．
分析：设⊙O半径是r，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式得出S△ACB=S△OAC+S△OBC+S△OAB，代入求出即可．
解答：解：设⊙O半径是r，
连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
∵⊙O为△ABC的内切圆，切点是D、E、F，
∴OD⊥AB，OE⊥CB，OF⊥AC，OD=OE=OF=r，
∵AC=6，BC=8，由勾股定理得：AB=10，
根据三角形的面积公式得：S△ACB=S△OAC+S△OBC+S△OAB，
∴AC×BC=AC×r+BC×r+AB×r，即：6×8=6r+8r+10r，
∴r=2．
故⊙O半径是2．
故答案为：2．
点评：本题主要考查了切线的性质，三角形的内切圆与内心，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能得出S△ACB=S△OAC+S△OBC+S△OAB是解此题的关键．
15．（4分）已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数y2=kx+b（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2）（如图所示），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8．
考点：二次函数的图象；一次函数的图象．
分析：先观察图象确定抛物线y1=ax2+bx+c和一次函数y2=kx+b（k≠0）的交点的横坐标，即可求出y1＞y2时，x的取值范围．
解答：解：由图形可以看出：
抛物线y1=ax2+bx+c和一次函数y2=kx+b（k≠0）的交点横坐标分别为﹣2，8，
当y1＞y2时，x的取值范围正好在两交点之外，即x＜﹣2或x＞8．
故答案为：x＜﹣2或x＞8．
点评：此类题可用数形结合的思想进行解答，这也是速解习题常用的方法．
16．（4分）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第n个图形中需要黑色瓷砖（3n+1）块（用含n的代数式表示）．
考点：规律型：图形的变化类．
专题：压轴题；规律型．
分析：找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
解答：解：第一个图形有黑色瓷砖3+1=4块．
第二个图形有黑色瓷砖3×2+1=7块．
第三个图形有黑色瓷砖3×3+1=10块．
…
第n个图形中需要黑色瓷砖3n+1块．
故答案为：（3n+1）．
点评：关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）解方程：x2﹣2x﹣4=0．
考点：解一元二次方程-配方法．
分析：在本题中，把常数项﹣4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．
解答：解：由原方程移项，得
x2﹣2x=4，
等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得
x2﹣2x+1=5，
配方，得
（x﹣1）2=5，
∴x=1±，
∴x1=1+，x2=1﹣．
点评：本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
18．（6分）用配方法把函数y=﹣3x2﹣6x+10化成y=a（x﹣h）2+k的形式，然后指出它的图象开口方向，对称轴，顶点坐标和最值．
考点：二次函数的性质；二次函数的三种形式．
专题：配方法．
分析：（1）这个函数的二次项系数是﹣3，配方法变形成y=（x+h）2+k的形式，配方的方法是把二次项，一次项先分为一组，提出二次项系数﹣3，加上一次项系数的一半，就可以变形成顶点式的形式．
（2）二次函数的一般形式中的顶点式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）．
解答：解：∵y=﹣3x2﹣6x+10
=﹣3（x+1）2+13，
∴开口向下，对称轴x=﹣1，顶点坐标（﹣1，13），最大值13．
点评：本题主要是对抛物线一般形式中对称轴，顶点坐标的考查，是2015届中考中经常出现的问题．
19．（6分）如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，Rt△ABC的顶点均在个点上，在建立平面直角坐标系后，点A的坐标为（﹣6，1），点B的坐标为（﹣3，1），点C的坐标为（﹣3，3）．
（1）将Rt△ABC沿x轴正方向平移5个单位得到Rt△A1B1C1，试在图上画出的图形
Rt△A1B1C1，并写出点A1的坐标；
（2）将原来的Rt△ABC绕点B顺时针旋转90°得到Rt△A2B2C2，试在图上画出Rt△A2B2C2的图形．
考点：作图-旋转变换；作图-平移变换．
专题：作图题．
分析：（1）将三角形三点分别沿x轴向右移动5个单位得到它们的对应点，顺次连接即可．
（2）将A、C两点绕B顺时针旋转90°得到对应点，顺次连接各对应点，即成Rt△A2B2C2．解答：解：（1）（2）所画图形如下所示，从图中可以看出点A1的坐标为（﹣1，1）．
点评：本题主要考查了平移变换作图和旋转变换作图，这两题作图的关键都是找对应点．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．（7分）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O 上．
（1）若∠AOD=52°，求∠DEB的度数；
（2）若⊙O半径为5，CD=2，求AB的长．
考点：垂径定理；勾股定理；圆周角定理．
分析：（1）由OD⊥AB，根据垂径定理可得=，然后由圆周角定理，即可求得∠DEB
的度数；
（2）根据半径为5，CD=2，可求出OC的长度，然后根据勾股定理可求得AC的长度，继而可得出AB的值．
解答：解：∵在⊙O中，OD⊥AB，
∴=，
∵∠AOD=52°，
∴∠DEB=∠AOD=26°；
（2）∵半径为5，CD=2，
∴OC=5﹣CD=3，
在Rt△AOC中，
AC===4，
∵OD⊥AB，
∴AB=2AC=8．
点评：此题考查了圆周角定理以及垂径定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
21．（7分）已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围．
考点：抛物线与x轴的交点；二次函数的图象．
分析：（1）把抛物线上的两点代入解析式，解方程组可求b、c的值；
（2）令y=0，求抛物线与x轴的两交点坐标，观察图象，求y＞0时，x的取值范围．
解答：解：（1）将点（﹣1，0），（0，3）代入y=﹣x2+bx+c中，得
，解得．
∴y=﹣x2+2x+3．
（2）令y=0，解方程﹣x2+2x+3=0，
得x1=﹣1，x2=3，抛物线开口向下，
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0．
点评：本题考查了待定系数法求抛物线解析式，根据抛物线与x轴的交点，开口方向，可求y＞0时，自变量x的取值范围．
22．（7分）如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，将△ABC绕点C 逆时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，连接BB′，求BB′的长度．
考点：旋转的性质．
分析：先根据直角三角形的性质求出BC、AB的长，再根据图形旋转的性质得出AC=A′C，BC=B′C，再由A′B=A′C即可得出∠A′CB=30°，故可得出∠BCB′=60°，进而判断出△BCB′是等边三角形，故可得出结论．
解答：解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1，
∴AB=2AC=2，
∴BC==，
∵∠A=60°，
∴△AA′C是等边三角形，
∴AA′=AB=1，
∴A′C=A′B，
∴∠A′CB=∠A′BC=30°，
∵△A′B′C是△ABC旋转而成，
∴∠A′CB′=90°，BC=B′C，
∴∠B′CB=90°﹣30°=60°，
∴△BCB′是等边三角形，
∴BB′=BC=．
点评：本题考查的是图形旋转的性质及等边三角形的判定定理，熟知旋转前后的图形全等是解答此题的关键．
五、解答题（三）（本大题3小题，每题9分，共27分）
23．（9分）某园林公司，购买了一批树苗，其进价每棵40元，按每棵60元出售，平均每天可售出100棵，后来经过市场调查发现，每棵降价2元，则平均每天的销售量可以增加20棵．若该公司想要平均每天获利2240元，请回答：
（1）每棵树苗应降价多少元？
（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该公司应按原售价的几折出售？
考点：一元二次方程的应用．
专题：销售问题．
分析：（1）设每棵树苗应降价x元，则每棵树苗的利润为（60﹣40﹣x）元，每天的销售量为（100+×20）棵，由利润×数量=总利润建立方程求出其解即可；
（2）为了让利于顾客由（1）得，应下降6元，求出此时的销售单价即可确定结论．
解答：（1）解：设每千克核桃应降价x元．
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+×20）=2240．
化简，得x2﹣10x+24=0，
解得：x1=4，x2=6．
答：每千克核桃应降价4元或6元．
（2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元．
因为要尽可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价6元．
此时，售价为：60﹣6=54（元），=90%．
答：该店应按原售价的九折出售．
点评：本题考查了一元二次方程的应用，销售问题的数量关系的运用，解答本题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
24．（9分）如图，AB、BC、CD分别与⊙O切于E、F、G，且AB∥CD．连接OB、OC，延长CO交⊙O于点M，过点M作MN∥OB交CD于N．
（1）求证：MN是⊙O的切线；
（2）当0B=6cm，OC=8cm时，求⊙O的半径及MN的长．
考点：切线的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
专题：几何综合题．
分析：（1）求证：MN是⊙O的切线，就可以证明∠NMC=90°
（2）连接OF，则OF⊥BC，根据勾股定理就可以求出BC的长，然后根据△BOC的面积就可以求出⊙O的半径，根据△NMC∽△BOC就可以求出MN的长．
解答：（1）证明：∵AB、BC、CD分别与⊙O切于点E、F、G
∴∠OBC=∠ABC，∠DCB=2∠DCM（1分）
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠DCB=180°
∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠DCB）=×180°=90°
∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣90°=90°（2分）
∵MN∥OB
∴∠NMC=∠BOC=90°
即MN⊥MC 且MO是⊙O的半径
∴MN是⊙O的切线（4分）
（2）解：连接OF，则OF⊥BC（5分）
由（1）知，△BOC是直角三角形，
∴BC===10，
∵S△BOC=•OB•OC=•BC•OF
∴6×8=10×OF
∴0F=4.8cm
∴⊙O的半径为4.8cm（6分）
由（1）知，∠NCM=∠BCO，∠NMC=∠BOC=90°
∴△NMC∽△BOC（7分）
∴，即=，
∴MN=9.6（cm）．（8分）
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
25．（9分）如图，抛物线y=﹣x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于
另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x 轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．
考点：二次函数综合题．
专题：压轴题．
分析：（1）由题意易求得A与B的坐标，然后有待定系数法，即可求得直线AB的函数关系式；
（2）由s=MN=NP﹣MP，即可得s=﹣t2+t+1﹣（t+1），化简即可求得答案；
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，即可得方程：﹣t2+t=，解方程
即可求得t的值，再分别分析t取何值时四边形BCMN为菱形即可．
解答：解：（1）∵当x=0时，y=1，
∴A（0，1），
当x=3时，y=﹣×32+×3+1=2.5，
∴B（3，2.5），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
则：，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=x+1；
（2）根据题意得：s=MN=NP﹣MP=﹣t2+t+1﹣（t+1）=﹣t2+t（0≤t≤3）；
（3）若四边形BCMN为平行四边形，则有MN=BC，此时，有﹣t2+t=，
解得t1=1，t2=2，
∴当t=1或2时，四边形BCMN为平行四边形．
①当t=1时，MP=，NP=4，故MN=NP﹣MP=，
又在Rt△MPC中，MC=，故MN=MC，此时四边形BCMN为菱形，
②当t=2时，MP=2，NP=，故MN=NP﹣MP=，
又在Rt△MPC中，MC=，故MN≠MC，此时四边形BCMN不是菱形．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，线段的长与函数关系式之间的关系，平行四边形以及菱形的性质与判定等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是数形结合思想的应用．。