效用函数的推导

消费集
假设1：消费集X 性质
1. n
X R +∈
2. X 是闭集
3. X 是凸集
4. 0X ∈
消费组合x 是消费集X 中的一个元素，12(,,,,,)i n x x x x x =代表n 种商品的组合，i x 代
表商品i 的数量。

偏好关系
用消费集X 上的一种二元关系表示消费者偏好，若1
2x
x ，则对于这个消费者来说，消
费组合1x 至少和2
x 一样好。

要求这种二元关系满足下面两条公理：
公理1.完备性——对于X 上所有的1
x 和2
x 而言，要么1
2x
x ，要么2
1x x 。

公理2.传递性——对于X 上任意三个元素1
x 、2
x 和3
x ，如果1
2x
x ，且2
3x
x ，则1
3x
x 。

定义1：偏好关系
若上述二元关系满足公理1、2，则称其为偏好关系。

定义2：严格偏好关系
12x x ，当且仅当1
2x x 且21x x 不成立。

关系
被称为严格偏好关系（1
2x
x 表
示消费组合1
x 比2
x 好。

定义3：无差异关系
1
2x x ，当且仅当1
2x x 且21x x 成立。

关系被称为无差异关系（12x x 表示消费组
合1
x 和2
x 无差异。

定义4：令0
x 为消费集X 中任意一点，定义X 的下列子集 1. (){}
0,x x x X x
x ≡∈，称为“至少和0x 一样好”的集合；
2. (){}00
,x x x X x
x ≡∈，称为“不比0x 更好”的集合； 3. (){}00
,x x x X x x ≡∈，称为“比0
x 差”的集合； 4.
(){}0
,x x x X x
x ≡∈，称为“比0
x 好”的集合；
5.
(){}
0,x x x X x
x ≡∈，称为“与0x 无差异”的集合。

公理3：连续性——对于所有0n
x R +∈，“至少和0
x 一样好”的集合
()0
x 以及“不比0
x
更
好”的集合
()0
x 是闭的。

公理4：严格递增——对于所有的01,n x x R +∈，如果0
1
x x ≥，则有0
1x
x ；如果01x x ，
则有0
1x
x 。

（
表示每一个分量都严格多于）
公理5：严格凸性——如果10x x ≠且10x x ，则对于所有的()0,1t ∈而言，有()10
01tx t x
x +-。

效用函数
定义5：表达偏好关系
的效用函数
实值函数u ：n R R +→。

若对所有的01,n
x x R +
∈，有()()
0101u x u x x x ≥⇔，则该实值
函数u 就被称为代表偏好关系的一个效用函数。

定理1：代表偏好关系的实值函数的存在性
如果二元关系是完备的、传递的、连续的以及严格单调的，那么就会存在一个表示该关
系的连续实值函数:n
u R R +→。

定理2：效用函数的正单调变换的不变性 令
是n
R +上的一个偏好关系，假设()u x 为代表该关系的效用函数。

对于每个x 而言，当
且仅当对所有的x ，有()()()
v x f u x =时，其中:f R R →在u 的集值上是严格递增的，则()v x 也代表这种偏好关系。

定理3：偏好关系与效用函数的性质
令u ：n
R R +→代表
，则：
1. ()u x 是严格递增的，当且仅当是严格单调的；
2. ()u x 是拟凹的，当且仅当
是凸的；
3. ()u x 是严格拟凹的，当且仅当是严格凸的。