9圆 初中数学 九年级

给力教育个性化辅导讲义
一、课程基本信息
二、教学内容
考点一、圆的相关概念 1、圆的定义
在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转一周，另一个端点A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。

以点O 为圆心的圆记作“⊙ O”，读作“圆O” 考点二、弦、弧等与圆有关的定义 （1）弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦。

（如图中的AB ） （2）直径
经过圆心的弦叫做直径。

（如途中的CD ） （3）半圆
圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（4）弧、优弧、劣弧
圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

弧用符号“⌒”表示，以A ，B 为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。

大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示）；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母表示）
考点三、垂径定理及其推论
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

教师： 科目： 初中数学 课时数： 2 课 题
圆
主要知识点及教学目标
1、圆的相关概念及性质：垂径定理；
2、与圆有关的位置关系：
①点与圆
②直线与圆：切线的判定、切线长定理； 3、圆与正多边形； 4、扇形及圆锥：
①扇形弧长及面积的计算 ②与圆锤有关的计算。

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

垂径定理及其推论可概括为：
过圆心
垂直于弦
直径平分弦知二推三
平分弦所对的优弧
平分弦所对的劣弧
垂径定理的应用：①求弦长②求弦心距③求半径④求弓形高
考点四、圆的对称性
1、圆的轴对称性
圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。

2、圆的中心对称性
圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。

考点五、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
1、圆心角
顶点在圆心的角叫做圆心角。

2、弦心距
圆心到弦的距离叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。

考点六、圆周角定理及其推论
1、圆周角
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2、圆周角定理
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

考点七、点和圆的位置关系
设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：
d<r⇔点P在⊙O内；
d=r⇔点P在⊙O上；
d>r⇔点P在⊙O外。

考点八、过平面内不共线点的圆
1、过三点的圆
不在同一直线上的三个点确定一个圆。

2、三角形的外接圆
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

3、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）
圆内接四边形对角互补。

考点九、反证法
先假设命题中的结论不成立，然后由此经过推理，引出矛盾，判定所做的假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明方法叫做反证法。

考点十、直线与圆的位置关系
直线和圆有三种位置关系，具体如下：
（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；
（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：
直线l与⊙O相交⇔d<r；
直线l与⊙O相切⇔d=r；
直线l与⊙O相离⇔d>r；
考点十一、切线的判定和性质
1、切线的判定定理
经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2、切线的性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径。

考点十二、切线长定理
1、切线长
在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

考点十三、三角形的内切圆
1、三角形的内切圆
与三角形的各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

2、三角形的内心
三角形的内切圆的圆心是三角形的三条内角平分线的交点，它叫做三角形的内心。

考点十四、正多边形和圆
1、正多边形的定义
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。

2、正多边形和圆的关系
只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

考点十五、与正多边形有关的概念 1、正多边形的中心
正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

2、正多边形的半径
正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。

3、正多边形的边心距
正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。

4、中心角
正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

考点十六、正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性
正多边形都是轴对称图形。

一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。

2、正多边形的中心对称性
边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。

考点十七、弧长和扇形面积 1、弧长公式
n°的圆心角所对的弧长l 的计算公式为180
n r l π=
2、扇形面积公式
lR R n S 2
13602==π扇， 其中n 是扇形的圆心角度数，R 是扇形的半径，l 是扇形的弧长。

3、圆锥的侧面积
l r S π= ,其中l 是圆锥的母线长，r 是圆锥的底面半径。

三、专题训练
一、选择题
1.如图,量角器外缘边上有A ,P ,Q 三点,它们所表示的读数分别是180°,70°,30°,
则∠PAQ 的大小为( )
A.10°
B.20°
C.30°
D.40°
2.如图,AB为圆O的直径,点C在圆O上,若∠OCA=50°,AB=4,则BC
⏜的长为()
A.10
3
π B.109π C.59π D.518π
3.如图,☉O的半径为5,弦AB=8,M是弦AB上的动点,则OM不可能为()
A.2
B.3
C.4
D.5
4.如图,已知圆柱体底面圆的半径为2
π,高为2,AB,CD分别是两底面的直径,AD,BC是母线.若一只小虫
从点A出发,从侧面爬行到点C,则小虫爬行的最短路线的长度是()
A.2√2
B.√2
C.√3
D.2√5
5.如图,PA,PB是☉O的切线,AC是☉O的直径,∠P=40°,则∠BAC的度数是()
A.10°
B.20°
C.30°
D.40°
6.如图,水平地面上有一面积为30π cm2的扇形AOB,半径OA=6 cm,且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止,则点O移动的距离为()
A.π cm
B.2π cm
C.5π cm
D.10π cm
7.如图,AB是☉O的直径,AD是☉O的切线,点C在☉O上,BC∥OD,AB=2,OD=3,则BC的长为()
A.2
3B.3 2
C.√3
2D.√2
2
8.如图,已知☉O的半径为1,锐角三角形ABC内接于☉O,BD⊥AC于点D,OM⊥AB于点M,则sin∠CBD的值等于()
A.OM的长
B.2OM的长
C.CD的长
D.2CD的长
9.如图,已知直线l的解析式是y=4
3
x-4,并且与x轴、y轴分别交于A,B两点.一个半径为1.5的☉C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒移动0.5个单位长度的速度沿着y轴向下运动,当☉C与直线l相切时,则该圆运动的时间为()
A.3秒或6秒
B.6秒或10秒
C.3秒或16秒
D.6秒或16秒
10.如图,AB是☉O的直径,弦BC=2 cm,F是弦BC的中点,∠ABC=60°.若动点E
以2 cm/s的速度从点A出发沿着A→B→A的方向运动,设运动时间为t(单位:s)(0≤t<3),连接EF,当△BEF是直角三角形时,t的值为()
A.7
4B.1 C. 7
4
或1 D. 7
4
或1或9
4
二、填空题
11.如图,正方形ABCD是☉O的内接正方形,点P是劣弧CD
⏜上不同于点C的任意一点,则∠BPC的度数是.
12.如图所示的两段弧中,位于上方的弧半径为r上,下方的弧半径为r下,则r上r下.(填“>”“=”或“<”)
13.如图,A,B是☉O上的两点,AC是过点A的一条直线,若∠AOB=120°,则当∠CAB的度数等于
时,AC才能成为☉O的切线.
14.如图,在△ABC中,BC=6,以点A为圆心,2为半径的☉A与BC相切于点D,交AB于点E,交AC于点F,点P是优弧EF
⏜上的一点,且∠EPF=50°,则图中阴影部分的面积是.
15.某盏路灯照射的空间可以看成如图所示的圆锥,它的高AO=8 m,母线AB与底面半径OB的夹角
为α,tan α=4
3
,则圆锥的底面积是m2.(结果保留π)
16.如图,将边长为√2 cm的正方形ABCD沿直线l向右翻动(不滑动),当正方形连续翻动6次后,正方形ABCD的中心O经过的路线长是 cm.
三、解答题
17.如图,已知△ABC,∠BAC=90°.请用尺规做出△ABC的外接圆.(保留作图痕迹,不写作法)
18.如图,AC是☉O的直径,弦BD交AC于点E.
(1)求证:△ADE ∽△BCE;
(2)如果AD2=AE·AC,求证:CD=CB.
19.在同一平面直角坐标系中有5个点:A(1,1),B(-3,-1),C(-3,1),D(-2,-2),E(0,-3).
(1)画出△ABC的外接圆☉P,并指出点D与☉P的位置关系;
(2)若直线l经过点D(-2,-2),E(0,-3),判断直线l与☉P的位置关系.
⏜的中点,过点D作直线BC的垂线,分别交20.如图,已知△ABC内接于☉O,AC是☉O的直径,D是AB
CB,CA的延长线于点E,F.
(1)求证:EF是☉O的切线;
(2)若EF=8,EC=6,求☉O的半径.
21.在Rt△ACB中,∠C=90°,AC=3 cm,BC=4 cm,以BC为直径作☉O交AB于点D.
(1)求线段AD的长度;
(2)点E是线段AC上的一点,试问当点E在什么位置时,直线ED与☉O相切?请说明理由.
22.如图①,已知在☉O中,AB=2,CD=1,AD⊥BD,直线AD,BC相交于点E.
(1)求∠E的度数;
(2)如果点C,D在☉O上运动,且保持弦CD的长度不变,那么,直线AD,BC相交所成锐角的大小是否改变?试就以下三种情况进行探究,并说明理由(图形未画完整,请你根据需要补全).
①如图②,弦AB与弦CD交于点F;
②如图③,弦AB与弦CD不相交;
③如图④,点B与点C重合.。