第二部分集合论

处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而 不是实在。这种关于无穷的观念在数学上被 称为潜无限。十八世纪数学王子高斯就持这 种观点。用他的话说，就是“……我反对将 无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不 允许的。所谓无穷，只是一种说话的方 式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集 合时，他是把无限的整体作为了一个构造完 成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体 的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想。 由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经 获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当 时
由式631主要内容交并补相对和绝对对称差广义交广义并集合恒等式等幂律交换律结合律分配律德摩根律吸收律零律同一律排中律矛盾律余补律双重否定律补交转换律等熟练掌握集合的子集相等空集全集幂集等概念及其符号化表示熟练掌握集合的交并相对和绝对补对称差广义交广义并的定义及其性质掌握集合的文氏图的画法及利用文氏图解决有限集的计数问题的方法牢记基本的集合恒等式等幂律交换律结合律分配律德摩根律收律零律同一律排中律矛盾律余补律双重否定律补交转准确地用逻辑演算或利用已知的集合恒等式或包含式证明新的等式或包含式学习要求典型习题提示参看基本集合恒等式集合恒等式证明技巧
康托尔的不朽功绩
我们所学习的只是集合论的最基本识。 人们或许觉得一切都是很自然与简单的，根 本无法想象它在诞生之日遭到激烈反对的情 景，也体会不到康托尔的功绩之所在。前苏 联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时 说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒 险迈进”。因而只有当我们了解了康托尔在 对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才 会真正明白他工作的价值之所在和众多反对 之声之由来。 数学与无穷有着不解之缘，
“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立 了关于无限的所谓阿列夫谱系 它可以无限延 长下去。就这样他创造了一种新的超限数理 论，描绘出一幅无限王国的完整图景。可以 想见这种至今让我们还感到有些异想天开的 结论在当时会如何震动数学家们的心灵了。 毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理 论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣。他们 大叫大喊地反对他的理论。有人嘲笑集合论 是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中 之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”。 作对传统观念的一次大革新，由于他开创了 一片
数学陷入了自相矛盾之中。这就这就是数学史 上的第三次数学危机。其实，在罗素之前集合 论中就已经发现了悖论。如1897年，布拉利和 福尔蒂提出了最大序数悖论。1899年，康托尔 自己发现了最大基数悖论。但是，由于这两个 悖论都涉及集合中的许多复杂理论，所以只是 在数学界揭起了一点小涟漪，未能引起大的注 意。罗素悖论则不同。它非常浅显易懂，而且 所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以， 罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界 内引起了极大震动。如G.弗雷格在收到罗素介 绍这一悖论的信后伤心地说：“一个科学家所
遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即 将结束时，其基础崩溃了。罗素先生的一封信 正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟 了他的《什么是数的本质和作用》一文的版。 可以说，这一悖论就象在平静的数学水面上投 下了一块巨石，而它所引起的巨大反响则导致 了第三次数学危机。危机产生后，数学家纷纷 提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康 托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以 限制来排除悖论，这就需要建立新的原则“这 些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾； 另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中
潘多拉立即去找“后觉者”厄庇墨透斯， 他是普罗米修斯的弟弟，为人老实厚道。普 罗米修斯深信宙斯对人类不怀好意，告诫他 的弟弟厄庇透斯不要接受宙斯的赠礼。可他 不听劝告，娶了美丽的潘多拉。潘多拉双手 捧着她的礼物，这是一只密封的大礼盒。她 刚走到厄庇墨透斯近前时，突然打开了盒盖。 厄庇墨透斯还未来得及看清盒内装的是什么 礼物，一股祸害人间的黑色烟雾从盒中迅疾 飞出，犹如乌云一般弥漫了天空，黑色烟雾 中尽是疾病、疯癫、灾难、罪恶、嫉妒、奸 淫、偷窃、贪婪等各种各样的祸害，
他命令他的儿子火神赫淮斯托斯用泥土制作 一个女人，名叫潘多拉(Pandora) , 意为 “被授予一切优点的人”。每个神都对她所 赋予以使她完美。阿佛洛狄忒(Aphrodite)送 给她美貌，赫耳墨斯(Hermes)送给她利嘴灵 舌，阿波羅(Apollo)送给她音乐的天赋。宙 斯给潘多拉一个密封的盒子，里面装满了祸 害、灾难和瘟疫，让她送给娶她的男人。宙 斯将这位丽人遣送到人间，众神和凡人正在 大地上休闲游荡，其乐融融，大家见了这无 以伦比的漂亮女子，都十分惊奇，称羡不已， 因为人类从未有过这样的女人。
中不是代数数的数称为超越数。相比之下， 超越数很难得到。第一个超越数是刘维尔 于1844年给出的。关于π是超越数的证明 在康托尔的研究后十年才问世]集合也是可 数集时，一个很自然的想法是无穷集是清 一色的，都是可数集。但出乎意料的是， 他在1873年证明了实数集的势大于自然数 集。这不但意味着无理数远远多于有理数， 而且显然庞大的代数数与超越数相比而言 也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样： “点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁 星；而沉沉的夜空则由超越数构成。”
获得了世界公认。到二十世纪初集合论已得 到数学家们的赞同。数学家们为一切数学成 果都可建立在集合论基础上的前景而陶了。 他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助 集合论的概念，便可以建造起整个数学的大 厦。在1900年第二次国际数学大会上，著名 数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数 学已被算术化了。今天，我们可以说绝对的 严格已经达到了。”然而这种自得的情绪并 没能持续多久。1903年，一个震惊数学界的 消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国 数学 家罗素提出的著名的罗素悖论。 罗素构造了
得到解决后，出现了一场重建数学基础的 运动。正是在这场运动中，康托尔开始探 讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合 论研究的开端。到1874年康托尔开始一般 地提出“集合”的概念。他对集合所下的 定义是：把若干确定的有区别的（不论是 具体的或抽象的）事物合并起来，看作一 个整体，就称为一个集合，其中各事物称 为该集合的元素。人们把康托尔于1873年 12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思 想的那一天定为集合论诞生日。
而当他得出这一结论时，人们所能找到的超 越数尚仅有一两个而已。这是何等令人震惊 的结果！然而，事情并未终结。魔盒一经打 开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限 于可数集这一个无穷数的怪物。从上述结论 中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有 着不同的数量级，可分为不同的层次。他所 要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之 间还存在着无穷多个层次。他取得了成功， 并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不 同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为 “超限数”。他用希伯莱字母表中第一个字 母
一个集合S：S由一切不是自身元素的集合所 组成。然后罗素问：S是否属于S呢？根据排 中律，一个元素或者属于某个集合，或者不 属于某个集合。因此，对于一个给定的集合， 问是否属于它自己是有意义的。但对这个看 似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如 果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之， 如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无 论如何都是矛盾的。 这一仅涉及集合与属于两 个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留 不下为集合论漏洞辩解的余地。绝对严密的
这些祸害飞速地散落到人地上。而智慧 女神雅典娜为了挽救人类命运而悄悄放在盒 子底层的美好东西“希望”还没来得及飞出盒子 奸猾的潘多拉就把盒子关上了。后即以“潘多 拉魔盒”比喻会带来不幸的礼物；灾难的渊薮。 有的说：从盒里飞出的全是灾祸，它们 撒遍人间，幸亏希望留在我们手中，使我们 还能忍受这不幸的人生。有的说：从盒里飞 出的全是幸福，它们逃之天夭，留在我们手 中的希望只是空洞的幻影。 人类的人性不就是这样吗？束缚的太紧， 人就会萎缩，失去生命力；毫无束缚，肆意
同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间 存在着一一对应关系，也就是说无穷集可以 与它的真子集等势，即具有相同的个数。这 与传统观念“全体大于部分”相矛盾。而康 托尔认为这恰恰是无穷集的特征。在此意义 上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数， 他将其称为可数集。又可容易地证明有理数 集与自然数集等势，因而有理数集也是可数 集。后来当他又证明了代数数[注：整系数 一元n次方程的根，叫代数数。如一切有理 数是代数数。大量无理数也是代数数。如根 号2。因为它是方程x2-2=0的根。实数
张扬，人的动物性的一面又会恶性膨胀。这 不正如潘多拉手中的那个魔盒吗？打开就放 出了邪恶，关闭又封住了希望。
下面就让我们来看一下盒子打开后他释放 出的是什么。 “我们把全体自然数组成的集 合简称作自然数集，用字母N来表示。”人们 对这句话不会感到陌生。但人们在接受这句 话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在 进行一项更新无穷观念的工作。在此以前数 学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一 种变化着成长着的东西来解释。无限永远
数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利， 他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我 们创造的乐园中赶出去。 集合论的公理系统 有多种，如诺伊曼等人提出的NBG系统等。 从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了 一百多年，在这一段时间，数学又发生了极 其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出 进一步发展的模糊集合论的出现等等。而这 一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的。 因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们 仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论 的评价作为我们的总结。
下面就让我们一起去探究一下这门独特 而重要的数学理论的来龙去脉，追觅它所走 过的曲折历程吧。
集合论的诞生
集合论是德国著名数学家康托尔于19世 纪末创立的。 十七世纪数学中出现了一门 新的分支：微积分。在之后的一二百年中这 一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成 果。其推进速度之快使人来不及检查和巩固 它的理论基础。十九世纪初，许多迫切问题
引
言
集合是数学中最基本的概念，又是数学 各分支、自然科学及社会科学各领域的最普 遍采用的描述工具。集合论是离散数学的重 要组成部分，是现代数学中占有独特地位的 一个分支。集合论的基本概念已渗透到数学 的所有领域。如果把现代数学比作一座无比 辉煌的大厦，那么可以说集合论正是构成这 座大厦的基石，由此可见它在数学中的重要性。 其创始人康托尔也以其集合论的成就被 誉为对二十世纪数学发展影响最深的学者之一。
一切有价值的内容得以保存下来。”1908年， 策梅罗在自已这一原则基础上提出第一个公 理化集合论体系，后来经其他数学家改进， 称为ZF系统。这就是集合论发展的第二个阶 段：公理化集合论。与此相对应，在1908年 以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合 论。这一公理化集合系统很大程度上弥补了 康托尔朴素集合论的缺陷。公理化集合论是 对朴素集合论的严格处理。它保留了朴素集 合论的有价值的成果并消除了其可能存在的 悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机。 公理化集合论的建立，标志着著名
全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问 题，他的理论受到激烈地批驳是正常的。当回 头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对 看作是对他真正具有独创性成果的一种褒吧。
公理化集合论的建立
集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的 激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论 争的牺牲品。在猛烈的攻击下与过度的用脑 思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神 崩溃。然而集合论前后经历二十余年，最终
但在研究无穷的道路上却布满了陷阱。因为 这一原因，在数学发展的历程中，数学家们 始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能பைடு நூலகம்回避这一概念。但试图把握无限的康托尔却 勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路。他把 无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片 未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新 世界。 对无穷集的研究使他打开了“无限”这一 数学上的潘多拉盒子。 天神普罗米修斯从天上盗火种送给人类， 人类学会了使用火，主神宙斯十分恼火，宙 斯决定要让灾难也降临人间。
遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的。 然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未 有的方式，继续正面探讨无穷。他在实无限 观念基础上进一步得出一系列结论，创立了 令人振奋的、意义十分深远的理论。这一理 论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的 无限世界。 最能显示出他独创性的是他对 无穷集元素个数问题的研究。他提出用一一 对应准则来比较无穷集元素的个数。他把元 素间能建立一一对应的集合称为个数相同， 用他自己的概念是等势。由于一个无穷集可 以与它的真子集建立一一对应，例如