金融工程 利率
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金融工程
各种利率
利率
利率表示一定时期内利息量 与本金的比率，通常用百分 比表示，按年计算则称为年 利率。当然也可以一年计算m 次。 不同复利频率对100RMB在一 年末价值的影响。利率为每 年10%
复利频率(每年m 次) m=1 m=2 m=4 m=12
100RMB在1年末 的价值 110 110.25 110.38 110.47
15
18
8.6
8.7
计算第二季度、第三季度、第四季度、第五季度、第六季 度的远期利率
解：
第二季度： 8.2% 2 8.0% 1 8.4% 2 1 8.4% 3 8.2% 2 第三季度 ： 8.8% 3 2 8.5% 4 8.4% 3 第四季度 ： 8.8% 43
r 6.76%
债券的定价
设本金为100，息票率为c（每 年两次） 那么，由零息率和息票率即 可计算债券价格 由年收益率与息票率也可计 算出债券价格。那么通过此 中间过程，由零息率可以计 算出年收益率。
期限（年）
零息率（连续复 利）%
0.5
5.0
1.0
5.8
1.5
6.4
2.0
6.8
例
债券收益率
是这样一种贴现率，对所有未来现金流以该贴现率进行贴现， 使计算出来的债券价格等于市场价格
例
本金为100，息票率为6%、据到期日还有2年的债券，每半年 支付一次，已知债券价格为98.39，求收益率？ 解：
3 e r0.5 3 e r1 3 e r1.5 103 e r2 98.39
A* eRe* n A* (1 Rm/m) m* n Re m * ln(1 Rm / m) Rm m * (eRe/ m 1)
年息10%，半年复利一次，连续复利的利率为多少？
10% Re 2 * ln(1 ) 2 9.758%
假设债权人给出贷款利息为8%，连续复利。实际上利息一季 度只支付一次，求每季度计一次利息的等价年利率？
当前现金流：90 80 0 e r10 100 r 3.57 %
例5：
6个月期和1年期国库券（零息）的价格分别为94.0美元和 89.0美元。1.5年期的债券每半年付券息4美元，价格为94.84 美元。2年期的债券每半年付息5美元，价格为97.12美元。计 算6个月期、一年期、1.5年期以及两年期的零息利率？
伦敦同业拆放利率（LIBOR）
LIBOR是伦敦同业拆放利率的简称，一家特定银行所报出的 LIBOR是指该银行向同业银行贷出大额资金时所收取的利率。 同业拆放利率是指指金融机构同业之间的短期资金借贷利率。 它有两个利率，拆进利率表示金融机构愿意借款的利率；拆 出利率表示愿意贷款的利率。比如（LIBOR，SHIBOR）
0.5年： 100 er10.5 94.0 r1 12.38%
1年： 100 er21 89.0 r2 11.65%
1.5年： 4 e0.12380.5 4 e0.11651 104 er31.5 94.84
r3 11.5%
复利与连续复利
复利就是复合利息，它是指每年的收益还可以产生收益，具 体是将整个借贷期限分割为若干段，前一段按本金计算出的 利息要加入到本金中，形成增大了的本金，作为下一段计算 利息的本金基数，直到每一段的利息都计算出来，加总之后， 就得出整个借贷期内的利息，简单来说就是俗称的利滚利。 当复利频率趋于无穷大时就称为连续复利。 假设Re是连续复利的利率，Rm是与之等价的每年计m次复利 的利率。用A表示本金：有
4 4 104 96.74 10% 10% 2 r 1 （ 1 ） (1 )3 2 2 2
r 10 .42 %
票面收益率
某个债券期限的票面收益率指的是能使债券价格相同于其账 面价值的息票率。 息票率决定现金流（默认半年支付一次） 假设债券到期时收到1RMB的现值为d，每次息票支付日支付 1RMB的年金价值为A，m为每年的利率支付次数，那么票面 收益率C应该满足下式：
100 100
1.5 2
8 12
96.0 101.6
解
.
2.5 4 10.256 % 0.25年： 10.256 % 连续： 4 ln(1 ) 10.127 % 97.5 4
5.1 2 10.748 % 0.5年： 10.748 % 连续 2 ln(1 ) 10.469 % 97.9 2
m=52 m=365
110.51 110.52
国债利率
国债利率是指投资者在短期和长期国债中获得的利率。 国债具有偿还性，是一种预期的财政支出，这一特点和无偿 性的税收是不同的。国债还具有认购上的自愿性，除极少数 强制国债外，人们是否认购、认购多少，完全由自己决定， 这也与强制课征的税收明显不同。
R 7.072 %
远期利率
远期利率是由当前零息率隐含在将来开始的一定期限的利率。 一般来说，如果R1是T1年期的零息率，R2是T2年期的零息 率，则T1~T2期间的远期利率
R 2 * T 2 R1* T 1 RF T 2 T1
例3
假设连续复利的零息利率如下表：
期限（月） 3 6 9 12 利率（%）每年 8.0 8.2 8.4 8.5
债券本金为100美元，息票率为6%，半年支付一次，2年期， 债券的价格是多少？ 解：
0.05*0.5
3* e
3* e
0.058*1
3* e
0.064*1.5
103* e
0.068*2
98.39
例1：
6个月期与1年期的零息利率均为每年10%。一个剩余期限为 18个月，息票利率为每年8%（半年复利一次，且刚刚付过一 次利息），收益率为10.4%的债券价格是多少？18个月的零 息利率是多少？这里所有利率均为半年复利一次 按连续复利的方法求债券价格：
2年： 5 e0.12380.5 5 e0.11651 5 e0.1151.5 105 er42 97.12
r4 11.3%
10 1年： 11.111 % 连续 ln(1 11.111 %) 10.536 % 90
1.5年： 4 e0.104690.5 4 e0.105361 104 e r11.5 96 r1 10.681%
2年： 6 e0.104690.5 6 e0.105361 6 e0.106811.5 106 e r21.5 101.6 r2 10.808%
10 .4% ) 10 .139 % 2 4 e10.139%0.5 4 e10.139%1 104 e10.139%1.5 96.74 2 ln(1
按非连续复利的方法求债券价格：
10.4% 1 10.4% 2 10.4% 3 4 （ 1 ） 4 (1 ) 104 (1 ) 96.74 2 2 2
(100 100 d ) * m C A
例2：
假定6个月期、12月期、18月期和24月期的零息利率分别为 5%、6%、6.5%和7%。两年的债券平均收益率为多少？ 设票面收益率为R
R 0.050.5 R 0.061 R 0.0651.5 R e e e (100 ) e 0.072 100 2 2 2 2
Rm 4 * (e
8% 4
1)
8.081%
零息率
N年期的零息票利率指从现在开始持续n年的一笔投资中获得 的利息率。所有利息和本金是n年期限结束时收到，中间不 发生任何支付。
零息票收益率曲线的确定
息票剥离方法的确定
债券本金 100 100 100 到期期限 0.25 0.5 1 年息票 0 0 0 债券价格 97.5 94.9 90.0
8.6% 5 8.5% 4 第五季度 ： 9% 54
8.7% 6 8.6% 5 第六季度 ： 9.2% 65
例4：
10年期票面利率为8%的债券价格为90美元。10年期票面利率 为4%的债券价格为80美元。10年期的零息利率是多少？ 解： 进入两份票面利率为的多头以及一份票面利率为的空头。
各种利率
利率
利率表示一定时期内利息量 与本金的比率，通常用百分 比表示，按年计算则称为年 利率。当然也可以一年计算m 次。 不同复利频率对100RMB在一 年末价值的影响。利率为每 年10%
复利频率(每年m 次) m=1 m=2 m=4 m=12
100RMB在1年末 的价值 110 110.25 110.38 110.47
15
18
8.6
8.7
计算第二季度、第三季度、第四季度、第五季度、第六季 度的远期利率
解：
第二季度： 8.2% 2 8.0% 1 8.4% 2 1 8.4% 3 8.2% 2 第三季度 ： 8.8% 3 2 8.5% 4 8.4% 3 第四季度 ： 8.8% 43
r 6.76%
债券的定价
设本金为100，息票率为c（每 年两次） 那么，由零息率和息票率即 可计算债券价格 由年收益率与息票率也可计 算出债券价格。那么通过此 中间过程，由零息率可以计 算出年收益率。
期限（年）
零息率（连续复 利）%
0.5
5.0
1.0
5.8
1.5
6.4
2.0
6.8
例
债券收益率
是这样一种贴现率，对所有未来现金流以该贴现率进行贴现， 使计算出来的债券价格等于市场价格
例
本金为100，息票率为6%、据到期日还有2年的债券，每半年 支付一次，已知债券价格为98.39，求收益率？ 解：
3 e r0.5 3 e r1 3 e r1.5 103 e r2 98.39
A* eRe* n A* (1 Rm/m) m* n Re m * ln(1 Rm / m) Rm m * (eRe/ m 1)
年息10%，半年复利一次，连续复利的利率为多少？
10% Re 2 * ln(1 ) 2 9.758%
假设债权人给出贷款利息为8%，连续复利。实际上利息一季 度只支付一次，求每季度计一次利息的等价年利率？
当前现金流：90 80 0 e r10 100 r 3.57 %
例5：
6个月期和1年期国库券（零息）的价格分别为94.0美元和 89.0美元。1.5年期的债券每半年付券息4美元，价格为94.84 美元。2年期的债券每半年付息5美元，价格为97.12美元。计 算6个月期、一年期、1.5年期以及两年期的零息利率？
伦敦同业拆放利率（LIBOR）
LIBOR是伦敦同业拆放利率的简称，一家特定银行所报出的 LIBOR是指该银行向同业银行贷出大额资金时所收取的利率。 同业拆放利率是指指金融机构同业之间的短期资金借贷利率。 它有两个利率，拆进利率表示金融机构愿意借款的利率；拆 出利率表示愿意贷款的利率。比如（LIBOR，SHIBOR）
0.5年： 100 er10.5 94.0 r1 12.38%
1年： 100 er21 89.0 r2 11.65%
1.5年： 4 e0.12380.5 4 e0.11651 104 er31.5 94.84
r3 11.5%
复利与连续复利
复利就是复合利息，它是指每年的收益还可以产生收益，具 体是将整个借贷期限分割为若干段，前一段按本金计算出的 利息要加入到本金中，形成增大了的本金，作为下一段计算 利息的本金基数，直到每一段的利息都计算出来，加总之后， 就得出整个借贷期内的利息，简单来说就是俗称的利滚利。 当复利频率趋于无穷大时就称为连续复利。 假设Re是连续复利的利率，Rm是与之等价的每年计m次复利 的利率。用A表示本金：有
4 4 104 96.74 10% 10% 2 r 1 （ 1 ） (1 )3 2 2 2
r 10 .42 %
票面收益率
某个债券期限的票面收益率指的是能使债券价格相同于其账 面价值的息票率。 息票率决定现金流（默认半年支付一次） 假设债券到期时收到1RMB的现值为d，每次息票支付日支付 1RMB的年金价值为A，m为每年的利率支付次数，那么票面 收益率C应该满足下式：
100 100
1.5 2
8 12
96.0 101.6
解
.
2.5 4 10.256 % 0.25年： 10.256 % 连续： 4 ln(1 ) 10.127 % 97.5 4
5.1 2 10.748 % 0.5年： 10.748 % 连续 2 ln(1 ) 10.469 % 97.9 2
m=52 m=365
110.51 110.52
国债利率
国债利率是指投资者在短期和长期国债中获得的利率。 国债具有偿还性，是一种预期的财政支出，这一特点和无偿 性的税收是不同的。国债还具有认购上的自愿性，除极少数 强制国债外，人们是否认购、认购多少，完全由自己决定， 这也与强制课征的税收明显不同。
R 7.072 %
远期利率
远期利率是由当前零息率隐含在将来开始的一定期限的利率。 一般来说，如果R1是T1年期的零息率，R2是T2年期的零息 率，则T1~T2期间的远期利率
R 2 * T 2 R1* T 1 RF T 2 T1
例3
假设连续复利的零息利率如下表：
期限（月） 3 6 9 12 利率（%）每年 8.0 8.2 8.4 8.5
债券本金为100美元，息票率为6%，半年支付一次，2年期， 债券的价格是多少？ 解：
0.05*0.5
3* e
3* e
0.058*1
3* e
0.064*1.5
103* e
0.068*2
98.39
例1：
6个月期与1年期的零息利率均为每年10%。一个剩余期限为 18个月，息票利率为每年8%（半年复利一次，且刚刚付过一 次利息），收益率为10.4%的债券价格是多少？18个月的零 息利率是多少？这里所有利率均为半年复利一次 按连续复利的方法求债券价格：
2年： 5 e0.12380.5 5 e0.11651 5 e0.1151.5 105 er42 97.12
r4 11.3%
10 1年： 11.111 % 连续 ln(1 11.111 %) 10.536 % 90
1.5年： 4 e0.104690.5 4 e0.105361 104 e r11.5 96 r1 10.681%
2年： 6 e0.104690.5 6 e0.105361 6 e0.106811.5 106 e r21.5 101.6 r2 10.808%
10 .4% ) 10 .139 % 2 4 e10.139%0.5 4 e10.139%1 104 e10.139%1.5 96.74 2 ln(1
按非连续复利的方法求债券价格：
10.4% 1 10.4% 2 10.4% 3 4 （ 1 ） 4 (1 ) 104 (1 ) 96.74 2 2 2
(100 100 d ) * m C A
例2：
假定6个月期、12月期、18月期和24月期的零息利率分别为 5%、6%、6.5%和7%。两年的债券平均收益率为多少？ 设票面收益率为R
R 0.050.5 R 0.061 R 0.0651.5 R e e e (100 ) e 0.072 100 2 2 2 2
Rm 4 * (e
8% 4
1)
8.081%
零息率
N年期的零息票利率指从现在开始持续n年的一笔投资中获得 的利息率。所有利息和本金是n年期限结束时收到，中间不 发生任何支付。
零息票收益率曲线的确定
息票剥离方法的确定
债券本金 100 100 100 到期期限 0.25 0.5 1 年息票 0 0 0 债券价格 97.5 94.9 90.0
8.6% 5 8.5% 4 第五季度 ： 9% 54
8.7% 6 8.6% 5 第六季度 ： 9.2% 65
例4：
10年期票面利率为8%的债券价格为90美元。10年期票面利率 为4%的债券价格为80美元。10年期的零息利率是多少？ 解： 进入两份票面利率为的多头以及一份票面利率为的空头。