人教版数学九年级上册教学课件-24.1.2垂直于弦的直径

几何语言： 并且平分弦所对的两条弧.
已知⊙O中，直径EF⊥AB于C，若CF=4， 垂直于弦的直径平分弦，
∵ OE⊥AB OE过圆心O
求证：AC＝BD。 过O作OE⊥AB于点E.
C
∵CD是直径 4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.
过O作OE⊥AB于点E.
如果弦AB是过圆心的弦呢?平分弦AB的直径CD一定会垂直弦AB吗？
垂直于弦的直径平分弦， ∴ ⊙O的半径为10. 并且平分弦所对的两条弧. 实验观察 得出猜想 垂直于弦的直径平分弦，
又 AB⊥CD 思考：圆是什么图形？有几条对称轴？对称轴是什么？
4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7. 3、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 长为（ ）. 如何才能使得直径CD平分弦AB?
例1 赵州桥是我国隋代建立的石拱桥，距今有1400年 的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
24.1.2垂直于弦的直径
赵州桥主桥拱的半径是多少？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石 拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧 形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦 的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
实验观察 得出猜想
如何才能使得直径CD平分弦AB? 剪一张圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？ 如果弦AB是过圆心的弦呢?平分弦AB的直径CD一定会垂直弦AB吗？ 2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
剪一张圆形纸片，沿着它的任意一条直 2、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆 心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。
6解决求C.赵州桥结拱半论径的问：题 1、圆是轴对称图形
即 R2=18.
2、任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
实验观察 得出猜想
下面我们证明这个结论，要证明
圆结论是：轴圆对是称轴图对形称，图只形需,任证何明一圆条直上径所 任在直意线一都点是关它于的直对径称所轴在．直线（对 称轴）的对称点也在圆上. 思考：AE=BE？
∴⊙O的半径为5厘米。
CD⊥AB 2、解题方法：作垂线、连半径
证明猜想 形成定理
构造直角三角形
O·
结论：1、圆是轴对称图形
∴AE=BE 仔细观察，图形中有哪些
探究3：在圆上任意作一条弦AB，你能否找到平分弦AB的直径CD? 6 C. 即 R2=18.
⌒ ⌒ 即 R2=18.
AD=BD 如何才能使得直径CD平分弦AB?
C
D
推论：
平分弦（不是直径）的直径 垂直于弦，并且平分弦所对 的两条弧.
已知
结论
A
AB不是直径
CD过圆心
CD⊥AB
A⌒D=B⌒D
AE=BE
A⌒C=⌒BC
C
O·
E B
D
推论：
几何语言：
(AB不是直径)
∵CD过圆心
AE=BE ∴CD⊥AB
A⌒D=B⌒D ⌒⌒
AC=BC
C
O·
E
A
B
D
知二推三
应用定理 解决问题
∴ ⊙O的半径为10. 4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.
C
在图中AB=37.4， CD=7.2， 7.2 2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
问题 ：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥, 是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所
1 1 对的弦的长)为37. AD AB 37.4 18.7, 3、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，
应用定理 解决问题
C
A
D
B
O
解决求赵州桥拱半径的问题
如图，用 A︵表B 示主桥拱，设AB 所A︵B在圆的圆心为O，半
径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足， 如果弦AB是过圆心的弦呢?平分弦AB的直径CD一定会垂直弦AB吗？
过O作OE⊥AB于点E.
如图， ⊙O的直径CD垂直于弦AB,
∴赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.
方法总结： 1、作辅助线：作垂直、连半径 2、构造直角三角形
同类练习
已知⊙O中，直径EF⊥AB于C，若CF=4
，
AB=16，求⊙O的半径。
解：连结OA. 设OA=R ,则OC=R-4 . E
∵直径EF⊥AB
AC BC 1 AB 1 16 8
2
2
在RtAOC中，由勾股定理得，
E
A
B
D
如图，用 表示主桥拱，设 所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O 作弦AB 的垂线OC，D为垂足，OC与AB 相交于点D，根据前面的 结论，D 是AB 的中点，C是 的中点，CD 就是拱高．
⌒ ⌒ 即 R2=18.
AC=BC 实验观察 得出猜想
新知强化
1、下列图形中能否得到AE=BE，为什么？
C
证明：在△ABO中，
∵OA=OB
∴ △ OAB是等腰三角形. 又 AB⊥CD ∴AE=BE
·O
E
A
B
D
实验观察 得出猜想
探究2：在圆形纸片上画一条直径CD， 在直径CD上取一点E（点E与O不重 合），过点E画一条弦AB，然后沿CD 对折，观察线段AE是否等于BE?
如何才能使得直径CD平分弦AB?
OC与AB 相交于点D，根据前面的结论，D 是AB 的 ︵ 2、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆 心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。
垂直于弦的直径平分弦，
中点，C是 的中点，CD 就是拱高． AB 剪一张圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？
A 大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
18.7 D
B
2 2 2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？
OD=OC－CD=R－7.2 R 2、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆 心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。
3、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
R－7.2
A E D
C
D O
A B
B
O E
CC
不能
不能
A
D E
A
O
B
能
B E
O
能
2、如图,已知⊙O的半径OB=5，OP⊥AB， 垂足为P，且OP=3，则AB=__8____ .
C
O
AP
B
D
探究3：在圆上任意作一条弦AB，你能否找到 分弦AB的直径CD?
思考：此时AB与CD的位置关系？
C
.E
D
想一想：
如果弦AB是过圆心的弦呢?平分弦AB 的直径CD一定会垂直弦AB吗？
解：连结OA. 过O作OE⊥AB于点E.
则OE=3. A
∵ OE⊥AB OE过圆心O
AE BE 1 AB 1 8 4
2
2
在RtAOE中，由勾股定理得，
OA＝5厘米
∴⊙O的半径为5厘米。
E
B
.
O
课堂练习
3、已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中， 大圆的弦AB交小圆于C，D两点。 求证：AC＝BD。
O.
AC
DB
课堂小结:
1、垂径定理及推论 2、解题方法：作垂线、连半径
构造直角三角形
拓展提升
已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦 AB=40 cm ，CD=48cm，请算一算弦AB与CD之 间的距离。
谢谢
在Rt△OAD中，由勾股定理，得 AB=16，求⊙O的半径。
过O作OE⊥AB于点E. ∴赵州桥的主桥拱半径约为27.
O
OA =AD +OD 结论：1、圆是轴对称图形
6 C.
2
2
2
如何才能使得直径CD平分弦AB?
即 6 C.
∴⊙O的半径为5厘米。
R2=18.72+（R－7.2）2
解得：R≈27.9（m）
赵州桥主桥拱的半径是多少？
径对折，重复几次，你发现了什么？由此 剪一张圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？
设OA=R ,则OC=R-4 .
你能得到什么结论？你能证明你的结论吗？ 下面我们证明这个结论，要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线（对称轴）的对称点也在圆上.
探究垂径定理
如图， ⊙O的直径CD垂直于弦AB, 垂足为E.仔细观察，图形中有哪些 相等的线段和弧？为什么？
C
ห้องสมุดไป่ตู้·O
E
A
B
D
证明猜想 形成定理
垂径定理：
垂直于弦的直径平分弦，
并且平分弦所对的两条弧.
已知
结论
A
CD过圆心 CD⊥AB
AE=BE
A⌒D=B⌒D A⌒C=B⌒C
C
O·
E B
D
证明猜想 形成定理
· R
O R-4
8C
AO2 OC2 AC2
A
4
B
即 R2 (R 4)2 82
F
解得：R=10
∴ ⊙O的半径为10.
课堂练习
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
垂足
为E，如果AB=20，CD=16，那么线段OE
的
B
长为（ ）.
A.4 B.6 C.8 D.10
C
A
O E
B
D
课堂练习
2、如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆 心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。