【三维设计】高考数学一轮复习 第5节 两角和与差的三角函数我来演练

一、选择题
1．(2012·成都联考)已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α，则sin 2α等于( ) A.12 B ．－1
2 C.2
2
D ．－
22
解析：由cos 2α＝c os ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π4－α 得(c os α－sin α)(cos α＋sin α)＝2
2
(cos α＋sin α) 由α为锐角知cos α＋sin α≠0. ∴cos α－sin α＝22，平方得1－sin 2α＝12
. ∴sin 2α＝1
2.
答案：A
2．(cos 15°－cos 75°)(sin 75°＋sin 15°)＝( ) A.1
2
B.22
C.3
2
D ．1
解析：原式＝(c os 15°－sin 15°)(cos 15°＋sin 15°) ＝cos 2
15°－sin 2
15°＝cos 30°＝32
. 答案：C
3．在△ABC 中，若cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0，则sin B 的值是( ) A.1
2
B.22
C.3
2
D ．1
解析：由cos 2B ＋3cos(A ＋C )＋2＝0， 得2cos 2
B －3cos B ＋1＝0， 所以cos B ＝1
2或cos B ＝1(舍去)．
答案：C
4．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π
4
D.π6
解析：∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π
2，
∵cos(α－β)＝1－sin
2
α－β＝
31010，sin α＝5
5
， ∴cos α＝
1－⎝
⎛⎭
⎪⎫552＝25
5. ∴sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22
. ∵0<β<π2，∴β＝π
4.
答案：C 5．已知f (α)＝
1＋cos 2α1tan
α2－tan α2，α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2，
则f (α)取得最大值时α的值是( )
A.π
6 B.π4 C.
π
3
D.25
π 解析：f (α)＝1＋cos 2α1tan α2－tan α2＝2cos 2
α
cos α2sin α2－
sin α2cos
α
2
＝
2cos 2
αsin α2cos
α
2cos
2α
2
－sin
2
α
2
＝sin αcos 2
αcos α＝1
2
sin 2α，
当2α＝π2，即α＝π
4时，函数f (α)取得最大值．
答案：B 二、填空题
6．(2011·江苏高考)已知tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为__________．
解析：由tan ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝tan x ＋tan
π
41－tan x tan
π4＝2，得tan x ＝13，tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝34，故tan x tan 2x ＝13×43＝49
. 答案：49
7．(2012·嘉兴模拟)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝________. 解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，
∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223. 故cos α＝cos[⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4]
＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4
＝13×22＋223×22＝4＋2
6. 答案：4＋26
三、解答题
8．已知cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan β＝－13，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos(α＋β)． 解：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，
∴sin α＝－3
5.
∵β∈⎝
⎛⎭
⎪⎫π2，π，tan β＝－13，
∴cos β＝－31010，sin β＝10
10.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1010
＝31010
9．(2012·衡阳模拟)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－x 2＋sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫
π－x 2，x ∈R.
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)若f (α)＝2105，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值．
解：(1)f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－x 2＋sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫
π－x 2＝sin x 2＋cos x
2
＝2sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 2＋π4
∴f (x )的最小正周期T ＝2π
12＝4π.
(2)由f (α)＝210
5
，
得sin α2＋cos α2＝210
5
，
∴1＋sin α＝85.∴sin α＝3
5
.
又α∈⎝
⎛⎭⎪⎫0，π2. ∴cos α＝1－sin 2
α＝ 1－925＝45
. ∴tan α＝sin αcos α＝3
4
.
∴tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝3
4＋1
1－
34
＝7.
10．(2012·济源质检)已知α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．
解：(1)因为sin
α
2＋cos α2＝62
， 两边同时平方，得sin α＝1
2.
又π
2
<α<π，
所以cos α＝－
32
. (2)因为π2<α<π，π
2
<β<π，
所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π
2.
由sin (α－β)＝－35，得cos(α－β)＝4
5.
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－
32×45＋12×(－3
5
) ＝－43＋310.。