《概率统计》作业参考答案

3 ∑ i=0
P (B |Ai )P (Ai ) = . . . = 0.02286. P (B |A2 )P (A2 ) = . . . = 0.496. P (B )
(2) 由贝叶斯公式, P (A2 |B ) =
习题一 8. 此题题意不明确, 应给出条件“发送字符AAAA, BBBB, CCCC 的概率各为1/3”, 然后利用全概率公式和贝叶斯公式分别求(1) 和(2).
3
综上, 得 0, y < 0, FY (y ) = y, 0 ≤ y < 1, 1, y ≥ 1. 从而 1, 0 ≤ y < 1, 0, 其它.
′ fY (y ) = FY (y ) =
习题二 8. 解: 已知 X ∼ e(λ), Y = min{X, 2}. (1) 首先, 注意到随机变量Y = min{X, 2} 的取值范围为: 0 ≤ min{X, 2} ≤ 2, 则 FY (y ) = P (Y ≤ y ) = P (min{X, 2} ≤ y ), 1) 当 y < 0 时, P (min{X, 2} ≤ y ) = 0; 2) 当 y ≥ 2 时, P (min{X, 2} ≤ y ) = 1; 3) 当 0 ≤ y < 2 时, P (min{X, 2} ≤ y ) = P (X ≤ y ) = FX (y ) = 1 − e−λy . 综上, 得 0, y < 0, FY ( y ) = 1 − e−λy , 0 ≤ y < 2, 1, y ≥ 2. (2) P (Y = 2) = FY (2) − FY (2−) = 1 − (1 − e−2λ ) = e−2λ . 亦可利用事件的等价 性, P (Y = 2) = P (X ≥ 2) = e−2λ . (3) ∵ FY (2−) = 1 − e−2λ ̸= 1 = FY (2), ∴ FY 不连续, 4
练习1-4 1. 解: 记A1 = {第一次取到的是黑球}, A2 = {第二次取到的是黑球}, 依题意, 易 求得: P (A1 ) = P (A2 ) = a a(a − 1) , P (A1 A2 ) = , 从而 a+b (a + b)(a + b − 1) P (A1 A2 ) a−1 (1) P (A2 |A1 ) = = . P (A1 ) a+b−1 a−1 P (A1 A2 ) = . P (A2 ) a+b−1
第三章 随机变量的分布与数字特征 练习3-1 6. 解: (3) (X, Y ) 的联合密度为 1 , 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1, 2 f (x, y ) = 0, 其它. 从而, ∫∫ P (Y ≤ X ) = P ((X, Y ) ∈ {(x, y ) ∈ |y ≤ x }) =
《概率统计》课后作业参考答案
第一章 随机事件与概率 练习1-2 2. 解: 记Ai = {有i 个顾客购买滚筒洗衣机}, i = 0, 1, . . . , 5, 依题意, 可知 Ω, 且Ai ∩ Aj = ∅, 从而利用概率公理3(可列可加性), 可求得 Ai ) = 1 − P (A0 + A1 ) = 1 − 0.087 = 0.913.
(2) P (A1 |A2 ) =
∩ P (A1 A2 ) P (A1 A2 (A1 + A2 )) = = (3) P (A1 A2 |A1 + A2 ) = P (A1 + A2 ) P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 A2 ) a−1 . a + 2b − 1
练习1-5 1
9. 解: 记Ai = {击 中 敌 机i 弹}, i = 0, 1, 2, 3, B = {敌 机 被 击 落}, 由 题 意, 有: P (B |A0 ) = 0, P (B |A1 ) = 0.2, P (B |A2 ) = 0.6, P (B |A3 ) = 1.
以下通过作业题来说明如何利用该一般方法. 3. 已知 X ∼ U [−1, 1], Y = X 2 , 求FY (y ) ? fY (y ) ? 解: FY (y ) = P (Y ≤ y ) = P (X 2 ≤ y ), 则 1) 当 y < 0 时, P (X 2 ≤ y ) = 0; 2) 当 y ≥ 1 时, P (X 2 ≤ y ) = 1; √ √ √ √ 3) 当 0 ≤ y < 1 时, P (X 2 ≤ y ) = P (− y ≤ X ≤ y ) = FX ( y ) − FX (− y ) = √ √ y − (−1) − y − (−1) √ − = y. 2 2 综上, 得 0, y < 0, √ FY (y ) = y, 0 ≤ y < 1, 1, y ≥ 1. 从而 1 √ , 0 < y < 1, 2 y 其它.
5 ∪ i=0
Ai =
(1) P (
5 ∪
i=2
(2) 已知P (A5 ) = 0.0768, P (A0 ) = 0.0102, 则 P(
4 ∪
Ai ) = 1 − P (A0 + A5 ) = 1 − 0.087 = 0.913.
i=1
Remark: 注意, 事件Ai 意味着有(5 − i) 个顾客购买直筒洗衣机.
0 1 另一方面, 由伯努利定理, 可求得P (A0 ) = C3 · 0.30 · 0.73 , P (A1 ) = C3 · 0.31 · 0.72 , 2 3 P (A2 ) = C3 · 0.32 · 0.71 , P (A3 ) = 1) 由全概率公式, P (B ) =
第二章 随机变量的分布与数字特征 练习2-5 小结: 本节关于求随机变量函数的分布, 是概率论中的一个重要内容, 通常, 求解 随机变量函数的分布并不容易, 为了帮助同学们更好地理解和掌握这部分内容, 现总 结归纳一下求解随机变量函数的分布的一般方法. · 求解随机变量函数的分布的一般方法: 设 X ∼ FX (x), 则 Z = g (X ) 的分布函数 FZ (z ) 为 FZ (z ) = P (Z ≤ z ) = P (g (X ) ≤ z ) = P (X ∈ {x ∈ R|g (x) ≤ z }) ∫ = dFX (x).
1因x与y相互独立从而fxyfxxfyy具体地有??????fxy?????????????????????????????0x0或y1x2y?10x21y2x210x2y21y?1x21y21x2y262分别先求的分布函数fffxpxpx2x??x0?????0x0p?xxxx0????????????????????0p?xxxx0?0x0fxx?fx?xx0??????????0x20x4y01x4
=
FX (√x) − FX (−√x), x ≥ 0, 0, √ y < 0,
=
x , 0 ≤ x ≤ 4, 2 1, x > 4.
同理可得, 0, x < 1, √ Fη (y ) = y − 1, 1 ≤ y ≤ 4, 1, y > 4. 注意到 X 与Y 相互独立, 故 ξ = X 2 与η = Y 2 相互独立, 从而 0, x < 0, 或 y < 1, √ x √ · ( y − 1), 0 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 4, 2 √ x (ξ, η ) ∼ G(x, y ) = Fξ (x)Fη (y ) · 1, 0 ≤ x ≤ 4, y > 4, 2 √ 1 · ( y − 1), x > 4, 1 ≤ y ≤ 4, 1, x > 4, y > 4. 7
∴ Y 不是连续型随机变量. (4) P (X > 3|Y = 2) = e−3λ = e−λ . e−2λ P (X > 3, Y = 2) P (X > 3, X ≥ 2) P (X > 3) = = = P (Y = 2) P (Y = 2) P (Y = 2)
Remark: (a) 根据连续型 r.v. (随机变量, random variable 的缩写)的定义, 分布函数连 续是连续型 r.v. 的必要非充分条件, 这样, 为判断一个 r.v. 是否为连续型, 首先看其分 布函数是否连续, 若不连续, 则其一定不是连续型, 若连续, 则进一步找可积函数f (x) (通过对分布函数求导可得到f (x)), 说明其为密度函数即可. 在本书范围内, 分布函数 连续的 r.v. 通常都是连续型 r.v. (b) 注意, 此题中定义的随机变量Y = min{X, 2} 既非离散型也非连续型, 而是混 合型随机变量. (c) 此 题 求Y = min{X, 2} 的 分 布 可 归 结 到 第 三 章 第 三 节 求随机向量 的 函 数Z = min{X, Y }的分布, 到时会有另一种技巧处理这种求最小值(或最大值) 的随 机变量的分布.
(2) 分别先求ξ , η 的分布函数Fξ , Fη . 0, x < 0,
Fξ (x) = P (ξ ≤ x) = P (X ≤ x) =
2
P (−√x ≤ X ≤ √x), x ≥ 0, x < 0,
0, =
P (−√x ≤ X ≤ √x), x ≥ 0, 0, x < 0,
g (x)≤z
特别地, 当 X 为离散型随机变量时, FZ (z ) =
∑
g (xi )≤z
pX (xi ), 进一步, Z = g (X ) 的概
∑ X p (xi ); 当 X 为连续型随机变量时, 率分布为P (Z = z ) = FZ (z ) − FZ (z −) = g (xi )=z ∫ ′ FZ (z ) = g(x)≤z fX (x)dx, 进一步, Z = g (X ) 的密度函数为fZ (z ) = FZ (z ). 2
练习3-2 1. 解: (1) 因 X 与Y 相互独立, 从而 F (x, y ) = FX (x)FY (y ), 具体地, 有 0, x < 0, 或 y < 1, x · (y − 1), 0 ≤ x ≤ 2, 1 ≤ y ≤ 2, 2 x F (x, y ) = · 1, 0 ≤ x ≤ 2, y > 2, 2 1 · (y − 1), x > 2, 1 ≤ y ≤ 2, 1, x > 2, y > 2. 6
′ fY (y ) = FY (y ) =
0,
7. 已知 X ∼ e(2), Y = 1 − e−2X , 求FY (y ) ? fY (y ) ? 解: FY (y ) = P (Y ≤ y ) = P (1 − e−2X ≤ y ) = P (e−2X ≥ 1 − y ), 则 1) 当 1 − y ≤ 0 时, 即 y ≥ 1 时, P (e−2X ≥ 1 − y ) = 1; 2) 当 1 − y > 1 时, 即 y < 0 时, P (e−2X ≥ 1 − y ) = 0; 1 3) 当 0 < 1 − y ≤ 1 时, 即 0 ≤ y < 1 时, P (e−2X ≥ 1 − y ) = P (X ≤ − ln(1 − y )) = 2 1 1 FX (− ln(1 − y )) = 1 − e−2×(− 2 ln(1−y)) = 1 − (1 − y ) = y . 2
2 2 y ≤x2
f (x, y )dxdy
5
∫ =
0
1
∫ dy
2 √ y
1 1 dx = 2 2
∫
0
1
(2 −
√
2 y )dy = . 3
8. 解: 由概率的加法公式, 易见 P (X1 > 3, X2 > 3) = P (X1 > 3) + P (X2 > 3) − P ({X1 > 3} ∪ {X2 > 3}). 因 X1 ∼ U [0, 4], X2 ∼ U [0, 4], 故 ∫ P (X1 > 3) = P (X2 > 3) =
3 4
1 1 dx = , 4 4
∪ 9 7 又注意到, P ({X1 > 3} {X2 > 3}) = 1 − P (X1 ≤ 3, X2 ≤ 3) = 1 − = , 从而 16 16 1 1 7 1 P (X1 > 3, X2 > 3) = + − = . 4 4 16 16
Remark: 此题没有给出X1 与X2 的关系, 无法判断X1 与X2 是否独立, 甚至连联合分 布函数都不可确定, 故不能利用独立性求解, 只能通过事件间的相互关系和概率的性 质求解.