2018-2019学年海南省海口市市第二中学高三数学文期末试题含解析

2018-2019学年海南省海口市市第二中学高三数学文期
末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知命题：函数在R为增函数，：函数在R为减函数，
则在命题：，：，：和：中，真命题是。

（A），（B），（C），
（D），
参考答案：
C
2. 已知函数，则的值等于（）
A. B. C.
D.0
参考答案：
C
略
3. 甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为
，，则（）
A．B． C. D．
参考答案：
D
4. 当曲线与直线有两个不同交点时，实数的取值范围是
A. B.
C. D.
参考答案：
B
5. 已知，那么是的
A.必要而不充分条件
B.充分而不必要条件
C.充要条件
D.既不充分又不必要条件
【解析】因为，所以或，所以是的必要不充分条件，选A.参考答案：
因为，所以或，所以是的必要不充分条件，选A.
【答案】A
6. 偶函数f（x）是定义域为R上的可导函数，当x≥0时，都有f'（x）＜2x成立，则不等式f（x﹣1）+2x＞f（x）+1的解集是（）
A．{x|x＜} B．{x|x＞} C．{x|x≠} D．实数集R
参考答案：
B
【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣x2，通过研究函数g（x）的单调性和奇偶性得到关于x 的不等式，解出即可．
【解答】解：令g（x）=f（x）﹣x2，
则g′（x）=f′（x）﹣2x＜0，
故g（x）在[0，+∞）递减，
而f（x）是偶函数，故g（x）是偶函数，
由f（x﹣1）+2x＞f（x）+1，得：g（x﹣1）＞g（x），
故|x﹣1|＜|x|，解得：x＞，
故选：B．
【点评】本题考查了抽象函数的奇偶性与单调性，解决本题的关键是能够想到通过构造函数解决．
7. 设集合A={－1,1,2,3,5}，B={2,3,4}，，则
A.{2}
B.{2,3}
C.{－1,2,3}
D.{1,2,3,4}
参考答案：
D
因为，
所以.
8. 《九章算术》卷五商功中有如下问题：今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈，问积几何. 刍甍：底面为矩形的屋脊状的几何体（网络纸中粗线部分为其三视图，设网络纸上每个小正方形的边长为1丈），那么该刍甍的体积为（）
A．4立方丈B．5立方丈 C. 6立方
丈D．12立方丈
参考答案：
B
9. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为（）
(A) (B) (C) (D)
参考答案：
答案：B
解析：不妨设椭圆方程为（a>b>0），则有，据此求出e＝，选B
10. 从正方体的6个表面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（）
A．8种 B．12种 C．16种
D．20种
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 定义在R上的奇函数f（x），当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，则不等式f（x）＜﹣1的解集是．
参考答案：
（﹣∞，﹣2）∪（0，）
【考点】对数函数的单调性与特殊点；奇函数．
【分析】设x＜0，则﹣x＞0，代入解析式后，利用奇函数的关系式求出x＜0时的解析式，再对x分两种情况对不等式进行求解，注意代入对应的解析式，最后要把解集并在一起．【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，
∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=log2x，∴f（﹣x）=log2（﹣x），
∵f（x）是奇函数，∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log2（﹣x），
①当x∈（0，+∞）时，f（x）＜﹣1，即log2x＜﹣1=，
解得0＜x＜，
②当x∈（﹣∞，0）时，f（x）＜﹣1，即﹣log2（﹣x）＜﹣1，
则log2（﹣x）＞1=log22，解得x＜﹣2，
综上，不等式的解集是（﹣∞，﹣2）∪（0，）．
故答案为：（﹣∞，﹣2）∪（0，）．
【点评】本题考查了求定区间上的函数解析式，一般的做法是“求谁设谁”，即在那个区间上求解析式，x就设在该区间内，再利用负号转化到已知的区间上，代入解析式进行化简，再利用奇函数的定义f（x），再求出不等式的解集．
12. 定义在R上的偶函数f（x），对任意实数x都有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x2，若在区间
[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点，则实数k的取值范围是．
参考答案：
（0，]
考点：函数零点的判定定理．
专题：函数的性质及应用．
分析：由题意可得，函数f（x）的图象和直线y=k（x+1）在区间[﹣1，3]内有4个交点，数形结合求得k的范围．
解答：解：由题意可得，函数f（x）的周期为2，x∈[0，1]时，f（x）=x2，
而f（x）是偶函数，
∴x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，
令y=kx+k，
在区间[﹣1，3]内，函数g（x）=f（x）﹣kx﹣k有4个零点
即函数f（x）的图象和直线y=k（x+1）在区间[﹣1，3]内有4个交点，
如图所示：
故有 0＜k（3+1）≤1，求得0＜k≤，
故答案为：（0，]．
点评：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．
13. 某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为．
参考答案：
12
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】应用题；集合．
【分析】设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解之即可两者都喜欢的人数，然后即可得出喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．
【解答】解：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有（15﹣x）人，只喜爱乒乓球的有（10﹣x）人，
由此可得（15﹣x）+（10﹣x）+x+8=30，解得x=3，
所以15﹣x=12，
即所求人数为12人，
故答案为：12．
【点评】本题考查了集合的混合运算，属于应用题，关键是运用集合的知识求解实际问题．
14. 已知函数的定义域为，函数的值域为，则
．
参考答案：
（0,1）
略
15. （文）若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围
是．
参考答案：
或
16. 设非零向量a，b，c满足，且，向量a，b的夹角为135°，则向量a，c的夹角为_____________
参考答案：
90°
17. 二项式（﹣）5的展开式中常数项为（用数字作答）
参考答案：
﹣10
考点：二项式系数的性质．
专题：二项式定理．
分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．
解答：解：二项式（﹣）5的展开式的通项公式为 T r+1=?（﹣1）r?，
令=0，求得r=3，可得展开式中常数项为﹣=﹣10，
故答案为：﹣10．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 如图，矩形沿平行于的线段向上翻折（点在线段上运动，点
在线段上运动），得到三棱柱，已知，.
（1）若是直角三角形，这里是线段上的点，试求线段的长度的取值范围；
（2）若（1）中的长度为取值范围内的最大整数，且线段的长度取得最小值，求二面角的值；
（3）在（1）与（2）的条件都满足的情况下，求三棱锥的体积.
参考答案：
（1）有题设条件可知，均为直角三角形，因此，
由余弦定理：，
于是：，
所以：，又对
，，，
则：，故：的取值范围为.
（2）因为，，所以就说二面角的平面角，又由（1）知，的长度为的最大整数，因此.于是：
，
因此时，线段的长度取得最小值，由此得：
，.
（3）由（1）、（2）知
，，，，
且.
因为，，，所以：平面，故：
19. △ABC中内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且sinC=2sinB
（1）若A=60°，求；
（2）求函数f（B）=cos（2B+）+2cos2B的值域．
参考答案：
考点：三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．
专题：三角函数的图像与性质；解三角形．
分析：（1）由正弦定理和已知可得c=2b，由余弦定理可求a=，故可求；
（2）函数可化简为f（B）=sin（2B+φ）+1，故可求其值域．
解答：解：（1）由正弦定理知，sinC=2sinB?c=2b，
由余弦定理知，a2=b2+c2﹣2bccosA=3b2?a=，
故有=．
（2）f（B）=cos（2B+）+2cos2B
=cos（2B）cos﹣sin（2B）sin+1+cos（2B）
=cos2B﹣sin2B+1
=sin（2B+φ）+1，其中tanφ==﹣．
=sin（2B+φ）+1，
故其值域为．
点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用，正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．
20. （12分）
班级联欢时，主持人拟出了如下一些节目：跳双人舞、独唱、朗诵等，指定3个男生和2个女生来参与，把5个人分别编号为1，2，3，4，5，其中1，2，3号是男生，4，5号是女生，将每个人的号分别写在5张相同的卡片上，并放入一个箱子中充分混合，每次从中随即地取出一张卡片，取出谁的编号谁就参与表演节目。

（I）为了选出2人来表演双人舞，连续抽取2张卡片，求取出的2人不全是男生的概率；
（Ⅱ）为了选出2人分别表演独唱和朗诵，抽取并观察第一张卡片后，又放回箱子中，充分混合后再从中抽取第二张卡片，求：独唱和朗诵由同一个
人表演的概率。

参考答案：
解析：(I）利用树形图我们可以列出连续抽取2张卡片的所有可能结果（如下图所示）。

由上图可以看出，实验的所有可能结果数为20．因为每次都随机抽取，因次
这20种结果出现的可能性是相同的，实验属于古典概
型。

……………2分用
表示事“连续抽取2人都是女生”，则与互斥，并且
表示事
件“连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生”，由列出的所有可能结果可
以看出，的结果有12种，的结果有2种，由互斥事件的概率加法公式，
可得
，
即连续抽取2张卡片，取出的2人不全是男生的概率为
0.7……………6分
（Ⅱ）有放回地连续抽取2张卡片，需注意同一张卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我们用一个有序实数对表示抽取的结果，例如“第一次取出2号，第二次取出4号”就用（2，4）来表示，所有的可能结果可以用下表列出。

第
二次抽取
第一次抽取
试验的所有可能结果数为25，并且这25种结果出现的可能性是相同的，试验属于古典
型。

…………………………8分
用表示事件“独唱和朗诵由同一个人表演”，由上表可以看出，的结果共
有5种，因此独唱和朗诵由同一个人表演的概率
……………………………12分
21. (本小题满分12分）已知圆过椭圆的两焦点
，过且与x轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为3，过椭圆上任意一点P引圆的切线，为切点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求三角形面积的取值范围．
参考答案：
22. 已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点M（2，0），离心率为．A，B是椭圆C上两点，且直线OA，OB的斜率之积为﹣，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若射线OA上的点P满足|PO|=3|OA|，且PB与椭圆交于点Q，求的值．
参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）由题意得，求出b，由此能求出椭圆C的方程；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），求出p点的坐标，由B，Q，P三点
共线，得，联立方程组求解得x3，y3，再结合已知条件能求出λ值，则的值可求．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，
解得．
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x3，y3），
∵点P在直线AO上且满足|PO|=3|OA|，
∴P（3x1，3y1）．
∵B，Q，P三点共线，
∴．
∴（3x1﹣x2，3y1﹣y2）=λ（x3﹣x2，y3﹣y2），
即，
解得，
∵点Q在椭圆C上，∴．
∴．
即，∵A，B在椭圆C上，
∴，．
∵直线OA，OB的斜率之积为，
∴，即．
∴，解得λ=5．
∴=|λ|=5．。