一类具有(2t+1)-匹配的树的第二大特征值的下界
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（ Ｇ）一 ｚ （ — ）一 （ 一 一 叫 ） Ｇ Ｇ ．
设 厂（ ）是关 于 变量 ｚ 的一个 多项式 ．ｆ（ ）＝ Ｓ ： ０的最 大根记 为 。 ， 二大根 记为 （ ） Ｃ ＝ （ 厂） 第 － ．将 多项 式按 厂 降幂 排列 ， 项 系数 为 １的多项 式称 为 首一 多项 式．由于 图的特 征多 项式 的根 为实 数 ， 本文 中只考 虑 首 故 实根 多项 式．为 了 比较两 个 多项式 的最 大根 ， 出 了下面 的引理 ． 给
给 出 了这 类 树 的第二 大特 征值 的一 个下 界 ．文 中未 加说 明 的术语 见 文献 ［ ］ ８．
收 稿 日期 ：２ １ － ６ ０ ０ ００ —５
基 金项 目 ：国家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ １ ７ ２ ９ ６００２） 作 者 简 介 ：张 国 珍 （ ７一 ，女 ，讲 师 ， 士 生．主 要 从 事 图 论 研 究 １ ８） ９ 博
第 ｌ步 ．直接 证 明 （ ） 户 ＞ （ ）有 困难 ，为此进 行如 下转 化 ： ｇ 令
ｆ（ ）一 （ 一 １ 户（ ） ｚ）一 ｚ 一 （ 志一 ＋ ２ ｚ ） ＋ ｚ。＋ （ 志一 ３ ２ ｔ＋ １ 一 ｚ 一 （ ） 七一 ２ ） ｔ，
由 （ ＞ １ 故 ｚ ） （ 一 （’， 以下 面 只要 证 明 （ ） ） ， （ 五 一 户） ／ 所 ） － ＞ （ 厂 ｇ）就 可 以．－ ） 厂 一ｇ（ ） （ ｚ ＋ 。 一
引 理 ３ 设 ＿（ 厂 ｚ）是 一个 实根 首一 多项 式 ， 果对 ａ 如 ∈Ｒ， 厂（ ＜Ｏ 有 ） ，则 （ ） ．特 别地 ，如果 ＿ ＞口 厂 ／（ （ ） ＜０ 则 （ ） ’ ｇ） ， 厂 ＞ （ ） ｇ ．此处 ， ｚ ｇ（ ）也是 一个 实根 首一 多项式 ．
证明
２
中 北 大 学 学 报（ 自然 科 学 版 ）
２１ 年第 １ ０１ 期
引理 １】 设 Ｐ ［ ］ —
是 Ｇ 的一 条边 ， Ｃ（）是所 有含 ８的圈 的集 合 ， 且 ８ 则
（ ）一 （ Ｇ— ｇ 一 （ ） Ｇ— 二 叫）～ ２ —Ｃ （ （ ＿ Ｉ ＞ ） Ｇ— Ｖ（ ） ｚ） ． ＺＥ 引理 ２】 设 是 图 Ｇ 的一个 悬挂 点 ， ＿ ］ 且设 叫 是 与 相邻 的点 ， 则 ０ — ３ ６ ３ ３ （ ０ １ ０ — ０ １０ ９
一
类 具 有 （ｔ ）匹配 的树 的 ２＋１ 一 第 二 大 特 征 值 的下 界
张 国珍 ，李 彦 军。
（． 山西 大 学 数 学 科 学 学 院 ，山西 太原 ０ ００ ；２ １ ３ ０ ６ ．山 西 大 学 商 务学 院 ， 山西 太 原 ０ ０ ３ ） ３ ０ １ 摘 要 ： 计 算 了 两 类 树 的特 征 多项 式 ， 绍 了 一 个 比较 两 个 首一 多 项 式 的 最 大 根 的方 法 ，并 应 用 这 个 方 法 介
２１ 年 第 ３ ０１ ２卷 第 １ 期
（ 总第 １ ５ ） ３ 期
中 北 大 学 学 报（ 自然 科 学 版 ）
Ｖｏ． ２ Ｎｏ １ ２ １ １３ ． ０ １
（ ｕ ｏ １ ５ Ｓ ｍ Ｎ ．３ ）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｏ Ｔ Ｎ Ｖ Ｒ Ｉ Ｙ Ｏ Ｈ Ｎ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ Ｉ Ｎ ＥＥ Ｉ Ｉ Ｎ Ｏ Ｒ Ａ Ｆ Ｎ Ｒ Ｈ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ ＦＣ Ｉ Ａ（ Ａ Ｕ Ａ Ｃ Ｅ Ｃ Ｄ Ｔ Ｏ ）
（ 是一 ｔ ２ ［ ～ ２ ＋ （ 一 ）（ ） 一 ｔ一 ２ （ 一 ｔ ２ 一 （ ）（ 一 ） 一 ｔ＋ １ ］ ３ ） ｝ ＋ ２
（ 一￡ ） ～２ ｘ 一 ＋ 一２ ， ｒ ｚ 一ｚ 一 （ 一 ） ￡ 设 （ ） 。 志 一２ｚ 一ｚ＋ 于是 厂（ ） ～２ ， － 一ｇ（ ） （ ） ｚ ｚ ＋ｒｚ ．由引理 ３ 为 ， 了证 明 （ ） － ＞ （ ） 厂 ｇ ，只须说 明 ｒ ２（ ） ＜０ （ ｇ ） ．
（ 一 １ 。 。一 （ ｚ ） 志一 ＋ ２ ｚ ） ＋ （ ｋ一 ４ ３ ｔ一 １ ｚ ） 。一 ２ 志一 ２ ） ． （ ｔ ］
（ 志，） Ｂ（ ｔ ）一
令 ｇ ｚ 一ｚ 一（ 一 ） （ｋ ｔ １ｚ 一２ 志 ｔ ，于是 ， １Ｂ（ ， ） Ｉｇ ．记 ｈ ） 一 （ ） ＋２ ｚ ＋ ３ 一４一 ） （ 一２） （ 是 ｔ 一 （ ） ） （ 一 （ —ｆ １ 一ｚ ｋ ＋ ） ＋ 一２，户 ｚ 一ｚ 一 （ 一ｆ ） ＋尼 ｔ 则 ｈ － 一 （ ） ｃ （ ） ｔ （ ） 志 ＋１ ｚ ＋ｚ 一２ ， （） ｚ ｚ 一２ ， １ 一一 ｌ ． ｃ ＋ ＜Ｏ
由 引 理 ３ 可 见 （ ） １ ， ＞ ．又 ｈ （ ） （ ） 一 （ （ ） ２ ） 一 ２ ） ０ ） 一 ２ （ 一 ２（ ＜ ，由 引 理 ３ 得 到 。 ＞ ， （ ）
１
（） 户 ．对于 ｈ ｚ） 易知 】 ＞ （ ） ０ （ ） ３＾ ＜ ０ （ ， （ ） ２矗 ＞ ， ＾ ＜ （ ） ．又 ｈ（ ） 一２＞ ０ ｈ １ ～ ０ 一ｋ ｔ ， （ ）
（ 忌ｔ） Ｂ（ ，） ．此 处 ，树 ７磊， 志 ￡ Ｂ（ ，）分别 如 图 １ ，图 ２所示 ．
图 １ 树 ｌ矗 ’
Ｆ ｇ １ Ｔｈ ｒ ｅ， 矗 ｉ ． ｅｔｅ ， ’
图 ２ 树 Ｂ（ ￡ ，）
Ｆｉ ２ Ｔｈ ｒ ｅ Ｂ（ ｆ ｇ． ｅ ｔ ｅ ， ）
ｃａ ｓ ｗａ ｂ ａ ｎ ｄ Ｔｈ ｒ ｍｐ ｏ ｅ ｈ ｏ ｎ ａ ｙ ｏ ｈ ｏ ｙ ｏ ｉ ｅ ｖ ｌ ｅ ｌｓ ｓ ｏ ｔ ｉ ｅ ． ｅ ｗｏ ｋ ｉ ｒ ｖ ｓ ｔ ｅ ｂ ｕ ｄ ｒ ｆｔ ｅ ｒ ｆ ｇ ｎ ａ ｕ ． ｅ
Ｋｅ ｒ ｓ：ｔ ｅ ｙ ｗｏ ｄ ｒ ｅ；ｍａ ｃ ｎ ｔ ｈｉ ｇ；ｃ ｒ ｃ ｅ ｉｔｃ ｐ ｙ ｍｉ ｌ ｉ ｎ ａ ｕ ｈａ ａ ｔ ｒｓ ｉ ｏｌ ｎｏ ａ ；ｅｇｅ ｖ ｌ ｅ
（ ． Ｓｃ ｏｌｏｆＭ ａ ｈ ｍ ａ ｉａ ｃｉｎｃ ｓ，Ｓｈ １ ｈｏ ｔ ｅ ｔｃ ｌＳ ｅ ｅ ａｎｘ ｎｉｅ ｓｔ ｉＵ ｖ ｒ ｉｙ，Ｔ ａｙｕ ３０ ６，Ｃｈ ｎ ｉ ａｎ ０ ００ ｉ ａ； ２ Ｂｕｓｎｅ ｓ Ｃｏｌｅ ｅ，Ｓｈａ ｉＵ ｎｉｅｒ ｉｙ，Ｔ ａｙｕａ ０ ． ｉ ｓ ｌｇ ｎｘ ｖ ｓｔ ｉ ｎ ０３ ０３１，Ｃｈｉ ｎａ）
ａ．
厂（ ） ， “ ＜０ 但 ｌ 厂 ｚ 一＋Ｃ ， 在 （ ＋ｃ ）之 间至少 存在 厂（ ｉ （） ｍ × 故 ３ ， ｘ 。 ｚ）的一 个根 ，于是 （ ＞ 厂）
、● ●●Ｌ ， ●●● Ｊ
定理 １ 设 五 是一 棵有 ２ 尼个 顶 点 的树 ， 一 个 （ｆ １ 一 有 ２＋ ） 匹配 ，是 １ 则 当 ｆ ≥２＋ ， ≥４时 ， （ ＞ ７玉）
第 ２步．计算
ｇ１ （ ）一 ｛ 。 （ ｚ ｚ ＋ 正一。一 ２ ｚ ＋ ［ 尼一 ｔ ｔ ） （ ） ５ 志一 一 （ ）＋ ３ ｚ＋ ｔ ２＋ ］ 一 （ 尼一 ｔ ２ ［愚～ ） ５ 一 ） ３ ） （ ）＋ 一 ）（ 一 （ ＋ ］ｒｚ ｛（ ［ 一 ｔ ２ 一 （ 一 ｔ １ ］＋ （ｋ一 ４ １ 一 ） ＋ ） ３ ｔ一 ）一 （ 志一 ｔ ２ （ 一 ）足一 ２） ｔ ＋
ｔ ｌ ０ ＜ ，则
ｈｚ （ ）在 （ ， ）之 间 至少 有一个 根 ； Ｏ１ 而 （ ＞ （ ） １ ） 户 ＞ ，故 ： ∈（ ， ） 得 到 （ ） （ ） ０ １ ， ＾ ＜ （ ） 声 ＜ （ ） ＾ ， 所 以 （ 一 （ ．下 面证 明 ｚ７五 ＞ （ 志 ￡ ） ２７五） － ｐ） （ ） Ｂ（ ，） ，即证 明 （ ＞ （ ） ） 。ｇ ．分 ３步进 行 ：
证 明 由引理 １和引理 ２不难 算 出 矗 Ｂ（ ，）的特征 多项 式 ， 尼 （ ）一 雎 了聂 （ 一 １ ２ ３ 一 （ ） ［ ｔ 一 ｔ １ 。 ｚ－ ＋ ） ＋ ５ ｋ一 ２］ ｚ 一 （ ［ 足一 ｔ １ｘ 一 ｚ＋ ｋ一 ２］ ＋ ）２ ￡，
Ａｂｓ ｒ ｃ ： Ｔｈｅ ｈａ ａ ｔ ｒｓ ｉ ｐｏ ｙ ｍ ｉｌ ｏｆ ｗｏ ｌ ｓ ｅ ｏｆ ｒ ｅ ｗｅ ｅ ａ ｃ ａ ｅ ｔａ ｔ ｃ ｒ ｃ ｅ ｉｔｃ ｌ ｎｏ ａ ｓ ｔ ｃ ａ ｓ ｓ ｔ ｅ ｓ ｒ ｃ ｌｕｌ ｔ ｄ． Ａ ｍ ｅ ｈｏ ｆ ｒ ｔ ｄ ｏ ｃ ｏｍｐ ｉ ｇ ｔ ａ ｇｅ ｔｒ ｔ ｆｔ ｏ ｃｐｏ ｙｎ ａｒｎ ｈｅ ｌ ｒ ｓ ｏｏ ｓ ｏ ｗｏ ｍ ｎｉ ｌ ｏｍｉ ｌ ｓ ｉ ｒ ｄｕ ｅ ａ ｓ ｗａ ｎｔ ｏ ｃ ｄ．Ａ ｌ ｓ ｒ ｅ ｍａ ｃ ｉ ｃ ａ ｓ ｏｆｔ ｅ ｔ ｈ ｎｇ （ ￡ １） ２＋ ｗａ ｎ ｅ ｔｇａ ｅ ｔ ｈ ｅ ｔｏ ｄ ｍ ｅ ｈｏ ｎｄ ａ ｌ ｓ ｉ ｖ ｓ ｉ ｔ ｄ ｗｉｈ ｔ ｅ ｍ ｎ ｉ ｎｅ ｔ ｄ ａ ｏｗｅ ｕｎ ｏ ｈ ｅ ｏ ａ ｇｅ ｔｅ ｇ ｎ ｌ ｅ ｏ ｈ ｒ ｂｏ ｄ ｆ ｒ ｔ ｅ ｓ ｃ ｎｄ ｌ ｒ ｓ ｉ ｅ ｖａ ｕ ｆｔ ｅ
Ａ ｗｅ ｕ ｏ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｔ Ｌｏ ｒ Ｂｏ ｎｄ ｆ ｒ ｔ ｅ Ｓ ｃ ｎｄ Ｌａ ｇ ｓ
Ｅｉ ｅ ａ ｕ ｆ ａ Ｃｌ ｓ ｆ Ｔｒ ｅ Ｍ ａ ｃ ｎｇ ｇ ｎｖ ｌ ｅ ｏ ａ ｓ ｏ ｅ ｔ ｈｉ
Ｚ ＨＡＮＧ ｏ ｚ ｅ Ｇｕ —ｈ ｎ ，ＬＩＹａ —ｕ ｎ ｊｎ
研 究 了 一 类 具 有 （ｔ １一 配 的树 ， 到 了 这 类 树 的 第 二 大 特 征 值 的 一 个 下 界 ， 一 步 完 善 了 特 征 值 的 界 ２＋ ）匹 得 进
理论．
关 键 词 ： 树 ； 配 ；特 征 多 项 式 ；特 征 值 匹
中图 分 类 号 ： （ １ ７ ５ ） ５ ． 文 献 标 识 码 ：Ａ ｄ ｉ ０ ３ ６ ／．ｓ ｎ １ ７ １ ３ ２ １ ． １ ０ １ ｏ ：１ ． ９ ９ ｊｉｓ ． ６ ３ ３ ． ０ １ ０ ． ０ ９
设 Ｇ 是一 个 连通 有 限简单 图 ，有 个顶 点 ， ， ， 及 邻接 矩 阵 Ａ（ 一（ ） ，此处 … Ｇ） ｆ １ （， ， 与 相邻 ） ，
ｌ ０
（ 与 ， 邻 ） 不相 ．
Ｇ 的 特征 多项式 为 ｌ， 一Ａ（ ｌ 记 为 （ ．由于 Ａ（ Ｇ） ， Ｇ） Ｇ）是 实对称 矩 阵 ，故 Ａ（ Ｇ）的所有 特 征值 均 为实 数 ．不 失 一般 性 ，假定 它 们按 不 增顺 序 排 列 ，即 （ ≥ （ ≥ …≥ （ ，且称 之 为 Ｇ 的特 征值 ．称 Ｇ） Ｇ） Ｇ） （ Ｇ）是 Ｇ 的第 志大特 征值 ． 特 征值 理 论 在量 子 化学 、物 理 、计 算机 科 学 、通 讯 网 络 以及 信 息科 学 等领 域 均有 广 泛 的应 用．对 于 树 的特 征值 理论 ，已经 有 了 比较 详细 的研 究 ，例如 文献 ［ — ］ １７ ．本 文研究 了一类 具 有 （￡ １一 配 的树 ， ２＋ ）匹
设 厂（ ）是关 于 变量 ｚ 的一个 多项式 ．ｆ（ ）＝ Ｓ ： ０的最 大根记 为 。 ， 二大根 记为 （ ） Ｃ ＝ （ 厂） 第 － ．将 多项 式按 厂 降幂 排列 ， 项 系数 为 １的多项 式称 为 首一 多项 式．由于 图的特 征多 项式 的根 为实 数 ， 本文 中只考 虑 首 故 实根 多项 式．为 了 比较两 个 多项式 的最 大根 ， 出 了下面 的引理 ． 给
给 出 了这 类 树 的第二 大特 征值 的一 个下 界 ．文 中未 加说 明 的术语 见 文献 ［ ］ ８．
收 稿 日期 ：２ １ － ６ ０ ０ ００ —５
基 金项 目 ：国家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ １ ７ ２ ９ ６００２） 作 者 简 介 ：张 国 珍 （ ７一 ，女 ，讲 师 ， 士 生．主 要 从 事 图 论 研 究 １ ８） ９ 博
第 ｌ步 ．直接 证 明 （ ） 户 ＞ （ ）有 困难 ，为此进 行如 下转 化 ： ｇ 令
ｆ（ ）一 （ 一 １ 户（ ） ｚ）一 ｚ 一 （ 志一 ＋ ２ ｚ ） ＋ ｚ。＋ （ 志一 ３ ２ ｔ＋ １ 一 ｚ 一 （ ） 七一 ２ ） ｔ，
由 （ ＞ １ 故 ｚ ） （ 一 （’， 以下 面 只要 证 明 （ ） ） ， （ 五 一 户） ／ 所 ） － ＞ （ 厂 ｇ）就 可 以．－ ） 厂 一ｇ（ ） （ ｚ ＋ 。 一
引 理 ３ 设 ＿（ 厂 ｚ）是 一个 实根 首一 多项 式 ， 果对 ａ 如 ∈Ｒ， 厂（ ＜Ｏ 有 ） ，则 （ ） ．特 别地 ，如果 ＿ ＞口 厂 ／（ （ ） ＜０ 则 （ ） ’ ｇ） ， 厂 ＞ （ ） ｇ ．此处 ， ｚ ｇ（ ）也是 一个 实根 首一 多项式 ．
证明
２
中 北 大 学 学 报（ 自然 科 学 版 ）
２１ 年第 １ ０１ 期
引理 １】 设 Ｐ ［ ］ —
是 Ｇ 的一 条边 ， Ｃ（）是所 有含 ８的圈 的集 合 ， 且 ８ 则
（ ）一 （ Ｇ— ｇ 一 （ ） Ｇ— 二 叫）～ ２ —Ｃ （ （ ＿ Ｉ ＞ ） Ｇ— Ｖ（ ） ｚ） ． ＺＥ 引理 ２】 设 是 图 Ｇ 的一个 悬挂 点 ， ＿ ］ 且设 叫 是 与 相邻 的点 ， 则 ０ — ３ ６ ３ ３ （ ０ １ ０ — ０ １０ ９
一
类 具 有 （ｔ ）匹配 的树 的 ２＋１ 一 第 二 大 特 征 值 的下 界
张 国珍 ，李 彦 军。
（． 山西 大 学 数 学 科 学 学 院 ，山西 太原 ０ ００ ；２ １ ３ ０ ６ ．山 西 大 学 商 务学 院 ， 山西 太 原 ０ ０ ３ ） ３ ０ １ 摘 要 ： 计 算 了 两 类 树 的特 征 多项 式 ， 绍 了 一 个 比较 两 个 首一 多 项 式 的 最 大 根 的方 法 ，并 应 用 这 个 方 法 介
２１ 年 第 ３ ０１ ２卷 第 １ 期
（ 总第 １ ５ ） ３ 期
中 北 大 学 学 报（ 自然 科 学 版 ）
Ｖｏ． ２ Ｎｏ １ ２ １ １３ ． ０ １
（ ｕ ｏ １ ５ Ｓ ｍ Ｎ ．３ ）
Ｊ Ｕ Ｎ ＬＯ Ｏ Ｔ Ｎ Ｖ Ｒ Ｉ Ｙ Ｏ Ｈ Ｎ Ｎ Ｔ Ｒ ＬＳ Ｉ Ｎ ＥＥ Ｉ Ｉ Ｎ Ｏ Ｒ Ａ Ｆ Ｎ Ｒ Ｈ Ｕ Ｉ Ｅ ＳＴ ＦＣ Ｉ Ａ（ Ａ Ｕ Ａ Ｃ Ｅ Ｃ Ｄ Ｔ Ｏ ）
（ 是一 ｔ ２ ［ ～ ２ ＋ （ 一 ）（ ） 一 ｔ一 ２ （ 一 ｔ ２ 一 （ ）（ 一 ） 一 ｔ＋ １ ］ ３ ） ｝ ＋ ２
（ 一￡ ） ～２ ｘ 一 ＋ 一２ ， ｒ ｚ 一ｚ 一 （ 一 ） ￡ 设 （ ） 。 志 一２ｚ 一ｚ＋ 于是 厂（ ） ～２ ， － 一ｇ（ ） （ ） ｚ ｚ ＋ｒｚ ．由引理 ３ 为 ， 了证 明 （ ） － ＞ （ ） 厂 ｇ ，只须说 明 ｒ ２（ ） ＜０ （ ｇ ） ．
（ 一 １ 。 。一 （ ｚ ） 志一 ＋ ２ ｚ ） ＋ （ ｋ一 ４ ３ ｔ一 １ ｚ ） 。一 ２ 志一 ２ ） ． （ ｔ ］
（ 志，） Ｂ（ ｔ ）一
令 ｇ ｚ 一ｚ 一（ 一 ） （ｋ ｔ １ｚ 一２ 志 ｔ ，于是 ， １Ｂ（ ， ） Ｉｇ ．记 ｈ ） 一 （ ） ＋２ ｚ ＋ ３ 一４一 ） （ 一２） （ 是 ｔ 一 （ ） ） （ 一 （ —ｆ １ 一ｚ ｋ ＋ ） ＋ 一２，户 ｚ 一ｚ 一 （ 一ｆ ） ＋尼 ｔ 则 ｈ － 一 （ ） ｃ （ ） ｔ （ ） 志 ＋１ ｚ ＋ｚ 一２ ， （） ｚ ｚ 一２ ， １ 一一 ｌ ． ｃ ＋ ＜Ｏ
由 引 理 ３ 可 见 （ ） １ ， ＞ ．又 ｈ （ ） （ ） 一 （ （ ） ２ ） 一 ２ ） ０ ） 一 ２ （ 一 ２（ ＜ ，由 引 理 ３ 得 到 。 ＞ ， （ ）
１
（） 户 ．对于 ｈ ｚ） 易知 】 ＞ （ ） ０ （ ） ３＾ ＜ ０ （ ， （ ） ２矗 ＞ ， ＾ ＜ （ ） ．又 ｈ（ ） 一２＞ ０ ｈ １ ～ ０ 一ｋ ｔ ， （ ）
（ 忌ｔ） Ｂ（ ，） ．此 处 ，树 ７磊， 志 ￡ Ｂ（ ，）分别 如 图 １ ，图 ２所示 ．
图 １ 树 ｌ矗 ’
Ｆ ｇ １ Ｔｈ ｒ ｅ， 矗 ｉ ． ｅｔｅ ， ’
图 ２ 树 Ｂ（ ￡ ，）
Ｆｉ ２ Ｔｈ ｒ ｅ Ｂ（ ｆ ｇ． ｅ ｔ ｅ ， ）
ｃａ ｓ ｗａ ｂ ａ ｎ ｄ Ｔｈ ｒ ｍｐ ｏ ｅ ｈ ｏ ｎ ａ ｙ ｏ ｈ ｏ ｙ ｏ ｉ ｅ ｖ ｌ ｅ ｌｓ ｓ ｏ ｔ ｉ ｅ ． ｅ ｗｏ ｋ ｉ ｒ ｖ ｓ ｔ ｅ ｂ ｕ ｄ ｒ ｆｔ ｅ ｒ ｆ ｇ ｎ ａ ｕ ． ｅ
Ｋｅ ｒ ｓ：ｔ ｅ ｙ ｗｏ ｄ ｒ ｅ；ｍａ ｃ ｎ ｔ ｈｉ ｇ；ｃ ｒ ｃ ｅ ｉｔｃ ｐ ｙ ｍｉ ｌ ｉ ｎ ａ ｕ ｈａ ａ ｔ ｒｓ ｉ ｏｌ ｎｏ ａ ；ｅｇｅ ｖ ｌ ｅ
（ ． Ｓｃ ｏｌｏｆＭ ａ ｈ ｍ ａ ｉａ ｃｉｎｃ ｓ，Ｓｈ １ ｈｏ ｔ ｅ ｔｃ ｌＳ ｅ ｅ ａｎｘ ｎｉｅ ｓｔ ｉＵ ｖ ｒ ｉｙ，Ｔ ａｙｕ ３０ ６，Ｃｈ ｎ ｉ ａｎ ０ ００ ｉ ａ； ２ Ｂｕｓｎｅ ｓ Ｃｏｌｅ ｅ，Ｓｈａ ｉＵ ｎｉｅｒ ｉｙ，Ｔ ａｙｕａ ０ ． ｉ ｓ ｌｇ ｎｘ ｖ ｓｔ ｉ ｎ ０３ ０３１，Ｃｈｉ ｎａ）
ａ．
厂（ ） ， “ ＜０ 但 ｌ 厂 ｚ 一＋Ｃ ， 在 （ ＋ｃ ）之 间至少 存在 厂（ ｉ （） ｍ × 故 ３ ， ｘ 。 ｚ）的一 个根 ，于是 （ ＞ 厂）
、● ●●Ｌ ， ●●● Ｊ
定理 １ 设 五 是一 棵有 ２ 尼个 顶 点 的树 ， 一 个 （ｆ １ 一 有 ２＋ ） 匹配 ，是 １ 则 当 ｆ ≥２＋ ， ≥４时 ， （ ＞ ７玉）
第 ２步．计算
ｇ１ （ ）一 ｛ 。 （ ｚ ｚ ＋ 正一。一 ２ ｚ ＋ ［ 尼一 ｔ ｔ ） （ ） ５ 志一 一 （ ）＋ ３ ｚ＋ ｔ ２＋ ］ 一 （ 尼一 ｔ ２ ［愚～ ） ５ 一 ） ３ ） （ ）＋ 一 ）（ 一 （ ＋ ］ｒｚ ｛（ ［ 一 ｔ ２ 一 （ 一 ｔ １ ］＋ （ｋ一 ４ １ 一 ） ＋ ） ３ ｔ一 ）一 （ 志一 ｔ ２ （ 一 ）足一 ２） ｔ ＋
ｔ ｌ ０ ＜ ，则
ｈｚ （ ）在 （ ， ）之 间 至少 有一个 根 ； Ｏ１ 而 （ ＞ （ ） １ ） 户 ＞ ，故 ： ∈（ ， ） 得 到 （ ） （ ） ０ １ ， ＾ ＜ （ ） 声 ＜ （ ） ＾ ， 所 以 （ 一 （ ．下 面证 明 ｚ７五 ＞ （ 志 ￡ ） ２７五） － ｐ） （ ） Ｂ（ ，） ，即证 明 （ ＞ （ ） ） 。ｇ ．分 ３步进 行 ：
证 明 由引理 １和引理 ２不难 算 出 矗 Ｂ（ ，）的特征 多项 式 ， 尼 （ ）一 雎 了聂 （ 一 １ ２ ３ 一 （ ） ［ ｔ 一 ｔ １ 。 ｚ－ ＋ ） ＋ ５ ｋ一 ２］ ｚ 一 （ ［ 足一 ｔ １ｘ 一 ｚ＋ ｋ一 ２］ ＋ ）２ ￡，
Ａｂｓ ｒ ｃ ： Ｔｈｅ ｈａ ａ ｔ ｒｓ ｉ ｐｏ ｙ ｍ ｉｌ ｏｆ ｗｏ ｌ ｓ ｅ ｏｆ ｒ ｅ ｗｅ ｅ ａ ｃ ａ ｅ ｔａ ｔ ｃ ｒ ｃ ｅ ｉｔｃ ｌ ｎｏ ａ ｓ ｔ ｃ ａ ｓ ｓ ｔ ｅ ｓ ｒ ｃ ｌｕｌ ｔ ｄ． Ａ ｍ ｅ ｈｏ ｆ ｒ ｔ ｄ ｏ ｃ ｏｍｐ ｉ ｇ ｔ ａ ｇｅ ｔｒ ｔ ｆｔ ｏ ｃｐｏ ｙｎ ａｒｎ ｈｅ ｌ ｒ ｓ ｏｏ ｓ ｏ ｗｏ ｍ ｎｉ ｌ ｏｍｉ ｌ ｓ ｉ ｒ ｄｕ ｅ ａ ｓ ｗａ ｎｔ ｏ ｃ ｄ．Ａ ｌ ｓ ｒ ｅ ｍａ ｃ ｉ ｃ ａ ｓ ｏｆｔ ｅ ｔ ｈ ｎｇ （ ￡ １） ２＋ ｗａ ｎ ｅ ｔｇａ ｅ ｔ ｈ ｅ ｔｏ ｄ ｍ ｅ ｈｏ ｎｄ ａ ｌ ｓ ｉ ｖ ｓ ｉ ｔ ｄ ｗｉｈ ｔ ｅ ｍ ｎ ｉ ｎｅ ｔ ｄ ａ ｏｗｅ ｕｎ ｏ ｈ ｅ ｏ ａ ｇｅ ｔｅ ｇ ｎ ｌ ｅ ｏ ｈ ｒ ｂｏ ｄ ｆ ｒ ｔ ｅ ｓ ｃ ｎｄ ｌ ｒ ｓ ｉ ｅ ｖａ ｕ ｆｔ ｅ
Ａ ｗｅ ｕ ｏ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｔ Ｌｏ ｒ Ｂｏ ｎｄ ｆ ｒ ｔ ｅ Ｓ ｃ ｎｄ Ｌａ ｇ ｓ
Ｅｉ ｅ ａ ｕ ｆ ａ Ｃｌ ｓ ｆ Ｔｒ ｅ Ｍ ａ ｃ ｎｇ ｇ ｎｖ ｌ ｅ ｏ ａ ｓ ｏ ｅ ｔ ｈｉ
Ｚ ＨＡＮＧ ｏ ｚ ｅ Ｇｕ —ｈ ｎ ，ＬＩＹａ —ｕ ｎ ｊｎ
研 究 了 一 类 具 有 （ｔ １一 配 的树 ， 到 了 这 类 树 的 第 二 大 特 征 值 的 一 个 下 界 ， 一 步 完 善 了 特 征 值 的 界 ２＋ ）匹 得 进
理论．
关 键 词 ： 树 ； 配 ；特 征 多 项 式 ；特 征 值 匹
中图 分 类 号 ： （ １ ７ ５ ） ５ ． 文 献 标 识 码 ：Ａ ｄ ｉ ０ ３ ６ ／．ｓ ｎ １ ７ １ ３ ２ １ ． １ ０ １ ｏ ：１ ． ９ ９ ｊｉｓ ． ６ ３ ３ ． ０ １ ０ ． ０ ９
设 Ｇ 是一 个 连通 有 限简单 图 ，有 个顶 点 ， ， ， 及 邻接 矩 阵 Ａ（ 一（ ） ，此处 … Ｇ） ｆ １ （， ， 与 相邻 ） ，
ｌ ０
（ 与 ， 邻 ） 不相 ．
Ｇ 的 特征 多项式 为 ｌ， 一Ａ（ ｌ 记 为 （ ．由于 Ａ（ Ｇ） ， Ｇ） Ｇ）是 实对称 矩 阵 ，故 Ａ（ Ｇ）的所有 特 征值 均 为实 数 ．不 失 一般 性 ，假定 它 们按 不 增顺 序 排 列 ，即 （ ≥ （ ≥ …≥ （ ，且称 之 为 Ｇ 的特 征值 ．称 Ｇ） Ｇ） Ｇ） （ Ｇ）是 Ｇ 的第 志大特 征值 ． 特 征值 理 论 在量 子 化学 、物 理 、计 算机 科 学 、通 讯 网 络 以及 信 息科 学 等领 域 均有 广 泛 的应 用．对 于 树 的特 征值 理论 ，已经 有 了 比较 详细 的研 究 ，例如 文献 ［ — ］ １７ ．本 文研究 了一类 具 有 （￡ １一 配 的树 ， ２＋ ）匹