11-12微分几何试卷A卷

安徽大学2011—2012学年第 2 学期 《 微分几何》考试试卷（A 卷）
（闭卷 时间120分钟）
院/系 年级 专业 姓名 学号
一、填空题（每小题3分，共15分）
（1）半径为R 的圆的曲率为_________。

（2）正则曲线(),(r s s 是弧长参数）的渐伸线参数方程是 。

（3）坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是
______________。

（4）在脐点处曲面的第一, 第二类基本量满足____________________。

（5）使法曲率达到最大值和最小值的方向是________________方向。

二、概念题：对的打√，错的打×，（每小题3分，共15
（6 （7）空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定。

（8）二阶微分方程22(,)2(,)(,)0A u v du B u v dudv C u v dv ++=总表示曲面上两族曲线。

（9）坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量。

（10）连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的。

三、计算题（11题14分，12题7分, 13，14题各8分，
15题13分，共50分）
（11）已知曲线32{cos ,sin ,cos 2},(0,)2r t t t t π
=∈，求
① 基本向量,,αβγ； ② 曲率κ和挠率τ；
③ 在4
t π
=处的切线方程。

（12）求曲面z axy =上坐标曲线00,x x y y ==的夹角。

（13）求曲面(,){cos,sin,}
=上的曲率线。

r u v u v u v cv
（14）求正螺旋面22
=+在(0,0)点的主曲率、平均曲率、高斯曲率。

z a x y
()
（15）已知曲面的第一基本形式为22
v du dv v
I=+>，求坐标曲线的测地曲率。

(),0
四、证明题（16，17小题各6分， 18小题8分，共20分）
（16）证明：若曲线的所有切线都经过一个定点，则此曲线是直线。

（17）证明挠曲线(),(0r s τ≠的曲线)的主法线曲面是不可展曲面。

（18）设曲面S 和S 的第一基本形式分别为
222
2222222[(1)],[(1)],v v I e du a u dv I e du b u dv =++=++
其中22a b ≠。

试证：在,u u v v ==的对应下，曲面S 和S 有相同的Gauss 曲率，但该对应不是保长对应。