高三数学 多选题(讲义及答案)含答案

一、函数的概念与基本初等函数多选题
1．对于函数()f x 定义域中任意的()1212,x x x x ≠，有如下结论，当()lg f x x =时，上
述结论中正确结论的序号是（ ） A ．()()()1212f x x f x f x +=⋅
B ．()()()1212f x x f x f x ⋅=+
C ．1212
()()f x f x x x --＞0
D ．()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭
【答案】BC 【分析】
由对数的运算性质判断A ，B ，由对数函数的单调性判断C ，由对数的运算结合基本不等式判断D ． 【详解】 对于A ，()()112122lg lg lg f x x x x x x +=+≠⋅，即()()()1212f x x f x f x +≠⋅，故A 错误； 对于B ，()()()()12112122lg lg lg f x x x x x x f x f x ⋅=+=+=，故B 正确； 对于C ，()lg f x x =在定义域中单调递增，()()
1212
0f x f x x x -∴
->，故C 正确；
对于D ，
()1212,0x x x x >≠
，利用基本不等式知
1122lg 22x x x x f +⎛⎫
> ⎪+⎛⎫⎪⎭⎝= ⎝⎭()()
(
)221121lg lg lg 222
f x f x x x x x +=
==+()()12122
2f x f x x x f ++⎛⎫>
⎪⎝⎭
，故D 错误； 故选：BC 【点睛】
关键点点睛：本题考查命题的真假判断，考查对数函数的性质，考查基本不等式的应用，
解决本题的关键点是将对数形式化为根式，即
2
1lg lg 2
x x =+合基本不等式放缩得出答案，并验证取等条件，考查了学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
2．已知函数()()(
)2
2
2
24x x f x x x m m e
e --+=-+-+（e 为自然对数的底数）有唯一零
点，则m 的值可以为（ ） A ．1
B ．1-
C ．2
D ．2-
【答案】BC 【分析】
由已知，换元令2t x =-，可得()()f t f t -=，从而f t 为偶函数，()f x 图象关于
2x =对称，结合函数图象的对称性分析可得结论. 【详解】
∵22222222()4()()(2)4()()x x x x f x x x m m e e x m m e e --+--+=-+-+=--+-+， 令2t x =-，则2
2
()4()()t
t
f t t m m e e -=-+-+，定义域为R ，
22()()4()()()t t f t t m m e e f t --=--+-+=，故函数()f t 为偶函数，
所以函数()f x 的图象关于2x =对称， 要使得函数()f x 有唯一零点，则(2)0f =， 即2
482()0m m -+-=，解得1m =-或2 ①当1m =-时，2()42()t t f t t e e -=-++ 由基本不等式有2t t e e -+≥，当且仅当0t =时取得
2()4t t e e -∴+≥
故2
()42()0t
t
f t t e e -=-++≥，当且仅当0t =取等号 故此时()f x 有唯一零点2x =
②当2m =时，2()42()t t f t t e e -=-++，同理满足题意. 故选：BC ． 【点睛】
方法点睛：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴.
②()y f x =的图象关于直线x a =对称 ()()f a x f a x ⇔-=+()()2f x f a x ⇔-=+
3．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1
222
a b -<<
B ．34a b ==a b
ab
+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-
D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是
1
(,2)(2,)4
-+∞ 【答案】ACD 【分析】
由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求
a b ab
+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3
y x x =-有三个交点，即可知2
()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】
A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1
222
a b -<<；
B 选项，34a b ==log a =4log b =121211
2(log 3log 4)2a b ab a b
+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、
121
3
x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，
所以22
12121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；
D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2
()h x x x k =--有两个零点即可 ∴140(1)20
k h k ∆=+>⎧⎨
-=-≠⎩，解得1
(,2)(2,)4k ∈-+∞
故选：ACD 【点睛】
本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.
4．已知函数4
()n
n
f x x x =+
(n 为正整数)，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()f x 始终为奇函数
B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4
C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4
D ．当1n =时，函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称 【答案】BC 【分析】
由已知得()()
4
()n
n
f x x x -=-+
-，分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性，可判
断A 和；当n 为偶数时，>0n x ，运用基本不等式可判断B ；当n 为奇数时，令n t x =，则
>0,>0;0,0x t x t <<，构造函数4
()g t t t
=+
，利用其单调性可判断C ；当1n =时，取函
数4
()f x x x
=+上点()15P ，，求出点P 关于直线2y x =对称的对称点，代入可判断D.
【详解】
因为函数4()n
n f x x x
=+(n 为正整数)，所以()()4()n n f x x x -=-+-， 当n 为偶数时，()()
4
4
()()n
n n
n
f x x x f x x x -=-+=+
=-，函数()f x 是偶函数； 当n 为奇数时，()4
()n
n
f x x f x x -=-+
=--，函数()f x 是奇函数，故A 不正确； 当n 为偶数时，>0n x
，所以4()4n n f x x x =+
≥=，当且仅当4n n x x =时， 即2>0n x =取等号，所以函数()f x 的最小值为4，故B 正确；
当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，函数()f x 化为4()g t t t
=+， 而4
()g t t t
=+
在()()22-∞-+∞，，，上单调递增，在()()2002-，，，
上单调递递减， 所以4()g t t t =+
在2t =时，取得极小值4
(2)242
g =+=，故C 正确； 当1n =时，函数4
()f x x x
=+
上点()15P ，，设点P 关于直线2y x =对称的对称点为
()000P x y ，，
则0000
51121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，而将0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入
4
()f x x x
=+
不满足， 所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称，故D 不正确， 故选：BC ． 【点睛】
本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.
5．已知函数()f x 满足：当-<3≤0x 时，()()1x
f x e x =+，下列命题正确的是
（ ）
A ．若()f x 是偶函数，则当03x <≤时，()()1x
f x e x =+
B ．若()()33f x f x --=-，则()()3
2
g x f x e =+
在()6,0x ∈-上有3个零点
C ．若()f x 是奇函数，则1x ∀，[]
23,3x ∈-，()()122f x f x -<
D ．若()()3f x f x +=，方程()()2
0f x kf x -=⎡⎤⎣⎦在[]
3,3x ∈-上有6个不同的根，则
k 的范围为23
12
k e e -
<<- 【答案】BC 【分析】
A 选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；
B 选项，函数()f x 关于直线3x =-对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当()6,0x ∈-时，函数
()f x 与直线3
2
y e =-
有3个交点可判断；C 选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D 选项，函数周期为3，作出函数图像知方程()0f x =在[]
3,3x ∈-上有两个不同的根，则23
12k e e -<≤-时方程()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根. 【详解】
A 选项，若03x <≤，则30x -≤-<，()()1x
f x e x --=-+，因为函数()f x 是偶函
数，所以()()()1x
f x f x e
x -=-=-+，A 错误；
B 选项，若()()33f x f x --=-，则函数()f x 关于直线3x =-对称，当-<3≤0x 时，()()2x
f x e
x '=+，当()3,2x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当
()2,0x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，且()32
3f e
-=-
，()21
20f e
-=-
<，()10f -=， 作出函数大致图像如图所示，则当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线3
2
y e =-有3个交点，即函数()()3
2
g x f x e =+
在()6,0x ∈-上有3个零点，B 正确；
C 选项，由B 知当[3,0)x ∈-时，()2
[,1)f x e -∈-，若函数()f x 为奇函数，则当
[]3,3x ∈-时()()1,1f x ∈-，所以1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<，C 正确；
D 选项，若()()3f x f x +=，则函数()f x 的周期为3，作出函数在[]
3,3x ∈-上的图像如图所示，若方程()()2
0f x kf x -=⎡⎤⎣⎦即()()[]0f x f x k -=在[]
3,3x ∈-上有6个不同的根，
因为方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，所以()f x k =在[]
3,3x ∈-上有4个不同的根，又()323f e -=-，()21
20f e -=-<，所以23
12k e e
-<≤-，D 错误. 故选：BC 【点睛】
本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.
6．已知函数1()x x f x e
+=，当实数m 取确定的某个值时，方程2
()()10f x mf x ++=的根的个数可以是（ ） A ．0个 B ．1个
C ．2个
D ．4个
【答案】ABC 【分析】
令()t f x =，画出1
()x x f x e
+=，结合210t mt ++=的解的情况可得正确的选项. 【详解】
()x
x f x e '=-
， 故当0x <时，0f x ，故()f x 在,0上为增函数；
当0x >时，0f
x
，故()f x 在0,
上为减函数，
而()10f -=且当0x >时，()0f x >恒成立，故()f x 的图象如图所示：
考虑方程210t mt ++=的解的情况.
24m ∆=-，
当2m <-时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的正根12t t <， 因为121t t =，故101t <<，21t >，
由图象可知方程()1t f x =的解的个数为2，方程()2t f x =的解的个数为0， 故方程2
()()10f x mf x ++=的根的个数是2.
当2m =-时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的正根121t t ==， 由图象可知方程1f x
的解的个数为1，
故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.
当22m -<<时，∆<0，此时方程210t mt ++=无解， 故方程2
()()10f x mf x ++=的根的个数是0.
当2m =时，0∆=，此时方程210t mt ++=有两个相等的负根121t t ==-， 由图象可知方程()1f x =-的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是1.
当2m >时，>0∆，此时方程210t mt ++=有两个不等的负根12t t <， 由图象可知方程()1t f x =的解的个数为1，方程()2t f x =的解的个数为1， 故方程2()()10f x mf x ++=的根的个数是2. 故选：ABC ． 【点睛】
本题考查复合方程的解，此类问题，一般用换元法来考虑，其中不含的参数的函数的图象应利用导数来刻画，本题属于难题．
7．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，
则下列结论正确的是( ) A ．122x x +=
B ．122x x e e e +>
C ．1221ln ln 0x x x x +<
D ．12e x x >
【答案】ABC 【分析】
根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C. 【详解】
函数x
y e =与ln y x =互为反函数， 则x
y e =与ln y x =的图象关于y x =对称，
将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，
由直线2y x =-+分别与函数x
y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，
作出函数图像：
则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1， 对于A ，由
12
12
x x +=，解得122x x +=，故A 正确； 对于B ，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+⋅==， 因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；
对于C ，将2y x =-+与x
y e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，
设()2x
f x e x =+-，且函数为单调递增函数，
()010210f =+-=-<，11
2
211320222f e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭
，
故函数的零点在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，即11
02
x <<
，由122x x +=，则212x <<， 12211221
1ln ln ln ln
x x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；
对于D
，由12x x +≥，解得121x x ≤， 由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误； 故选：ABC 【点睛】
本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.
8．定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]
a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数
()21f x x =-，则（ ）
A ．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”
B
．⎣⎦
是()f x 的一个“完美区间” C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”
的和为3+ D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”
的和为3+【答案】AC 【分析】
根据定义，当[]
0,1x ∈时求得()f x 的值域，即可判断A ；对于B ，结合函数值域特点即可判断；对于C 、D ，讨论1b ≤与1b >两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项. 【详解】
对于A ，当[]
0,1x ∈时，()2
2
11f x x x =-=-，则其值域为[]0,1，满足定义域与值域的
范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A 正确；
对于B ，因为函数()2
10f x x =-≥，所以其值域为[
)0,+∞
0<，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B 错误；
对于C ，由定义域为[
]
a b ，，可知0a b ≤<，
当1b ≤时，[][]0,1a b ，，此时()22
11f x x x =-=-，所以()f x 在[]a b ，内单调递
减，
则满足()()2
2
11f a a b f b b a
⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，化简可得22a a b b -=-， 即221122a b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，所以1122a b -=-或1122a b -=-，
解得a b =（舍）或1a b +=， 由2
1
1
a b a b +=⎧⎨
+=⎩解得1b =或0b =（舍）， 所以10a b =-=，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为[]0,1，则“复区间长度”为
()22b a -=；
当1b >时，①若01a ≤<，则[]1a b ∈，，此时()()min 10f x f ==.当()f x 在[]
a b ，的值域为[]
a b ，，则()0,a f b b ==，因为1b > ，所以()2
1f b b b =-=，即满足
2
10b b --=
，解得b =
b =.
所以此时完美区间为⎡⎢⎣⎦
，则“复区间长度”为(
)12212
b a +-=⨯
=+ ②若1a ≤，则()2
1f x x =-，[]x a b ∈，，此时()f x 在[]
a b ，内单调递增，若()
f x 的值域为[]a b ，，则()()2
2
11f a a a
f b b b
⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则,a b 为方程210x x --=的两个不等式实数根，
解得1x =
，2x =，
所以a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，与1a ≤矛盾，所以此时不存在完美
区间.
综上可知，函数()2
1f x x =-的“复区间长度”
的和为213++=C 正确，
D 错误； 故选：AC. 【点睛】
本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.
9．德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定
义了一个“奇怪的函数” ()1,0,R x Q
y f x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩
其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函
数()f x 有如下四个命题,正确的为( ) A ．函数()f x 是偶函数
B ．1x ∀,2R x
C Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立 C ．任取一个不为零的有理数T ,f x T
f x 对任意的x ∈R 恒成立
D ．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()
33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形 【答案】ACD 【分析】
根据函数的定义以及解析式，逐项判断即可． 【详解】
对于A ，若x Q ∈，则x Q -∈，满足()()f x f x =-；若R x C Q ∈，则R x C Q -∈，满足()()f x f x =-；故函数()f x 为偶函数，选项A 正确；
对于B ，取12,R R x C Q x C Q ππ=∈=-∈，则()()1201f x x f +==，
()()120f x f x +=，故选项B 错误；
对于C ，若x Q ∈，则x T Q +∈，满足()()f x f x T =+；若R x C Q ∈，则
R x T C Q +∈，满足()()f x f x T =+，故选项C 正确；
对于D ，要为等腰直角三角形，只可能如下四种情况：
①直角顶点A 在1y =上，斜边在x 轴上，此时点B ，点C 的横坐标为无理数，则BC 中点的横坐标仍然为无理数，那么点A 的横坐标也为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
②直角顶点A 在1y =上，斜边不在x 轴上，此时点B 的横坐标为无理数，则点A 的横坐标也应为无理数，这与点A 的纵坐标为1矛盾，故不成立；
③直角顶点A 在x 轴上，斜边在1y =上，此时点B ，点C 的横坐标为有理数，则BC 中点的横坐标仍然为有理数，那么点A 的横坐标也应为有理数，这与点A 的纵坐标为0矛盾，故不成立；
④直角顶点A 在x 轴上，斜边不在1y =上，此时点A 的横坐标为无理数，则点B 的横坐标也应为无理数，这与点B 的纵坐标为1矛盾，故不成立．
综上，不存在三个点()()
11,A x f x ，()()22,B x f x ，()()
33C x f x ，，使得ABC ∆为等腰直角三角形，故选项D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
本题以新定义为载体，考查对函数性质等知识的运用能力，意在考查学生运用分类讨论思想，数形结合思想的能力以及逻辑推理能力，属于难题．
10．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =.记
()sin ()cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（ ）
A ．()g x 为奇函数
B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=
C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的零点个数为3个 D ．若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ，则1223x x ππ<+<
【答案】ABD 【分析】
根据奇偶性的定义判断A 选项；将()0g x =等价变形为tan ()x f x =-，结合()f x 的奇偶性判断B 选项，再将零点问题转化为两个函数的交点问题，结合函数()g x 的奇偶性判断C 选项，结合图象，得出12,x x 的范围，由不等式的性质得出12x x +的范围. 【详解】
由题意可知()g x 的定义域为R ，关于原点对称
因为()()()sin ()cos sin ()cos ()g x x f x x x f x x g x -=-+-⋅-=--⋅=-，所以函数()g x 为奇函数，故A 正确； 假设cos 0x =，即,2x k k Z π
π=+∈时，sin ()co cos s sin 02x k x f x k πππ⎛⎫
++⋅==≠ ⎪⎝⎭
所以当,2
x k k Z π
π=+∈时，()0g x ≠
当,2
x k k Z π
π≠
+∈时，sin ()cos 0tan ()x f x x x f x +⋅=⇔=-
当00x <，00x ->，则()000()()lg f x f x x =--=--
由于()g x 的一个零点为0x ， 则()()00000tan ()lg t lg an 0x x f x x x =-=⇒--=-，故B 正确；
当0x >时，令12tan ,lg y x y x ==-，则()g x 大于0的零点为12tan ,lg y x y x ==-的交点，由图可知，函数()g x 在区间()0,π的零点有2个，由于函数()g x 为奇函数，则函数
()g x 在区间,02π⎛⎫
- ⎪⎝⎭
的零点有1个，并且(0)sin 0(0)cos00g f =+⋅=
所以函数在区间,2ππ⎛⎫
-
⎪⎝⎭
的零点个数为4个，故C 错误；
由图可知，()g x 大于1的零点123,
22
2
x x π
π
ππ<<<< 所以1223x x ππ<+< 故选：ABD 【点睛】
本题主要考查了判断函数的奇偶性以及判断函数的零点个数，属于较难题.
二、导数及其应用多选题
11．已知0a >，0b >，下列说法错误的是（ ） A ．若1a b a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立 D ．
2ln a a b b e e
-<恒成立 【答案】AD 【分析】
对A 式化简，通过构造函数的方法，结合函数图象，说明A 错误；对B 不等式放缩
22a b e a e b +>+，通过构造函数的方法，由函数的单调性，即可证明B 正确；对C 不等
式等价变型()ln ln ln
1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a ，通过1
0,ln 1∀>>-x x x
恒成立，可得C 正确；D 求出ln -a a b b e 的最大值，当且仅当1
1a b e =⎧⎪
⎨=⎪⎩
时取等号，故D 错误.
【详解】
A. 1ln ln 0⋅=⇔+=a b a b a a b b 设()ln f x x x =，()()0∴+=f a f b
由图可知，当1+→b 时，存在0+→a ，使()()0f a f b += 此时1+→a b ，故A 错误. B. 232+=+>+a b b e a e b e b
设()2x
f x e x =+单调递增，a b ∴>，B 正确
C. ()ln ln ln 1-≥-⇔≥-a b a a b a b b a
又10,ln 1∀>>-x x x ，ln 1∴≥-a b
b a
，C 正确
D. max 1
=
⇒=x x y y e e
当且仅当1x =； min 1ln =⇒=-y x x y e 当且仅当1=x e
；
所以2ln -≤a a b b e e ，当且仅当1
1a b e =⎧⎪⎨=⎪⎩
时取等号，D 错误.
故选：AD 【点睛】
本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力和逻辑推理能力，转化的数学思想和数形结合的数学思想，属于难题.
12．已知函数()3
sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 是奇函数
B ．当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点
C ．若()f x 为增函数，则1a ≤
D ．当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点
【答案】ACD 【分析】
利用函数奇偶性的定义可判断A 选项的正误；利用导数分析函数()f x 的单调性，可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系可判断C 选项的正误；利用导数以及零点存在定理可判断D 选项的正误. 【详解】
对于A 选项，函数()3
sin f x x x ax =+-的定义域为R ，
()()()()3
3sin sin f x x x ax x x ax f x -=-+-+=--+=-，函数()f x 为奇函数，A 选
项正确；
对于B 选项，当3a =-时，()3
sin 3f x x x x =++，则()2
cos 330f x x x '=++>，
所以，函数()f x 在R 上为增函数，又()00f =，所以，函数()f x 有且只有一个零点，B 选项错误；
对于C 选项，()2
cos 3f x x x a '=+-，
由于函数()f x 为增函数，则()0f x '≥对任意的x ∈R 恒成立，即23cos a x x ≤+. 令()2
3cos g x x x =+，则()6sin g x x x '=-，则()6cos 0g x x ''=->，
所以，函数()g x '在R 上为增函数，
当0x <时，()()00g x g ''<=，此时，函数()g x 为减函数； 当0x >时，()()00g x g ''>=，此时，函数()g x 为增函数. 所以，()()min 01g x g ==，1a ∴≤，C 选项正确；
对于D 选项，当3a =时，()3
sin 3f x x x x =+-，则()2
cos 33f x x x '=+-.
由B 选项可知，函数()f x '在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，
()()11cos10f f ''-==>，()020f '=-<，
由零点存在定理可知，函数()f x '在()1,0-和()0,1上都存在一个零点， 因此，当3a =时，函数()f x 有两个极值点，D 选项正确. 故选：ACD. 【点睛】
结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：
（1）函数()f x 在区间D 上单调递增()0f x '⇔≥在区间D 上恒成立； （2）函数()f x 在区间D 上单调递减()0f x '⇔≤在区间D 上恒成立； （3）函数()f x 在区间D 上不单调()f x '⇔在区间D 上存在极值点；
（4）函数()f x 在区间D 上存在单调递增区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '>成立； （5）函数()f x 在区间D 上存在单调递减区间x D ⇔∃∈，使得()0f x '<成立.
13．已知：()f x 是奇函数，当0x >时，()'
()1f x f x ->，(1)3f =，则（ ）
A ．(4)(3)f ef >
B ．2(4)(2)f e f ->-
C ．3(4)41f e >-
D ．2(4)41f e -<--
【答案】ACD 【分析】
由已知构造得'
()+10x x e f ⎡⎤>⎢⎥⎣⎦
，令()()+1x f x g x e =，判断出函数()g x 在0x >时单调递增，由此得()()4>3g g ，化简可判断A ；()()4>2g g ，化简并利用()f x 是奇函数，可判断B ；
()()4>1g g ，化简可判断C ；由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，可判断D.
【详解】 因为当0x >时，()'
()1f
x f x ->，所以()'()10f x f x -->，即
()[]
'()+10x
f x f e x ->，所以'
()+10x x e f ⎡⎤
>⎢⎥
⎣⎦
， 令()()+1x
f x
g x e
=
，则当0x >时，()'
>0g x ，函数()g x 单调递增， 所以()()4>3g g ，即43
(4)+1(3)+1
>f f e e ，化简得(4)(3)1>(3)f f e e ef >+-，故A 正确；
()()4>2g g ，即
42
(4)+1(2)+1>f f e e ，化简得222(4)(2)1>(2)f f e e e f >+-， 所以2(4)(2)e f f -<-，又()f x 是奇函数，所以2
(4)(2)e f f -<-，故B 不正确；
()()4>1g g ，即
4
(4)+1(1)+1>f f e e
，又(1)3f =，化简得3
(4)41f e >-，故C 正确； 由C 选项的分析得32(4)41>4+1f e e >-，所以2
(4)41f e -<--，又()f x 是奇函数，所
以2
(4)41f e -<--，故D 正确, 故选：ACD. 【点睛】
关键点点睛：解决本题中令有导函数的不等式，关键在于构造出某个函数的导函数，得出所构造的函数的单调性，从而可比较函数值的大小关系.
14．已知函数()3
2
f x x ax x c =+-+(x ∈R )，则下列结论正确的是（ ）．
A ．函数()f x 一定存在极大值和极小值
B ．若函数()f x 在1()x -∞，、2()x ，
+∞上是增函数，则21x x -≥ C ．函数()f x 的图像是中心对称图形
D ．函数()f x 的图像在点00())(x f x ，(0x R ∈)处的切线与()f x 的图像必有两个不同的公共点 【答案】ABC 【分析】
首先求函数的导数2
()3210f x x ax =+-='，再根据极值点与导数的关系，判断AB 选
项；证明()()2()333
a a a
f x f x f -
++--=-，判断选项C ；令0a c ==，求切线与()f x 的交点个数，判断D 选项.
【详解】
A 选项，2()3210f x x ax =+-='的24120a ∆=+>恒成立，故()0f x '=必有两个不等实根，不妨设为1x 、2x ，且12x x <，
令()0f x '>，得1x x <或2x x >，令()0f x '<，得12x x x <<，
∴函数()f x 在12()x x ，上单调递减，在1()x -∞，和2()x ，
+∞上单调递增， ∴当1x x =时，函数()f x 取得极大值，当2x x =时，函数()f x 取得极小值，A 对， B 选项，令2()3210f x x ax =+-='，则1223a
x x +=-
，1213
x x ⋅=-，易知12x x <，
∴21x x -==≥
，B
对， C 选项，易知两极值点的中点坐标为(())33
a a f --，，又
23()(1)()333
a a a f x x x f -+=-+++-，
∴()()2()333
a a a
f x f x f -
++--=-， ∴函数()f x 的图像关于点(())3
3
a
a f --，成中心对称，C 对，
D 选项，令0a c ==得3()f x x x =-，()f x 在(0)0，
处切线方程为y x =-， 且3
y x
y x x =-⎧⎨=-⎩
有唯一实数解， 即()f x 在(0)0，
处切线与()f x 图像有唯一公共点，D 错， 故选：ABC ． 【点睛】
方法点睛：解决函数极值、最值综合问题的策略：
1、求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小；
2、求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论；
3、函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.
15．已知2()ln f x x x =，2()()f x g x x
'=，()'
f x 是()f x 的导函数，则下列结论正确的是（ ）
A ．()f x 在12e ,-⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
上单调递增．
B ．()g x 在(0,)+∞上两个零点
C ．当120x x e <<< 时，22
1212()()()m x x f x f x -<-恒成立，则32
m ≥
D ．若函数()()h x f x ax =-只有一个极值点，则实数0a ≥ 【答案】ACD 【分析】
求出导函数()'
f x ，由()0f x '>确定增区间，判断A ，然后可得()
g x ，再利用导数确定
()g x 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B ，构造函数
2()()x f x mx ϕ=-，由()ϕx 在(0,)e 上递减，求得m 范围，判断C ，利用导数研究()
h x 的单调性与极值点，得a 的范围，判断D ． 【详解】
()(2ln 1)(0)f x x x x '=+>，令()0f x '>，
得121
2ln 10ln 2
x x x e -+>⇒>-⇒>，故A 正确
2ln 1
()x g x x
+=
， 212ln ()x g x x -'=，令()0g x '>得1
21ln 2
x x e <⇒<，()0g x '<得120x e <<， 故()g x 在120,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上为减函数，在1
2e ⎛⎫+∞
⎪⎝⎭上为增函数． 当x →时，()g x →-∞；当x →+∞时，()0g x →且g()0x >
()g x ∴的大致图象为
()g x ∴只有一个零点，故B 错．
记2
()()x f x mx ϕ=-，则()ϕx 在(0,)e 上为减函数，
()(2ln 1)20x x x mx ϕ'∴=+-≤对(0,)x e ∈恒成立
22ln 1m x ∴≥+对(0,)x e ∈恒成立 23m ∴≥32
m ∴≥
． 故C 正确．
2()()ln h x f x ax x x ax =-=-，
()(2ln 1)h x x x a =+'-，设()(2ln 1)H x x x =+，
()h x 只有一个极值点， ()h x '0=只有一个解，即直线y a =与()y H x =的图象只有一个
交点．
()2(ln 1)12ln 3H x x x '=++=+，
()H x '在(0,)+∞上为增函数，令()0H x '=，得3
20
x e -=，
当0(0,)x x ∈时，()0H x '<；当0(,)x x ∈+∞时，()0H x '>．
()H x ∴在0(0,)x 上为减函数，在0(,)x +∞上为增函数，
332
203()21202H x e e -
-⎡⎤
⎛⎫=⨯-+=-< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，
0(0,)x x ∈时，3
22ln 12ln 120x e -+<+=-<，即()0H x <，且0x →时，
()0H x →，又x →+∞时，()H x →+∞，因此()H x 的大致图象如下（不含原点）：
直线y a =与它只有一个交点，则0a ≥．故D 正确． 故选：ACD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意数形结合思想的应用．
16．设函数()()()1f x x x x a =--，则下列结论正确的是（ ） A ．当4a =-时，()f x 在11,2
⎡⎤-⎢⎥⎣
⎦上的平均变化率为
194
B ．当1a =时，函数()f x 的图像与直线4
27
y =
有2个交点 C ．当2a =时，()f x 的图像关于点()1,0中心对称
D ．若函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，则当2a ≥时，()()120f x f x +≤ 【答案】BCD 【分析】
运用平均变化率的定义可分析A ，利用导数研究()f x 的单调性和极值，可分析B 选项，证明()()20f x f x +-=可分析C 选项，
先得出1x ，2x 为方程()2
3210x a x a -++=的两个实数根，结合韦达定理可分析D 选
项． 【详解】
对于A ，当4a =-时，()()()14f x x x x =-+，
则()f x 在11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的平均变化率为()()()
119
123
192221412
⎛⎫⨯-⨯--⨯-⨯ ⎪⎝⎭=---，故A 错误；
对于B ，当1a =时，()()2
3212f x x x x x x =-=-+，
()()()2341311f x x x x x '=-+=--，
可得下表：
因为327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10f =，()42227
f =>，结合()f x 的单调性可知， 方程()427f x =
有两个实数解，一个解为1
3
，另一个解在()1,2上，故B 正确； 对于C ，当2a =时，()()()()()()()2
3
1211111f x x x x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎣⎦
，
则有()()()()()()33
211110f x f x x x x x +-=---+---=，故C 正确； 对于D ，()()()1f x x x x a =--，
()()()()()2121321f x x x a x x a x a x a '=--+--=-++，
令()0f x '=，可得方程()2
3210x a x a -++=，
因为()
()2
2
412130a a a ∆=-+=-+>，且函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，
所以1x ，2x 为方程()2
3210x a x a -++=的两个实数根，则有()12122132x x a a x x ⎧
+=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，
则()()()()()()1211122211f x f x x x x a x x x a +=--+--
()()()()33
221212121x x a x x a x x =+-++++
()()()()()22212112212121212x x x x x x a x x x x a x x ⎡⎤=+-++++-++⎣⎦
()()()22211221212
221233a x x x x x x x x a ⎡⎤=+-+-+++⎢⎥⎣⎦
()()()()()2124221
2113327a a a x x a a --⎡⎤=+-++=-+⋅⎢⎥⎣⎦
因为2a ≥，所以()()120f x f x +≤，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，平均变化率，极值等问题，本题的关键是选项D ，利用根与系数的关系，转化为关于a 的函数，证明不等式.
17．定义在R 上的函数()f x ，若存在函数()g x ax b =+（a ，b 为常数），使得
()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，下列命题中
正确的是（ ）
A ．函数()2g x =-是函数ln ,0
()1,0x x f x x >⎧=⎨
⎩
的一个承托函数 B ．函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数
C ．若函数()g x ax = 是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]e
D ．值域是R 的函数()f x 不存在承托函数 【答案】BC 【分析】
由承托函数的定义依次判断即可. 【详解】
解：对A ，∵当0x >时，()ln (,)f x x =∈-∞+∞， ∴()()2f x g x ≥=-对一切实数x 不一定都成立，故A 错误；
对B ，令()()()t x f x g x =-，则()sin (1)sin 10t x x x x x =+--=+≥恒成立， ∴函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数，故B 正确； 对C ，令()x
h x e ax =-，则()x
h x e a '
=-， 若0a =，由题意知，结论成立， 若0a >，令()0h x '=，得ln x a =，
∴函数()h x 在(,ln )a -∞上为减函数，在(ln ,)a +∞上为增函数， ∴当ln x a =时，函数()h x 取得极小值，也是最小值，为ln a a a -， ∵()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数， ∴ln 0a a a -≥， 即ln 1a ≤， ∴0a e <≤，
若0a <，当x →-∞时，()h x →-∞，故不成立，
综上，当0a e 时，函数()g x ax =是函数()x
f x e =的一个承托函数，故C 正确；
对D ，不妨令()2,()21f x x g x x ==-，则()()10f x g x -=≥恒成立， 故()21g x x =-是()2f x x =的一个承托函数，故D 错误. 故选：BC . 【点睛】
方法点睛：以函数为载体的新定义问题，是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中函数只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．
18．已知()2
sin x f x x x π
=-
-.（ ）
A ．()f x 的零点个数为4
B ．()f x 的极值点个数为3
C ．x 轴为曲线()y f x =的切线
D ．若()12()f x f x =，则12x x π+=
【答案】BC 【分析】
首先根据()0f x '=得到21cos x
x π
-
=，分别画出21x
y π
=-
和cos y x =的图像，从而得
到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案. 【详解】
()21cos x
f x x π
'=-
-，令()0f x '=，得到21cos x
x π
-=.
分别画出21x
y π
=-
和cos y x =的图像，如图所示：
由图知：21cos x
x π
-
=有三个解，即()0f x '=有三个解，分别为0，
2
π，π. 所以(),0x ∈-∞，()21cos 0x
f x x π
'=-
->，()f x 为增函数，
0,2x π⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭，()21cos 0x f x x π'=--<，()f x 为减函数，
,2x ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，()21cos 0x f x x π'=-->，()f x 为增函数，
(),x π∈+∞，()21cos 0x
f x x π
'=-
-<，()f x 为减函数.
所以当0x =时，()f x 取得极大值为0，当2
x π=时，()f x 取得极小值为
14
π
-，
当x π=时，()f x 取得极大值为0，
所以函数()f x 有两个零点，三个极值点，A 错误，B 正确.
因为函数()f x 的极大值为0，所以x 轴为曲线()y f x =的切线，故C 正确. 因为()f x 在(),0-∞为增函数，0,2π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
为减函数， 所以存在1x ，2x 满足1202
x x π
<<<
，且()()12f x f x =，
显然122
x x π
+<，故D 错误.
故选：BC 【点睛】
本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.
19．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是（ ）. A ．2- B ．1-
C ．0
D ．1
【答案】ABC 【分析】
将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭
，.当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x
F x x x x x
=++>，利用导数法研究其最小值即可. 【详解】
因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫
<
++ ⎪⎝⎭
，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1x
F x x x x x
=++>， 则()222
131ln 2ln x x x F x x x x x ---'=
-+=. 令()ln 2x x x ϕ=--， 因为()1
0x x x
ϕ-'=
>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增. 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ， 于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()0
00min 00
ln 3ln x F x F x x x x ==++.（*） 因为()1ln 3309F -'=
<，()()21ln 22ln 4401616
F --'==>，
所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=， 将00ln 2x x =-代入（*）式， 得()()0000min 000
231
21x F x F x x x x x x -==-+
+=+-，()03,4x ∈.
因为00
1
1t x x =+-在()3,4上为增函数， 所以713,34t ⎛⎫∈
⎪⎝⎭，即()min 1713,41216F x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
.
因为k 为整数，所以0k ≤. 故选：ABC 【点睛】
本题主要考查函数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于较难题.
20．（多选题）已知函数31
()1x x xe x f x e x x
⎧<⎪
=⎨≥⎪⎩，，，函数()()g x xf x =，下列选项正确的是
（ ）
A ．点(0,0)是函数()f x 的零点
B ．12(0,1),(1,3)x x ∃∈∈，使12()()f x f x >
C ．函数()f x 的值域为)
1e ,-⎡-+∞⎣
D ．若关于x 的方程[]
2
()
2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是
222e e
,(,)e 82
⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦ 【答案】BC 【分析】
根据零点的定义可判断A ；利用导数判断出函数在()0,1、()1,3上的单调性性，求出各段上的值域即可判断B ；利用导数求出函数的最值即可判断C ；利用导数求出函数的最值即可判断D. 【详解】
对于选项A ，0是函数()f x 的零点，零点不是一个点，所以A 错误. 对于选项B ，当1x <时，()(1)x
f x x e '
=+，可得， 当1x <-时，()f x 单调递减； 当11x -<<时，()f x 单调递增； 所以，当01x <<时， 0()<<f x e ，
当1x >时，4
(3)
()x e x f x x
-'=， 当13x <<时，()f x 单调递减； 当3x >时，()f x 单调递增；
()y f x =图像
所以，当13x <<时， 3
()27
e f x e << ，综上可得，选项B 正确；
对于选项C ，min 1
()(1)f x f e
=-=-，选项C 正确. 对于选项D ，关于x 的方程[]
2
()
2()0-=g x ag x 有两个不相等的实数根
⇔关于x 的方程()[()2]0-=g x g x a 有两个不相等的实数根 ⇔关于x 的方程()20-=g x a 有一个非零的实数根
⇔函数()y g x =与2y a =有一个交点，且0x ≠，22,1(),1x x
x e x g x e x x
⎧<⎪=⎨≥⎪⎩
当1x <时，/
2
()(2)=+x
g x e x x ，当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下：
x
2x <-
2-
20x -<<
0 01x << /()g x +
-
+
()g x
极大值 极小值
极大值24(2)g e -=，极小值(0)0g =，当1≥x 时，3
(2)
'()e x g x x -=
当x 变化时，'()g x ，()g x 的变化情况如下： x 1
12x <<
2 2x >
/()g x
-
+
()g x
e
极小值
极小值2
(2)4
e g =，
()y g x =图像
综上可得，2
2424
<<e a e 或2a e >，
a 的取值范围是222e e
,(,)e 82
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，D 不正确.
故选：BC 【点睛】
本题考查了利用导数求函数的最值，利用导数研究方程的根，考查了转化与化归的思想，属于难题.
三、三角函数与解三角形多选题
21．如图，已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，||2
π
ϕ≤）的图象与x
轴交于点,A B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，,||23
OCB OA π
∠==，221
||AD =
.则下列说法正确的有（ ）
A ．()f x 的最小正周期为12
B ．6
π
ϕ=-
C ．()f x 的最大值为163
D ．()f x 在区间(14,17)上单调递增
【答案】ACD 【分析】
由题意可得：3|sin |2A π
ϕω
=+
，sin(2)0ωϕ+=，可得A ，B ，C ，D 的坐标，根据221
||AD =
，可得方程22228(1)243A sin πϕω-+=，进而解出ω，ϕ，A ．判断出结论． 【详解】
由题意可得：||3||OB OC =，3sin 2A π
ϕω
∴=+
，sin(2)0ωϕ+=， (2,0)A ，(2B π
ω+，0)，(0,sin )C A ϕ，sin 1,22A D πϕω
⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭， 2213AD =，2
22sin 281243A πϕω⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭
，把|sin |(2)3A πϕω=+代入上式可得：2()2240π
π
ω
ω-⨯
-=，0>ω.解得6πω=，6πω∴=，可得周期212T ω
π==，
sin()03π
ϕ∴+=，||2π
ϕ≤，解得3π
ϕ=-.可知：B 不对，3sin 263A π⎛⎫
∴-=+ ⎪⎝⎭
，
0A >，解得16
3
A =
，函数16()sin()363
f x x ππ
=
-，可知C 正确. ()14,17x ∈ 时，52,
6
32x π
πππ⎛⎫⎛⎫
-∈
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，可得：函数()f x 在()14,17x ∈单调递增. 综上可得：ACD 正确.
故选：ACD 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是表示点,,B C D 的坐标，并利用两点间距离表示等量关系后，求解各点的坐标，问题迎刃而解.
22．在ABC 中，下列说法正确的是（ ） A ．若A B >，则sin sin A B > B ．存在ABC 满足cos cos 0A B +≤ C ．若sin cos A B <，则ABC 为钝角三角形 D ．若2
C π
>
，则22sin sin sin C A B >+
【答案】ACD 【分析】
A 项，根据大角对大边定理和正弦定理可判断；
B 项，由A B π+<和余弦函数在()0,π递减可判断；
C 项，显然2
A π
≠，分02
A π
<<
和2
A π
>
两种情况讨论，结合余弦函数的单调性可判
断；
D 项，根据2
A B π
+<和正弦函数的单调性得出0sin cos A B <<和0sin cos B A <<，再由放缩法可判断. 【详解】
解：对于A 选项，若A B >，则a b >，则2sin 2sin R A R B >，即sin sin A B >，故A 选项正确；
对于B 选项，由A B π+<，则A B π<-，且(),0,A B ππ-∈，cos y x =在()0,π上递减，于是cos cos A B >-，即cos cos 0A B +>，故B 选项错误﹔ 对于C 选项，由sin cos A B <，得cos cos 2A B π⎛⎫
-< ⎪⎝⎭
，cos y x =在()0,π上递减， 此时：若02
A π
<<，则
2A B π->，则2A B π+<，于是2
C π>； 若2
A π
>
，则cos cos 2A B π⎛
⎫
-
< ⎪⎝
⎭，则2
A B π
->， 于是2
A B π
>
+，故C 选项正确；
对于D 选项，由2
C π
>
，则2A B π+<
，则022A B ππ<<-<，sin y x =在0,2π⎛⎫
⎪⎝⎭
递增，于是sin sin 2A B π⎛⎫
<- ⎪⎝⎭
， 即0sin cos A B <<，同理0sin cos B A <<，
此时，
22sin sin()sin cos cos sin sin sin sin sin sin sin C A B A B A B A A B B A B
=+=+>⋅+⋅=+
所以D 选项正确. 故选：ACD 【点睛】
关键点点睛：正余弦函数的单调性，正弦定理的边角互化，大边对大角定理以及大角对大边定理，不等式的放缩等等，综合使用以上知识点是解决此类题的关键.
23．设函数()2sin 1
x
f x x x π=-+，则（ ）
A ．()43
f x ≤
B ．()5f x x ≤。