吉林省四平市高一数学入学考试试题

高中入学考试数学试卷
数学试题共六道大题，26道小题。

全卷满分120分。

考试时间120分钟。

得 分 栏
题号 一 二
三 四 五 六 总分
得分
一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1. 下列各数中，最小的数是 （ ） A. -2 B. -0.1 C . 0 D. |-1|
2. 如图是几个完全相同小正方体组成的一个几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3. 下列运算正确的是（ ）
A ．3x 2+4x 2=7x 4
B ．2x 3·3x 3=6x
3
C ．x 6÷x 3==x 2
D ．(x 2)4=x 8
4.不等式组10
840x x -⎧⎨-⎩
＞≤的解集在数轴上表示为 （ ）
A.
B.
C.
D.
5.如图，把三角板的直角顶点放在直尺的一边上，
若∠1=30°，则∠2的度数为（ ） A ．60° B ．50° C ．40° D ．30°
6.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，连接OA 、OB ，∠OBA=50°， 则∠C 的度数为（ ） A ．30° B ．40° C ．50° D ．80°
二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 太阳的半径约为696 000千米，用科学记数法表示为____________千米． 8. 若x 31-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 . 9.身高/cm 180 185 187 190 201 人数/名
4
6
5
4
2
则该校篮球班21名同学身高的中位数是______________cm ．
（第5题图） （第6题图）
10.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每天生产 台机器. 11. 若x = -2是关于x 的一元二次方程02
5
22
=+-
a ax x 的一个根， 则a 的值为__________ 。

12. 如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形ADE ，
AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为__________度．
13. 把抛物线y=(x+1)2
向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线解析式是________________.
14. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△MN A '，连接C A ',则C A '长度的最小值是___________.
解答题（每小题5分，共20分）
15. 先化简，再求值： 22211
x x x x --+，其中x= - 1
2．
16. 小锦和小丽购买了价格分别相同的中性笔和笔芯．小锦买了20支笔和2盒笔芯，用了56元；小丽买了2支笔和3盒笔芯，仅用了28元．求每支中性笔和每盒笔芯的价格．
17. 现有5个质地、大小完全相同的小球上分别标有数字2,1--, 1, 2, 3．先将标有数字2-, 1, 3的小球放在第一个不透明的盒子里，再将其余小球放在第二个不透明的盒子里.现分别从这两个盒子里各随机取出一个小球.
（1）请利用列表或画树状图的方法表示取出的两个小球上数字之和所有可能的结果； （2）求取出的两个小球上的数字之和等于0的概率.
（第14题图）
（第12题图）
18.已知，如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D 为AB 边上一点．求证：BD=AE ．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB 和直线MN ，点A 、B 、M 、N 均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画四边形ABCD （四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD 是以直线MN 为对称轴的轴对称图形，点A 的对称点为点D ，点B 的对称点为C ； （2）请直接写出四边形ABCD 的周长．
20. 某校为了开阔学生的视野，积极组织学生参加课外读书活动．“放飞梦想”读书小组协助老师随机抽
取本校的部分学生，调查他们最喜爱的图书类别（图书分为文学类、艺体类、科普类、其他等四类），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题：
（
1）求被调查的学生人数；
4
8
12 人数
文学 16 O 20 24
文学类
艺体类
科普类 20%
其他
最喜爱的各类图书的人数
最喜爱的各类图书的人数占总人数的百分比
（2）补全条形统计图；
（3）已知该校有1200名学生，估计全校最喜爱文学类图书的学生有多少人？
21. 如图，从A 地到B 地的公路需经过C 地，图中AC =10千米，∠CAB =25°，∠CBA =37°.因城市规划的需要，将在A 、B 两地之间修建一条笔直的公路. （1）求改直后的公路AB 的长；
（2）问公路改直后比原来缩短了多少千米？
（sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91,sin 37°≈0.60，tan 37°≈0.75）
22. 如图，已知▱ABCD 水平放置在平面直角坐标系xOy 中，若点A ，D 的坐标分别为（﹣2，5），（0，1），点B （3，5）在反比例函数x
k
y =（x ＞0）图象上．
（1）求反比例函数x
k
y =
的解析式； （2）将▱ABCD 沿x 轴正方向平移10个单位后，能否使点C 落在反比例函数x
k
y =的图象上？并说明理由．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. 如图，已知⊙O 的半径为4，CD 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的弦，B 为CD 延长线上的一点，∠ABC=30°，且AB=AC ．
（1）求证：AB 为⊙O 的切线； （2）求弦AC 的长；
（3）求图中阴影部分的面积．
24. 某景区的三个景点A ，B ，C 在同一线路上，甲、乙两名游客从景点A 出发，甲步行到景点C ，乙乘景区观光车先到景点B ，在B 处停留一段时间后，再步行到景点C ． 甲、乙两人离开景点A 后的路程S （米）关于时间t （分钟）的函数图象如图所示．根据以上信息回答下列问题： （1）乙出发后多长时间与甲第一次相遇？ （2）要使甲到达景点C 时，乙与C 的路程不超过400米，则乙从景点B 步行到景点C 的速度至少为多少？（结果精确到0.1米/分钟）
六、解答题（每小题10分，共20分）
25.如图，已知二次函数的图象经过点A （6，0），B （﹣2，0）和点C （0，﹣8）． （1）求该二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的顶点为M ，若点K 为x 轴上的动点，当△KCM 的周长最小时， 点K 的坐标为 ；
第24题图
乙 30 20 S （米） 0 5400
3000
（3）连接AC ，有两动点P ，Q 同时从点O 出发，其中点P 以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC 按O→A→C 的路线运动，点Q 以每秒8个单位长度的速度沿折线OCA 按O→C→A 的路线运动，当P ，Q 两点相遇时，它们都停止运动，设P ，Q 同时从点O 出发t 秒时，△OPQ 的面积为S ．
①请问P ，Q 两点在运动过程中，是否存在PQ∥OC？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； ②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；
26.如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中∠C =90°， ∠B =∠E =30°.
（1）操作发现
如图2，固定△ABC ，使△DEC 绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是_________；
②设△BDC 的面积为S 1，△AEC 的面积为S 2，则S 1与S 2的数量关系是_____________. （2）猜想论证
) A D B () C 图1 B D E 图2
当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时，小明猜想（1）中S 1与S 2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC 、CE 边上的高DM 、AN ，请你证明小明的猜想.
（3）拓展探究
已知∠ABC =60°，点D 是其角平分线上一点，BD =CD =4，DE //AB 交BC 于点E （如图4）. 若在射线BA 上存在点F ，使S △DCF =S △BDE ，请直接写出．．．．
相应的BF 的长. D
A 图4 图3
图4
高中入学考试数学试卷参考答案和评分标准
阅卷说明：
1.评卷采分最小单位为1分，每步标出的是累计分。

2.考生若用“参考答案”以外的解（证）法，可参照本“参考答案“的相应步骤给分。

一、单项选择题（每小题2分，共12分）
1. A
2. C
3. D
4. C
5. A
6. B 二、填空题（每小题3分，共24分）
7. 5
69610⨯．
8. 1
3
x ≤ 9. 187 10. 200 11. -1或-4 12. 60 13. y=x 2
-2 14. 1-7
三、解答题（每小题5分，共20分）
15. 解：原式=()
221(1)(1)
x x x x x --+-
=()21(1)(1)
x x x x x -++- =
1
x
x - 3分 当x= - 12，原式=12×23=1
3 5分
16. 解：设每支中性笔x 元，每盒笔芯y 元，根据题意得
20256,
2328.x y x y +=⎧⎨
+=⎩
3分
解这个方程组，得2,8.x y =⎧⎨=⎩
答：每支中性笔2元，每盒笔芯8元． 5分
17. 解：（1）列表或画树状图表示取出的两个小球上数字之和所有可能结果如下： 列表得
3分
（2）由表格或树状图可知，所有可能出现的结果共有6种，每种结果出现的可能性相同。

∴P （和为0）=
21
.63
= 5分
18. 证明：∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC=BC，CD=CE，
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACE+∠ACD=∠BCD+∠ACD，∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD 中，， 3分
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴BD=AE． 5分
四、解答题（每小题7分，共28分）
19. 解：（1）正确画图；4分
．
（2）2552
+7分
20. .解：（1）被调查的学生人数为：1220%60
÷=(人)；２分
（2）如图
５分
（3）全校最喜爱文学类图书的学生约有
24 1200480
60
⨯
=(人). 7分
21. 解：（1）作CH⊥AB于点H，在RT△ACH中，
CH=AC·sin∠CAB= AC·sin25°=10×0.42=4.2， 2分AH=AC·cos∠CAB= AC·cos25°=10×0.91=9.1, 3分在RT△BCH中，
BH=CH÷tan37°=4.2÷0.75=5.6,
∴AB=AH+BH=9.1+5.6=14.7（千米）； 5分
（2）BC=CH÷sin37°=4.2÷0.6=7.0， 6分∴AC+BC-AB=10+7-14.7=2.3（千米）.
第20题解图
4
8
类别
人数
文学科普其他
16
20
24
答：公路改直后比原来缩短了2.3.千米. 7分
22.解：解：（1）∵点B（3，5）在反比例函数y=（x＞0）图象上，
∴k=15，
∴反比例函数的解析式为y=； 3分
（2）平移后的点C能落在y=的图象上；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵点A，D的坐标分别为（﹣2，5），（0，1），点B（3，5），
∴AB=5，AB∥x轴，
∴DC∥x轴，
∴点C的坐标为（5，1）， 5分
∴ABCD沿x轴正方向平移10个单位后C点坐标为（15，1）， 6分
∴平移后的点C能落在y=的图象上． 7分
五、解答题（每小题8分，共16分）
23. （1）证明：如图，连接OA．
∵AB=AC，∠ABC=30°，∴∠ABC=∠ACB=30°．∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∴在△ABO中，∠OAB=180°﹣∠ABO﹣∠AOB=90°，即AB⊥OA，
又∵OA是⊙O的半径，∴AB为⊙O的切线； 3分
（2）解：如图，连接AD．
∵CD是⊙O的直径，∴∠DAC=90°．
∵由（1）知，∠ACB=30°，∴AD=CD=4，
则根据勾股定理知AC==4，即弦AC的长是4； 5分
（3）解：由（2）知，在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=4，则S△A DC=AD•AC=×4×4=8．∵点O是△ADC斜边上的中点，
∴S△AOC=S△A DC=4．
根据图示知，S阴影=S扇形ADO+S△AOC=+4=+4，
即图中阴影部分的面积是+4． 8分
24.解：当0≤t≤90时，设甲步行路程与时间的函数关系式为S=at,
点（90，5400）在S=at的图像上，∴a=60
甲的函数关系式为S=60t (0≤t≤90) 1分
当20≤t≤30时，设乙乘观光车由A到B时的路程与时间的函数关系式为
S=mt+n,
点（20，0），（30，3000）在S =mt+n 的图像上，
∴⎩⎨⎧=+=+3000300
20n m n m 解得⎩⎨⎧-==6000
300n m 2分 乙的函数关系式为：S=300t -6000 (20≤t ≤30) 3分
(1) 由60t =300t -6000 解得：t ＝25 (分钟)
答：乙出发后5分钟与甲第一次相遇． 5分
(2) 设当60≤t ≤90时，乙从景点B 步行到景点C 的速度为v 米/分钟，
根据题意得：40060-90-3000-5400≤v ）（； 7分 ∴7.663200
≈≥v
答：乙从景点B 步行到景点C 的速度至少66.7米/分钟． 8分
六、解答题（每小题10分，共20分）
25. 解：（1）设二次函数的解析式为y=a （x+2）（x ﹣6）
∵图象过点（0，﹣8） ∴a=
∴二次函数的解析式为y=x 2﹣x ﹣8； 2分 （2）K （，0）； 4分
（3）①不存在PQ∥OC， 若PQ∥OC，则点P ，Q 分别在线段OA ，CA 上，此时，1＜t ＜2 ∵PQ∥OC， ∴△APQ∽△AOC ∴
∵AP=6﹣3t AQ=18﹣8t ，
∴
∴t=
∵t=＞2不满足1＜t ＜2；
∴不存在PQ∥OC； 7分
②分情况讨论如下，
情况1：0≤t ≤1
S=OP•OQ=×3t×8t=12t 2； 8分 情况2：1＜t ≤2
作QE⊥OA，垂足为E ，
S=OP•EQ=×3t×=﹣+
9分
情况3：2＜t ≤
作OF⊥AC，垂足为F ，则OF=
S=QP•OF=×（24﹣11t ）×=﹣+； 10分
26.解：（1）①DE∥AC 1分 ②S 1= S 2 2分
（2）证明：∵∠DCE=∠ACB=90°
∴∠DCM+∠ACE=180° 又∵∠ACN+∠ACE=180°
∴∠ACN=∠DCM 4分 又∵∠CNA=∠CMD=90°
∴∠NAC=∠MDC AC=CD
∴△ANC ≌△DMC 6
分 ∴AN=DM
又∵CE=CB ∴S 1= S 2
8分 （3）334
或338
10
分 （此问写出一种答案即给1分）
提示：如图所示，
作DF 1∥BC 交BA 于点F 1 ；
作DF 2⊥BD 交BA 于点F 2 。

BF 1 、BF 2即为所求。