高中数学 2.3 函数的单调性配套课件 北师大版必修1

●教学建议 在研究函数的性质时，单调性是一个重要内容，实际 上，在初中学习函数时，已经重点研究了一些函数的增减 性，只是当时的研究较为粗略，未明确给出有关函数增减性 的定义，对于函数增减性的判断也主要根据观察图像得出， 而本小节内容，正是初中有关内容的深化和提高：给出函数 在某个区间上增函数或减函数的定义，明确指出函数的增减 性是相对于某个区间来说的，还说明判断函数的增减性既有 从图像上进行观察的较为粗略的方法，又有根据定义进行证 明的较为严格的方法，最后根据图像观察得出猜想，用推理 证明猜想，将图像法和定义法统一起来．
函数在区间上的增加(递增)或减少(递减)性 1．在函数f(x)定义域内的一个区间A上，如果对于任意 两数 x1，x2∈A，当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2) ，那么就称函 数y＝f(x)在区间A上是增加的，或称函数y＝f(x)在区间A上 是递增的． 2．在函数f(x)定义域内的一个区间A上，如果对于任意 两数x1，x2∈A，当 x1<x2 时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函 数y＝f(x)在区间A上是减少的，或称函数y＝f(x)在区间A上是 递减 的．
由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此，在 本节教学时可以充分使用信息技术创设教学情景，以利于 学生画函数图像，以便有更多的时间用于思考、探究函数 的单调性、最值等性质．还要特别重视让学生经历这些概 念的形成过程，以便加深对单调性的理解．
●教学流程
演示结束
1.理解函数的单调性的概念及
1．证明过程中要注意x1，x2在所给区间上的任意性， 切忌以特殊值代替一般．
2．证明函数单调性的步骤：
证明：f(x)＝－1x－1在区间(－∞，0)上是单调增函数．
【证明】 设x1，x2∈(－∞，0)，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)
＝－
1 x1
＋
1 x2
＝
1 x2
－
1 x1
＝
x1x－1x2x2，因为x1<x2<0，所以x1－x2<0，
2．过程与方法 (1)通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单 调性及其几何意义． (2)学会运用函数图像理解和研究函数的性质． (3)能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单 调性．
3．情感、态度与价值观 使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性，增强 学习函数的积极性．
●重点难点 重点：函数的单调性的证明． 难点：增函数、减函数形式化定义的形成及单调性的 证明． 本节课的难点主要是发生在概念形成过程中由特殊到 一般的过渡，也就是定义中“任意”的理解，建议教学时 多给学生操作与思考的空间；另一个难点是定义法判断或 证明函数的单调性，其主要原因是学生比较大小的能力不 够，因此，对于函数的复杂程度要加以限制，同时要帮助 学生建立判断函数单调性的基本步骤．
单调区间、单调性和单调函数 【问题导思】 1．函数y＝f(x)在[－3,3]上的图像如下：
该函数的图像在哪些区间上是上升的？在哪些区间上 是下降的？
【提示】 在区间[－3，－2]，[2,3]上是上升的，在区 间[－2,2]上是下降的．
2．对于问题1中区间[－2,2]上的任意x1，x2，当x1<x2 时，是否有f(x1)>f(x2)?
【自主解答】 f(x)＝－ －xx22＋ －22xx＋ ＋33， ，xx≥ <00. ， 当x≥0时，f(x)＝－(x－1)2＋4，其开口向下，对称轴为 x＝1，顶点坐标为(1,4)，且f(3)＝0，f(0)＝3； 当x<0时，f(x)＝－(x＋1)2＋4，其开口向下，对称轴为x ＝－1，顶点坐标为(－1,4)，且f(－3)＝0. 作出函数的图像(如图)，由图看出，函数在(－∞，－ 1]，[0,1]上是增加的，在[－1,0]，[1，＋∞)上是减少的．
x1x2>0，所以x1x－1x2x2<0，
所以f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，因此函数f(x)在(－
∞，0)上是单调增函数．
求函数的单调区间
画出函数f(x)＝－x2＋2|x|＋3的图像，说出函数 的单调区间，并指明在该区间上的单调性．
【思路探究】 含有绝对值符号的函数解析式，可根 据绝对值的意义，将其转化为分段函数，画出函数图像 后，观察曲线在哪些区间上是上升的，在哪些区间上是下 降的，即可确定函数的单调区间及单调性．
课 标 解 读
其几何意义．(难点) 2．掌握用定义证明函数单调 性的步骤．(重点) 3．会求函数的单调区间，理 解函数单调性的简单应用．(
易混点)
函数在区间上增加(减少)的定义 【问题导思】 观察下列函数的图像．
当自变量x的值增大时，函数值f(x)是如何变化的？ 【提示】 函数y＝x的值逐渐增大，函数y＝－x的值逐 渐减少，而函数y＝x2在(－∞，0]上逐渐减小，在[0，＋∞) 上逐渐增大．
【提示】 图像在区间[－2,2]上是下降的，所以有 f(x1)>f(x2)．
1．单调区间 如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或减少的，那么称 A为 单调区间 ．在单调区间上，如果函数是增加的，那么 它的图像是上升的 ；如果函数是 减少 的，那么它的图像 是下降的． 2．单调性 如果函数y＝f(x)在 定义域的某个子集 上是增加的或 是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．
§3 函数的单调性
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能 (1)建立增(减)函数的概念，通过观察一些函数图像的特 征，形成增(减)函数的直观认识. 再通过具体函数值的大小 比较，认识函数值随自变量的增大(减小)的规律，由此得出 增(减)函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步 骤．
(2)函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数 的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验 数学概念的形成过程．
3．单调函数 如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的， 那么分别称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数.
函数单调性的判断或证明 证明函数f(x)＝x＋1x在(0,1)上为减函数．
【思路探究】 在(0,1)内任取x1<x2，证明f(x1)>f(x2)．
【自主解பைடு நூலகம்】 设0<x1<x2<1，则 f(x1)－f(x2)＝(x1＋x11)－(x2＋x12) ＝(x1－x2)＋x2x－1x2x1 ＝(x1－x2)(1－x11x2)＝x1－x2x1xx21x2－1. 已知0<x1<x2<1， 则x1x2－1<0，x1－x2<0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． ∴f(x)＝x＋1x在(0,1)上为减函数．