九年级数学下册 2.3 垂径定理学案 湘教版(2021学年)

2０１7春九年级数学下册2.3 垂径定理学案(新版）湘教版
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2.3 垂径定理
1.理解圆是轴对称图形，由圆的折叠猜想垂径定理，并进行推理验证．
2.理解垂径定理,灵活运用定理进行证明及计算。

自学指导阅读课本P58~59，完成下列问题.
知识探究
１．圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心.
2.垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足:①ＡB经过圆心O且与圆交于A、Ｂ两点；②AB⊥ＣＤ交ＣD于E；那么可以推出:③CE=DE;④错误!=错误!;⑤错误!＝错误!。

自学反馈
1．已知:⊙Ｏ的直径为１0ｃm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则AＢ的长为( D ) A．ﻩﻩ B.４ｃm
C.ﻩD．8cｍ
2.如图，⊙O的半径为4，弦ＡB⊥OC于C,且ＯC=3,则AB的长等于.
活动1 小组讨论
例１如图，弦AB＝８cｍ,CD是⊙O的直径,CD⊥AB，垂足为Ｅ，DE=2cm,求⊙Ｏ的直径CD的长.
解:连接ＯA．
设OＡ=rｃm,则ＯＥ＝r—2(cm).
∵ＣD⊥AＢ，
AB＝4(cｍ)。

由垂径定理得ＡE=
2
在Rt△AＥO中,由勾股定理得
OA２=OE２+ＡE2。

即r２=(r—２）2+４２．
解得ｒ=5。

∴CＤ=2ｒ＝10（cｍ)．
例2 证明:圆的两条平行弦所夹的弧相等
已知:如图，在⊙O中，弦AB与弦CD平行.求证：弧AＣ＝弧ＢD.
证明：作直径EF⊥ＡB，
∴弧AE＝弧BE.
又∵AB∥CD,EF⊥ＡB，
∴ＥF⊥ＣD．
∴弧CE=弧DＥ。

因此弧AE—弧CＥ=弧BE—弧DＥ，
即弧ＡC=弧BＤ。

活动2 跟踪训练
图，⊙O的半径为５，弦AB的长为6，M是AＢ上的动点,则线段OM长的最小值为( C ) 2.
如
A．2ﻩﻩ B.3 ﻩ C.4 D.5
3。

如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧）,其跨度为24米，拱的半径为13米,则拱高为( B )
A.5米ﻩﻩＢ.8米ﻩ
C．7米ﻩﻩD．5米
5。

如图，⊙O的半径OC为6cm，弦ＡB垂直平分OＣ，则AB= 6cm.
6。

如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的AB），点O是这段弧的圆心，AB＝12０m,C是AB上一点,OＣ⊥ＡB,垂足为D，CD＝2０m,则这段弯路的半径为100 m.
7.如图是某公园新建的圆形人工湖.为测量该湖的半径，小强和小丽沿湖边选取A、Ｂ、C三根木桩,使得Ａ、Ｂ之间的距离与Ｂ、C之间的距离相等，并测得B到AC的距离为3米，AC的长为6０米，请你帮他们求出人工湖的半径．
解:设点O为圆心,连接半径OA、ＯB,设ＯB交AC于点D．则OB⊥AC，AＤ=CD=３０米.设OＡ=ｘ米，则有ｘ2﹣(x﹣3）2=３02,解得x=151.５(米)．故人工湖的半径为151.5米．８。

如图,⊙O的直径AB垂直于弦ＣＤ,垂足为E,AB=１０,∠COD=60°,求：
(１)弦CＤ的长;
（2）∠CＯE的度数;
(3)线段ＢE的长（结果用根号表示).
解:(1）∵半径OＣ=OD,即△OＣD为等腰三角形．
又∵∠COＤ=60°，∴△OCD为等边三角形。

∴CＤ=OC＝AB＝5。

（2）∵直径AＢ垂直于弦ＣD于Ｅ,∴CＥ=ED。

又∵OC＝OD,即OE为等腰△OCD的底边CD上的高,∴OE平分∠COD.
∵∠COD=60°,∴∠COＥ＝30°.
(３)在Rｔ△OCE中,∵cｏs∠COE=,
∴OＥ=ＯC•cos∠CＯE=5•ｃos30°=5•=.∴BＥ=OB﹣OＥ=５﹣.
活动３课堂小结
1.这节课你学到了什么?还有哪些疑惑?
2。

教师强调：①圆是轴对称图形,对称轴是过圆心的任一条直线;②垂径定理及推论中注意“平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧”中的限制；③垂径定理
的计算及证明,常作弦心距为辅助线,用勾股定理列方程;④注意计算中的两种情况。

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