备战2018年高考数学(文)之高频考点解密-解密13 空间几何体 含解析

备战2018年高考数学（文）之高频考点解密
考点1 空间几何体与三视图
题组一画空间几何体的三视图
调研1 将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为
A B C D
【答案】D
【解析】被截去的四棱锥的三条可见棱中，有两条为长方体的两条面对角线，它们在右侧面的投影与右侧面的两边重合，另一条为体对角线，它在右侧面的投影与右侧面的对角线重合，对照各选项，只有D符合.故选D．
题组二由几何体的三视图还原几何体的形状
调研2 如图,网格纸的各小格都是正方形,粗线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是
A．三棱锥B．三棱柱
C．四棱锥D．四棱柱
【答案】A
【解析】构造棱长为4的正方体,由三视图可知,该几何体为如图所示的三棱锥P-ABC,其中点P,B分别为相应棱的中点,故选A．
调研3 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的所有棱中，最大值是
A B．3
C．D10
【答案】C
【解析】由三视图可知，该几何体如图所示，其棱共有9条，AB＝AD＝BC＝CF＝3，AC＝DF＝32BG＝3＋1＝4，DG
＝FG，故该多面体的所有棱中，最大值为32
☆技巧点拨☆
1．一个物体的三视图的排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图的长度一样，侧视图放在正视图的右面，高度与正视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．
2．要熟悉各种基本几何体的三视图．同时要注意画三视图时，能看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线．
题组三由几何体的部分视图画出剩余部分的视图
调研4 一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图可能为
【答案】D
【解析】由几何体的正视图和俯视图可知，三棱锥的顶点在底面内的射影在底面棱上，则原几何体如图所示，从而侧视图为D ．故选D ．
考点2 空间几何体的表面积与体积 题组一 柱体、锥体、台体的表面积与体积
调研1 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为
A B ．16π
833
+
C D ．836π+
【答案】D
【解析】由三视图可知几何体是由一个四棱锥和半个圆柱组合而成的，所以所求的体积为
D. 调研2 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60BAD ∠=︒，侧棱PA ⊥底面ABCD ， 2PA =，
E 为AB 的中点，则四面体B PEC -的体积为__________．
【答案】
3
【解析】侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ∴是四面体P BCE -的高，底面ABCD 是边长为2的菱形，
60BAD ∠=，2,120
AB BC EBC ∴==∠=，
E 为AB 的中点，1,BE ∴=∴三角形B C E
的面积
∴四面体B PEC -的体积等于四面体P BCE -的体积，为
3调研3如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥侧面11ABB A ，111160B A A C A A ∠=∠=，
14,1AA AC AB ===．
（1）求证：1111A B B C ⊥；
（2）求三棱柱111ABC A B C -的侧面积．
【解析】（1）如图，取1AA 的中点O ，连接1OC ，1AC ，1OB ，
∵1114AA AC AC ===，1160C A A ∠=︒，∴11AC A △为正三角形，∴11OC AA ⊥，123OC =， 又侧面11ACC A ⊥侧面11ABB A ，平面11ACC A 平面111ABB A AA =，1OC ⊂平面11ACC A ，∴1OC ⊥平面11ABB A ，
又11A B ⊂平面11ABB A ，∴111OC A B ⊥，
在11OA B △中，∵1160OA B ∠=︒，111A B AB ==，12OA =，∴2
114212cos603OB =+-⨯⨯⨯︒=，解得1OB ，
∴222
1111OA OB A B =+，∴111A B OB ⊥，
又11OB OC O =，1OB ⊂平面11OB C ，1OC ⊂平面11OB C ，∴11A B ⊥平面11OB C ，
∵11B C ⊂平面11OB C ，∴1111A B B C ⊥．
（2）依题意，11
1111
2sin60232
ABB A S A B AA =⨯⨯⨯⨯=四边形， 如图，在平行四边形11ABB A 中，过点1B 作11B E AA ⊥于点E ，
过点O 作1OF BB ⊥于点F ，连接1C F ，则1OFB E 为矩形，∴1OF B E =， 由（1）知1OC ⊥平面11ABB A ，1BB ⊂平面11ABB A ，∴11BB OC ⊥， ∵1BB OF ⊥，1
OC OF O =，1OC ⊂平面1OC F ，OF ⊂平面1OC F ，∴1BB ⊥平面1OC F ，
∵1C F ⊂平面1OC F ，∴11C F BB ⊥，
1113sin602
B E A B ==
在1Rt OC F △中，123OC =13
OF B E ==，∴()
2
2
1351
2322C F ⎛⎫=
+= ⎪ ⎪⎝⎭
， ∴1111251BCC B S BB C F =⨯=四边形，又11
42383ACC A S =⨯=四边形
∴三棱柱111ABC
A B C ﹣的侧面积2383251103251S ==．
☆技巧点拨☆
求解几何体的表面积或体积的方法： (1)对于规则几何体，可直接利用公式计算．
(2)对于不规则几何体，可采用割补法求解.对于某些三棱锥，有时可采用等体积转换法求解．
(3)求解旋转体的表面积和体积时，注意圆柱的轴截面是矩形，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形的应用．
题组二球的表面积和体积
调研4 某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是半圆里面内切一个小圆,若该几何体的表面积为,则正视图中的值为
A．1 B．2
C． 3 D．4
【答案】B
【解析】由三视图可知，该几何体是：上面是一个直径为a的球，下面是一个底面半径为2、高为4的圆柱的一半，则，所以a=2.
调研5 若球的体积为3，平面α截球O的球面所得圆的半径为1，则球心O到平面α的距离为
A．1 B2
C D6
【答案】B
【解析】依题意，设该球的半径为R，则有4π
3
R3＝3，由此解得R3，因此球心O到平面α的距离d＝
=.选B.
☆技巧点拨☆
有关球的截面问题，常画出截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面圆的半径r 之间满足关系式：22d R r =
-.
考点3 空间几何体与球的切、接问题 题组一 与球切、接求表面积与体积问题
调研1 已知S ，A ，B ，C 是球O 表面上的不同点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB ＝1，BC ＝ 2.若球O 的表面积为4π，则SA ＝ A ．
22
B ．1
C ． 2
D ．32
【答案】B
【解析】根据已知把S ABC -补成如图所示的长方体．因为球O 的表面积为4π，所以球O 的半径R ＝1,2R ＝SA 2
＋1＋2＝2，解得SA ＝1，故选B ．
调研 2 已知,,,A B C D 是某球面上不共面的四点，且1AB BC AD ===，2BD AC ==， BC AD ⊥，则此球
的体积为
A B ．3π
C D ．43π
【答案】A
【解析】由222
AB AD BD +=，得AB AD ⊥，又BC AD ⊥，所以AD ⊥平面ABC ，则AD AC ⊥，又
222A B B C A C +=,所以,ABC ACD △△都是直角三角形，由三棱锥的外接球的性质知，球心O 为CD 的中点，且
CD ==球的半径12R CD ==A ．
☆技巧点拨☆
1．解决与球有关的“切”“接”问题，一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面，把空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系． 2．构造法在定几何体外接球球心中的应用 常见的构造条件及构造方法有：
(1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； (2)同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体； (3)若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体； (4)若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体． 3．性质法在定几何体外接球球心中的应用
立体几何问题转化为平面几何问题，体现了等价转化思想与数形结合思想，方法是利用球心O 与截面圆圆心O ′的连线垂直于截面圆及球心O 与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心． 4．记住几个常用的结论：
(1)正方体的棱长为a ，球的半径为R . ①对于正方体的外接球，2R ＝3a ； ②对于正方体的内切球，2R ＝a ；
③对于球与正方体的各棱相切，2R ＝2a ．
(2)在长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，球的半径为R ，则2R ＝a 2
＋b 2
＋c 2
. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶
1.
题组二 与球切、接有关的几何体的最值问题
调研3 表面积为16π的球内接一个正三棱柱,则此三棱柱体积的最大值为 A ．4 B ． C ．8
D ．
【答案】C
【解析】由题意,得该球的半径为2,设正三棱柱的侧棱长为
,底面边长为,
则
3O A '=
,
=，即
，
则该正三棱柱的体积为()22
13242V a h h ⎛=⋅=- ⎝⎭，
则
()2
432V h '=
-，当0h <<时，；当2
h <<时，
，即当
h =
时，()242
V h h =-取到极大值,也是最大值，为8,故所求三棱柱的体积的最大值为8.故选C ．
调研4 已知正四棱柱的底面边长为a ，高为h ，其所有顶点都在球O 的球面上，若该正四棱柱的侧面积为4，则球
O 的表面积的最小值为__________．
【解析】正四棱柱的侧面积为44,1ah ah ==，体对角线长为外接球O 的直径，所以
2222222222R a h a h ==+≥≥，所以22
R ≥
，则球O 的表面积为
O 的表面积的最小值为22π.
☆技巧点拨☆
与球切、接有关的几何体的最值问题多涉及体积最值问题、截面面积最值问题．求解此类问题的关键是结合图形分析取得最值的条件转化求解，有时也可建立目标函数转化为函数最值求解．
1．（广东省佛山市顺德区2018届高三下学期学情调研考试）一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的表面积是
A．24B．845
C．D．12
【答案】B
2．（2017-2018学年湖北省鄂南高中、华师一附中、黄冈中学等八校高三第一次联考）将正方体(如图1)截去三个三棱锥后,得到如图2所示的几何体,侧视图的视线方向如图2所示,则该几何体的侧视图为
A B C D
【答案】D
【解析】由该几何体的直观图可知，答案为D．
3．（安徽省滁州市2018届高三上学期期末考试）榫卯是中国古代建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式，凸出部分叫做“榫头”.若某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积为
A ．10
B ．12
C ．14
D ．16
【答案】C
4．（河南省濮阳市2018届高三第一次模拟考试）如图，12,O O 为棱长为a 的正方体的上、下底面的中心，若正方体以
12O O 为轴顺时针旋转，则该正方体的所有正视图中最大面积是
A ．2a
B 2
2a
C 2
D ．22a
【答案】B
【解析】所有正视图中最大面积是长为2a ，宽为a 2
2a ，选B ． 5．（2017-2018学年广东省珠海市珠海二中、斗门一中高三上学期期中联考）多面体的底面为矩形,
其正(主)视图和侧(左)视图如图,其中正(主)视图为等腰梯形,侧(左)视图为等腰三角形,则
的长为
A．B．
C．D．
【答案】C
6．（2017-2018学年河南省郑州市第一中学高三上学期第二次月考）如下左图所示为一个正三棱柱被平面截得的几何体,其中,几何体的俯视图如下右图所示,则该几何体的正视图是
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】由直观图和俯视图可知底面是正三角形,则正视图中点的射影是的中点,棱的射影与平行，即正视图是选项A．
7．(2017安徽六校素质测试) 如图，网格纸上每个小正方形的边长为1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该
几何体的表面中互相垂直的平面有
A ．3对
B ．4对
C ．5对
D ．6对
【答案】B
8．（安徽省池州市 2017-2018学年高三上学期期末）中国古代第一部数学名著《九章算术》中，将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形，其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥Q ABC -为鳖臑，QA ⊥平面ABC ， AB BC ⊥， 3QA BC ==， 5AC =，则三棱锥Q ABC -外接球的表面积为 A ．16π B ．20π C ．30π D ．34π
【答案】D
9．（贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期考试）已知某几何体是两个正四棱锥的组合体，其三视图如下图所示，则该几何体外接球的表面积为
A ．2π
B ．22π
C ．4π
D ．8π
【答案】D
【解析】由已知三视图得该几何体的直观图如下：
2，则该几何体外接球的表面积为()
2
4π
28π=，故选D.
10．（内蒙古集宁一中2018届高三上学期期末考试）一个三棱锥A BCD -内接于球O ，且3AD BC ==，
4AC BD ==，AB CD ==O 到平面ABC 的距离是
A B
C D 15【答案】D
11．（江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟）已知正四棱柱的底面边长为3cm ，侧面的对角线长是
，则这个正四棱柱的体积是____3cm ．
【答案】54
22
6(35)3-=cm ， 所以正四棱柱的体积是3
33654cm V =⨯⨯=.
12．(2017广西三市联考)已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内接于球O, 底面ABCD 是边长为2的正方形，E 为AA 1的中点，OA
⊥平面BDE ，则球O 的表面积为________．
【答案】16π
【解析】取BD的中点为O1，连接OO1，OE，O1E，O1A，则四边形OO1AE为矩形，
∵OA⊥平面BDE，∴OA⊥EO1，即四边形OO1AE为正方形，
则球O的半径R＝OA＝2，∴球O的表面积S＝4π×22＝16π.
13．（2017-2018学年云南省师范大学附属中学高三12月高考适应性月考）已知半径为5的球被两平行的平面所截,两截面圆的半径分别为3和4,则分别以两截面为上、下底面的圆台的侧面积为________．
【答案】或
14．（2017-2018学年内蒙古集宁一中高三上学期第二次月考）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,若棱长AB=3,则点B1到平面ACD1的距离为 .
【答案】
【解析】易知四面体B1ACD1是棱长为的正四面体，△ACD1的面积为易得四面体B1ACD1
的体积为
,设点B1到平面ACD1的距离为h,则
23
931
h=
⨯
=
.
15．（衡水金卷2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试卷）一底面为正方形的长方体各棱长之和为24，则当该长方体体积最大时，其外接球的体积为__________．
【答案】43π
16．（河南省濮阳市2018届高三第一次模拟考试）如图，正方形ABCD 中，AB =AC 与BD 交于O 点，现
将ACD △沿AC 折起得到三棱锥D ABC -，M ，N 分别是OD ，OB 的中点.
(1)求证：AC MN ⊥；
(2)若三棱锥D ABC -的最大体积为0V ，当三棱锥D ABC -03
，且DOB ∠为锐角时，求三棱锥D MNC -的体积.
【解析】(1)依题意易知OM AC ⊥，ON AC ⊥，OM ON O =，∴AC ⊥平面OMN ，
又∵MN ⊂平面OMN ，∴AC MN ⊥.
17．（广西桂林市、贺州市2018届高三上学期期末联考）如图，111ABC A B C -为底面边长为2柱，经过AB 的截面与上底面相交于PQ ，设()11101C P C A λλ=<<.
（1）证明：11PQ A B ∥； （2）当1
2
λ=时，在图中作出点C 在平面ABQP 内的正投影F （说明作法及理由），并求四棱锥C ABQP -的表面积.
【解析】（1）∵平面ABC ∥平面111A B C ，平面ABC 平面ABQP AB =，平面ABQP
平面111A B C QP =，
∴AB PQ ∥，
又∵11AB A B ∥，∴11PQ A B ∥.
（2）如图，F 点是PQ 中点，理由如下：
1． (2016新课标全国Ⅰ文科) 如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几
何体的体积是28π
3
，则它的表面积是
A．17πB．18πC．20πD．28π【答案】A
【解析】由三视图知，该几何体的直观图如图所示：
是一个球被切掉左上角的1
8
,即该几何体是
7
8
个球，设球的半径为R，则3
7428π
π
833
V R
=⨯=，解得2
R=，所
以它的表面积是7
8
的球面面积和三个扇形面积之和,即22
73
4π2π2
84
⨯⨯+⨯⨯=17π，故选A．
【名师点睛】由于三视图能有效地考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般与几何体的表面积与体积相结合.由三视图还原出原几何体是解决此类问题的关键.
2．（2015新课标全国Ⅰ文科）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为1620
+π，则r=
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】B
法则确定组合体中的各个量.
3．(2017新课标全国II文科) 长方体的长，宽，高分别为3,2,1，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为 .
【答案】14π
【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以222
=++==
232114,4π14π.
R S R
【名师点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.
4．(2017新课标全国I文科) 已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S−ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
【答案】36π。