初中数学相似三角形实验探究题专题训练含答案

初中数学相似三角形实验探究题专题训练含答案
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、实验,探究题（共8题）
1、在△ABC中，AC=BC=2，∠C=900，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点。

图①，②，③是旋转三角板得到的图形中的3种情况。

研究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图②加以证明。

（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE 为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由。

（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB＝1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图④加以证明。

2、已知直线分别交轴、轴于A，B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点
A运动，速度为每秒1个单位长度，过点P作轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为秒．线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图）．
（1）直接写出＝1秒时C，Q两点的坐标；
（2）若以Q，C，A为顶点的三角形与△AOB相似，求的值．
3、某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究，
已知AB=8.
问题思考：
如图1，点P为线段AB上的一个动点，分别以AP、BP为边在同侧作正方形APDC与正方形PBFE.
（1）在点P运动时，这两个正方形面积之和是定值吗？如果时求出；若不是，求出这两个正方形面积之和的最小值.
（2）分别连接AD、DF、AF，AF交DP于点A，当点P运动时，在△APK、△ADK、△DFK中，是否存在两个面积始终相等的三角形？请说明理由.
问题拓展：
（3）如图2，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8.若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向D点运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ
的中点O所经过的路径的长。

(4)如图（3），在“问题思考”中，若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BM=1，点G、H 分别是边CD、EF的中点.请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长及OM+OB的最小值.
4、如图①．将菱形纸片AB(E)CD(F)沿对角线BD(EF)剪开，得到△ABD和△ECF．固定△ABD，并把△ABD与△ECF叠放在—起．
（1）操作：如图②，将△ECF的顶点F固定在△ABD的BD边上的中点处，△ECF绕点F
在BD边上方左右旋转，设旋转时FC交BA于点H(H点不与B点重合)，FE交DA于点G(G点不与D点重合)．
求证：
（2）操作：如图③，△ECF的顶点F在△ABD的BD边上滑动(F点不与B、D点重合)，且CF始终经过点A，过点A作AG∥CE。

交FE于点G，连接DG。

探究：_________．请予证明．
5、某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD是矩形，其中AB=2米，BC=1米；上部CDG是等边三角形，固定点E为AB的中点．△EMN是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN是可以沿设施边框上下滑动且始终保持和AB平行的伸缩横杆．
（1）当MN和AB之间的距离为0.5米时，求此时△EMN的面积；
（2）设MN与AB之间的距离为米，试将△EMN的面积S（平方米）表示成关于x的函数；（3）请你探究△EMN的面积S（平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若没有，请说明理由．
6、操作：如图①，点O为线段MN的中点，直线PQ与MN相交于
点O，请利用图①画出一对以点O为对称中心的全等三角形。

根据上述操作得到的经验完成下列探究活动：
探究一：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC边的中点，∠BAE＝∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F。

试探究线段AB与AF、CF之间的等量关系，并证明你的结论；
探究二：如图③，DE、BC相交于点E，BA交DE于点A，且BE：EC＝1：2，
∠BAE＝∠EDF，CF∥AB。

若AB＝5，CF＝1，求DF的长度。

7、在平面直角坐标系中．已知O坐标原点．点A(3．0)，B(0，4)．以点A为旋转中心，把△ABO顺时针旋转，得△ACD．记旋转转角为α．∠ABO为β．
(I) 如图①，当旋转后点D恰好落在AB边上时．求点D的坐标；
(Ⅱ) 如图②，当旋转后满足BC∥x轴时．求α与β之闻的数量关系；
(Ⅲ) 当旋转后满足∠AOD=β时．求直线CD的解析式(直接写出即如果即可)，
8、已知：在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧上有一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．
（1）求证：AC⊥BH；
（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CG和CE的长．
============参考答案============
一、实验,探究题
1、解：（1）连结PC
∵△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点
（2）共有四种情况
①当点C与点E重合，即CE＝0时，PE＝PB ③当CE＝1时，此时PE＝BE
（3）MD：ME＝1：3
2、（1）①C（1，2），Q（2，0）． (2)
分
②由题意得：P（t，0），C（t，－ｔ＋3），Q（3－t，0），
分两种情形讨论：
情形一：当△AQC∽△AOB时，∠AQC＝∠AOB＝90°，∴CQ⊥OA．……………4分
∵CP⊥OA，∴点P与点Q重合，OQ＝OP，即3－t＝t，∴t＝1.5．………………6分
情形二：当△ACQ∽△AOB时，∠ACQ＝∠AOB＝90°，∵OA＝OB＝3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴△ACQ是等腰直角三角形．…………………………8分
∵CP⊥OA，∴AQ＝2CP，即t＝2（－t＋3），∴t＝2．…………………………10分
∴满足条件的t的值是1.5秒或2秒．
3、
4、证明：根据图②操作有∠B=∠D=∠CFE, BF=DF
在△DFG中，∠D+∠DFG+DGF=180°，而∠DFG+∠CFE+BFH=180°
∴ ∠BFH=∠DGF, 又∠B=∠D
∴△BFH∽△DGF∴=由于BF=DF ∴BF2=BH·DG
解：探究得出：FD+DG=BD
证明：∵AG∥CE, ∴∠FAG=∠C,∠FGA=∠E
∵∠CFE=∠E,∴∠E=∠FGA∴AG=AF
根据菱形有：∠BAD=∠FCE∴∠BAD=∠FAG,即：∠BAF+∠FAD=∠FAD+∠DAG ∴∠BAF=∠DAG
在△ABF与△ADG中,∴△ABF≌△ADG∴BF=DG
∴DF+DG=DF+BF=BD
5、解：（1）由题意，当MN和AB之间的距离为0.5米时，MN应位于DC下方，且此时△EMN中MN边上的高为0.5米.
所以，S△EMN= =0.5（平方米）.
即△EMN的面积为0.5平方米.
（2）①如图1所示，当MN在矩形区域滑动，
即0＜x≤1时，
△EMN的面积S= 1/2AB.X=x ；
②如图2所示，当MN在三角形区域滑动，
即1＜x＜+1时，
如图，连接EG，交CD于点F，交MN于点H，
∵ E为AB中点，
∴ F为CD中点，GF⊥CD,且FG＝ .
又∵ MN∥CD，
∴ △MNG∽△DCG．
，即
故△EMN的面积S＝
＝；
综合可得：
（3）①当MN在矩形区域滑动时，，所以有；
②当MN在三角形区域滑动时，S=.
因而，当（米）时,S得到最大值，
最大值S===（平方米）.
∵ ，
∴ S有最大值，最大值为平方米.
6、解：(1)画图略
（2)结论：AB=AF+CF．
证明：分别延长AE、DF交于点M，如图1．∵E为BC的中点，∴ BE=CE．∵AB∥CD, ∴∠BAE=∠M,
在△ABE与△MCE中，∴△ABE≌△MCE(AAS), ∴AB=MC.又∵∠BAE=∠EAF, ∴∠M=∠EAF.
又∵MC=MF+CF, ∴AB=AF+CF.
(3)分别延长DE、CF交于点G，如图2。

∵AB∥CF，∴∠B=∠C. ∠BAE=∠G.∴△ABE∽△GCE，∴又∵
∵AB=5，∴GC=10。

∵FC=1，∴GF=9。

∵AB∥CF，∴∠BAE=∠EDF，∠G=∠EDF ∴GF=DF，∴DF=9
7、解：(I)∵点A(3，0)．B(0，4)．得0A=3，OB=4．
∴在Rt△ABO中．由勾股定理．得AB=5，根据题意，有DA=OA=3
如图①．过点D作DM⊥x轴于点M，
则MD∥OB．
∴△ADM∽△ABO。

有，
得
又OM=OA-AM，得OM=．
∴点D的坐标为（）
(Ⅱ)如图②．由己知，得∠CAB=α，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB．
∴在△ABC中，由∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°，
得α=180°—2∠ABC，．
又∵BC∥x轴，得∠OBC=90°，
有∠ABC=90°—∠ABO=90°—β
∴α=2β．
（Ⅲ）直线CD的解析式为，或．
8、证明：⑴连接AD
∵∠DAC=∠DEC∠EBC=∠DEC∴∠DAC=∠EBC 又∵AC是⊙O的直径∴∠ADC=90°∴∠DCA+∠DAC=90°
∴∠EBC+∠DCA=90°∴∠BGC=180°-(∠EBC+∠DCA)=180°-90°=90°
∴AC⊥BH
⑵∵∠BDA=180°-∠ADC=90°∠ABC=45°
∴∠BAD=45°∴BD=AD
∵BD=8
∴AD=8
又∵∠ADC=90° AC=10 ∴由勾股定理，得. ∴BC=BD+DC=8+6=14
又∵∠BGC=∠ADC=90°∠BCG=∠ACD
∴△BCG∽△ACD∴∴∴
连结AE，∵AC是直径∴∠AEC=90°
又∵EG⊥AC
∴△CEG∽△CAE∴∴
∴.。