13讲--变化率与导数、导数的计算

第13讲 变化率与导数、导数的计算
1．导数的概念
(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：
称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率
lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝lim Δx →0 Δy Δx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0
，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx
. (2)导数的几何意义：
函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)．
(3)函数f (x )的导函数：
称函数f ′(x )＝lim Δx →0
f (x ＋Δx )－f (x )Δx 为f (x )的导函数． 2．基本初等函数的导数公式
(sin x )′＝cos_x ，(cos x )′＝－sin_x ，(a x )′＝a x ln_a ，(e x )′＝e x ，(log a x )＝1x ln a ，(ln x )′＝1x
. 3．导数的运算法则
(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；
(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；
(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2
(g (x )≠0)． 4．复合函数的导数
复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．
2．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
[试一试]
1．(2013·江西高考)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________.
解析：因为f (e x )＝x ＋e x ，所以f (x )＝x ＋ln x (x >0)，所以f ′(x )＝1＋1x
，所以f ′(1)＝2. 答案：2
2．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．
解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′
＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x
＝cos x －x sin x －cos x
＝－x sin x .
答案：－x sin x 利用导数的定义求函数的导数 (1)y ＝x 2，(2)f (x )＝1x ＋2
. 解：(1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx
＝(x ＋Δx )2－x 2
Δx
＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2
Δx
＝2x ＋Δx ， 所以y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0
(2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝1x ＋Δx ＋2－
1x ＋2Δx
＝－1(x ＋Δx ＋2)(x ＋2)
所以y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝－lim Δx →0 1(x ＋Δx ＋2)(x ＋2)＝－1(x ＋2)2
. [类题通法]
定义法求函数的导数的三个步骤
一差：求函数的改变量Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )． 二比：求平均变化率Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx
. 三极限：取极限，得导数y ′＝f ′(x )＝lim Δx →0Δy Δx
.
导数的运算
[典例] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1
；(3)y ＝ln(2x －5)． [解] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x .
(2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)
2 ＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x
(e x －1)2
. (3)令u ＝2x －5，y ＝ln u ，
则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5
， 即y ′＝22x －5
. [类题通法]
1．求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．
2．有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．
3．复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导．
[针对训练]
已知f (x )＝sin 2x ，记f n ＋1(x )＝f n ′(x )(n ∈N *)，则f 1⎝⎛⎭⎫π6＋f 2⎝⎛⎭⎫π6＋…＋f 2 013⎝⎛⎭⎫π6＋f 2 014⎝⎛⎭⎫π6＝________.
解析：由题意，可知f 2(x )＝f 1′(x )＝(sin 2x )′＝2cos 2x ；
f 3(x )＝f 2′(x )＝(2cos 2x )′＝－4sin 2x ；
f 4(x )＝f 3′(x )＝(－4sin 2x )′＝－8cos 2x ；
f 5(x )＝f 4′(x )＝(－8cos 2x )′＝16sin 2x ；
…
故f 4k ＋1(x )＝24k sin 2x ，f 4k ＋2(x )＝24k ＋1cos 2x ，f 4k ＋3(x )＝－24k ＋2sin 2x ，f 4k ＋4(x )＝－24k ＋3·cos 2x (k ∈N)．
所以f 1⎝⎛⎭⎫π6＋f 2⎝⎛⎭⎫π6＋…＋f 2 014⎝⎛⎭
⎫π6
＝20sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋21cos ⎝⎛⎭⎫2×π6－22sin ⎝⎛⎭
⎫2×π6－ 23cos ⎝⎛⎭⎫2×π6＋24sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋…－22 010sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－22 011cos ⎝⎛⎭⎫2×π6＋22 012sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋22 013cos ⎝⎛⎭
⎫2×π6 ＝(20－22＋24－26＋…＋22 008－22 010＋22 012)sin π3＋(21－23＋25－27＋…＋22 009－22 011＋22 013)cos π3
＝1×[1－(－22)1 007]1－(－22)×32＋2×[1－(－22)1 007]1－(－22)×12 ＝1＋22 0145×32＋2×(1＋22 014)5×12
＝(3＋2)(1＋22 014)10
答案：(3＋2)(1＋22 014)10
导数的几何意义
角度一 求切线方程
1．(2014·洛阳统考)已知函数f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x ，a ＝f ′⎝⎛⎭
⎫π4，f ′(x )是f (x )的导函数，则过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线方程为( )
A ．3x －y －2＝0
B ．4x －3y ＋1＝0
C ．3x －y －2＝0或3x －4y ＋1＝0
D ．3x －y －2＝0或4x －3y ＋1＝0
解析：选A 由f (x )＝3x ＋cos 2x ＋sin 2x 得f ′(x )＝3－2sin 2x ＋2cos 2x ，则a ＝f ′⎝⎛⎭⎫π4＝3－2sin π2＋2cos π2
＝1.由y ＝x 3得y ′＝3x 2，过曲线y ＝x 3上一点P (a ，b )的切线的斜率k ＝3a 2＝3×12＝3.又b ＝a 3，则b ＝1，所以切点P 的坐标为(1,1)，故过曲线y ＝x 3上的点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.
角度二 求切点坐标
2．(2013·辽宁五校第二次联考)曲线y ＝3ln x ＋x ＋2在点P 0处的切线方程为4x －y －1＝0，则点P 0的坐标是
( )
A ．(0,1)
B ．(1，－1)
C ．(1,3)
D ．(1,0)
解析：选C 由题意知y ′＝3x
＋1＝4，解得x ＝1，此时4×1－y －1＝0，解得y ＝3，∴点P 0的坐标是(1,3)． 角度三 求参数的值
3．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72
(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 等于( )
A ．－1
B ．－3
C ．－4
D ．－2
解析：选D ∵f ′(x )＝1x
， ∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，
又f (1)＝0，
∴切线l 的方程为y ＝x －1.
g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图像的切点为(x 0，y 0)，
则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72
，m <0， 于是解得m ＝－2，故选D.
[类题通法]
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：
(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)；
(2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；
(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0
求解．。