西藏林芝地区第一中学2025届高考冲刺押题(最后一卷)数学试卷含解析

西藏林芝地区第一中学2025届高考冲刺押题（最后一卷）数学试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数22
log ,0()22,0
x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，方程()0f x a -=有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，则“函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“1
2
k >”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．已知2
π()12cos ()(0)3
f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12
min
πx x -=，则2ω=；
②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移
6
π
个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫
⎪⎢
⎭
⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.
其中，判断正确的个数为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
3．已知实数,x y 满足不等式组10
240440x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
，则34x y +的最小值为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
4．若不相等的非零实数x ，y ，z 成等差数列，且x ，y ，z 成等比数列，则
x y
z
+=（ ） A ．52
-
B ．2-
C ．2
D ．
72
5．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足：(2)()f x e f x +=-（其中 2.71828
e =），且在区间[,2]e e 上是减函数，
令ln 22a =
，ln3
3b =，ln 55
c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系（用不等号连接）为（ ） A ．()()()f b f a f c >> B ．()()()f b f c f a >> C ．()()()f a f b f c >>
D ．()()()f a f c f b >>
6．已知1F ，2F 是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且21PF PF >，椭圆的离心率为1e ，双曲线
的离心率为2e ，若112PF F F =，则2
133
e e +的最小值为（ ） A ．623+ B ．622+ C ．8
D ．6
7．已知数列
满足：
.若正整数
使得
成立，则
( ) A ．16
B ．17
C ．18
D ．19
8．已知函数()()3sin 3cos 0f x x x ωωω=+>，对任意的1x ，2x ，当()()1212f x f x =-时，12min
2
x x π
-=
，
则下列判断正确的是（ ） A ．16f π⎛⎫=
⎪⎝⎭
B ．函数()f x 在,62ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上递增 C ．函数()f x 的一条对称轴是76
x π
= D ．函数()f x 的一个对称中心是,03π⎛⎫
⎪⎝⎭
9．以()3,1A -，()2,2B
-为直径的圆的方程是
A ．2
2
80x y x y +---= B ．2
2
90x y x y +---= C ．2
2
80x y x y +++-=
D ．2
2
90x y x y +++-=
10．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“1322a a a +<”是“210n S -<”的（ ） A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要
D ．既不充分也不必要
11．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（ ） A ．
2
3
，-2 B ．2
3
-
，-9 C ．-2，-9 D ．2，-2
12．一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ） A ．24π
B ．86π
C ．
433
π
D ．12π
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知角6
π
α+
的终边过点(1,22)P --，则sin α=______.
14．若函数()sin 3cos f x x x ωω=+ (x ∈R ，0>ω)满足()()02f f αβ==，，且||αβ-的最小值等于
2
π，则ω的值为___________.
15．已知向量()cos5,sin5a =︒︒，()cos65,sin 65b =︒︒，则2a b +=______. 16．如图，在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是OA ，OB ，则
1
2
z z =_______.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）选修4-5：不等式选讲
设函数()()22,f x x a x x R a R =+--∈∈. （1）当1a =-时，求不等式()0f x >的解集；
（2）若()1f x ≥-在x R ∈上恒成立，求实数a 的取值范围.
18．（12分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30天)的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，整理如下： 甲公司员工A ：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350 乙公司员工B ：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420
每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65元，乙公司规定每天350件以内(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.
（1）根据题中数据写出甲公司员工A 在这10天投递的快件个数的平均数和众数；
（2）为了解乙公司员工B 每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为ξ (单位：元)，求ξ的分布列和数学期望；
（3）根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费.
19．（12分）已知函数()2
x
f x xe x ax b =+++，曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为4230x y --=
()1求a ，b 的值； ()2证明：()ln f x x >．
20．（12分）小丽在同一城市开的2家店铺各有2名员工.节假日期间的某一天，每名员工休假的概率都是
1
2
，且是否休假互不影响，若一家店铺的员工全部休假，而另一家无人休假，则调剂1人到该店维持营业，否则该店就停业. （1）求发生调剂现象的概率；
（2）设营业店铺数为X ，求X 的分布列和数学期望.
21．（12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121()n n a S n N *
+=+∈
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）在n a 和1n a +之间插入n 个实数，使得这2n +个数依次组成公差为n d 的等差数列，设数列1
{}n
d 的前n 项和为n T ，求证：2n T <.
22．（10分）如图，正方形ABCD 所在平面外一点满足PE PF =，其中E F 、分别是AB 与AD 的中点.
（1）求证：EF PC ⊥； （2）若4,6AB PE PF ===P EF C --311
，求BC 与平面PEF 所成角的正弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A 【解析】
作出函数()f x 的图象，得到(D 24]=，
，把函数()()()F x f x kx x D =-∈有零点转化为y kx =与()y f x =在（2，4]上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得k 的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断． 【详解】
作出函数()22log x ,0
f x x 22,0x x x ⎧>=⎨++≤⎩
的图象如图，
由图可知，]
D (2,4=，
函数()()()F x f x kx x D =-∈有2个零点，即()f x kx =有两个不同的根，
也就是y kx =与()y f x =在
2,4]（上有2个交点，则k 的最小值为1
2
； 设过原点的直线与2y log x =的切点为()020x ,log x ，斜率为
01
x ln2
， 则切线方程为()2001
y log x x x x ln2
-=
-， 把()0,0代入，可得201log x ln2-=-，即0x e =，∴切线斜率为1eln2
， ∴k 的取值范围是11,2eln2⎛⎫
⎪⎝⎭
， ∴函数()()()F x f x kx x D =-∈有两个零点”是“1
k 2
>”的充分不必要条件， 故选A ．
【点睛】
本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题． 2、B 【解析】
对函数()f x 化简可得π
()sin(2)6
f x x ω=+，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】
因为2
π2ππ
()12cos ()cos(2)sin(2)336
f x x x x ωωω=-+
=-+=+，所以周期2ππ2T ωω=
=.
对于①，因为12
min
1π2x x T -==，所以ππ2T ω
==，即1
2ω=，故①错误；
对于②，函数()f x 的图象向右平移
6π
个单位长度后得到的函数为ππsin(2)36
y x ωω=-
+，其图象关于y 轴对称，则π
ππ
π()362
k k ω-
+
=+∈Z ，解得13()k k ω=--∈Z ，故对任意整数k ，(0,2)ω∉，所以②错误；
对于③，令π()sin(2)06f x x ω=+=，可得π2π6x k ω+=()k ∈Z ，则ππ
212k x ωω
=-，
因为π(0)sin 06f =>，所以()f x 在[]0,2π上第1个零点1>0x ，且1ππ
212x ωω
=-，所以第7个零点
7ππππ3π41π321221212x T ωωωωωω=-+=-+=，若存在第8个零点8x ，则
8ππ7ππ7π47π2122212212x T ωωωωωω
=-+=-+=，
所以782πx x ≤<，即2π41π47π1212ωω≤<，解得4147
2424ω≤<，故③正确； 对于④，因为π(0)sin 6f =，且ππ0,64⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ
2662πππ
2462ωω⎧⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎪⎝
⎭⎨⎪⨯+≤⎪⎩
，解得23ω≤，又0>ω，所以203ω<≤，
故④正确. 故选：B. 【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题. 3、B 【解析】
作出约束条件的可行域，在可行域内求34z x y =+的最小值即为34x y +的最小值，作3
4
y x =-，平移直线即可求解. 【详解】
作出实数,x y 满足不等式组10240440x y x y x y +-≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
的可行域，如图（阴影部分）
令34z x y =+，则344
z y x =-+， 作出3
4
y x =-
，平移直线，当直线经过点1,0A 时，截距最小， 故min 3103z =⨯+=， 即34x y +的最小值为3. 故选：B 【点睛】
本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的意义，属于基础题. 4、A 【解析】 由题意，可得2x z y +=，2
z xy =，消去y 得2220x xz z +-=,可得2x z =-，继而得到2
z y =-，代入即得解 【详解】
由x ，y ，z 成等差数列， 所以2
x z
y +=
，又x ，z ，y 成等比数列， 所以2
z xy =，消去y 得2220x xz z +-=，
所以2
20x x
z z
⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得1x z =或2x z =-，
因为x ，y ，z 是不相等的非零实数， 所以
2x z =-，此时2
z
y =-，
所以
15
222
x y z +=--=-． 故选：A 【点睛】
本题考查了等差等比数列的综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 5、A 【解析】
因为()()2f x e f x +=-，所以()()f x e f x +=４，即周期为４，因为()f x 为奇函数，所以可作一个周期[-2e,2e]示意图，如图()f x 在（０，１）单调递增，因为1
1
1
1
253253225252,232301c a b <∴<<∴<∴<<<<，因此
()()()f b f a f c >>，选Ａ．
点睛：函数对称性代数表示
（1）函数()f x 为奇函数()()f x f x ⇔=-- ，函数()f x 为偶函数()()f x f x ⇔=-（定义域关于原点对称）； （2）函数()f x 关于点(,)a b 对称()(2)2f x f x a b ⇔+-+=，函数()f x 关于直线x m =对称()(2)f x f x m ⇔=-+， （3）函数周期为T,则()()f x f x T =+ 6、C 【解析】
由椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式化简2
133
e e +，结合基本不等式即可求解.
【详解】
设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的半实轴长为a '，半焦距为c ， 则1c e a =
，2c
e a ='
，设2PF m = 由椭圆的定义以及双曲线的定义可得：
1222m PF PF a a c +=⇒=
+，2122
m
PF PF a a c ''-=⇒=-
则2133e e +33322633322m m c c a c c c m m c a c c c c ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=+=+=++'⎛⎫⎛⎫
-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3262832m c c m c c ⎛⎫
- ⎪
⎝⎭≥+⋅=⎛⎫- ⎪⎝⎭
当且仅当7
3
a c =时，取等号. 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查了椭圆的定义以及双曲线的定义、离心率公式，属于中等题. 7、B 【解析】 由题意可得，
，
时，
，将换为
，两
式相除，，
，
累加法求得即有
，结合条件，
即可得到所求值． 【详解】 解：，
即
，，
时，
，
，
两式相除可得， 则，， 由
， ，
，
，
，
可得
，
且，
正整数时，要使得
成立，
则，
则
，
故选：． 【点睛】
本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题. 8、D 【解析】
利用辅助角公式将正弦函数化简，然后通过题目已知条件求出函数的周期T ，从而得到ω，即可求出解析式，然后利用函数的性质即可判断. 【详解】
()33cos 23
3f x x x x πωωω⎛
⎫=+=+ ⎪⎝
⎭，
又
sin 13x πω⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即2323233x πω⎛
⎫-≤+≤ ⎪⎝
⎭
∴有且仅有232312-=-满足条件；
又12
min
2
x x π
-=
，则
22
T T π
π=⇒=， 22T πω∴=
=，∴函数()323f x x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
对于A ，23363f ππ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
，故A 错误； 对于B ，由()2222
3
2
k x k k Z π
π
π
ππ-+≤+
≤
+∈，
解得()51212
k x k k Z ππ
ππ-
+≤≤+∈，故B 错误； 对于C ，当76x π=时，77223236
333f π
πππ⎛⎫⎛⎫
=+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，故C 错误；
对于D ，由20333f πππ⎛⎫⎛⎫=+=
⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，故D 正确. 故选：D
【点睛】 本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质，熟记性质是解题的关键，属于基础题.
9、A
【解析】
设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出,,a b r ，从而求出圆的方程.
【详解】
设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，
由题意得圆心(,)O a b 为A ，B 的中点， 根据中点坐标公式可得32122a -==，12122
b -+==，
又||2AB r ===，所以圆的标准方程为： 221117()()222
x y -+-=，化简整理得2280x y x y +---=， 所以本题答案为A.
【点睛】
本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.
10、A
【解析】
首先根据等比数列分别求出满足1322a a a +<，210n S -<的基本量，根据基本量的范围即可确定答案.
【详解】
{}n a 为等比数列，
若1322a a a +<成立，有()
21201q a q -+<， 因为2
210q q -+≥恒成立，
故可以推出10a <且1q ≠，
若210n S -<成立，
当1q =时，有10a <，
当1q ≠时，有()211101n a q q --<-，因为21101n q q
-->-恒成立，所以有10a <， 故可以推出10a <，q ∈R ，
所以“1322a a a +<”是“210n S -<”的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.
11、B
【解析】
由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在[]2,1-上的最大值和最小值.
【详解】
依题意，()151,2323111,13x x f x x x x x ⎧+-≤<-⎪⎪=-+=⎨⎪---≤≤⎪⎩
， 作出函数()f x 的图象如下所示；
由函数图像可知，当13x =-时，()f x 有最大值23
-
， 当2x =-时，()f x 有最小值9-.
故选：B.
【点睛】 本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题.
12、A
【解析】
将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可．
【详解】
解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，
∵四面体所有棱长都是4， ∴正方体的棱长为2
设球的半径为r ，
则()222224r =+6r =
所以2424S r ππ==，
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13126- 【解析】
由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，求得sin sin[()]66
ππαα=+-的值． 【详解】
解：∵角6πα+
的终边过点(1,2)P --， ∴2222sin 6318
πα⎛
⎫+==- ⎪+⎝⎭，1cos 6318πα⎛⎫+==- ⎪+⎝⎭， ∴sin sin 66ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin 6666ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22311332⎛⎫=---⋅ ⎪⎝⎭
126-=，
【点睛】
本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差正弦公式，属于基础题．
14、1
【解析】
利用辅助角公式化简可得()2sin 3f x x πω⎛⎫=+
⎪⎝⎭,由题可分析||αβ-的最小值等于2π表示相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为
2π,进而求解即可. 【详解】
由题,()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+
⎪⎝⎭, 因为()0f α=,()2f β=,且||αβ-的最小值等于2π,即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为2
π, 所以142T π=
,即2T π=, 所以2212T ππωπ
===, 故答案为:1
【点睛】
本题考查正弦型函数的对称性的应用,考查三角函数的化简.
15
【解析】 求出,,a b a b ⋅，然后由模的平方转化为向量的平方，利用数量积的运算计算．
【详解】
由题意得222cos 5sin 51a =︒+︒=，1a =.2
22cos 65sin 651b =︒+︒=，1b =. 1cos5cos65sin 5sin 65cos602a b ∴⋅=︒︒+︒︒=︒=，()22124444172
a b a a b b ∴+=+⋅+=+⨯+=， 27a b ∴+=.
．
【点睛】
本题考查求向量的模，掌握数量积的定义与运算律是解题基础．本题关键是用数量积的定义把模的运算转化为数量积
的运算．
16、12i -+
【解析】
试题分析：由坐标系可知122,z i z i =--=12212z i i z i --∴
==-+ 考点：复数运算
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）()
(),11,-∞-+∞；
（2）[]6,2-- 【解析】
（1）当1a =-时，将原不等式化简后两边平方，由此解出不等式的解集.（2）对a 分成4,4,4a a a <-=->-三种情况，利用零点分段法去绝对值，将()f x 表示为分段函数的形式，根据单调性求得a 的取值范围.
【详解】
（1）1a =-时，()0f x >可得212x x ->-，即()()22212x x ->-， 化简得：()()3310x x -+>，所以不等式()0f x >的解集为()(),11,-∞-⋃+∞.
（2）①当4a <-时，()2,232,2,22,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪---<⎪⎪=--+≤≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩
由函数单调性可得 ()min 2122
a a f x f ⎛⎫=-=-≥- ⎪⎝⎭，解得；64a -≤<- ②当4a =-时，()()min 2,01f x x f x =-=≥-，所以4a =-符合题意；
③当4a >-时，()2,232,2,22,2a x a x a f x x a x x a x ⎧---<-⎪⎪⎪=+--≤≤⎨⎪++>⎪⎪⎩
由函数单调性可得， ()min 2122a a f x f ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭
，解得42a -<≤-
综上，实数a 的取值范围为[]
6,2--
【点睛】
本小题主要考查含有绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的求解，属于中档题.
18、（1）平均数为360，众数为330；（2）见详解；（3）甲公司：7020（元），乙公司：7281（元）
【解析】
（1）将图中甲公司员工A 的所有数据相加，再除以总的天数10，即可求出甲公司员工A 投递快递件数的平均数．从中发现330出现的次数最多，故为众数；
（2）由题意能求出ξ的可能取值为340，360，370，420，440，分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望；
（3）利用（1）（2）的结果，可估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费．
【详解】
解：（1）由题意知
甲公司员工A 在这10天投递的快递件数的平均数为 1(410390330360320400330340370350)36010
+++++++++=. 众数为330.
（2）设乙公司员工B 1天的投递件数为随机变量X ，则
当340X =时，13400.6204,(204)10
P ξξ=⨯=== 当360X =时，33500.6(360350)0.9219,(219)10P ξξ=⨯+-⨯===
当370X =时，13500.6(370350)0.9228,(228)5P ξ
ξ=⨯+-⨯=== 当420X =时，33500.6(420350)0.9273,(273)10P ξ
ξ=⨯+-⨯=== 当440X =时，13500.6(440350)0.9291,(291)10
P ξ
ξ=⨯+-⨯=== ξ∴的分布列为
()204219228273291242.7101051010
E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）； （3）由（1）估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为
360300.657020⨯⨯=(元)
由（2）估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为
242.7307281⨯=(元).
【点睛】
本题考查频率分布表的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题.
19、（1）31,2a b ==-；（2）见解析 【解析】 分析：第一问结合导数的几何意义以及切点在切线上也在函数图像上，从而建立关于,a b 的等量关系式，从而求得结果；第二问可以有两种方法，一是将不等式转化，构造新函数，利用导数研究函数的最值，从而求得结果，二是利用中间量来完成，这样利用不等式的传递性来完成，再者这种方法可以简化运算. 详解：（1）解：()()12x f x x e x a '=+++，由题意有()()012302f a f b ⎧=+=⎪⎨==-'⎪⎩
，解得31,2a b ==- （2）证明：（方法一）由（1）知，()232
x f x xe x x =++-.设()2ln x h x xe x x x =++- 则只需证明()32
h x > ()()1121x h x x e x x =+++-' ()112x x e x ⎛⎫=++- ⎪⎝
⎭，设()12x g x e x =+- 则()2
10x g x e x =+>'， ()g x ∴在()0,+∞上单调递增 1412404g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，1312303g e ⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭
011,43x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得
且当()00,x x ∈时，()0g x <，当()0,x x ∈+∞时，()0g x >
∴当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减
当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增
()()0min h x h x ∴== 02
0000ln x x e x x x ++-，由00120x e x +-=，得00
12x e x =-，
()00012h x x x ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭
2000ln x x x +- 20001ln x x x =-+-， 设()21ln x x x x φ=-+-，11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()121x x x φ'=-- ()()211x x x +-=
∴当11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x φ'<，()x φ在11,43⎛⎫ ⎪⎝⎭
单调递减， ∴ ()()00h x x φ=> 21133φ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 111ln 33⎛⎫-+- ⎪⎝⎭ 73ln392=+>，因此()32h x > （方法二）先证当0x ≥时，()232x f x xe x x =++- 322
x ≥-，即证20x xe x x +-≥ 设()2x g x xe x x =+-，0x ≥则()()121x
g x x e x '=++-，且()00g '= ()()220x g x x e '=++>，()g x ∴'在[)0,+∞单调递增，()()00g x g ''≥=
()g x ∴'在[)0,+∞单调递增，则当0x ≥时，()()200x g x xe x x g =+-≥= （也可直接分析233222x xe x x x ++-
≥- ⇔ 20x xe x x +-≥ ⇔ 10x e x +-≥显然成立） 再证32ln 2
x x -≥ 设()32ln 2h x x x =--，则()1212x h x x x ='-=-，令()0h x '=，得12
x = 且当10,2x ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()0h x '>，()h x 单调递增. ∴ ()32ln 2h x x x =-
- 11ln2022h ⎛⎫≥=-+> ⎪⎝⎭，即32ln 2x x -> 又()233222
x f x xe x x x =++-≥-，()ln f x x ∴> 点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的综合问题，在求解的过程中，涉及到的知识点有导数的几何意义，有关切线的问题，还有就是应用导数证明不等式，可以构造新函数，转化为最值问题来解决，也可以借用不等式的传递性，借助中间量来完成.
20、（1）18（2）见解析，138
【解析】
（1）根据题意设出事件，列出概率，运用公式求解；（2）由题得，X 的所有可能取值为0,1,2，根据（1）和变量对应
的事件，可得变量对应的概率，即可得分布列和期望值.
【详解】
（1）记2家小店分别为A ，B ，A 店有i 人休假记为事件i A （0i =，1，2），B 店有i 人，休假记为事件i B （0i =，1，2），发生调剂现象的概率为P .
则()()2
00211C 24P A P B ⎛⎫=== ⎪⎝⎭， ()()2
11121122P A P B C ⎛⎫=== ⎪⎝⎭
， ()()22
22211C 24P A P B ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. 所以()()02201111144448P P A B P A B =+=
⨯+⨯=. 答：发生调剂现象的概率为18
. （2）依题意，X 的所有可能取值为0，1，2.
则()()2211104416
P X P A B ===⨯=， ()()()122111111142244
P X P A B P A B ==+=⨯+⨯=， ()()()11112101116416
P X P X P X ==-=-==--=. 所以X 的分布表为：
所以()210164168E X =⨯
+⨯+⨯=. 【点睛】 本题是一道考查概率和期望的常考题型. 21、（Ⅰ）13-=n n a ；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）121n n a S +=+，121(2)n n a S n -=+，两式相减化简整理利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）由题设可得1(1)n n n a a n d +=++，可得1111123n n n n n n d a a -+++==-，利用错位相减法即可得出．
【详解】
解：（Ⅰ）因为121n n a S +=+，故121(2)n n a S n -=+≥，两式相减可得，
112()2(2)n n n n n a a S S a n +--=-=≥，故13(2)n n a a n +=≥，
因为{}n a 是等比数列，∴213a a =，又2121a a =+，所以11321a a =+，
故11a =，所以13-=n n a ；
（Ⅱ）由题设可得1(1)n n n a a n d +=++，所以1111123n n n n n n d a a -+++==-⋅， 所以213411232323
n n n T -+=++++⋅⋅⋅，① 则21113133232323n n n
n n T -+=++++⋅⋅⋅，② ①－②得：21211111323232323n n n
n T -+=+++-⋅⋅⋅⋅， 111(1)1233112313
n n n --+⋅=+-⋅- 所以115251528838
n n n T -+=-<<⋅，得证. 【点睛】
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22、（1）证明见解析（2）
1111
【解析】
（1）先证明EF ⊥平面POC ，即可求证EF PC ⊥；
（2）根据二面角P EF C --的余弦值，可得PC ⊥平面ABCD ，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系,利用向量计算线面角即可.
【详解】
（1）连接AC ，交EF 于点O ，
连结PO .则,,EF PO EF AC PO AC O ⊥⊥⋂=，
故EF ⊥面POC .
又PC ⊂面POC ，
因此EF PC ⊥.
（2）由（1）知POC ∠即为二面角P EF C --的平面角， 且2,22,32FO PO OC ===.
在POC △中应用余弦定理，得222cos 2PC PO OC PO OC POC =
+-⋅⋅∠=，
于是有222PC OC PO +=， 即PC OC ⊥，从而有PC ⊥平面ABCD .
以C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,
则(0,0,0), (0,0,2), (0,4,0), (2,4,0), (4,2,0)C P B E F ，
于是(2,4,2),(4,2,2)PE PF =-=-，(0,4,0)CB =，
设平面PEF 的法向量为(,,)m x y z =，
则0
0m PE m PF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即24204220
x y z x y z +-=⎧⎨+-=⎩，解得x y = 于是平面PEF 的一个法向量为(1,1,3)m =.设直线BC 与平面PEF 所成角为θ，因此411sin cos ,11
||||411CB m CB m CB m θ⋅=<>=
==⋅⨯. 【点睛】 本题主要考查了线面垂直，线线垂直的证明，二面角，线面角的向量求法，属于中档题.。