人教版高中数学必修五课时作业14：§2.5 等比数列的前n项和(二)

一、选择题
1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( )
A ．7
B ．8
C ．15
D ．16
答案 C
解析 由题意得4a 2＝4a 1＋a 3，
∴4(a 1q )＝4a 1＋a 1·q 2，
∴q ＝2，
∴S 4＝1·（1－24）1－2
＝15. 2．等比数列{a n }的首项为1，公比为q ，前n 项的和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新
数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1a n 的前n 项的和是( ) A.1S
B ．Sq n －1
C ．Sq 1－n D.q n S
答案 C
解析 易知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列，首项为1，公比为1q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为1－（1q ）n 1－1q
＝q （1－q n ）（1－q ）q n ＝1－q n 1－q ·1q n －1＝S q n －1
＝S ·q 1－n . 3．已知等比数列{a n }的前3项和为1，前6项和为9，则它的公比q 等于(
)
A.12
B ．1
C ．2
D ．4
答案 C
解析 S 3＝1，S 6＝9，
∴S 6－S 3＝8＝a 4＋a 5＋a 6＝q 3(S 3)＝q 3，
∴q 3＝8，∴q ＝2.
4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零的常数且a ≠1)，则数列{a n }( )
A ．一定是等差数列
B ．一定是等比数列
C ．或者是等差数列，或者是等比数列
D ．既非等差数列，也非等比数列
答案 B
解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1；
当n ＝1时，a 1＝S 1＝a －1，也满足上式．
∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *.
∴a n ＋1a n
＝a ，为常数． ∴数列{a n }一定是等比数列．
5．设数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 10＝10，记{x n }的前n 项和为S n ，则S 20等于( )
A ．1 025
B ．1 024
C ．10 250
D ．20 240
答案 C
解析 ∵log 2x n ＋1＝1＋log 2x n ＝log 2(2x n )，
∴x n ＋1＝2x n ，且x n ＞0，
∴{x n }为等比数列，且公比q ＝2，
∴S 20＝S 10＋q 10S 10＝10＋210×10＝10 250，故选C.
6．已知等比数列{a n }的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学经计算得S 1＝8，S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为( )
A ．S 1
B ．S 2
C ．S 3
D ．S 4
答案 C
解析 由题S 1正确．
若S 4错误，则S 2，S 3正确，于是a 1＝8，a 2＝S 2－S 1＝12，a 3＝S 3－S 2＝16，与{a n }为等比数列矛盾，故S 4＝65.
若S 3错误，则S 2正确，此时，a 1＝8，a 2＝12.
∴q ＝32，∴S 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝8⎣⎡⎦⎤1－（32）41－32＝65，符合题意．
7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( ) A.a n ＋1a n －1
B.S 5S 3
C.S 5a 3
D.S n ＋1S n
答案 D
解析 由8a 2＋a 5＝0，得8a 2＋a 2q 3＝0，
∵a 2≠0，
∴q 3＝－8，∴q ＝－2，
∵a n ＋1a n －1
＝q 2＝4， S 5S 3＝a 1（1－q 5）
1－q a 1（1－q 3）1－q
＝1－q 51－q 3＝113
， S 5a 3＝a 1（1－q 5）
1－q a 1q 2＝1－q 5
q 2（1－q ）＝114， 而D 中S n ＋1S n ＝1－q n ＋1
1－q n
与n 有关，故不确定． 二、填空题
8．在数列{a n }中，已知对任意正整数n ，有a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝
________．
2
解析 {a n }的首项为2，公比为3，
∴{a 2n }也为等比数列，首项为4，公比为9，
∴{a 2n }的前n 项和为4（1－q n ）1－q
＝12(9n －1)． 9．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________． 答案 16
解析 方法一 ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，
∴(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)．
又∵S 3＝2，S 6＝6，∴S 9＝14.
再由S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，
即(S 9－S 6)2＝(S 6－S 3)·(S 12－S 9)，
求出S 12－S 9＝16，即a 10＋a 11＋a 12＝16.
方法二 由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，此数列首项为S 3＝2，
公比q ′＝S 6－S 3S 3＝6－22
＝2，得S 12－S 9＝2×23＝16. 10．设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12
，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，则公比q ＝________．
答案 12
解析 由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，
得210(S 30－S 20)＝S 20－S 10.
又S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，
∴S 30－S 20S 20－S 10
＝q 10＝(12)10. 又{a n }为正项等比数列，∴q ＝12
. 11．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )．若
a 1＝12
，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．
2解析 令x ＝n ，y ＝1，则f (n )·f (1)＝f (n ＋1)，
又a n ＝f (n )，∴a n ＋1a n ＝f （n ＋1）f （n ）
＝f (1)＝a 1＝12， ∴数列{a n }是以12为首项，12
为公比的等比数列， ∴S n ＝12（1－12n ）1－12
＝1－12n . 三、解答题
12．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝2x ＋1上，其中n ∈N *.
(1)若数列{a n }是等比数列，求实数t 的值；
(2)设各项均不为0的数列{c n }中，所有满足c i ·c i ＋1＜0的整数i 的个数称为这个数列{c n }的
“积异号数”，令c n ＝na n －4na n
(n ∈N *)，在(1)的条件下，求数列{c n }的“积异号数”． 解 (1)由题意，当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝2S n ＋1，
a n ＝2S n －1＋1，
两式相减，得a n ＋1－a n ＝2a n ，
即a n ＋1＝3a n (n ≥2)，
所以，当n ≥2时{a n }是等比数列，
要使n ≥1时{a n }是等比数列，
则只需a 2a 1＝2t ＋1t
＝3，从而得出t ＝1. (2)由(1)得，等比数列{a n }的首项为a 1＝1，公比q ＝3，∴a n ＝3n －1，
∴c n ＝na n －4na n ＝n ·3n －1－4n ·3n －1＝1－4n ·3n －1
， ∵c 1＝1－41＝－3，c 2＝1－42×3＝13
， ∴c 1c 2＝－1＜0，
∵c n ＋1－c n ＝4n ·3n －1－4（n ＋1）·3n
＝4（2n ＋3）n （n ＋1）·3n
＞0， ∴数列{c n }递增．
由c 2＝13
＞0得，当n ≥2时，c n ＞0. ∴数列{c n }的“积异号数”为1.
13．某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施．已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放量比上一年的排放总量减少10%.同时，因为经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量m (m ＞0)万吨．
(1)从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量(万吨)依次构成数列{a n }，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式；
(2)证明：数列{a n －10m }是等比数列；
(3)若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m 的取值范围．
(1)解 由已知得，
a 1＝40×0.9＋m ，
a n ＋1＝0.9a n ＋m (n ≥1)．
(2)证明 由(1)得：
a n ＋1－10m ＝0.9a n －9m ＝0.9(a n －10m )，
所以数列{a n －10m }是以a 1－10m ＝36－9m 为首项，0.9为公比的等比数列．
(3)解 由(2)得a n －10m ＝(36－9m )·0.9n －1，
即a n ＝(36－9m )·0.9n －1＋10m .
由(36－9m )·0.9n －1＋10m ≤55，得
m ≤55－36×0.9n －110－9×0.9n －1＝5.5－4×0.9n 1－0.9n ＝ 1.51－0.9n
＋4 恒成立(n ∈N *)，
解得m ≤5.5，
又m ＞0，
综上可得m ∈(0，5.5]．。