北航弹力作业答案作业4

在次要边界（小边界） y=0 上，应用圣维南原理，列出
y
三个积分的边界条件（边界条件易写错）：
o

b/2
b / 2
( xy ) x 0 dy 0 ( x ) x 0 dy 0
b/2 b/2 ρ2 g ρ1 g

b/2
b / 2
b/2
b / 2
( x ) x0 ydy 0
在主要边界chapterpage第五次作业在次要边界上可应用圣维南原理三个积分边界条件为注意此处的边界条件chapterpage第五次作业6通过上述方程求得各系数并代入应力分量的表达式得应力解答
第五次作业
习题六 思考题6-1：为什么平面应力和平面应变问题的 应力分布是相同的？
答：因为平面应力问题和平面应变问题的平衡方程、应 变协调方程以及边界条件式都相同，因此，只要几何条 件相同，载荷条件相同，不论其为平面应力或平面应变 问题，它们在平面内的应力分布规律是相同的。
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Chapter 6
2
第五次作业
平面应变问题： 平面应变问题是受力体一个方向的几何尺寸远大于其它 两个方向，而且满足以下条件：
u u( x, y), v v( x, y), w 0
Chapter 6
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3
第五次作业
1:设有矩形截面的长竖柱,密度 为ρ,在一边侧面上受均布剪力q, 如图1,试求应力分量. 提示:可假设σx=0,或假设 τxy=f(x),或假设σy如材料力学中 偏心受压公式所示.上端边界条 件如不能精确满足,可应用圣维 南原理.
9
o b q ρg
x
y 图1
第五次作业
2: 设图2中的三角形 悬臂梁只受重力作用, 而梁的密度为ρ,试用 纯三次式的应力函数 求解.(纯三次式有写 错的)
o α ρg y 图2 x
Chapter 6
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10
第五次作业
解：设
Ax Bxy Cx y Dy
3 2 2
3
1：检验应力函数表达式满足相容方程。
4、由应力函数求应力分量。将 代入应力分量表达式
（2-24），注意体力 f x 1 g ， f y 0 ，求得应力分量为
2 B x 2 f x x x3 ( Ay ) x(2 Ay 3 2 By 2 6Gy 2 H ) (6 Ey 2 F ) 1gx y 3
y
o
b/2 b/2 ρ2 g
ρ1 g
x 图3
Chapter 6
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14
y
o
b/2 b/2 ρ2 g
第五次作业
解题步骤： 1、假设应力分量的函数形式。
ρ1 g
x 图3 ； y b / 2 0, 因为 边界上， y y b / 2 边界上， y 2 gx
，所以可假设在区域内
( xy ) x0 0
（a） （b）
ρ
( xy ) x b q
（c）
y 图1
Chapter
6
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7
第五次作业
在次要边界
b
y 0 上，可应用圣维南原理，三个积分
o b q x
边界条件为(注意此处的边界条件)



0
( yx ) y 0 dx 0
(d)
b
0
b
( y ) y 0 xdx 0
Chapter 6
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21
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12
第五次作业
3：通过上述方程求得各系数，并代入应力分量的表达式， 得应力解答：
x gx cot 2 gy cot 2
y gy
xy gy cot
o α x
ρg
y
Chapter 6
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13
图2
第五次作业
3:挡水墙的密度为ρ1,厚度 为b,图3,水的密度为ρ2,试 求应力分量. (提示:可假设σy=xf(y)上端 的边界条件如不能精确满 足,可应用圣维南原理,求出 近似的解答)
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18
第五次作业
5、考察边界条件： 在主要边界 y b / 2 上，有
y
o
b/2 b/2 ρ2 g
( y ) y b / 2 2 gx ( y ) y b / 2 0 ( xy ) y b / 2 0
ρ1 g
x 图3
Chapter 6
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19
第五次作业
x 处都成立，必须（下式易写错）
f Ay 3 By 2 Cy D
，得
f1
A 5 B 4 y y Gy3 Hy 2 Iy 10 6
d 4 f2 0 ，得 4 dy
。
f 2 Ey3 Fy 2
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Chapter 6
17
第五次作业
代入 ，即得应力函数的解答，其中已略去了应力无关 的一次式。
Chapter 6
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1
第五次作业
6-5：什么样的问题可以简化为平面应力问题或 平面应变问题？
答：平面应力问题：
平面应力问题是受力体一个方向的几何尺寸远小于其它 两个方向，而且满足以下条件： 列出条件
z xz yz 0 x x ( x, y), y y ( x, y), xy xy ( x, y)
代入应力分量表达式 由应力函数求应力分量。将 （2-24），注意体力 f x 0， f y g ，求得应力分量为
x 2Cx 6 Dy y 6 Ax 2 By gy xy (2 Bx 2Cy )
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o α x
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16
图3
第五次作业
3、由相容方程求应力函数。将
,得 ；
代入 4 0 ，得
x3 d 4 f d 4 f1 d 4 f 2 d2 f x 4 2x 2 0 4 4 6 dy dy dy dy
要使上式在任意的
d4 f 0 ，得 4 dy
d 4 f1 d2 f 2 2 0 4 dy dy
( y ) y 0 xdx 0
(e)
ρg
0
(f)
y 图1
Chapter 6
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8
第五次作业
6、通过上述方程求得各系数，并代入应力分量的表达 式，得应力解答：
x 0
y x y 2q (1 3 ) gy b b x x xy q (3 2) b b
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y
为
y xf ( y)
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15
第五次作业
2、推求应力函数的形式。由 y 推测 的形式，
2 y 2 xf ( y ) x
则
y
o
b/2 b/2
x3 f ( y ) xf1 ( y ) f 2 ( y ) 6
ρ2 g
ρ1 g
x
Chapter 6
2 y 2 f y y x( Ay 3 By 2 Cy D ) x
2 x2 A 2B 3 xy (3 Ay 2 2 By C ) ( y 4 y 3Gy 2 2 Hy I ) xy 2 2 3
Chapter 6
图3
x
Chapter 6
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20
第五次作业
6、通过上述方程求得各系数，并代入应力分量的表达式，
x
2 2 g 3 32 g 4 2 g 3 x y xy xy 1gx 3 3 b 5b b
y3 3 y 1 y 2 gx(2 3 ) b 2b 2
2 3 y 3 y 3y b 2 xy 2 gx (3 3 ) 2 gy( 3 ) b 4b b 10b 80 y
2
o b q ρg
x
Chapter 6
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5
第五次作业
3、由相容方程求应力函数。将 得
代入 4 0 ，
y( Ax3 Bx 2 Cx) ( Ex3 Fx 2 )
[上式已省略了常数项和一次项]
4、由由应力函数求应力分量。将 代入应力分量表达式 （2-24），注意体力 f x 0 ，f y g，求得应力分量为
o b q ρg x
y 图1
Chapter 6
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4
第五次作业
解题步骤： 1、假设应力分量的函数形式。可假设 x 0 ，或假设
xy f ( x) ，这里假设
2、推求应力函数的形式。由 x 推求 的形式 f x 0
x 0
x 2 f x x，得 yf ( x) f1 ( x) y
ρg
y 11 图2
第五次作业
o x α ρg
2：考察边界条件： 在上面 y 0 上
( y ) y0 0
在下面 y x tan 上
( yx ) y0 0
y 图2
l cos(

2
) sin
m cos
l ( x ) y x tan m( xy ) y x tan 0 m( y ) y x tan l ( xy ) y x tan 0
0 x y (6 Ax 2 B) y 6 Dx 2 E gy 2 (3 Ax 2 Bx C ) xy
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6
第五次作业
5、考察边界条件： 在主要边界 x 0, b 上的条件为
o b q x
( x ) x 0,b 0