高三数学二轮专题复习(三)求准提速,秒杀选择、填空题

求准提速，秒杀选择、填空题
选择、填空题具有小巧灵活、结构简单、运算量不大等特点.在高考中，选择、填空题的题量较大，共同特点是不管过程，只要结果.因此解答这类题目除直接法外，还要掌握一些解题的基本策略，避免“小题大做”.解题基本解答策略是：充分利用题目提供的信息作出判断.先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，提高解题速度. 方法一 直接法
直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，结合有关性质或结论，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题.
1.已知x ∈R ，集合A ＝{0，1，2，4，5}，集合B ＝{x －2，x ，x ＋2}，若A ∩B ＝{0，2}，则x 等于( )
A.－2
B.0
C.1
D.2 [答案] B
[解析] 因为A ＝{0，1，2，4，5}，B ＝{x －2，x ，x ＋2}，且A ∩B ＝{0，2}，
所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝0，x ＋2＝2，
当x ＝2时，B ＝{0，2，4}，A ∩B ＝{0，2，4}，不符合题意，舍去； 当x ＝0时，B ＝{－2，0，2}，A ∩B ＝{0，2}，符合题意. 所以x ＝0.故选B.
2.已知α满足sin α＝1
3，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A.718 B.2518 C.－718 D.－2518 [答案] A
[解析] cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝22(cos α－sin α)·2
2(cos α＋sin α) ＝12(cos 2α－sin 2α)＝12(1－2sin 2α)＝12⎝
⎛⎭⎫1－2×19＝7
18，故选A. 3.(2018·山师大附中模拟)已知a ，b 均为正实数，且a ＋b ＝3，则1a ＋1
b 的最小值为______.
[答案] 4
3
[解析] 因为a ，b 均为正实数，所以1a ＋1b ＝13⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ·(a ＋b )＝
13⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋23≥23＋23＝4
3(当且仅当a ＝b ＝32时等号成立)，即1a ＋1b 的最小值为4
3.
4.已知抛物线C 1
：y 2＝4x
的焦点为F ，点P 为抛物线上一点，且|PF |＝3，双曲线C 2：x 2a 2－y 2
b
2＝
1(a >0，b >0)的渐近线恰好过P 点，则双曲线C 2的离心率为________. [答案]
3
[解析] 设点P (x 0，y 0)，由抛物线定义得x 0－(－1)＝3， 所以x 0＝2.
又因为y 20＝4x 0，得y 0＝±22，即P (2，±22). 又因为双曲线C 2的渐近线过P 点，所以b a ＝222＝2，
故e ＝
1＋⎝⎛⎭⎫b a 2
＝
1＋2＝ 3.
方法二 特值、特例法
当题目已知条件中含有某些不确定的量，可将题中变化的不定量选取符合条件的恰当特殊情形(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.为保证[答案]的正确性，在利用此方法时，可以多取几个特例. 5.(2018·茂名市五大联盟学校联考)函数y ＝x sin x ＋1
x
2的部分图象大致为( )
[答案] A
[解析] 函数y ＝x sin x ＋1
x 2是偶函数，其图象关于y 轴对称，选项C ，D 错误；
令x ＝1可得y ＝sin 1＋1>0，选项B 错误.故选A.
6.已知函数f (x )＝ln x －ax 2＋1，若存在实数x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1－x 2≥1，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围为( ) A.⎝
⎛⎭⎫0，ln 23 B.⎝
⎛⎦⎤
0，ln 23 C.⎝⎛⎦⎤－∞，ln 23 D.⎝
⎛⎦⎤－∞，2ln 23 [答案] B
[解析] 当a ＝0时，f (x )＝ln x ＋1， 若f (x 1)＝f (x 2)，
则x 1＝x 2，显然不成立，排除C ，D ； 取x 1＝2，x 2＝1，
由f (x 1)＝f (x 2)，得－a ＋1＝ln 2－4a ＋1， 得a ＝ln 23
，排除A ，故选B.
7.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )
A.3∶1
B.2∶1
C.4∶1
D.3∶1
[答案] B
[解析] 将P ，Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ ， 则有V P －ABC ＝111
13ABC A B C A ABC V V --=.
剩余部分的体积为
111
23
ABC A B C V -，所以截后两部分的体积比为2∶1.
8.设坐标原点为O ，抛物线y 2＝2x ，过焦点的直线l 交该抛物线于A ，B 两点，则OA →·OB →
＝________. [答案] －34
[解析] 本题隐含条件是OA →·OB →的值为定值，所以OA →·OB →
的值与直线l 的倾斜角无关，所以取直线l ：x ＝12
，
不妨令A 点在x 轴上方.
由⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝12，y 2＝2x ，可得A ⎝⎛⎭⎫12，1，B ⎝⎛⎭⎫12，－1，于是OA →·OB →＝1
4－1＝－34
. 方法三 数形结合法
有些题目条件中的式子或关系具有明显的几何意义，我们可以作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的性质、特征，得出结论.
9.设函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x －[x ]，x ≥0，f (x ＋1)，x <0，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3
等.若方程f (x )＝k (x ＋1)(k >0)恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，1
4 B.⎣⎡⎭⎫14，13 C.⎝⎛⎭⎫13，1 D.⎣⎡⎭⎫14，1
[答案] B
[解析] 直线y ＝kx ＋k (k >0)恒过定点(－1，0)，在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝kx ＋k (k >0)的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，所以
14≤k <13
.
10.设s ，t 是不相等的两个正数，且s ＋s ln t ＝t ＋t ln s ，则s ＋t －st 的取值范围为( ) A.(－∞，1) B.(－∞，0) C.(0，＋∞) D.(1，＋∞)
[答案] D
[解析] 由已知s ＋s ln t ＝t ＋t ln s ，可得1＋ln t t ＝1＋ln s
s .
设f (x )＝1＋ln x x (x >0)，则f ′(x )＝－ln x
x
2.
当x ∈(0，1)时，f ′(x )>0，函数f (x )为增函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，函数f (x )为减函数.如图，作出函数f (x )的图象，由题意知f (s )＝f (t )，所以s ，t 为方程f (x )＝m 的两个不同的解.不妨设s >t ，则0<t <1<s ，故s ＋t －st －1＝(s －1)(1－t )>0，所以s ＋t －st >1.故选D.
11.(2018·四川省广元市适应性统考)已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|log 2x |，x >0，
x 2＋2x ＋2，x ≤0，方程f (x )－a ＝0有四
个不同的根，记最大的根的所有取值为集合D ，若函数F (x )＝f (x )－kx (x ∈D )有零点，则k 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤
0，1eln 2 B.⎣⎡⎦⎤
12，1eln 2 C.⎝⎛⎦⎤0，3eln 2 D.⎣⎡⎦⎤12，3eln 2
[答案] B
[解析] 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
|log 2x |，x >0，
x 2＋2x ＋2，x ≤0
的图象如图，
由图可知D ＝{x |2<x ≤4}， 函数F (x )＝f (x )－kx (x ∈D )有零点，
即方程f (x )＝kx 有根，即y ＝kx 图象与y ＝f (x )图象在(2，4]上有交点， 则k 的最小值为1
2
，
设过原点的直线与y ＝log 2x 的切点为(x 0，log 2x 0)， 由y ′＝1x ln 2，得k ＝1
x 0ln 2，
则切线方程为y －log 2x 0＝
1
x 0ln 2
(x －x 0)， 把(0，0)代入，可得－log 2x 0＝－1
ln 2
，即x 0＝e ，
∴切线斜率为1
eln 2，即为k 的最大值，
∴k 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，1eln 2，故选B.
12.已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|log 2x |，x >0，
－x 2－2x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )有四个不同的实数解x 1，
x 2，x 3，x 4，则x 1x 2x 3x 4的取值范围为____________. [答案] (0，1)
[解析] 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
|log 2x |，x >0，
－x 2
－2x ，x ≤0
的图象如图所示，关于x 的方程f (x )＝m 恰有四个互不
相等的实根x 1，x 2，x 3，x 4，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m 有四个不同的交点，则0<m <1，不妨设从左向右的交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3，x 4.当x >0时，由对数函数的性质知，log 2x 3＝－log 2x 4，x 3x 4＝1，当x <0时，由y ＝－x 2－2x 的对称性知，x 1＋x 2＝－2，又x 1<x 2<0，则－x 1>－x 2>0，(－x 1)＋(－x 2)＝2，所以0<x 1x 2＝(－x 1)·(－x 2)<⎣⎢⎡⎦
⎥⎤(－x 1)＋(－x 2)22
＝1，所以
0<x 1x 2x 3x 4<1.
方法四 构造模型法
构造模型法是由题目的条件和结论的特殊性构造出几何体、函数、向量等数学模型，然后在模型中进行推导与运算，达到快速解题的目的. 构造模型法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，细致观察题目中数学结构、形式上的特点，通过分析、联想、类比接触过的数学模型，寻找灵感构造具体的数学模型.
13.点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的表面积为( ) A.7π B.14π C.7π2 D.714π
3
[答案] B
[解析] 三棱锥A －BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以可把它补为长方体，而长方体的体对角线长为其外接球的直径.长方体的体对角线长是12＋22＋32＝14，所以它的外接球半
径是
142，外接球的表面积是4π×⎝⎛⎭
⎫1422
＝14π. 14.中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”.其意思是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里.若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( ) A.17532 里 B.1 050里 C.22 57532 里 D.2 100里 [答案] C
[解析] 由题意，该匹马每日所行路程构成等比数列{a n }，其中首项为a 1，公比q ＝1
2
，S 7＝
700， 则700＝a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1271－12，解得a 1＝350×128
127，
那么S 14＝a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12141－
12
＝22 575
32.
15.已知f (x )是定义在R 上的函数，其导函数为f ′(x )，若2f (x )－f ′(x )<2，f (0)＝2 018，则不等式f (x )>2 017e 2x ＋1(其中e 为自然对数的底数)的解集为______________. [答案] (0，＋∞)
[解析] 构造函数F (x )＝f (x )－1e 2x ，则F ′(x )＝f ′(x )e 2x －[f (x )－1]·2e 2x (e 2x )2＝f ′(x )－2f (x )＋2
e 2x >0，
故函数F (x )＝f (x )－1e 2x 在R 上为增函数，又因为F (0)＝f (0)－1
e 0＝2 018－1＝2 017，
因此不等式F (x )>2 017的解集为(0，＋∞).
16.如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积为________.
[答案]6π
[解析]如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径.
∴CD＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R，因此R＝
6 2，
故球O的体积V＝4πR3
3
＝6π.
1.设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45则a，b，c的大小关系为()
A.a<c<b
B.b<a<c
C.a<b<c
D.b<c<a
[答案] B
[解析]因为a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，显然a<1，b<1，c>1，所以c的值最大，故排除A，D选项.又因为0<log53<log54<1，所以log54>(log53)2，即a>b.综上b<a<c.
2.函数y＝2|x|－x2(x∈R)的图象大致为()
[答案] A
[解析]首先注意到函数y＝2|x|－x2(x∈R)是偶函数，所以其图象关于y轴对称，因此排除B 和D，又当x＝0时，y＝20－02＝1>0，故排除C，故选A.
3.某程序框图如图所示，若输出的S＝57，则判断框内应填()
A.k>4?
B.k>5?
C.k>6?
D.k>7?
[答案] A
[解析]程序在运行过程中各变量值变化如下：
k S是否继续循环
循环前11/
第一圈2 4 是
第二圈 3 11 是 第三圈 4 26 是 第四圈 5 57 否
故退出循环的条件应为k >4？，故选A.
4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
|lg (－x )|，x <0，
x 2－6x ＋4，x ≥0，
若关于x 的函数y ＝[f (x )]2－bf (x )＋1有8个不同的零
点，则实数b 的取值范围是( ) A.(2，＋∞) B.[2，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫2，17
4 D.⎝
⎛⎦⎤2，17
4 [答案] D
[解析] ∵函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|lg (－x )|，x <0，
x 2
－6x ＋4，x ≥0，
作出f (x )的简图，如图所示，
由图象可得当f (x )在(0，4]上任意取一个值时，都有四个不同的x 与f (x )的值对应. 再结合题中函数y ＝[f (x )]2－bf (x )＋1有8个不同的零点，
可得关于k 的方程k 2－bk ＋1＝0有两个不同的实数根k 1，k 2，且0<k 1≤4，0<k 2≤4.
∴⎩⎪⎨
⎪⎧
Δ＝b 2－4>0，
0<b 2
<4，
0－b ×0＋1>0，16－4b ＋1≥0，
解得2<b ≤17
4
，故选D.
5.已知函数f (x )＝－9－x 2与函数g (x )＝k (x －3)＋4的图象上存在两对关于x 轴对称的点，则实数k 的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤54＋ln 2，2
B.⎣⎡⎦⎤2－ln 2，5
4＋ln 2 C.⎣⎡⎦⎤54＋ln 2，2＋ln 2 D.⎝⎛⎦⎤724，23
[答案] D
[解析] 由题意知方程f (x )＋g (x )＝－9－x 2＋k (x －3)＋4＝0，即方程9－x 2＝k (x －3)＋4
有两个不同的解，等价于y 1＝
9－x 2，y 2＝k (x －3)＋4的图象有两个交点，
如图所示，当y 2＝k (x －3)＋4过点(－3，0)时，k 有最大值，此时k ＝4－0
3－(－3)＝2
3.当直线y 2
＝k (x －3)＋4与曲线y 1＝
9－x 2相切时，恰有一个交点，此时满足
|4－3k |k 2＋1
＝3，所以k ＝7
24.
综上，k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤
724，23，故选D.
6.在四面体ABCD 中，若AB ＝CD ＝3，AC ＝BD ＝2，AD ＝BC ＝5，则四面体ABCD 的外接球的表面积为( )
A.2π
B.4π
C.6π
D.8π [答案] C
[解析] 如图所示，该四面体的四个顶点为长方体的四个顶点，设长、宽、高分别为a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪
⎧
a 2＋
b 2＝5，a 2
＋c 2＝4，b 2
＋c 2
＝3，
三式相加得a 2＋b 2＋c 2＝6，因为该四面体的外接球直径为长方体的体对
角线长，所以4R 2＝a 2＋b 2＋c 2＝6，所以外接球表面积S ＝4πR 2＝6π.
7.如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝____.
[答案] 18
[解析] 把平行四边形ABCD 看成正方形，则点P 为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC →＝18.
8.若锐角α，β，γ满足cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1，那么tan α·tan β·tan γ的最小值为_____. [答案] 2 2
[解析] 如图，构造长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c ，∠C 1AB ＝α，∠C 1AD ＝β，∠C 1AA 1＝γ，则cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1.
从而有tan αtan βtan γ＝
b 2＋
c 2a ·a 2＋c 2b ·a 2＋b 2c ≥2bc 2ac 2ab
abc
＝2 2. 当且仅当a ＝b ＝c 时，tan αtan βtan γ取最小值2 2.
9.e 416，e 525，e 6
36(其中e 为自然对数的底数)的大小关系是________. [答案] e 416<e 525<e 6
36
[解析] 由于e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，故可构造函数f (x )＝e x
x 2，
于是f (4)＝e 416，f (5)＝e 525，f (6)＝e 6
36
.
而f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫e x
x 2′＝e x
·x 2
－e x
·2x x 4＝e x
(x 2
－2x )x 4
，
令f ′(x )>0，得x <0或x >2，即函数f (x )在(2，＋∞)上单调递增， 所以f (4)<f (5)<f (6)，即e 416<e 525<e 6
36.
10.在数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＝2a n ＋1，则数列{a n }的通项公式是________. [答案] a n ＝2n －1 [解析] 由a n ＋1＝2a n ＋1，
得a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)， 又a 1＝1，得a 1＋1＝2≠0， ∴数列{a n ＋1}是首项为2， 公比q ＝2的等比数列，
因此a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，故a n ＝2n －1.
11.若动直线x ＝a (a ∈R )与函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6与g (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π
6的图象分别交于M ，N 两点，则|MN |的最大值为________. [答案] 2
[解析] 实际上|MN |＝|f (x )－g (x )|，因此我们只要求|f (x )－g (x )|的最大值，令h (x )＝|f (x )－g (x )|
＝⎪⎪⎪
⎪3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝|2sin x |，其最大值为2. 12.已知a ，b ，c ，d ∈R 且满足a ＋3ln a b ＝d －3
2c ＝1，则(a －c )2＋(b －d )2的最小值为_____.
[答案] 95ln 2e 2
3
[解析] 设点P (a ，b )，Q (c ，d )，由题设可得点P ，Q 分别在曲线y ＝x ＋3ln x ，y ＝2x ＋3上. 则问题转化为求曲线y ＝x ＋3ln x 上的动点P 与直线y ＝2x ＋3上的动点Q 之间的距离的最小值的平方问题.
设点M (t ，t ＋3ln t )是曲线y ＝x ＋3ln x 的切点，因为y ′＝1＋3
x ，故在点M 处的切线的斜率k
＝1＋3t ，由题意知当1＋3
t ＝2，即t ＝3时，也即当切线与已知直线y ＝2x ＋3平行时，此时切
点M (3，3＋3ln 3)到已知直线y ＝2x ＋3的距离最近，最近距离为|6－3－3ln 3＋3|5＝6－3ln 35，
也即(a －c )2＋(b －d )2的最小值为9(2－ln 3)25＝95ln 2e 2
3
.。