高考数学压轴专题新备战高考《数列》分类汇编及答案

【高中数学】高考数学《数列》练习题
一、选择题
1．如果等差数列128,,,a a a L 的各项都大于零，公差0d ≠，则正确的关系为（ ） A ．1845a a a a > B ．1845a a a a < C ．1845a a a a +>+ D ．1845a a a a =
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据等差中项的性质，可排除C ，再利用作差比较，即可得到答案. 【详解】
根据等差数列的性质，可得1845a a a a +=+，所以C 不正确；
又由2
18451111(7)(3)(4)120a a a a a a d a d a d d -=+-++=-<，所以1845a a a a <.
故选B . 【点睛】
本题主要考查了等差数列的性质，等差数列的通项公式，以及作差比较法的应用，着重考查了推理与运算能力.
2．已知数列{}n a 中，12a =，2
11n n n a a a +=-+，记12111n n
A a a a =
++⋯+，12111
n n
B a a a =
⋅⋅⋯⋅，则（ ） A ．201920191A B +> B ．201920191A B +< C ．2019201912A B -> D ．201920191
2
A B -< 【答案】C 【解析】 【分析】
根据数列{}{},n n A B 的单调性即可判断n n A B -；通过猜想归纳证明，即可求得n n A B +. 【详解】
注意到12a =，23a =，37a =，不难发现{}n a 是递增数列． （1）2
1210n n n n a a a a +-=-+≥，所以1n n a a +≥．
（2）因为12a =，故2n a ≥，所以1n n a a +>，即{}n a 是增函数． 于是，{}n A 递增，{}n B 递减， 所以20192121156A A a a >=
+=，2019212111
6
B A a a <=⋅=，
所以2019201912
A B ->
. 事实上，111,A B +=221,A B +=331A B +=， 不难猜想：1n n A B +=． 证明如下：
（1）2
111211111111
111
11n n n n n n n n a a a a a a a a a a ++-=-+⇒
=
-⇒++⋅⋅⋅+=----． （2）2
11n n
n a a a +=-+等价于2
111
1
n n n
a a a +=
--， 所以
111
1
n n n a a a +-=-， 故
12111111
n n a a a a +⋅⋅⋯⋅=-， 于是
12121111111n n a a a a a a ⎛⎫
⋅⋅⋯⋅+++⋯+= ⎪⎝⎭
， 即有1n n A B +=． 故选：C. 【点睛】
本题考查数列的单调性，以及用递推公式求数列的性质，属综合中档题.
3．已知公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >，则“1q >”是“53a a >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等比数列的性质可得530,0a a >>，若53a a >，可得2
1q >，然后再根据充分条件和
必要条件的判断方法即可得到结果． 【详解】
由于公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 所以530,0a a >>，
若53a a >，则233a q a >，所以2
1q >，即1q >或1q <-，
所以公比为q 的等比数列{}n a 的首项10a >， 则“1q >”是“53a a >”的充分不必要条件， 故选：A.
【点睛】
本题主要考查了等比数列的相关性质和充分必要条件的判断方法，熟练掌握等比数列的性质是解题的关键.
4．数列{}n a 满足12a =，对于任意的*
n N ∈，11
1n n
a a +=
-，则2018a =（ ） A ．-1 B ．
12
C ．2
D ．3
【答案】A 【解析】 【分析】
先通过递推公式11
1n n
a a +=-，找出此周期数列的周期，再计算2018a 的值. 【详解】
111n n
a a +=-Q ，
21111
11111n n n n
a a a a ++∴===-
---， 32
1
11111n n
n n a a a a ++∴=
=
=-⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，故有3n n a a +=，
则20183672221
1
11a a a a ⨯+====-- 故选：A 【点睛】
本题考查根据数列递推公式求数列各项的值，属于中档题.
5．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ） A ．1.5尺 B ．2.5尺
C ．3.5尺
D ．4.5尺
【答案】C 【解析】 【分析】
结合题意将其转化为数列问题,并利用等差数列通项公式和前n 项和公式列方程组,求出首项和公差,由此能求出结果. 【详解】
解:从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前
九个节气日影长之和为85.5尺,
∴()()111913631.598
985.52a a d a d S a d ⎧++++=⎪
⎨⨯=+=⎪⎩
, 解得113.5a =,1d =-,
∴小满日影长为1113.510(1) 3.5a =+⨯-=（尺）. 故选C . 【点睛】
本题考查等差数列的前n 项和公式,以及等差数列通项公式的运算等基础知识,掌握各公式并能熟练运用公式求解,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.
6．函数()f x 对任意正整数,a b 满足条件()()()f a b f a f b +=⋅，且()12f =，
(2)(4)(6)(2018)
(1)(3)(5)(2017)
f f f f f f f f ++++L 的值是（ ）
A ．1008
B ．1009
C ．2016
D ．2018
【答案】D 【解析】 【分析】
由题意结合()()()f a b f a f b +=⋅求解()()
()()
()()
()()
24620181352017f f f f f f f f +
+
++
L 的值即可.
【详解】
在等式()()()f a b f a f b +=⋅中，令1b =可得：()()()()112f a f a f f a +==， 则
()()12f a f a +=，据此可知： ()()
()()
()()
()()
24620181352017f f f f f f f f +
+++
L 2222210092018=++++=⨯=L .
本题选择D 选项. 【点睛】
本题主要考查抽象函数的性质，函数的求值方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2611203a a a a --+=，则21S 的值为（ ） A ．63 B ．21
C ．63-
D ．21
【答案】C 【解析】 【分析】
根据等差数列性质，原式可变为()220616113()a a a a a +-+-=，即可求得
21112163S a ==-.
【详解】
∵261116203a a a a a ---+=， ∴()220616113()a a a a a +-+-=， ∴113a =-，∴21112163S a ==-， 故选：C ． 【点睛】
此题考查等差数列性质和求和公式，需要熟练掌握等差数列基本性质，根据性质求和.
8．设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若105:1:2S S =,则155:S S =( ) A ．
34
B ．
23
C ．
12
D ．
13
【答案】A 【解析】 【分析】
根据等比数列前n 项和的性质求解可得所求结果． 【详解】
∵数列{}n a 为等比数列，且其前n 项和记为n S ， ∴51051510,,S S S S S --成等比数列． ∵105:1:2S S =，即1051 2
S S =，
∴等比数列51051510,,S S S S S --的公比为10551
2
S S S -=-， ∴()151010551
1 24
S S S S S -=--=， ∴15510513 44
S S S S =+=， ∴1553:4
S S =． 故选A ． 【点睛】
在等比数列{}n a 中，其前n 项和记为n S ，若公比1q ≠，则233,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列，即等比数列中依次取k 项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．
9．已知等比数列{a n }，a n ＞0，a 1=256，S 3=448，T n 为数列{a n }的前n 项乘积，则当T n 取得最大值时，n =（ ） A ．8 B ．9
C ．8或9
D ．8.5
【答案】C 【解析】 【分析】
设等比数列{a n }的公比为q ，由a n ＞0，可得q ＞0．根据a 1＝256，S 3＝448，可得256（1+q +q 2）＝448，解得q ．可得a n ，T n ，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】
设等比数列{a n }的公比为q ，∵a n ＞0，∴q ＞0． ∵a 1＝256，S 3＝448， ∴256（1+q +q 2）＝448， 解得q 12=
． ∴a n ＝2561
1()
2
n -⨯=29﹣n ．
T n ＝28
•27
•……•2
9﹣n
＝2
8+7+…+9﹣n
()217
289[)89242
2
22
n n n ⎛⎤--- ⎥+-⎝
⎦==．
∴当n ＝8或9时，T n 取得最大值时， 故选C ． 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
10．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ）. A ．1- B ．1 C ．3 D ．7
【答案】B 【解析】 【分析】
利用等差数列的通项公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出20a ． 【详解】
解：{}n a Q 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=， 13533105a a a a ∴++==，2464399a a a a ++==， 335a ∴=，433a =，4333352d a a =-=-=-， 13235439a a d =-=+=， 20139391921a a d ∴=+=-⨯=．
故选：B
【点睛】
本题考查等差数列的第20项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．
11．已知数列{}n a 的前n 项和(
)2
*
23n S n n n N
=+∈，则{}n
a 的通项公式为（ ）
A ．21n a n =+
B ．21n a n =-
C ．41n a n =+
D ．41n a n =-
【答案】C 【解析】 【分析】
首先根据2
23n S n n =+求出首项1a 的值，然后利用1n n n a S S -=-求出2n ≥时n a 的表达
式，然后验证1a 的值是否适合，最后写出n a 的式子即可. 【详解】
因为2
23n S n n =+，
所以，当2n ≥时，22
123[2(1)3(1)]41n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+，
当1n =时，11235==+=a S ，上式也成立， 所以41n a n =+， 故选C. 【点睛】
该题考查的是有关数列的通项公式的求解问题涉及到的知识点有数列的项与和的关系，即
11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，算出之后再判断1n =时对应的式子是否成立，最后求得结果.
12．已知{}n a 是单调递增的等比数列，满足352616,17a a a a ⋅=+=，则数列{}n a 的前n 项和n S = A ．1
22
n
+ B ．122n
- C ．112
2
n -+
D ．1
12
2
n -- 【答案】D 【解析】 【分析】
由等比数列的性质和韦达定理可得26a a ， 为方程217160x x -+= 的实根，解方程可得q
和a 1，代入求和公式计算可得． 【详解】
∵352616,17a a a a ⋅=+=，
∴由等比数列的性质可得26261617a a a a ⋅=+=， ，
26a a ， 为方程217160x x -+= 的实根
解方程可得26261
16161a a a a ====，，或， ， ∵等比数列{a n }单调递增，
∴26116a a ==，，∴11
22
q a ，＝= ，
∴
()
11
12122122
n
n n S ---
-＝＝ 故选D ． 【点睛】
本题考查等比数列的求和公式，涉及等比数列的性质和一元二次方程的解法，属中档题．
13．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是( ) A ．3 971 B ．3 972
C ．3 973
D ．3 974
【答案】D 【解析】 【分析】
先对数据进行处理能力再归纳推理出第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()12
n n +=个数，运算即可得解．
【详解】
解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）… 则第n 组有n 个数且最后一个数为n 2， 则前n 组共1+2+3+…+n ()
12
n n +=
个数，
设第2019个数在第n 组中，
则()
()120192
120192
n n n n ⎧+≥⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＜， 解得n ＝64，
即第2019个数在第64组中，
则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n 项和公式，属中档题．
14．已知数列{}n a 满足：()()2
*112,10n n n a a S S n +=+-=∈N ，其中n S 为数列{}n a 的前n 项
和.设()()()12111()1
n S S S f n n +++=
+L ，若对任意的n 均有(1)()f n kf n +<成立，则
k 的最小
整数值为（ ） A ．2 B ．3
C ．4
D ．5
【答案】A 【解析】 【分析】
当1n ≥时，有条件可得()
2
11n n n n
S S S S +--=-
，从而11
1n n n
S S S +--=
，故11
1111n n S S +-
=--，得出 11n S ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
是首项、公差均为1的等差数列，从而求出n S 【详解】
当1n ≥时，有条件可得()
2
11n n n n
S S S S +--=-
，从而11
1n n n
S S S +--=
，故111111
111n n n n n S S S S S +-
=-=----，又1111121S ==--，11n S ⎧⎫∴⎨⎬-⎩⎭
是首项、公差均为1的等差数列，
11n n S ∴
=-，1n n S n +=，由()()()12111()1n S S S f n n +++=+L ， 得
()1(1)1(1)23152,2()2223n n S f n n f n n n n +++++⎡⎫===-∈⎪⎢+++⎣⎭
， 依题意知(1)
()
f n k f n +>
， min 2k ∴=.
故选：A 【点睛】
本题考查数列的综合应用.属于中等题.
15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23109a a a ++=，则9S =（ ） A ．3
B ．9
C ．18
D ．27
【答案】D 【解析】
设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵23109a a a ++=
∴13129a d +=，即143a d += ∴53a = ∴1999()
272
a a S ⨯+== 故选D.
16．在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，则17S 的值是（ ） A ．41 B ．51
C ．61
D ．68
【答案】B 【解析】 【分析】
由韦达定理得3156a a +=，由等差数列的性质得117315a a a a +=+，再根据等差数列的前n 项和公式求17S . 【详解】
在等差数列{}n a 中，3a ，15a 是方程2650x x -+=的根，
3156a a ∴+=.
()()117315171717176
51222
a a a a S ++⨯∴=
===. 故选：B . 【点睛】
本题考查等差数列的性质和前n 项和公式，属于基础题.
17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，12
n n n a S n
++=（*n ∈N ），则n S =（ ） A ．121n -+ B ．2n n ⋅
C ．31n -
D ．123n n -⋅
【答案】B 【解析】 【分析】
由题得12
2,1
n n a n a n ++=⨯+再利用累乘法求出1(1)2n n a n -=+⋅，即得n S . 【详解】
由题得111(1)(1),,,2121n n n n n
n n na n a na n a S S a n n n n ++---=
∴=∴=-++++（2n ≥） 所以122,1
n n a n a n ++=⨯+（2n ≥） 由题得22166,32a a a =∴
==，所以122,1n n a n a n ++=⨯+（1n ≥）. 所以324123134512,2,2,2,234n n a a a a n a a a a n
-+=⨯=⨯=⨯=⨯L ， 所以11112,(1)22
n n n n a n a n a --+=⋅∴=+⋅. 所以(2)222n n n n S n n n =
⨯+⋅=⋅+. 故选：B
【点睛】
本题主要考查数列通项的求法，考查数列前n 项和与n a 的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
18．根据下面的程序框图，输出的S 的值为（ ）
A ．1007
B ．1009
C ．0
D ．-1
【答案】A
【解析】
【分析】 按照程序框图模拟运行即可得解.
【详解】
1i =，1112
x ==--，0(1)1S =+-=-；2i =，111(1)2x ==--，
11122S =-+=-；3i =，12112
x ==-， 13222S =-+=；4i =，1112
x ==--， 31(1)22
S =+-=，…， 由此可知，运行程序过程中，x 呈周期性变化，且周期为3， 所以输出112672110072S ⎛
⎫=-+
+⨯-= ⎪⎝⎭. 故选A
【点睛】
本题主要考查程序框图和数列的周期性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
19．设数列{}n a 的前n 项和为n S 已知()*123n n a a n n N ++=+∈且1300n S =，若23a <，则n 的最大值为（ ）
A ．49
B ．50
C ．51
D ．52
【答案】A
【解析】
【分析】
对n 分奇偶性分别讨论，当n 为偶数时，可得2+32n n n S =，发现不存在这样的偶数能满足此式，当n 为奇数时，可得21+342
n n n S a -=+，再结合23a <可讨论出n 的最大值. 【详解】
当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=++++⋅⋅⋅++
(213)(233)[2(1)3]n =⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+
2[13(1)]32n n =⨯++⋅⋅⋅+-+⨯2+32
n n =， 因为22485048+348503501224,132522
S S ⨯+⨯====， 所以n 不可能为偶数；
当n 为奇数时，123451()()()n n n S a a a a a a a -=+++++⋅⋅⋅++
1(223)(243)[2(1)3]a n =+⨯++⨯++⋅⋅⋅+-+
21342
n n a +-=+
因为2491149349412722
S a a +⨯-=+=+， 2511151351413752
S a a +⨯-=+=+， 又因为23a <，125a a +=，所以 12a >
所以当1300n S =时，n 的最大值为49
故选：A
【点睛】
此题考查的是数列求和问题，利用了并项求和的方法，考查了分类讨论思想，属于较难题.
20．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ）
A ．(1,2)
B ．(0,3)
C ．(0,2)
D ．(0,1)
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围.
【详解】 由已知得11111113n n a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则111
11113n n a a -=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.
因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，
所以10n n a a +>>，则111111*********n n a a ->⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭， 化简得11
1110113a a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，所以101a <<. 故选：D.
【点睛】
本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据1,n n a a +之间的大小关系分析问题.。