安徽省皖西南联盟2018-2019学年高二下学期期末联考数学(理)试题(解析版)

2018〜2019第二学期期末考试
高二数学试题（理科）
考生注意：
1.本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分，共150分。

考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考必考内容。

第I 卷
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
(2)(3)
1i i i
++=+（ ）
A. 5
B. 5i
C. 6
D. 6i
【答案】A 【解析】 【分析】
由题，先根据复数的四则运算直接求出结果即可 【详解】由题()()()2351 5.11i i i i
i
+++==++
故选A
【点睛】本题考查了复数的运算，属于基础题.
2.已知集合{
}
2
|45,{2}A x x x B x =-<=，则下列判断正确的是（ ）
A. 1.2A -∈
B. B
C. B A ⊆
D. {|54}A B x x =-<<U
【答案】C 【解析】 【分析】
先分别求出集合A 与集合B ，再判别集合A 与B 的关系，得出结果. 【详解】{}{}
15,04A x x B x x =-<<=≤<Q ， .B A ∴⊆
【点睛】本题考查了集合之间的关系，属于基础题.
3.某校有高一学生n 名，其中男生数与女生数之比为6:5，为了解学生的视力情况，现要求按分层抽样的方法抽取一个样本容量为10
n
的样本，若样本中男生比女生多12人，则n =（ ） A. 990 B. 1320
C. 1430
D. 1560
【答案】B 【解析】 【分析】
根据题意得出样本中男生和女生所占的比例分别为
611和511
，于是得出样本中男生与女生人数之差为65111110
n
⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭，于此可求出n 的值． 【详解】依题意可得6512111110n
⎛⎫-⨯=
⎪⎝
⎭，解得1320n =，故选：B ． 【点睛】本题考考查分层抽样的相关计算，解题时要利用分层抽样的特点列式求解，考查计算能力，属于基础题．
4.设向量a v 与向量b v 垂直，且(2,)a k =v
，(6,4)b =v
，则下列向量与向量a b +v v
共线的是（ ） A. (1,8) B. (16,2)--
C. (1,8)-
D. (16,2)-
【答案】B 【解析】 【分析】
先根据向量a b ⊥r r
计算出k 的值，然后写出a b +r r 的坐标表示，最后判断选项中的向量哪一个与其共线.
【详解】因为向量a r 与向量b r
垂直，所以2640k ⨯+=，解得3k =-，所以()8,1a b +=r r ，则向量()
16,2--与向量a b +r r
共线， 故选：B.
【点睛】本题考查向量的垂直与共线问题，难度较易.当()()1122,,,a x y b x y ==r r ，若a b ⊥r r
，则
12120x x y y +=，若a b r r
P ，则12210x y x y -=.
5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A. 3π
B. 4π
C. 6π
D. 8π
【答案】A 【解析】 【分析】
由三视图得出该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，在利用体积公式求解，即可得到答案.
【详解】由三视图可知，该几何体是一个底面半径为1，高为4的圆柱挖掉右上半圆柱而形成的几何体，故该几何体的体积为1
2232
πππ⨯+
⨯⨯=，故选A. 【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算，在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线，求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应公式求解.
6.若函数f （x ）=()x 1
2
22a x 1log x 1x 1⎧++≤⎪
⎨+⎪⎩，，＞有最大值，则a 的取值范围为（ ） A. ()5,∞-+ B. [)5,∞-+ C. (),5∞-- D. (]
,5∞-- 【答案】B 【解析】 【分析】
分析函数每段的单调性确定其最值，列a 的不等式即可求解.
【详解】由题()x
f x 22a,x 1=++≤,单调递增，故()()f x f 14a,;≤=+
()()12
f x lo
g x 1,x 1,=+>单调递减，故()()f x f 11>=-,因为函数存在最大值，所以4a 1+≥-，解
a 5≥-.
故选B.
【点睛】本题考查分段函数最值，函数单调性，确定每段函数单调性及最值是关键，是基础题.
7.设x，y满足约束条件
20
20
210
y
x
x y
+
⎧
⎪
-
⎨
⎪-+
⎩
，
，
，
…
„
…
则z x y
=+的最大值与最小值的比值为（）
A. 2
- B.
3
2
- C.
1- D.
5
2
-
【答案】A
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线z x y
=+，观察直线在x轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出z最大值和最小值，于此可得出答案．
【详解】如图，作出约束条件表示的可行域.
由图可知，当直线z x y
=+经过点()
25
A，时.z取得最大值；
当直线z x y
=+经过点3,2
2
B
⎛⎫
--
⎪
⎝⎭
时，z取得最小值.故
max
min
7
2
7
2
z
z
==-
-，故选A．
【点睛】本题考查简单的线性规划问题，一般利用平移直线利用直线在坐标轴上的截距得出最优解，考查计算能力，属于中等题．
8.已知函数()3cos(2)
2
f x x
π
=+，若对于任意的x∈R，都有
12
()()()
f x f x f x
剟成立，则
12
x x
-的最小值为（）
A. 4
B. 1
C.
1
2
D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意得出()
f x的一个最大值为()2
f x，一个最小值为()1
f x，于此得出
12
x x
-的最小值为函数()
y f x
=的半个周期，于此得出答案．
【详解】对任意的x ∈R ，()()()12f x f x f x 剟
成立. 所以()()2min 3f x f x ==-，()()2max 3f x f x ==，所以12
min
22
T
x x -=
=，故选D ． 【点睛】本题考查正余弦型函数的周期性，根据题中条件得出函数的最值是解题的关键，另外就是灵活利用正余弦型函数的周期公式，考查分析问题的能力，属于中等题． 9.等比数列{n a }的前n 项和为n S ，若103010,30,S S ==则20S = A. 10 B. 20 C. 20或-10 D. -20或10
【答案】B 【解析】 【分析】
由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列即（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20），代入可求．
【详解】由等比数列的性质可得，S 10，S 20﹣S 10，S 30﹣S 20成等比数列，且公比为10q
∴（S 20﹣S 10）2＝S 10•（S 30﹣S 20）即()()2
2020101030S S -=- 解20S =20或-10（舍去） 故选B ．
【点睛】本题主要考查了等比数列的性质（若S n 为等比数列的前n 项和，且S k ，S 2k ﹣S k ，S 3k ﹣S 2k 不为0，则其成等比数列）的应用，注意隐含条件的运用 10.设01p <<，随机变量X ，Y 的分布列分别为（ ）
当X 的数学期望取得最大值时，Y 的数学期望为（ ） A. 2 B.
3316
C.
5527
D.
6532
【答案】D
【解析】 【分析】
先利用数学期望公式结合二次函数的性质得出EX 的最小值，并求出相应的p ，最后利用数学期望公式得出EY 的值．
【详解】∵()(
)
2
2
2
2
11721322248EX p p p p
p p p ⎛
⎫=+-+-=-++=--+ ⎪⎝
⎭，
∴当14p =
时，EX 取得最大值.此时32
652232
EY p p =-++=，故选D ． 【点睛】本题考查数学期望的计算，考查二次函数的最值，解题的关键就是数学期望公式的应用，考查计算能力，属于中等题．
11.若实轴长为2的双曲线22
22:1(0,0)y x C a b a b
-=>>上恰有4个不同的点(1,2,3,4)i P i =满足
2i i
PB PA =，其中(1,0)A -，(1,0)B ，则双曲线C 的虚轴长的取值范围为（ ）
A. )+∞
B. (
C. )+∞
D. ( 【答案】C 【解析】 【分析】
设点(),P x y ，由2PB PA =结合两点间的距离公式得出点P 的轨迹方程，将问题转化为双曲线C 与点P 的轨迹有4个公共点，并将双曲线C 的方程与动点P 的轨迹方程联立，由>0∆得出b 的取值范围，可得出答案．
【详解】依题意可得1a =，设(),P x y ，则由2PB PA =，
=2
251639x y ⎛⎫++=
⎪⎝⎭
. 由22
2221516,39x y b x y ⎧-=⎪
⎪⎨⎛⎫⎪++= ⎪⎪⎝
⎭⎩，得221101203x x b ⎛
⎫+++= ⎪⎝
⎭， 依题意可知210018109b ⎛
⎫∆=
-+> ⎪⎝⎭
，解得2
187b >，
则双曲线C 的虚轴长27
b >=
. 12.已知函数3
()2f x x ax a =++.过点(1,0)M -引曲线:()C y f x =的两条切线，这两条切线与y 轴分别交
于A ，B 两点，若||||MA MB =，则()f x 的极大值点为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A 【解析】 【分析】
设切点的横坐标为t ，利用切点与点M 连线的斜率等于曲线C 在切点处切线的斜率，利用导数建立有关t 的方程，得出t 的值，再由MA MB =得出两切线的斜率之和为零，于此得出a 的值，再利用导数求出函数
()y f x =的极大值点．
【详解】设切点坐标
(
)
3
,2t t at a ++，∵26y x a '=+，∴32
261
t at a
t a t +++=+，即32460t t +=，
解得0t =或32t =-.∵MA MB =，∴3020x x y y ==-''+=，即2
32602a ⎛⎫+⨯-= ⎪⎝⎭
，
则274a =-
，()2
2764f x x -'=.当4x <-或4x >时，()0f x '>；当44
x -<<
时，
()0f x '<.故()f x 的极大值点为4
-.
【点睛】本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值点，在处理过点作函数的切线时，一般要设切点坐标，利用切线与点连线的斜率等于切线的斜率，考查计算能力，属于中等题．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.7
1()7x x -的展开式的第3项为______. 【答案】3
37
x
【解析】 【分析】
利用二项式定理展开式77
17r
r r
C x
x -⎛⎫
⋅⋅- ⎪⎝⎭
，令2r =可得出答案． 【详解】7
17x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的第3项为2
25371377
C x x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故答案为337x ． 【点睛】本题考查二项式指定项，解题时充分利用二项式定理展开式，考查计算能力，属于基础题． 14.已知tan()1αβ+=，tan()5αβ-=，则tan 2β=______. 【答案】2
3
- 【解析】 【分析】
利用两角差的
正切公式()()tan 2tan βαβαβ=+--⎡⎤⎣⎦展开，代入相应值可计算出
tan 2β的值．
【详解】()()()()()()tan tan 152
tan2tan 1tan tan 1153
αβαββαβαβαβαβ+---⎡⎤=+--=
==-⎣⎦++-+⨯. 【点睛】本题考查两角差的正切公式的应用，解题时，首先应利用已知角去配凑所求角，然后在利用两角差的公式展开进行计算，考查运算求解能力，属于中等题．
15.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C 的对称轴为坐标轴，焦点在y 轴上，且椭圆C 的离心率为
3
5
，面积为20π，则椭圆C 的标准方程为______． 【答案】22
12516
y x +=
【解析】 【分析】
设椭圆的方程为22
221(0)y x a b a b +=>>，由面积公式以及离心率公式，求出a ，b ，即可得到答案．
【详解】设椭圆C 的方程为22
221(0)y x a b a b +=>>，椭圆C 的面积为20S ab ππ==，则20ab = ,
又
35
e ==，解得225a =，2
16b =.则C 的方程为2212516y x +=
【点睛】本题考查椭圆及其标准方程，注意运用离心率公式和a ，b ，c 的关系，考查学生基本的运算能力，
属于基础题．
16.已知高为H 的正三棱锥P ABC -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若二面角P AB C --的正切值为4，则H
R
=______. 【答案】
85
【解析】 【分析】
取线段AB 的中点D ，点P 在平面ABC 的射影点M ，利用二面角的定义得出PDC ∠为二面角
P AB C --的平面角，于此得出
4PM
DM
=，并在Rt OMC ∆中，由勾股定理2OM +22CM OC =，经过计算可得出R 与H 的比值．
【详解】取线段AB 的中点D ，设P 在底面ABC 的射影为M ，则H PM =，连接CD ，PD （图略）. 设4PM k =，易证PD AB ⊥，CD AB ⊥，则PDC ∠为二面角P AB C --的平面角， 从而4tan 4PM k
PDC DM DM
∠=
==，则DM k =，2CM k =. 在Rt OMC ∆中，222OM CM OC +=，即()()2
2
242k R k R -+=，解得52k R =，故
8
5
H R =. 故答案为
8
5
． 【点睛】本题考查二面角的定义，考查多面体的外接球，在处理多面体的外接球时，要确定球心的位置，同时在求解时可引入一些参数去表示相关边长，可简化计算，考查逻辑推理能力，属于中等题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21n a n =-，且2
2n n n S T n +=+.
(1)求数列1
1
{
}n n a a +的前n 项和n R ； (2)求{}n b 的通项公式.
【答案】（1）21n
n +（2）12,12, 2.n n n b n -=⎧=⎨⎩，…
【解析】 【分析】 （1）先将
11n n a a +表示为1111122121n n a a n n +⎛⎫
=- ⎪-+⎝⎭
，然后利用裂项求和法可求出n R ；
（2）先求出数列{}n a 的前n 项和2n S n =，于是得出2n
n T =，然后利用作差法
11,1,2
n n n T n b T T n -=⎧=⎨-≥⎩可求出数列{}n b 的通项公式．
【详解】（1）因为
()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫
==- ⎪-+-+⎝⎭
，
所以11111111112335212122121
n n R n n n n ⎛⎫⎛⎫=
-+-+⋯+-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭； （2）因为()21212
n n n S n +-=
=，
所以222n n
n n T n S =+-=.
当1n =时.112b T ==；
当2n …
时，112n n n n b T T --=-=. 故12,12, 2.n n n b n -=⎧=⎨⎩
，…
【点睛】本题考查裂项法求和以及作差法求数列
通项公式，求通项要结合递推式的结构选择合适的方法求数列通项，求和则需考查数列通项的结构合理选择合适的求和方法进行计算，属于常考题．
18.2019年春节档有多部优秀电影上映，其中《流浪地球》是比较火的一部.某影评网站统计了100名观众对《流浪地球》的评分情况，得到如下表格：
(1)根据以上评分情况，试估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上(包括四星)的频率；
(2)以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立. (i )若从全国所有观众中随机选取3名，求恰有2名评价为五星1名评价为一星的概率； (ii )若从全国所有观众中随机选取16名，记评价为五星的人数为X ，求X 的方差.
【答案】（1）81
100
（2）(i )27320 (ii )3 【解析】 【分析】
（1）从表格中找出评价为四星和五星的人数之和，再除以总数可得出所求频率；
（2）(i )记事件:A 恰有2名评价为五星1名评价为一星，然后利用独立重复试验的概率可求出事件A 的概率；
(ii )由题意得出3~16,
4X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，然后利用二项分布的方差公式可得出DX 的值． 【详解】（1）由给出的数据可得，评价为四星的人数为6，评价为五星的人数是75， 故评价在四星以上(包括四星)的人数为67581+=，
故可估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上(包括四星)的频率为0.81（或81100
）； （2）(i )记“恰有2名评价为五星1名评价为一星”为事件A ，
则()2
13
57527100100320
P A C ⎛⎫=⨯⨯= ⎪
⎝⎭； (ii )由题可知3~16,
4X B ⎛⎫ ⎪
⎝⎭，故33161344DX ⎛⎫
=⨯⨯-= ⎪⎝⎭
. 【点睛】本题第（1）考查频率
计算，第（2）文考查独立重复试验的概率以及二项分布方差的计算，解
题前要弄清事件的基本类型以及随机变量所服从的分布列类型，再利用相关公式求解，考查计算能力，属于中等题．
19.在ABC ∆中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin cos sin cos cos b A C a C B A += . （1）求tan A 的值；
（2）若1b =，2c =，AD BC ⊥，D 为垂足，求AD 的长. 【答案】（1）tan A =2）1AD = 【解析】 【分析】
（1）根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（2）先根据余弦定理求a ，再利用三角形面积公式求AD.
【详解】（1）因为sin cos sin cos cos b A C a C B A ==， 所以sin sin cos sin sin cos cos B A C A C B A A +=
因为sin 0A ≠，所以sin cos sin cos B C C B A +=,即()sin B C A +=.
因为A B C π++=，所以()sin sin B C A +=，所以sin A A =.
则tan A =
（2）因为tan A =
sin A =
1cos 2A =.
在ABC ∆中，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+- ，即a =
由
11sin 22bc A a AD =⋅，得11
1222
AD ⨯⨯=. 所以1AD =.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 20.已知()1,2B 是抛物线()2
:20M y px p =>上一点，F 为M 的焦点．
（1）若1,2A a ⎛⎫
⎪⎝⎭，5,3C b ⎛⎫
⎪⎝⎭
是M 上的两点，证明：FA ，FB ，FC 依次成等比数列． （2）若直线()30y kx k =-≠与M 交于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，且12124y y y y ++=-，求线段PQ 的垂直平分线在x 轴上的截距． 【答案】（1）见解析；（2）4 【解析】 【分析】
（1）由B 在抛物线上，求出抛物线方程；根据抛物线焦半径公式可得FA ，FB ，FC 的长度，从而证得依次成等比数列；（2）将直线代入抛物线方程，消去x ，根据韦达定理求解出k ，从而可得PQ 中点坐标和垂直平分线斜率，从而求得PQ 垂直平分线所在直线方程，代入0y =求得结果. 【详解】（1）()1,2B Q 是抛物线()2
:20M y px p =>上一点
42p ∴= 2p ⇒=
24y x ∴=
根据题意可得：13122FA =
+=，112FB =+=，58
133
FC =+= 238
2423
=⨯=Q
FA ∴，FB ，FC 依次成等比数列
（2）由2
34y kx y x
=-⎧⎨
=⎩，消x 可得2
4120ky y --= 124y y k
∴+=
，1212y y k =-
12124y y y y ++=-Q 412
4k k ∴-=- 2k ⇒=
设PQ 的中点()00,x y
()0121212y y y k ∴=
+==，()001
322
x y =+= ∴线段PQ 的垂直平分线的斜率为1
2
-
故其直线方程为()1
122
y x -=--
当0y =时，4x =
【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线综合问题，关键在于能够通过直线与抛物线方程联立，得到韦达定理的形式，从而准确求解出斜率.
21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，PB PC =，E 为线段BC 的中点，F 为线段PA 上的一点.
（1）证明：平面PAE ⊥平面BCP . （2）若2
2
PA AB PB ==
，二面角A BD F --的余弦值为35，求PD 与平面BDF 所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析；（2）2
10
【解析】 【分析】
（1）由PE BC BC AE ⊥⊥，得BC ⊥平面PAE ，进而可得证；
（2）先证得PA ⊥平面ABCD ，设AC BD O ⋂=，以O 为坐标原点，OB uuu v
的方向为x 轴正方向，建立空
间直角坐标系O xyz -，分别计算平面BDF 的法向量为n v 和PD u u u v
，设PD 与平面BDF 所成角为θ，则
sin n PD
n PD
θ⋅=u u u
v v u u u v v ，代入计算即可得解.
【详解】（1）证明：连接AC ，因为PB PC =，E 为线段BC 的中点， 所以PE BC ⊥.
又AB BC =，60ABC ∠=︒，所以ABC ∆为等边三角形，BC AE ⊥. 因为AE PE E ⋂=，所以BC ⊥平面PAE ， 又BC ⊂平面BCP ，所以平面PAE ⊥平面BCP . （2）解：设AB PA a ==
，则PB PC =
=，因为222PA AB PB +=，所以PA AB ⊥，
同理可证PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD .
如图，设AC BD O ⋂=，以O 为坐标原点，OB uuu v
的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -. 易知FOA ∠为二面角A BD F --的平面角，所以3cos 5FOA ∠=
，从而4
tan 3
FOA ∠=. 由4
32
AF a =
，得23
AF a =.
又由20,,23a a F ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，,0,0B ⎫⎪⎪⎝⎭
，知2,23a a BF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u v ，20,,23a a OF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u v . 设平面BDF 的法向量为(),,n x y z =v
，
由n BF ⊥u u u v v ，n OF u u u v v ⊥
，得20232023a a
x y z a a y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩
，不妨设3z =，得()0,4,3n =v .
又0,,2a P a ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
，,0,0D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，所以,2a PD a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
u u u v . 设PD 与平面BDF 所成角为θ
，则sin 10n PD
n PD
θ⋅===
u u u
v v u u u v v .
所以PD 与平面BDF
所成角的正弦值为
10
.
【点睛】用向量法求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
22.已知函数()()()x
f x x a e a R =-∈.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当2a =时，()()ln F x f x x x =-+，记函数()y F x =在(1
,14
)上的最大值为m ，证明：43m -<<-. 【答案】（1）单调递减区间为(),1a -∞-，单调递增区间为()1,a -+∞；（2）见解析. 【解析】 【分析】
（1）利用导数求函数的单调性即可； （2）对()F x 求导，得()()11x
F x x e x ⎛⎫=--
⎝'⎪⎭，因为114x <<，所以10x -<，令()1x
g x e x
=-，求导得()g x 在1,14⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，∃ 01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，进而得()F x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，
在()0,1x 上单调递减；所以()()00max 02
12m F x F x x x ===-
-，令()212G x x x
=-- ，求导得()G x 在1,12x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
上单调递增，进而求得m 的范围.
【详解】（1）因为()()x f x x a e =-，所以()()1x
f x x a e =-+'，当(),1x a ∈-∞-时，()0f x '<；当
()1,x a ∈-+∞时，()0f x '>，
故()f x 的单调递减区间为(),1a -∞-，单调递增区间为()1,a -+∞.
（2）当2a =时，()()2ln x
F x x e x x =--+，
则()()()11111x
x F x x e x e x x ⎛
⎫=--+
=-- ⎝
'⎪⎭， 当
114x <<时，10x -<，令()1
x g x e x
=-， 则()2
10x
g x e x =+
>'，所以()g x 在1,14⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增， 因为1
21202g e ⎛⎫
=-< ⎪⎝⎭
，()110g e =->，
所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，使得()00g x =，即0
01x e x =，即00ln x x =-. 故当01,4x x ⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
时，()0g x <，此时()0F x '>； 当()0,1x x ∈时，()0g x >，此时()0F x '<.
即()F x 在01,4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递增，在()0,1x 上单调递减.
则()()()00000max 2ln x
m F x F x x e x x ===--+ ()000000
12
212x x x x x x =-⨯
--=--. 令()212G x x x =--，1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()()
22221220x G x x x
-=-=>'. 所以()G x 在1,12x ⎛⎫∈
⎪⎝⎭上单调递增，所以()142G x G ⎛⎫
>=- ⎪⎝⎭
，()()13G x G <=-. 故43m -<<-成立.
【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调性和取值范围，也考查了构造新函数，转化思想，属于中档题.。