最新江西省2021届高三数学上学期周考九(理B层)

江西省信丰中学2021届高三数学上学期周考九（理B 层）
一、单选题
1．已知平面向量,a b 满足||||1a b ==，若|32|7a b +=，则向量a 与b 的夹角为（ ）
A.30
B.45︒
C.60︒
D.120︒
2．设,a b 为非零向量，则“//a b ”是“,a b 方向相同”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95
495
S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A.4
B.5
C.6
D.4或 5
4．记为等差数列的前n 项和．已知，则
A.
B.
C.
D.
5．在数列{}n a 中，已知12a =，23a =，且满足()1
2
,3n n n a a n n a -+-=
∈N ，则2019a =（） A.
32
B.
12
C.
13 D.
23
6．已知正ABC △的边长为1，EF 为该三角形内切圆的直径，P 在ABC △的三边上运动，则PE PF ⋅的最大值为（ ）． A.1
B.
12
C.
13
D.
14
7．在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，AB 边上的高2
3
h c =
，且25
sin A =
，则cos C 等于( ) 105 35
10 8．将函数sin 2y x =的图象向右平移02πϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝
⎭
个单位长度得到()f x 的图象，若函数()f x 在
区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()f x 的最大负零点在区间5,126ππ⎛⎫
-- ⎪⎝⎭上,则ϕ的取值范围是( )
A ．(
,]64
ππ
B ．(
,]124
ππ
C ．,62ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭ D ．,122ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭ 二、填空题
9．已知数列{}n a 的前n 项和2
1n S n =+，则数列{}n a 的通项公式是______.
10．已知函数f (x )＝sin (2)6
x π
+
.若y ＝f (x －φ)，02
π
ϕ<<
是偶函数，则φ＝________.
11．已知数列{}n a 满足()12323213n n a a a na n ++++=-⋅，N n *∈，则n a =________．
12．已知公差为d 的等差数列{}n a 满足0d >，且2a 是14a a 、的等比中项；记
()2*n n b a n N =∈，则对任意的正整数n 均有12111
2n
b b b +++<，则公差d 的取值范围是_____
三、解答题
13．在ABC ∆中，6=
BC 2AB AC ⋅=．
（1）求ABC ∆三边的平方和；
（2）当ABC ∆的面积最大时，求cos B 的值
14．设数列{}n a 是公差为2的等差数列，数列{}n b 满足11b =，22b =，()11n n n n a b b n b ++=+．
（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b 的前n 项和n S ； （3）设数列21
log n
n n a c b +=
，试问是否存在正整数s ，()t s t ≠，使3c ，s c ，t c 成等差数列？
若存在，求出s ，t 的值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．D2．B
3．B 【解析】由{}n a 为等差数列，所以95
532495
S S a a d -=-==-，即2d =-， 由19a =，所以211n a n =-+，令2110n a n =-+<，即11
2
n >，所以n S 取最大值时的n 为5，
4．A
5．A 【详解】由已知得，
356724345678123456
3112
,,,,2,32233a a a a a a a a a a a a a a a a a a =
===========， 则数列{a n }具有周期性，T =6，20193366333
2
a a a ⨯+∴===
.所以本题答案为A. 6．D 【详解】正ABC △的边长为1，内切圆圆心为O ，半径为3r =
O 为EF 的中点，则2PE PF PO +=得到()
2
2
4PE PF
PO +=
即2
2
2
24PE PF PE PF PO ⋅++=，PE P FE F -=得到()
2
2
PE P F F E -=
即2
2
123PE PF PE PF ⋅+-=
，两式相减得到：
21
443
PE PF PO =-⋅即2112PE PF PO =-⋅，当P 为三角形顶点时，有最大值为111
3124
-=
7．A 【详解】如图所示：在ACD ∆中：255
sin 53
h A b c b =
=∴=，根据勾股定理得到2,33c c AD BD ==，在BCD ∆中：利用勾股定理得到22
3a c
=，21123S ch c == ，2110sin sin 2S ab C c C == 故31010
sin ,cos C C ==
8．B
【详解】()()sin 22f x x ϕ=-，令222
x k π
ϕπ-=+，则,24
k x k Z ππ
ϕ=
++∈. 故y 轴右侧的第一条对称轴为4
x π
ϕ=+，左侧第一条对称轴为4
x π
ϕ=-
，
所以430
4ππϕπϕ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩
，所以
124
ππ
ϕ≤≤
.令()0f x =，则22x k ϕπ-=，故,2
k x k Z π
ϕ=
+∈，
最大的负零点为2x πϕ=-，所以51262πϕππ-<-<-即
123ππϕ<<，综上，124
ππ
ϕ<≤，故选B. 9．2,1
21,2*
n n a n n n N =⎧=⎨
-≥∈⎩且【详解】
当1n = 时,112a S ==,当2n ≥时,1n n n a S S -=-=22
1(1)121n n n +---=-,
又1n = 时,1
2111n a a ==⨯-=不适合,所以2,
121,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩
. 10、
3
π
【详解】利用偶函数定义求解．y ＝f (x －φ)＝sin 是偶函数，
所以－2φ＋＝＋k π，k ∈Z，得φ＝－－，k ∈Z.又0＜φ＜，所以k ＝－1，φ＝.
11．1
3,143,2
n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩【详解】当1n =时，()12133a =-⨯=，当2n ≥时，由题意可得： ()12323213n n a a a na n +++
+=-⋅，
()()11231231233n n a a a n a n --+++
+-=-⋅，
两式作差可得：()()1
1213233
43n
n n n na n n n --=-⋅--⋅=⋅，故143n n a -=⨯，
12．1[,)2
d ∈+∞【详解】因为公差为d 的等差数列{}n a 满足0d >，且2a 是14a a 、的等比
中项，所以2
111()(3)a d a a d +=+，解得10n a d a nd =>∴=，所以22n n n b a d ==⋅
即2
12
1111111111[][1]22222n n n b b b d d d +++
=+++
=-<≤，所以12
d ≥ 13．解：（1）因为2AB AC ⋅=，所以cos 2AB AC A ⋅⋅=． 在ABC ∆中，由余弦定理得：2222cos BC AB AC AB AC A =+-⋅⋅，
即222(6)4AB AC =+-，于是2210AB AC +=，故22210616AB BC AC ++=+=为定值． （2）由（1）知：2210AB AC +=，
所以22
52
AB AC AB AC +⋅≤=，当且仅当AB AC =时取“=”号，
因为cos 2AB AC A ⋅⋅=，所以2cos A AB AC =
⋅，从而2224
sin 1cos 1A A AB AC
=--⋅
ABC ∆的面积2
2
114
sin 122S AB AC A AB AC AB AC
=⋅⋅=⋅-⋅ 221121
4254222
AB AC =
-≤-=
， 当且仅当AB AC =时取“=”号． 因为2210AB AC +=，所以当AB AC =时，5AB AC ==
故
6302cos 10
25BC
B AB ===
． 14．【详解】（1）令1n =，得13a =，所以()32121n
a n n =+-=+
将21n a n =+代入()11n n n n a b b n b ++=+，得12n n b b += 所以数列{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，即12n n
b -=.
（2）1(21)2n n n n a b -=+，123325272...(21)22n
n n S =⨯+⨯+⨯+++⨯
两式相减得到：0233222...2(21)2n n
n n S =⨯++++-+⨯-化简得：()2121n
n S n =-⋅+.
（3）211
2n n c n n
+=
=+，假设存在正整数s ，t ()s t ≠，使3,,s t c c c 成等差数列 则32s t c c c =+，即2113s t =+，18
63
s t =-+
因为s ，t ()s t ≠为正整数，所以存在6,4t s ==或者15,5t s ==，使得3,,s t c c c 成等差数列.。